第十三讲 三角恒等变形与解三角形(两课时)

第十三讲 三角恒等变形与解三角形（两课时） 一、前测训练

1、（1）己知1cos,0,,632则cos ，sin3 ，

cos26



。

（2）已知3177cos,45124xx，则2sin22sin1tanxxx 。 （3）2sin50sin8013tan101cos10 。 （4）已知1tan42，则2sin2cos1cos2 。 2、（1）在ABC中，3,60,1bBc，则C ，a 。 （2）在ABC中，120,7,8Aabc，则b ，c 。 （3）在四边形ABCD中，,10,14,60,135ADDCADABBDABCD 则BC 。 3、（1）在ABC中，coscosaAbB，则ABC的形状 。 （2）在ABC中，sin2cossinABC，则ABC的形状 。

答案：1、1112851322,,2232324636756

2、130,223或5,5或3 382 3、（1）等腰或直角，（2）等腰 二、方法联想 1、三角变形基本想法 ①角：观察角的联系，实现角的统一 ②名：弦切互化，异名化同名 ③形：公式变形与逆用 ④幂：平方降幂，根式升幂 解题前先观察分析角的联系和变化，决定解题方向，再结合三角函数名、形、幂作出公式的选择， 注意：注意：根据角的范围确定三角函数值正负，无法确定正负时，可根据己知的三角函数值的正负和大小（或特殊角的三角函数值）缩小角的范围 2、三角形中边角计算 方法：正余弦定理的本质是六个量中四个量可以建立一些关系式，如涉及三边一角考虑余弦定理，两边两角考虑正弦定理， 3、边角转化，角角转化， 方法：关于含有边角的关系式，利用12sinaRA等，22222cosabcbcA等 进行边角互化。 方法：利用ABC消元实现三角化为两角，若己知一角，可以将两角化为一角， 进行角角转化。 4、重视与三角函数的结合 三、例题分析 各层次共用例题

在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，己知cos2cos2cosACcaBb

（1）求sinsinCA的值 （2）若1cos4B，ABC的周长为5,求b的大小 解：（1）sinsinCA2,22b 【教学建议】 一、主要问题归类与方法 1、边角互化问题

①利用2sinaRA等，②利用2222cosabcbcA等进行边角互化。将边化为角 2、求边长 ①利用正弦定理求边，②利用余弦定理求边 二、方法选择与优化建议 对于第（1）问

1、对于等式cos2cos2cosACcaBb的右边，我们可用方法①化边为角，推出sin2sinCA 2、利用2222cosabcbcA等将等式cos2cos2cosACcaBb左边余弦化为角来做，运算量大，所以用方法（1） 3、等式cos2cos2cosACcaBb可化为coscos2coscosbAaBbCcB，即2ca，所以可以选择方法（3）

对于第（2）问 因为从（1）问得到2ca，又5abc，所以三边可以转化为只含一个未知量b，利用减元消元解方程的方法解决，因此选择方法②的余弦定难解决问题比较方便。 第一、二层次共用例题

己知函数22cos23sincosfxxxx

（1）求函数fx在,63上的值域 （2）在ABC中，若2,2sincoscosfCBACAC，求tanA的值， 解：（1）值域为0,3 （2）tanA332 【教学建议】 一、主要问题归类与方法

1、将己知转化为sinyAx形式求解 2、三角形中求某一个角的三角函数值，①正弦定理，②余弦定理，③三角恒等变形 二、方法选择与优化建议 1、对于第（1）问：平方降幂，釆用辅助角的方法“化三个一”，求最值注意角的范围，注意：最值不一定在区间端点取得 2、对于第（2）问：本题没有边的条件，所以方法①②不作考虑，注意到角C己知，又ABC，因本问可化为只含一个未知角A，利用第二个

条件2sincoscosBACAC可求得 第一层次备用例题 例：在半径为2，圆心角为45的扇形OAB的弧AB上任取一点P，作扇形的内接平行四边形PNMQ，使点Q在OA上，点,MN在OB上，设BOPrad，四边形面积为S （1）求S与之间的关系 （2）求S的最大值及对应的值

解：212cos2sin2sin4sincos4sinS 0,4

max2222S，这时=8 【教学建议】 一、主要问题归类与方法

1、①PNMQ的面积=sinMNQMQMN，②PNMQ的面积,MNh

2、S的最大值转化为sinyAx形式求解 二、方法选择与优化建议 1、,,MNQMQMN表示困难，所以不选方法①，方法②实际上就是分别过点,PQ作

,PDOBQEOB垂足分别为,DE，将平行四边形转化为矩形PDEQ，这个问题

就是课本上题目了 2、平方降幂，釆用辅助角的方法“化三个一”，求最值注意角的范围，注意：最值不一定在区间端点取得 第二层次备用例题

己知ABC的面积为S，且ABACS （1）求tan2A的值 （2）若,34BCBCA，求ABC的面积S 解：（1）tan2A433S 【教学建议】 一、主要问题归类与方法 1、向量数量积表示有两种方法 ①是数量积定义，②是坐标表示， 2、求三角形面积问题 计算三角形面积需要三个条件，①两边一夹角，②三边，③一边和此边上的髙 二、方法选择与优化建议 1、本题没有涉及坐标，同时还需要表示面积，所以选方法① 2、己知两角一条边，以上三种方法都可行，相对而言，方法①的运算量较小 第三层次备用例题

例1己知,0,，且72tan2,cos10 （1）求cos2的值 （2）求2的值 【教学建议】 一、主要问题归类与方法

1、方法①2222cos2cossin2cos112sin

方法②由于22cos2cossin，这可以化为tan的齐次式 2、求角的问题 求角就需要选择一个关于2的三角函数，它可以是正弦、余弦、也可以正切，关键

在于这个值可求，另外，2的范围不仅影响角的结果，也影响着选择的正弦、余弦、 正切的值 二、方法选择与优化建议 1、第一问：方法①选择三个公式中任一个都行，但从求时要注意判断符号 方法②处理起米更加便捷

2第二问：通过推理，我们得到2,22，所以可以选择计算sin2值，

也可以选择计算tan2的值，但不宜用cos2，因为在,22上，余弦函数不单调， 例2设在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且abcabcac （1）求角B （2）若31sinsin4AC，求角C 解：1120215BC或45C 点评：求角一般先求值，但求这个角的那一个三角函数值，要根据条件，还要注意角的范围，有时会出现多解。 【教学建议】 一、主要问题归类与方法 1、在三角形中求角大小，通常①利用正弦定理，己知两边一对角，求另一角，②用余弦定理，己知三边求任意角

2、在第（1）问己求得120B，

方法1:60,60ACAC，可得关于角C的方程，求出角C的某个三角函数值,

方法2:从1cos2AC，以及31sinsin4AC，可以求得cosAC，进而得到角C的大小 二、方法选择与优化建议

1、条件abcabcac，可化为222acbac，选用余弦定理即可，

2、第二问：方法1代入后化归为3sin2302C，这个解法虽然麻烦，但符合很多学生的思维， 方法2解法简洁，但学生很难想到计算cosAC的值， 方法1解法虽然麻烦，但是值得学生选择并掌握 四、反馈练习

1、sin15sin105的值为 2、若1sin()34，则cos(2)3 3、函数1()coscos2()2fxxxxR的最大值等于

4、cos103sin101cos80= 5、从200m高的电视塔顶A测得地面上某两点,BC的俯角分别为海拔30和45，45BAC，则这两个点之间的距离为 ___________

6、三角形ABC的三边长为2,3,4ABBCCA，则AB边上的中线长为___________