弹塑性力学第九章答案

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应用弹塑性力学(徐秉业_刘信声版)课后习题答案(全)

pr =σs 2t
2 2 2 (σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6(τ xy +τ2 yz + τ zx ) = 2σ s
2 2 2 σ x +σ 2 y − σ xσ y + 3τ xy = σ s 2
pr =σs t
Tresca 条件：
σθ = −
b2 p b − a2
2
p σr
ρ 2q σθ = 2 b − ρ2
⎛ b2 ⎞ b2 p ⎜ ⎜1 + r2 ⎟ ⎟ − b2 − ρ 2 ⎝ ⎠
2
⎛ ρ2 ⎞ ⎜ ⎜1 + r2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
a ρ
b
(σ r − σ θ ) r = ρ
σθ
=
2b 2 ( p − q) = σ s b − ρ2 σs
σ x +σ y ⎛σ x −σ y + ⎜ ⎜ 2 2 ⎝ σ x +σ y ⎛σ x −σ y − ⎜ ⎜ 2 2 ⎝
⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ≤ σ s ⎠ ⎞ 2 ⎟ ⎟ + τ xy ≤ σ s ⎠
2
(σ
x
−σ y
σ ⎜ ) +⎛ ⎜
2
y
⎝
−σ x ⎞ ⎛σ y −σ x ⎞ 2 2 ⎟ ⎟ ⎟ +⎜ ⎜ ⎟ + 6 τ xy = 2σ s 2 2 ⎝ ⎠ ⎠
δ = 2%
2 B1 z = 2C 1 z
Mises : (σ θ − σ z ) 2 + (σ z − σ r ) 2 + (σ θ − σ r ) 2 = 2σ s2 ⇒ p = 5.77 MPa

弹性力学--第九章(1)汇总

ur
1 2G
r
w 1
2G z
(9－11)
2 C
ur
1 2G
r
w 1
2G z
(9－11)
r
2 r 2
,
1 r
r
rz
zr
2 rz
z
2 z 2
(9－12)
注意：并不是所有一切问题的位移都是有势的，因此，位移势函数并不是在所有一切问题中都存在的，当然也就很明显，用位移势函数求解不一定成功。实际上，如果位移势函数存在，则
而且（9－11）式及(9 3)式得出非常简单的应力分量表达式如下：
r
2 r 2
,
1 r
r
rz
zr
2 rz
z
2 z 2
(9－12)
这样，对于一个轴对称问题，如果找到适当的调和函数 (r, z)
使得（9－11）式给出的位移分量和（9－12）给出应力分量能够满足边界条件，就得到该问题的解答。
1 2 y
1 e 2w 0
1 2 z
2 0,
x
2 0,
y
2 0
z
2 C
也就是：
2 C
其中的C为任意常数。于是任取一函数满足2＝C，按（9－8）式求出的位移分量
都能满足平衡微分方程（9－7），因而，可以试取为问题的解答。
显然，如果取 C＝0，即命2＝0，则按（9－8）式求出的位移分量也能试取为问题的解答。这样，虽然缩小了函数的范围，但针对具体问题去寻求函数就比较容易。
91按位移求解空间问题92无限大弹性层受重力及均布压力94位移势函数的引用补充95拉甫位移函数与伽辽金函数补充96半空间体在边界上受法向集中力97半空间在边界上受切向集中力补充98半空间体在边界上受法向分布力补充910按应力求解空间问题911等截面直杆的纯弯曲补充本章介绍空间问题按位移求解的方法和按应力求解的方法其思路和步骤与平面问题相似

弹性力学-09

边界条件的位移表示：位移边界条件：
式中：
2 2 2 2 2 2 x y z 2
（9-2）
—— 空间问题的 Laplace 算子
用位移表示的平衡微分方程
应力边界条件：
us u vs v ws w
l xy s m y s n zy s Y
按位移求解空间问题无限大弹性层受重力及均布压力空心圆球受均布压力位移势函数的引用拉甫位移函数及伽辽金位移函数半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受切向集中力半空间体在边界上受法向分布力两球体之间的接触压力按应力求解空间问题等截面直杆的纯弯曲
§9-1
按位移求解空间问题
—— 基本方程
E 1 e ur 2 ur 2 Kr 0 21 1 2 r r E 1 e 2 w Z 0 21 1 2 z
（9-4）
—— 用位移表示的轴对称问题的平衡微分方程
2. 按位移求解空间问题的基本方程
2. 按位移求解空间问题的基本方程
平衡微分方程的位移表示：将几何方程代入物理方程（8-19），有：
w v u yz x y z E u E w v x x e yz 1 1 2 x v 21 y z u w zx y （8-9） y u z x E v E w y e zx w v u （9-1） 1 1 2 y z 21 z x xy z v x u y E w xy z E e 21 x y 1 1 2 z E E x e x yz yz 2 1 2 1 1 u v w 其中： e E E x y y zx zx （8-19） z e y 2 1 1 1 2 将方程（9-1）代入平衡微分方程（8-1），并整理可得： E E z e z xy xy 2 1 1 1 2

工程弹塑性力学课后答案

工程弹塑性力学课后答案【篇一：弹塑性力学思考题答案】一点的应力状态？答：通过一点p 的各个面上应力状况的集合⒉一点应变状态？答：[受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互垂直方向所夹直角的改变量)的总和，就表示了该点的应变状态。

]代表一点 p 的邻域内线段与线段间夹角的改变⒊应力张量？应力张量的不变量？应力球张量？体积应力？平均应力？应力偏张量？偏应力第二不变量j2的物理意义？单向应力状态、纯剪应力状态的应力张量？给出应力分分量，计算第一，第二不变量。

答：应力张量：代表一点应力状态的应力分量，当坐标变化时按一定的规律变化，其变换关系符合??x?xy?xz???????????yxyyz???zx?zy?z???。

其中：?=?，?=?，?=?。

xzzxxyyxyzzy应力张量的不变量：对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应力数值,即j1,j2,j3是不变量,不随着坐标轴的变换而发生变化。

所以j1,j2,j3分别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。

应力张量可分解为两个分量0???x-?m?xy?xz???m0??+???ij??0?0????mymyz?，等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应???yx?0?m??zy?z??m??0????zx?力偏张量。

应力球张量：应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只产生体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零，各方向都是主方向。

应力偏张量：应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应力分量、主切应力、最大正应力11平均应力：?m?(?x??y??z)?(?1??2??3)，?m为不变量,与坐标无关。

33偏应力第二不变量j2的物理意义：形状变形比能。

单向应力状态：两个主应力为零的应力状态。

纯剪应力状态的应力张量:给出应力分分量，计算第一，第二不变量。

(弹性力学讲义)第九章

第九章薄板弯曲问题
薄板问题解法
§9-2 弹性曲面的微分方程
本节从空间问题的基本方程空间问题的基本方程出发，空间问题的基本方程应用3个计算假定 3个计算假定进行简化，导出按位移按位移求解薄板弯曲问题的基本方程。求解薄板弯曲问题的基本方程
第九章薄板弯曲问题
薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内容是：薄板弯曲问题是按位移求解的 1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。 2. 将其他未知函数─纵向位移 u,v；主要应变分量 εx ,εx ,γ xy ;主要应力分量 σ ,σ ,τ ；
γ
zx
= 0 , γ zy = 0 . ∂u ∂w ∂v ∂w =− , =− ∂z ∂x ∂z ∂y
(a )
(9−1 )
并在空间问题的物理方程中，略去 σ z引起
的形变项。因此，当略去 ε z ,γ xz 和γ zy 后，薄板弯曲问题的物理方程为薄板弯曲问题的物理方程
1 1 2(1+ µ) εx = (σx − µσy ),ε y = (σy − µσx ),γ xy = τxy. E E E (b) (9-2)
∂2w ∂2w M y = − D ( 2 + µ 2 ), 弯矩 ∂y ∂x ∂2w 扭矩 M yx = − D (1 − µ ) , ∂x∂y ∂ 2 横向剪力 Fsy = − D ∇ w. ∂y
第九章薄板弯曲问题
求内力：求内力：取出δ ⋅ d x ⋅ d y的六面体， x面上，有应力 σx， xy， ; τ τxz y面上， τ，有应力 σy， yx τyz。其中 σx， y，τxy = τyx，沿z为直线分布，在中面为0； σ
τ τxz， yz ，沿z为二次分布，方向∥横截面。

《弹性力学》第九章扭转

15
§9-3 薄膜比拟
由上节的例子可以看出，对于椭圆形这种简单等截面直杆，我们给出了横截面上剪应力的计算表达式，但却没有指出截面最大剪应力的位置及其方向；而对于矩形、薄壁杆件这些截面并不复杂的柱体，要求出其精确解都是相当困难的，更不用说较复杂截面的杆件了。为了解决较复杂截面杆件的扭转问题，特提出薄膜比拟法。该方法是建立在柱体扭转问题与受均匀侧压力而四周张紧的弹性薄膜之间数学关系相似的基础上。设有一块均匀薄膜，张在与扭转杆件截面相同或成比例的边界上。当在侧面上受着微小的均匀压力时，在薄膜内部将产生均匀的张力，薄膜的各点将发生图示 z方向微小的垂度。
u 0 x v 0 y w 0 z
积分后得到
w v 1 y z G x u w 1 z x G y v u 0 x y
u u 0 y z z y Kyz v v 0 z x x z Kxz
2
T z 0 q s
a
而应力函数所满足的微分方程和边界条件为
2 2Gk ,
s 0
18
其中Gk也是常量，故也可改写为
1 0, 2Gk
2
0 2Gk s

b
T 将式 b与式 a对比，可见2Gk与 z 决定于同样的微 q
y
o
T q
x
y
T
z
x d Tdy dy b
Tdx
a
c
简化后得
dx
2z 2z T 2 2 q 0 x y
17
即
q z T
2
此外，薄膜在边界上的垂度显然等于零，即

弹塑性力学习题及答案

DOC 文档资料本教材习题和参考答案及部分习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。

答案 (1)pi iq qj jkpk δδδδδ=;答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;解：(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。

2.2证明：若ijji a a =，则0ijk jk e a =。

（需证明）2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：因为123111123222123333i i i i i i i i i i i i i ii i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以123111123222123333123111123222123333det det()i ii i i i i ii i i i i ii ii i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即得 1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。

弹塑性力学-陈明祥版的-课后习题答案++

◆ 分析研究物理现象的方法和工具的选用与人们当时对客观事物的认识水平有关，会影响问题的求解与表述。
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明
的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向
的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。
x j xk
（I-25）
4.张量的分解
张量一般是非对称的。若张量 ai的j 分量满足
aij a ji
（I-27）
则 aij称为对称张量。如果的分ai量j 满足
aij a ji
（I-28）
则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的
分量(也即主对角元素)为零，即 a11 a22 。a33 0
弹塑性力学与材料力学同属固体力学的分支学科，它们在分析问题解决问题的基本思路上都是一致的，但在研究问题的基本方法上各不相同。其基本思路如下：
(1) 受力分析及静力平衡条件 (力的分析)
物体受力作用处于平衡状态，应当满足的条件是什么？（静力平衡条件）
(2) 变形的几何相容条件 (几何分析)
材料是均匀连续的，在受力变形后仍应是连续的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠 ”，此时材料变形应满足的条件是什么？（几何相容条件）
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解
法的严密性和普遍适用性为特点；
2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；
3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠
进行度量。
四、弹塑性力学的基本任务
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法，以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力，提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。

弹塑性力学第09章弹性力学的能量原理

弹塑性力学第09章弹性力学的能量原理弹性力学的能量原理是通过对变形体系的能量进行分析，来描述和研
究材料的力学行为。

根据能量守恒定律，能量在各种形式之间的转换是相
互平衡的，因此可以通过能量原理来推导出材料的力学性质。

弹性力学的
能量原理主要包括两个方面：弹性能量原理和稳定性能量原理。

弹性能量原理是指在弹性变形的情况下，变形体系的总能量保持不变。

变形体系的总能量包括弹性应变能和应力对变形体系所做的功。

具体来说，在弹性变形情况下，变形体系的总应变能等于外力所做的功，而不会发生
能量的损失。

这一原理反映了材料在弹性变形情况下能量的守恒性质。

稳定性能量原理是指在塑性变形的情况下，材料的变形体系的总能量
沿着最稳定方向变化。

塑性变形是指当材料受到较大应力时，会发生永久
性变形的情况。

稳定性能量原理通过分析塑性变形对变形体系的总能量的
影响，来得出变形体系的稳定性和塑性变形的机制。

在弹塑性力学中，能量原理被广泛应用于力学问题的求解和工程实践中。

通过能量原理，可以解释材料的弹性和塑性特性，研究和设计材料的
力学性能。

同时，能量原理也为工程实践中的结构设计和材料选择提供了
理论依据。

总之，弹塑性力学的能量原理是研究材料力学行为的重要原理之一、
弹性能量原理和稳定性能量原理通过分析变形体系的能量转换来描述材料
的弹性和塑性变形特性。

能量原理的应用可以解释材料的力学性质，为工
程实践中的结构设计和材料选择提供理论支持。

弹塑性力学课后习题答案

（I-4）（I-5）
★ 关于求和标号，即哑标有：
◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii2a121a222a323
（I-12）
(ai) i2(a 1 1a22 a3)3 2 （I-13）
aibjk cijk
（I-21）
◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配
律和结合律。例如：
( a i j b i) c j k a i c k j b i c k j；或 ( a i b k j ) c m a i( b j k c m )
（I-22）
C、张量函数的求导：
◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都
◆ 绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需
三个分量来确定。
◆ 若我们以r表示维度，以n表示幂次，则关于三维
空间，描述一切物理恒量的分量数目可统一地表示成：
Mrn （Ⅰ—1）
◆ 现令n为这些物理量的阶次，并统一称这些物
理量为张量。
当n=0时，零阶张量，M=1，标量；当n=1时，一阶张量，M=3，矢量；
（I-25 ）
4.张量的分解
张量一般是非对称的。若张量 aij的分量满足
aij a ji
（I-27）
则 aij 称为对称张量。如果的分aij量满足
aij aji
（I-28）
则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的
分量(也即主对角元素)为零，即 a11a22。a330
第二章应力理论
七应变莫尔圆41弹性变形与塑性变形的特点塑性力学的附加假设42常用简化力学模型43弹性本构方程弹性应变能函数44屈服函数主应力空间常用屈服条件47塑性本构方程简介静不定问题的解答1静力平衡分析平衡微分方程2几何变形分析几何方程3物理关系分析物理方程表明固体材料产生弹性变形或塑性变形时应力与应变以及应力率与应变率之间关系的物性方程称为本构方程关系

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第九章习题答案
9.1分析：设剪切屈服极限为k，则可以依次求得弹性极限扭矩为：
)()1(21243bakbrdrrkbrTbae



；塑性极限扭矩为：

kbdrrrkTbas)1(32233

；设弹塑性区分界线半径为sr，则

krabrbdrrrkdrrrkarTssbrrass33343)(4113222

。

9.2计算结果为)1()2321(2322brbrbrmbssrss；；。
9.3分析：在本题中)(32223ereehhbSbhI，，根据公式
2
1211bhSIh
Msrsees
；卸载后残余应变曲率为r1，er111，结合

EIMEh
ee

s
11，
，51611er。

9.4分析：根据公式)1ln3(3233brarqsss，分别将brarss、代入便可求的
22
3

3
10077ln23678)1(32cmkgabqcmkgbaqssse，
；当sr=12.6cm时，

2
8590mmkgq
。

9.5分析：二端封闭在ar处，2222221ababpabppzr，，代入Mises

屈服条件，化简可得)1(322baps；用同样的方法可求得二端自由0z时，

4
42244
22
31133)(b
abaababpss





；二端约束0z时，2213baps。
9.6分析：由弹性力学，筒内各应力值为
)(2)1(1)1(11144222222222abTrrITrbqrbqqabqpzrz
，，，
将这些值代入Mises屈服条件得：2222226)()()(szrrzz化
简后的2244222231)(21sabTrrbq，在ar和br处同时屈服，即
244222
442222
)(21)(21abTbqabTaa

bq

，化简得计算结果为：

232
3
)1(2


aqT

。