(完整版)弹塑性力学作业(含答案)

2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；

试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0

代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0

得：b=-γ1；a =0；

OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0

则：cos sin 0cos sin 0x xy yx

y σβτβτβσβ+=⎧⎨

+=⎩………………………………（a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：

()()()

1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩L L L L L L L L L L L L L L L L L L

化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；

化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β

2—17.己知一点处的应力张量为3

1260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦

试求该点的最大主应力及其主方向。

解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：

(()()3

1.2333

3

121010

2217.0831******* 6.082810 4.9172410

x y

Pa σσσ⎡++⎢==⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯

则显然：3

312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=

σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）

()22612sin 226

12102

cos 2xy

x y tg τθθσσθ--⨯-++

====+=--+

显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 则：θ=+40.2688B 40°16＇ 或（-139°44＇）

5-2：给出axy ϕ=；（1）：捡查ϕ是否可作为应力函数。（2）：如以ϕ为应力函数，求出应力分量的表达式。（3）：指出在图示矩形板边界上对应着什么样的边界力。（坐标如图所示） 解：将axy ϕ=代入4

0ϕ∇=式

得：22

0ϕ∇∇= 满足。 故知axy ϕ=可作为应力函数。 求出相应的应力分量为：

220x y ϕσ∂==∂；220y x ϕσ∂==∂；2xy a x y

ϕτ∂=-=-∂∂；

上述应力分量0x y σσ==；xy a τ=-在图示矩形板的边界上对应着如图所示边界面力，该板处于纯剪切应力状态。

5-10:设图中的三角形悬臂梁只受重力作用。而梁的比重为p ，试用纯三次式：

3223ax bx y cxy dy ϕ=+++的应力函数求解应力分量?

解:显然ϕ式满足2

0ϕ∇=式,可做为应力函数,相应的应力分量为:

2

2

266222x y xy cx by

py ax by py x bx cy x y σϕσϕ

τ⎫⎪=+⎪∂⎪=-=+-⎬∂⎪

⎪∂=-=--⎪

∂∂⎭

……………………（a ）

边界条件：

ox 边：y =0 , l =0 ,m =-1, F x =F y =0 则：2bx =0 得：b =0

-6ax =0 得：a =0

oa 边：(),

cos 90sin ;cos ;0x y y xtg l m F F αααα==+=-===o

则：()()()26sin 2cos 02sin cos 0cx dxtg cxtg a cxtg pxtg b αααααααα-+-⋅=⎧⎪⎨

⋅-⋅=⎪⎩

L L L L L L L L L L L L 由（c ） 式得：2p

c ctg α=； 代入(b )式得：2

3

p d ctg α=-；

所以（a ）式变为：

22x y xy pxctg pyctg py pyctga σααστ⎧=-⎪

=-⎨

⎪=-⎩

;上式中K 为纯剪屈服应力。

7.3 设123S S S 、、为应力偏量，试证明用应力偏量表示Mises 屈服条件时，其

形式为：

s σ= 证明：Mises 屈服条件为

()()()

222

21223312s σσσσσσσ-+-+-=

()()()

()

()()2

2

2

12233122

21231223312222123123231222S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S =-+-+-=++---⎡⎤=++-++⎢⎥

⎣⎦

左式

()12322

22

1230

32s S S S S S S σ++=∴=++=Q 左式

故有

s σ= 7.6 物体中某点的应力状态为2100

0002000/00300MN m -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

，该物体在单向拉伸 时2190/s MN m σ=，试用Mises 和Tresca 屈服条件分别判断该点是处于弹