弹塑性力学复习思考题 (1).
弹塑性力学部分习题及答案
1 εij = (ui, j +uj,i ) 2
σji, j
(i, j =12,3) ,
E 1 ν = 2(uj,ij +ui, jj ) +1−2νuk,kjδij (1+ν)
5Байду номын сангаас
20112011-2-17
题1-3
E 1 ν (uj,ij +ui,jj ) + σji, j = uk,ki 2 (1+ν) 1−2ν
3
2c
l
y
解： 1、将 Φ 代入
∇ 4Φ =0 满足, 为应力函数。 满足, Φ 为应力函数。
2、求应力（无体力） 求应力（无体力）
20112011-2-17 20
题1-13 3 3F xy q 2 Φ= xy− 2 + y 4c 3 2 c
2
o
x
2c
l
y
2
∂φ 3F xy ∂φ σx = 2 = − 3 +q, σy = 2 =0, ∂y 2c ∂x y2 ∂φ 3F τxy =− = − 1− 2 ∂x∂y 4c c
z l y
F = −ρg bz
x
x
20112011-2-17
8
题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 等截面直杆（无体力作用），杆轴 ）， 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u =−kyz v =kxz
w=k ( x, y) ψ
为待定常数， 其中 k 为待定常数，ψ(x‚y)为待定函数， 为待定函数 试写出应力分量的表达式和位移法方程。 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
2
弹塑性力学复习-1
二、计算题
1.已知一点的应力
500 σij = -100
-100
-100 400
0
-100
0
MPa
400
计算（1）主应力 （2）主方向 （3）最大切应力 （3）正八面体上的正应力 （4）正八面体上的切应力 （5）正八面体上的全应力
2.已知一点的应变
u (x1 x2 )2 e1 (x2 x3 )2 e2 x1x2e3
解(1): 管的两端是自由的应力状态
1 6
[(1
2
)2
(
2
3 )2
(
3
1)2
]
2 s
(Mises)
1 3 2 s (Tresca)
1
pR t
,
2
z
0, 3
r
0, zr
r
z
0
1 6
[(
pR t
)2
(
pR t
一、概念题
1.若物体内一点的位移均为零，则该点的应变也 为零。
2.在x为常数直线上，u=0，则沿该线必有 x 0 。 34..在满足y为平常衡数微直分线方上程，又u满=0足，力则边沿界该条线件必的有应 x力 0是。
否是实际应力。 5.应变状态 x k(x2 y2 ), y ky2, xy 2kxy 不可能存在。 6.若 是平面调和函数，1 (x2 y2 ) 是否可以作为
应力函数。
一、概念题
7.平面应力与平面应变主要的异同是什么。 8.切应变的含义是什么。 9.变形协调方程的物理意义是什么。 10.应力主轴与应变主轴在什么情况下重合。 11.什么是横向各向同性材料。 12.受内压压圆环（筒）的应力分析 。 13.逆解法、半逆解法的理论依据是什么？为什么？ 14.为什么最小势能原理等价于平衡方程与应力边 界条件？ 15.里兹法与伽辽金法的近似性表现在哪里？
弹塑性力学复习思考题（一）
研究生弹塑性力学复习思考题1.简答题：（1）什么是主平面、主应力、应力主方向？简述求一点主应力的步骤？（2）什么是八面体及八面体上的剪应力和正应力有何其特点（3）弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？（4）偏应力第二不变量J2的物理意义是什么？（5）什么是屈服面、屈服函数？Tresca屈服条件和Mises屈服条件的几何与物理意义是什么？（6）什么是Drucker公设？该公设有何作用？（能得出什么推论？）（7）什么是增量理论？什么是全量理论？（8）什么是单一曲线假定？（9）什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？在弹性范围内这两类问题之间有和联系和区别？(10) 论述薄板小挠度弯曲理论的基本假定？二、计算题1、For the following state of stress, determine the principal stresses and directions and find the traction vector on a plane with unit normal (0,1,1)/2n。
311102ij1202、In suitable units, the stress at a particular point in a solid is found to be214140ij401Determine the traction vector on a surface with unit normal (cos,sin,0)，whereis a general angle in the range 0。
Plot the variation of the magnitude of the T as a function of .traction vector n3、利用应变协调条件检查其应变状态是否存在存在？，（1）x =Axy 2，y =Bx2y ，xy =0，A 、B 为常数222(),,2xyxyk xy ky kxy k 为常数（2）222225ijxy xz y zzxz z4、The displacements in an elastic material are given by22222(1)(1)(1),(),0224M M M luxy vyxw EIEIEIwhere M ，E ，I, and l are constant parameters 。
弹性力学复习思考题
其中： 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M， Q分别为梁截面上弯矩与剪力。 分别为梁截面上弯矩与剪力。 分别为梁截面上弯矩与剪力 应力函数： 结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2 σθ = 2 r
= f (r)
= f (r) sin θ
= f (r) cosθ
力偶、 （9）半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数 ）半无限平面体在边界上作用力偶 集中力、分布力下 、应力分量、位移分量的确定？ 应力分量、位移分量的确定？ 应力分量、位移分量的确定？ （10）圆孔附近应力集中问题应力函数 、应力分量、位移分量的确定？ ） （11）叠加法的应用。 ）叠加法的应用。
X = l(1+ )αT,
Y = m(1+ )αT
（5）温度应力问题求解的基本思路与方法： ）温度应力问题求解的基本思路与方法： （a）求出满足位移平衡方程（6-18）的一组特解（此时，无需满足 ）求出满足位移平衡方程（ ）的一组特解（此时， 边界条件；用位移势函数求解）。 边界条件；用位移势函数求解）。 （b）不计变温，求出满足平衡方程（6-18）的一组补充解（常由应 ）不计变温，求出满足平衡方程（ ）的一组补充解（ 力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。 力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。 的概念； 与位移分量的关系； （6）位移势函数 ψ 的概念；位移势函数 ψ 与位移分量的关系；温 ） 度应力问题中， 满足的方程； 度应力问题中，位移势函数 ψ 满足的方程；应力分量的位移势 的表示。 函数 ψ 的表示。
王俊民 编 徐秉业 编
《弹性力学学习方法及解题指导》 弹性力学学习方法及解题指导》
同济大学出版社 机械工业出版社
弹塑性力学习题及问题详解
本教材习题和参考答案与局部习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。
答案 (1)pi iq qj jkpk δδδδδ=;答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;解：(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：假如ijji a a =，如此0ijk jk e a =。
〔需证明〕a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：因为123111123222123333i i i i i i i i i i i i i ii ii i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以123111123222123333123111123222123333det det()i ii i i i i ii i i i i ii ii i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即得 1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
弹塑性力学思考题
弹塑性理论思考题⒈ 一点的应力状态？通过一点P 可做无穷多个截面，各个截面上应力状况的集合称为一点的应力状态。
（通过一点P 的各个面上应力状况的集合。
） ⒉ 一点应变状态？代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变。
（过P 点所有方向上的线应变和角应变的集合。
） ⒊ （1）应力张量？应力张量是应力状态的数学表示。
数学上应力为二阶张量，三维空间中需九个分量（三个正应力分量和六个剪应力分量）来确定。
在静力平衡（无力矩）状态下，剪应力关于对角对称，九个量中只有六个独立分量。
(p17-p18)（2）应力张量的不变量？应力张量是二阶对称张量，因此它同样存在三个不变量，分别用J1，J2，J3表示。
（3）应力球张量？应力偏张量？应力球张量只能使物体产生体积变化应力偏张量使物体产生形状变化，而不能产生体积变化，材料的塑性变形就是由应力偏张量引起的 （4）体积应力？对弹性体施加一个整体的压强p ，这个压强称为“体积应力”，弹性体的体积减少量(-dV)除以原来的体积V 称为“体积应变”，体积应力除以体积应变就等于体积模量: K=P/(-dV/V)。
由体积应力和体积应变的关系，可得由上述公式可知，如果体力为常量，体积应力和体积应变均满足拉普拉斯（Laplace )方程，即体积应力函数和体积应变函数均为调和函数。
（5）平均应力？交变应力中，最大应力和最小应力的平均值。
(6)偏应力第二不变量J2的物理意义？ 第二不变量是三个主应力两两相乘的和 （7）单向应力状态？如果有两个主应力等于零称为单向应力状态 （8）纯剪应力状态的应力张量？给出应力分量，计算第一，第二不变量。
应力偏张量是二阶对称张量，因此它同样存在三个不变量，分别用J1、J2、J3表示。
对于主轴坐标系则： =+++-+-+-=+++++-==-+-+-=++=')](6)()()[(61)''''''('0)()()(''''322222222212J J J zx yz xy x z z y y x zxyz xy x z z y y x m z m y m x z y x τττσσσσσστττσσσσσσσσσσσσσσσ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''z zy zx yz y yxxz xy x στττστττσ应力偏张量是第一不变量J`1=0表明应力分量中已经没有静水应力成分。
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第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。
己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。
解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
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(2)如将该曲线表示成
解：（1）由 在
处连续，有
形式，试给出 的表达式。
（a）
由在
处连续，有
（a）、（b）两式相除，有
由（a）式，有
（2）取
形式时，
当
：
即
当
：应力相等，有
解出得，
（代入 值）
（b） （c） （d）
（代入 值） 5.6已知简单拉伸时的应力-应变曲线
如图5-1所示，并表示如下：
问当采用刚塑性模型是，应力-应变曲线应如何表 示？
解：1） OD 边：
GD 边：
沿
线，
，
2）
沿 OB 线，
，
8.7 Mises 线性等强化材料，在平面应变（ 试导出用表示的强化规律和本构关系。
解：当 时，在弹性阶段有
）和泊松比 条件下，
得
平均应力 因此在弹性阶段有
，进入塑性后有
对平均应变
刚进入塑性时
。由上式导出
。因此进入塑性
后还满足
（2）当 = 时，继续加载，使 解：1）开始屈服时
，求此时的 、 、 。 ，代入 Mises 屈服准则
得
；
2）屈服后对应的塑性应变增量为
由 及屈服条件的微分形式
， 式子得到答案结果。
7.9 在如下两种情况下，试求塑性应变增量的比。
（1）单向拉伸应力状态，
；
，联列可得 ，代入
（2）纯剪力状态，
。
解：（1）单向拉伸应力状态
在
中：
沿
线，
中： ，
中：
,
，
，
, 情况二见图（1），与①一样
所以
8.6 已知具有尖角为 的楔体，在外力 P 的作用下，插入具有相同角度的 V 形缺口 内，试分别按如下两中情况画出滑移线场并求出两种情况的极限荷载。 1）、楔体与 V 形缺口之间完全光滑；2）、楔体与 V 形缺口接触处因摩擦作用其剪应 力为 k。
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研究生弹塑性力学复习思考题
1. 简答题：
（1） 什么是主平面、主应力、应力主方向？简述求一点主应力的步骤？
（2） 什么是八面体及八面体上的剪应力和正应力有何其特点 （3） 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？ （4） 偏应力第二不变量J 2的物理意义是什么？
（5） 什么是屈服面、屈服函数？Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件的几何
与物理意义是什么？
（6） 什么是Drucker 公设？该公设有何作用？（能得出什么推论？） （7） 什么是增量理论？什么是全量理论？ （8） 什么是单一曲线假定？
（9） 什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？在弹性范围内这两类问题之间有
和联系和区别？
(10) 论述薄板小挠度弯曲理论的基本假定？
二、计算题
1、For the following state of stress, determine the principal stresses and directions and
find the traction vector on a plane with unit normal (0,1,1)n =
3
111
021
2
0ij σ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2、In suitable units, the stress at a particular point in a solid is found to be
2
141
404
01ij σ-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
Determine the traction vector on a surface with unit normal (cos ,sin ,0)θθ，where θ is a general angle in the range 0θπ≤≤。
Plot the variation of the magnitude of the traction vector n T as a function of θ.
3、 利用应变协调条件检查其应变状态是否存在存在？
，
（1）εx =Axy 2，εy =Bx 2y ，γxy =0，A 、B 为常数
222(),,2x y xy k x y ky kxy εεγ=+== k 为常数
（2）222
22
5ij x y xz y
z z xz z ε⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
4、The displacements in an elastic material are given by
222
22(1)(1)(1),(),0224
M M M l u xy v y x w EI EI EI νννν-+-=-=+-=
where M ，E ， I , and l are constant parameters 。
Determine the corresponding strain and stress fields and show that this problem represents the pure bending of a rectangular beam in the x,y plane.
5、写出如下问题的边界条件 (a)用直角坐标，（b ）用极坐标
P
6、Express all boundary conditions for each of the problems illustrated in the following
figure.
l
θ
θr θ
r
7、
8、
9、
4、 正方形薄板三边固定，另一边承受法向压力b
x
p p π-=sin
0，如图所示，设位移函数为 0=u b
y b x
a v 2sin sin
2ππ= 利用Ritz 法求位移近似解（泊松比ν=0）。
y
x
a
b
A B
C
O
（第4题图） （第6题图） 5、悬臂梁在自由端受集中力P 作用，如图所示。
试用极小势能原理求最大挠度
第5题图 提示设梁的挠曲线为
6、对给定的应力函数：
（1）32223123,,Ax y Bx y Cxy ϕϕϕ===，试确定它们哪个能作为平面问题的应力函数，并分析它们能解什么问题？
（2）证明32
23[]434F xy P xy y c c c
ϕ=-+可以作为应力函数，并求在区域0,x c y c -区
域内的应力分量，并分析该应力函数可以解决那类平面问题。
7．如图所示矩形截面柱承受偏心载荷作用，且不计其重量，若应力函数32
Ax Bx ϕ=+，试 求：
（1）应力分量；（2）应变分量；（3）假设D 点不移动，且该点处截面内线单元不能转动（0,0
0x y u y ==⎛⎫
∂=
⎪
∂⎝⎭），求位移分量 x
23
23w a x a x =+
8、图示三角形截面梁只受重力作用，梁的质量密度为ρ，宽度为1，试用纯三次应力函数求解各应力分梁。
9.如图所示的楔形体两侧面上受有均布切向载荷q ，试求其应力分量。
10.已知一圆形薄管，平均半径为a,厚度为t,在薄管的两端受有拉力p 和扭矩T 作用，写出管内一点处的Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件表达式。
y
11．如图所示的矩形薄板OABC ，OA 边与BC 边为简支边，OC 边与AB 边为自由边。
板不受横向荷载，但在两个简支边上受大小相等而方向相反的均布弯矩M 。
试证，为了将薄板弯成柱面，即w =f (x )，必须在自由边上施加以均布弯矩νM 。
并求挠度和反力。
12．如图所示的矩形板，使用板的挠度表示相应的边界条件。
13、试证明用位移表示的平衡方程为
,,()0i jj i i Gu G X λ++Θ+= 其中 ii u v w x y z
ε∂∂∂Θ=
++=∂∂∂为体积应变 （提示广义胡克定律的另外一种表达形式为
2ij ij kk ij G σελεδ=+）
14、试以矩形薄板（第12题）为例说明自由边等效剪力的含义。
x
y。