弹塑性力学基础知识复习
弹塑性力学复习-1
二、计算题
1.已知一点的应力
500 σij = -100
-100
-100 400
0
-100
0
MPa
400
计算（1）主应力 （2）主方向 （3）最大切应力 （3）正八面体上的正应力 （4）正八面体上的切应力 （5）正八面体上的全应力
2.已知一点的应变
u (x1 x2 )2 e1 (x2 x3 )2 e2 x1x2e3
解(1): 管的两端是自由的应力状态
1 6
[(1
2
)2
(
2
3 )2
(
3
1)2
]
2 s
(Mises)
1 3 2 s (Tresca)
1
pR t
,
2
z
0, 3
r
0, zr
r
z
0
1 6
[(
pR t
)2
(
pR t
一、概念题
1.若物体内一点的位移均为零，则该点的应变也 为零。
2.在x为常数直线上，u=0，则沿该线必有 x 0 。 34..在满足y为平常衡数微直分线方上程，又u满=0足，力则边沿界该条线件必的有应 x力 0是。
否是实际应力。 5.应变状态 x k(x2 y2 ), y ky2, xy 2kxy 不可能存在。 6.若 是平面调和函数，1 (x2 y2 ) 是否可以作为
应力函数。
一、概念题
7.平面应力与平面应变主要的异同是什么。 8.切应变的含义是什么。 9.变形协调方程的物理意义是什么。 10.应力主轴与应变主轴在什么情况下重合。 11.什么是横向各向同性材料。 12.受内压压圆环（筒）的应力分析 。 13.逆解法、半逆解法的理论依据是什么？为什么？ 14.为什么最小势能原理等价于平衡方程与应力边 界条件？ 15.里兹法与伽辽金法的近似性表现在哪里？
弹塑性力学基本知识
1 2 sij sij
（16）
八面体剪应变：γ 8 =
4 3 eijeij
（17）
八面体剪应力：τ8 =
1 3 sij sij
=
2 3 J2
八面体上任一面上的正应力：
N
= σ ij ni n j
=
1 3
(σ
1
+σ2
+σ3)
该面上的剪应力：
t8 =
TiTi
− N2
=
1 3
(σ1
−σ
2
)2
+
(σ 2
−σ 3
3J 2
（12）
对于任意的应力增量
dσ
ij
，若产生塑性应变增量
dε
p ij
，其偏量为
deipj
，累积塑性应变增量：
dε p =
2 3
deipj
deipj
塑性功增量： dW
p
=
σ
ij
dε
p ij
（13） （14）
等效剪应变（或剪应变强度）：Γ = 2eijeij
（15）
等效剪应力（或剪应力强度）：T =
f = 0;
⎧ ∂f
∂f
⎪ ⎪
∂σ
ij
Lijkl
∂σ kl
>0
⎪⎪ ∂f
⎨ ⎪
∂σ
ij
Lijkl
∂f ∂σ kl
)2
+
(σ 3
−
σ 1
)2
剪切模量：G
=
2
E
(1 +
v)
（注意：只对各向同性材料有效；）
（18）
（19） （20） （21）
弹塑性力学第一章弹塑性力学绪论资料
１、弹塑性本构关系
本构关系是指材料内任意一点的应力－应变之间的关 系，是材料本身的物理特性所决定的。弹性本构关系 是广义胡克定律，而塑性本构关系远比弹性本构关系 复杂。在不同的加载条件下要服从不同的塑性本构关 系。塑性本构关系有增量理论和全量理论。
6
２．研究荷载作用下物体内任意一点的应力和变形 在荷载作用下，物体内会产生内力，因此通常
广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支：
各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性
弹性力学，考虑温度影响的热弹性力学，研究固体同气
体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以及粘
弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。
此外，还建立了弹性力学广义变分原理。这些新领域的
发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的
弹塑性力学
1
第一章 绪 论
§1-1 弹塑性力学基本概念和主要任务 §1-2 弹塑性力学的发展史
§1-3 基本假设及试验资料 §1-4 简化模型
2
1.1 弹塑性力学基本概念和主要任务
一、弹性（塑性）变形，弹性（塑性）阶段
可变形固体在外力作用下将发生变形。根据变形 的特点，固体在受力过程中的力学行为可分为两个明 显不同的阶段：当外力小于某一极限值（通常称为弹 性极限荷载）时，在引起变形的外力卸除后，固体能 完全恢复原来的形状，这种能恢复的变形称为弹性变 形，固体只产生弹性变形的阶段称为弹性阶段；外力 超过弹性极限荷载，这时再卸除荷载，固体将不能恢 复原状，其中有一部分不能消失的变形被保留下来， 这种保留下来的永久变形就称为塑性变形，这一阶段 称为塑性阶段。
10
在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。
弹塑性力学复习重点
1.弹性力学的研究内容、研究对象和研究任务？基本假设？弹性力学与材料力学和结构力学的区别？弹性力学解的唯一性定理？答：弹性力学的研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移；弹性力学主要研究对象为，非杆状的结构（如板、壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构）以及杆状构建的进一步精确分析；弹性力学的研究任务是分析各种结构物或构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。
弹性力学的基本假设有5个，分别是连续性假设、完全弹性体假设、物体均匀假设、物体各向同性假设以及微小位移和变形假设。
材料力学‐‐研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。
求得是一种近似解。
结构力学‐‐在材料力学基础上研究杆系结构（如 桁架、刚架等）。
弹性力学‐‐研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。
弹性力学解的解的唯一性定理：弹性体在给定体力、面力和约束条件的情况下而处于平衡时，体内各点的应力分量、应变分量的解释唯一的。
2.应力状态、应力分量、应力张量、应力张量的三个不变量的物理意义是什么？ 体积改变和形状改变定理是什么？偏应力第二不变量J2的物理含义是什么？ 答：应力状态：物体内同一点各方位上的应力情况。
应力分量：为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解，即为应力分量。
过M 点分别于三个坐标轴相垂直的微面上的应力状况，共有9个分量，统称为一点的应力分量。
应力张量：描述一点的应力状态的张量（数学表示）。
把应力分量作为一个整体用矩阵表示为一个整体称为应力张量应力张量的三个不变量J 1、J 2、J 3：物理意义：当坐标改变时，每一应力分量都将改变，但这三个量不变。
应力张量是二阶对称张量，因此它存在三个不变量，分别用J 1、J 2、J 3表示。
J 1 应力张量的主元之和 在弹性体内任一点，任何三个垂直方向上的正应力之和为一个常数。
工程弹塑性力学题库及答案
，而应变
，试证明当体积不变
证毕！
5.3 对于线性弹塑性随动强化模型，若 （1）、已知给定应力路径为 （2）、已知给定应变路径为
，试求 ，求对应的应变值。 ，求对应的应力值。
（1）解：①、 ， ；②、
，
③、 ，
；④、
，
⑤、 ，
（2）解：①、 ， ；②、
，
③、 ，
；
④、
，
⑤、 ，
5.4 在拉伸试验中，伸长率为
Mises 屈服条件：
故有
6.5 试用 Lode 应力参数 表达 Mises 屈服条件。 解：由定义：
即 Mises 屈服条件为 将上式代入，得：
即：
6.6 物体中某点的应力状态为
，该物体在单向拉伸
时
，试用 Mises 和 Tresca 屈服条件分别判断该点是处于弹性
状态还是塑性状态，如主应力方向均作相反的改变（即同值异号），则对被 研究点所处状态的判断有无变化? 解：（1）Mises 屈服条件判断
6.8证明下列等式： （1）、 证明：（1）、右边
（2）、
=左边
证毕！
（2）、
证毕！
6.9 设 、 、 为应力偏量，试证明用应力偏量表示 Mises 屈服条件时，其形式为
，提示：
证明：Mises 屈服条件：
，
，
又 又
证毕！
第七章 塑性本构关系
7.1 塑性全量理论的成立条件： 解：（1）应力主方向与应变主方向是重合的，即应力 Mohr 圆与应变 Mohr 圆相 似，应力 Load 参数 和应变 Load 参数 相等，而且在整个加载过程中主方向
力为多大，并求此时塑性应变增量的比。
解：设扭转剪应力 入 Mises 屈服条件，得
第一章弹塑性力学基础
i 1
的值从1到3变化。
xi 和 x j代表同一个矢量。
1.2.2 求和约定
求和约定在相关文献中都有详细的的介绍，下面只举一个小的例子， 考虑下边方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
' 三阶张量： Gijk liml jnlkpGmnp
张量可以有任意阶，从以上表达式中可以明显得出一般的变换规则。 由于受笛卡尔坐标系的限制，所以所有这些张量均成为笛卡尔张量。
1.2.7 张量性质
张量的运算法则与矢量相类似，如张量相等即对应分量相等；张 量相加即对应分量相加；张量相乘构成一个新的张量，通常其阶数是 原张量的阶数之和；n阶张量缩并后变为n-2阶张量等等。下面简单的 举例说明: 1. 一个张量在一个坐标系中的所有分量都为0，则在所有坐标系中 的所有分量都为0。这个论述在减少数学和物理证明方面很有帮助， 如：要考虑 Fi 导致的应力 ij ，以后将证明，为满足平衡 ij, j Fi ， 现将它重写为Di ij, j Fi 0，因为 Di 是零矢量，因此只需在一个 坐标系中证明即可。 2.一个三阶张量与一个二阶张量相乘，构成一个五阶张量。
令 所以
3.三阶张量缩并成一阶张量
证明： 因为 所以 又因为 所以
' Aijk Arst lri lsj ltk
' Aiik Arst lri lsi ltk
lri lsi rs
' Aiik Arst rs ltk
又
1 0 0 rs 0 1 0 0 0 1
弹塑性力学总复习
弹塑性⼒学总复习《弹塑性⼒学》课程第⼀篇基础理论部分第⼀章应⼒状态理论1.1 基本概念1．应⼒的概念应⼒：微分⾯上内⼒的分布集度。
从数学上看，应⼒sPF s ??=→?0lim ν由于微分⾯上的应⼒是⼀个⽮量，因此，它可以分解成微分⾯法线⽅向的正应⼒νσ和微分⾯上的剪应⼒ντ。
注意弹塑性⼒学中正应⼒和剪应⼒的正负号规定。
2．⼀点的应⼒状态（1）⼀点的应⼒状态概念凡提到应⼒，必须同时指明它是对物体内哪⼀点并过该点的哪⼀个微分⾯。
物体内同⼀点各微分⾯上的应⼒情况，称为该点的应⼒状态。
（2）应⼒张量物体内任⼀点不同微分⾯上的应⼒情况⼀般是不同的，这就产⽣了⼀个如何描绘⼀点的应⼒状态的问题。
应⼒张量概念的提出，就是为了解决这个问题。
在直⾓坐标系⾥，⼀点的应⼒张量可表⽰为=z zy zx yz yyx xz xy x ij στττστττσσ若已知⼀点的应⼒张量，则过该点任意微分⾯ν上的应⼒⽮量p就可以由以下公式求出：n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++=（1-1’b ）n m l p z zy zx z σττν++=（1-1’c ）由式（1-1），还可进⼀步求出该微分⾯上的总应⼒p 、正应⼒νσ和剪应⼒v τ： 222z y x p p p p ++=（1-2a ）nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++=22ννστ-=p（1-2c ）（3）主平⾯、主⽅向与主应⼒由⼀点的应⼒状态概念可知，通过物体内任⼀点都可能存在这样的微分⾯：在该微分⾯上，只有正应⼒，⽽剪应⼒为零。
这样的微分⾯即称为主平⾯，该⾯的法线⽅向即称为主⽅向，相应的正应⼒称为主应⼒。
主应⼒、主⽅向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题：}{}]{[i n i ij n n σσ=（1-3）式中，][ij σ为该点应⼒张量分量构成的矩阵，n σ为主应⼒，}{i n 为主⽅向⽮量。
弹塑性力学基础
2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；
3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠
进行度量。
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四、 弹塑性力学的基本任务
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
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3.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
（I-4） （I-5）
★ 关于求和标号，即哑标有：
◆ 求和标号可任意变换字母表示。
◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
优先求和。例：
aii 2 a121 a222 a323 (aii )2 (a11 a22 a33 )2
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◆ 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直
观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间 可由坐标变换关系式来解决定义。
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2.下标记号法
◆ 在张量的讨论中，都采用下标字母符号，来表
示和区别该张量的所有分量。
◆ 不重复出现的下标符号称为自由标号。自由标
号在其方程内只罗列不求和。以自由标号的数 量确定张量的阶次。
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如果作用于刚体上的一力系可用另一力系来代替，而不改变
刚体的运动状态，则此两力系称为等效力系(equivalent force
system)，记为
(F 1 ,F 2 , ,F n ) ( G 1 ,G 2 , ,G m )
如果一个力与一个力系等效则这个力称为该力系的合力
(resultant force)，原力系中的各个力称为其合力的分力
体是处于静止状态还是运动状态，它都普通适用。由作用与 反作用定律可知，力总是成对出现的，有作用力必有反作用 力。必须注意，作用力和反作用力不是作用在同一物体上而 是分别作用于两个相互作用的不同的物体上，因此，尽管二 者大小相等，方向相反，沿同一作用线，但不能相互平衡。 一定要把作用与反作用定律和二力平衡公理严格区别开来。
推论2 三力平衡必汇交定理 当刚体受三力作用而平衡时，若其中两力作用线相交于一
点，则第三个力作用线必通过另两力作用线的交点，且三个力 的作用线在同一平面内。
公理4 作用力与反作用力定律 两物体间的相互作用力总是大小相等、方向相反，沿同
一直线，分别作用在两个物体上。 这一定律概括了任何两物体间相互作用的关系，不论物
公理5 刚化原理 若将处于平衡状态的变形体刚化为刚体，则平衡状态保持
不变。如图1-5所示，把链条刚化为刚杆其平衡状态不变。
图1-5 力的刚化原理
此公理说明当变形体处于平衡时，其作用力之间的关系可 以用刚体的平衡条件研究。在静力学虽然研究对象是刚体，但 常常需要分析几个刚体组合而成的变形体的平衡，此时需要应 用刚化原理把可变形系统刚化为一个刚体系统。
道 和 构成F 力偶F， 此力偶称为附加力偶，即
(F ) (F ,F ,F ) (M ,F )
图 力的平移
由上述过程可以知道，附加的力偶其力偶矩大小恰等于 原来的力对新作用点的矩，即 MMo(F)
可见作用于刚体上的力均可从原来的作用点平行地移至 同一刚体内任意一点，为不改变原力对刚体的作用效应，必 须附加一力偶，该附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的 力矩，这称为力的平移定理。
证明：
FF1 F2
(F )(F ,F 1,F 2)(F 1)
由推论1可知：对于刚体来说，作用点并不重要，对力的 作用效果有影响的是力的作用线，因而，对刚体来说，力的 三要素是大小、方向和作用线(line of action)，力是滑动 矢量。在这里应该指出，力的可传性仅适用于研究力的运动 效应，而不适用于研究力的变形效应，原因读者可自行思考。
第一节 静力学基本概念
1 力的基本概念、性质
力(force)是物体间的相互机械作用，这种作用可使物体的 运动状态和形状发生改变。改变物体运动状态的效应叫外效 应，也叫运动效应，改变物体形状的效应叫内效应，也叫变 形效应。在本篇内容当中我们主要关注其外效应即运动效应
实践证明，力对物体的效应取决于力的大小、方向和作用点 (point of action)，这三者称为力的三要素。三要素中任何 一个要素的改变都将引起力对物体效应的改变。
第二节 力的平移定理
力的平移定理是简化复杂力系的基础。
如图，把作用在刚体上A 点的力平行移动到刚体上的O点，
力对刚体的作用效果是否会改变，如果变，则变化如何呢？我们在刚体上的O点加一对由 和 F组 成的F平 衡力，并
且
F 根F 据 加F 减平衡力系公理这并不会改变原力系
对刚体的作用效果，那么利用刚学过的力偶的知识，我们知
力具有大小、方向，符合矢量的加法规则，因此力可以 用矢量描述，如图1-1所示，矢量 F
F 的长度表示力的大小，方位和指向表示力的方向，起点 （或终点）表示力的作用点。在国际单位制（SI）中，力的单 位是牛顿（N）。
图11 力示意图
力系(system of forces)是作用在物体上的一群力，记为 (F1,F2, ,Fn) 。如果物体在一力系的作用下保持平衡状态， 则称该力系为平衡力系。
公理3 力的平行四边形法则(parallelogram rule) 作用于物体上某一点的两力，可以合成为一个合力，合
力亦作用于该点上，合力的大小和方向可由这两个力为邻边 所构成的平行四边形的对角线确定。
如图1-4 a所示，合力矢等于这两个分力矢的矢量和，即 FF1 F2 为了简化计算，通常只需画出半个平行四边形，即 三角形就可以了，如图1-4b、c。由只表示力的大小和方向的 分力矢和合力矢所构成的三角形称为力三角形(force triangle)，这种求合力矢的方法称为力的三角形法则。
FF iF i
MMi
我们称空间力系各力的矢量和 F 为力系的主矢(principle vector)，各力对简化中心矩的矢量和 M o 为主矩(principle moment)，从简化过程和结果不难看出，主矢和简化中心位 置无关，而主矩则和简化中心位置有关。
图1-2 二力构件
公理2 加减平衡力系公理 在作用于刚体的已知力系中加上或减去任何平衡力系，并
不改变原力系对刚体的效应。 这个公理是力系等效替换的理论依据。
推论1 力的可传性 作用于刚体上的力可沿其作用线移至同一刚体内任意一点，并
不改变其对于刚体的效应。 结合图1-3简单证明如下
图1-3 力的可传性证明图
(component force)。
2 静力学公理
公理1 二力平衡公理 作用在刚体上的二力使刚体平衡的充要条件是：大小相等、
方向相反、作用在一条直线上。 必须指出，这个公理只适用于刚体。对于变形体来说，公
理1给出的平衡条件是不充分的。工程上常遇到只受两个力作 用而保持平衡的构件，称为二力构件或二力杆。根据公理1， 作用于二力构件上的两力必沿两力作用点的连线。如图1-2所 示。
第三节 任意力系的简化
1 空间任意力系的简化 力的作用线成任意状态分布且不共面的一群力称为空间任
意力系，简称空间力系。
图 任意力系简化
如上图所示，刚体上作用空间力系 (F1,F2, Fn)，选O为
简化中心。 首先把各力平移到简化中心O，为了不改变原力对刚体
的作用效应，每个力在平移后都要附加力偶，这样就得到一 个空间汇交力系 (F1,F2, Fn和) 空间力偶系 M 1,M 2, M n 如图2-22b 所示，利用前面学过的知识知道，力系简化得到