弹塑性力学讲义第十一章塑性力学基础知识
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弹塑性力学部分讲义（ＰＤＦ）
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
工程弹塑性力学课件
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
弹塑性力学讲义 第一章绪论
i 1 j 1
3
每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢） ，称为二阶 张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。 5.2 求和约定 在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量， 为了书写简捷，采用求和约定。 求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取 值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。如：
e1 e2 a2 b2 e3
a b ai ei b j e j ai b j eijk ek ai b j ekij ek ， 则
c c k eijk ai b j ekij ai b j ， a b a1 b1
ij
自动消失。ij 也称为换标符号。
eijk ( i,j,k =1,2,3)
定义： eijk
共有 27 个元素。
1 若(i , j , k ) (1,2,3)或 ( 2,3,1)或 (3,1,2)时 正排列顺序 －1 若(i , j , k ) ( 2,1,3)或（1， 3， 2）或（3， 2， 1）时 逆排列顺序 0 若 i , j , k中任意两指标相同时
(i=1,2,3)，用 ri 表示矢径；
同样位移矢量 u，用 ui 表示位移，ij 表示应力
张量。
xi aij y j
i
x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3 x2 a21 y1 a22 y2 a23 y3 x a y a y a y 31 1 32 2 33 3 3
矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量
3
每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢） ，称为二阶 张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。 5.2 求和约定 在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量， 为了书写简捷，采用求和约定。 求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取 值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。如：
e1 e2 a2 b2 e3
a b ai ei b j e j ai b j eijk ek ai b j ekij ek ， 则
c c k eijk ai b j ekij ai b j ， a b a1 b1
ij
自动消失。ij 也称为换标符号。
eijk ( i,j,k =1,2,3)
定义： eijk
共有 27 个元素。
1 若(i , j , k ) (1,2,3)或 ( 2,3,1)或 (3,1,2)时 正排列顺序 －1 若(i , j , k ) ( 2,1,3)或（1， 3， 2）或（3， 2， 1）时 逆排列顺序 0 若 i , j , k中任意两指标相同时
(i=1,2,3)，用 ri 表示矢径；
同样位移矢量 u，用 ui 表示位移，ij 表示应力
张量。
xi aij y j
i
x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3 x2 a21 y1 a22 y2 a23 y3 x a y a y a y 31 1 32 2 33 3 3
矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量
《弹塑性力学》第十一章塑性力学基础
几何方程
描述了塑性变形过程中应变和位移之 间的关系，是塑性力学的基本方程之 一。
塑性变形的增量理论
流动法则
描述了塑性变形过程中应力和应变增量之间的关系，是增量理论的核心。
屈服准则
描述了材料在受力达到屈服点时的行为，是增量理论的重要概念。
塑性变形的全量理论
全量应力和全量应变
描述了塑性变形过程中应力和应变的 状态，是全量理论的基本概念。
100%
材料性能
塑性力学为材料性能的描述提供 了理论基础，有助于深入了解材 料的变形和破坏行为。
80%
科学基础
塑性力学是连续介质力学的一个 重要分支，为研究物质宏观性质 的变化规律提供了科学基础。
塑性力学的发展历程
初创期
塑性力学作为独立学科始于20 世纪初，初期主要研究简单的 应力状态和理想塑性材料。
有限元法的优点在于其灵活性和通用性，可以处 理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种类型 的塑性变形问题。
然而，有限元法在处理大规模问题时可能会遇到 计算效率和精度方面的问题，需要进一步优化算 法和网格划分技术。
边界元法在塑性力学中的应用
01
02
03
04
边界元法是一种仅在边界上离 散化的数值方法，通过将问题 转化为边界积分方程来求解。
发展期
随着实验技术的进步，塑性力 学在20世纪中叶得到了快速发 展，开始涉及更复杂的材料和 应力状态。
深化期
进入20世纪末至今，塑性力学 与计算机技术、先进材料等交 叉融合，研究领域不断扩大和 深化。
塑性力学的基本假设
02
01
03
连续性
材料内部是连续的，没有空洞或缝隙。
塑性变形不可逆
塑性变形发生后，不会消失或还原。
描述了塑性变形过程中应变和位移之 间的关系，是塑性力学的基本方程之 一。
塑性变形的增量理论
流动法则
描述了塑性变形过程中应力和应变增量之间的关系，是增量理论的核心。
屈服准则
描述了材料在受力达到屈服点时的行为，是增量理论的重要概念。
塑性变形的全量理论
全量应力和全量应变
描述了塑性变形过程中应力和应变的 状态，是全量理论的基本概念。
100%
材料性能
塑性力学为材料性能的描述提供 了理论基础，有助于深入了解材 料的变形和破坏行为。
80%
科学基础
塑性力学是连续介质力学的一个 重要分支，为研究物质宏观性质 的变化规律提供了科学基础。
塑性力学的发展历程
初创期
塑性力学作为独立学科始于20 世纪初，初期主要研究简单的 应力状态和理想塑性材料。
有限元法的优点在于其灵活性和通用性，可以处 理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种类型 的塑性变形问题。
然而，有限元法在处理大规模问题时可能会遇到 计算效率和精度方面的问题，需要进一步优化算 法和网格划分技术。
边界元法在塑性力学中的应用
01
02
03
04
边界元法是一种仅在边界上离 散化的数值方法，通过将问题 转化为边界积分方程来求解。
发展期
随着实验技术的进步，塑性力 学在20世纪中叶得到了快速发 展，开始涉及更复杂的材料和 应力状态。
深化期
进入20世纪末至今，塑性力学 与计算机技术、先进材料等交 叉融合，研究领域不断扩大和 深化。
塑性力学的基本假设
02
01
03
连续性
材料内部是连续的，没有空洞或缝隙。
塑性变形不可逆
塑性变形发生后，不会消失或还原。
弹塑性力学基本知识
dε p =
塑性功增量： dW = σ ij dε ij
p p
2 p p deij deij 3
（13） （14）
等效剪应变 （或剪应变强度） ： Γ=
2eij eij
（15）
T = 等效剪应力 （或剪应力强度） ： 4 3 1 3
1 2
sij sij
（16）
八面体剪应变： γ8 =
eij eij 2 3
P dε ij = dλ1
∂f1 ∂σ ij
（49）
特殊情况， 若σ1 = σ 2 ≥ σ 3 ， 则应力状态处于 f1 = σ 2 − σ 3 − σ s = 0 和 f 2 = σ 1 − σ 3 − σ s = 0
的交点处，则：
dε iP = dλ1
z 硬化模型（三类） 等向硬化：
∂f1 ∂σ i
加载
中性变载
（37）
卸载
⎛ P ⎜ dε pq ∂f ∂g dσ ij = ⎜ 1 − i ∂σ ij ⎜ ∂ε pq ∂g dε mn ⎜ ∂ε mn ⎝
⎞ ⎟ ∂g ⎟ dε kl ⎟ ∂ε kl ⎟ ⎠
（条件：
∂g ∂ε ij
dε ij > 0 ）
（38）
注意：当材料处于硬化阶段时，采用
∂g ∂ε ij
第一、第二、第三偏应力不变张量：
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
（7）
J1 = skk = 0 J2 = 1 2
2 sij sij = I 2 + 3σ m
J 3 = det ( sij ) = sij s jk ski
第二偏应力不变张量：
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
（8）
J2 =
1
15第10章经典弹塑性本构关系、第11章岩土本构关系和第12章 弹塑性力学边值问题分析(第15讲)
A+
∂f ∂σ ij
Dijkl
∂g ∂σ kl
dσ ij
= Dijkl dε kl − Dijkl
∂g ∂σ kl
∂f ∂σ ij
Dijkl
A+
∂f ∂σ ij
Dijkl
∂g ∂σ kl
d ε kl
=
( Dijkl
−
Dijkl A+
∂g ∂σ kl ∂f ∂σ ij
∂f ∂σ ij
Dijkl
Dijkl
¾塑性应变εijp硬化定律： ¾塑性功Wp硬化定律： ¾ 塑性体应变εvp 硬化定律
2
¾塑性应变εijp硬化定律：
ξβ
=
ξβ
(ε
p ij
)
由
dΦ
= ∂Φ ∂σ ij
d σ ij
+ ∂Φ ∂ξβ
d ξβ
=
∂Φ ∂σ ij
d σ ij
+ ∂Φ ∂ξβ
∂ξβ
∂ε
p ij
dε
p ij
=0
得：
∂Φ ∂σ ij
=
dsij
/
2G,
dε
p ij
= deipj ,
dεm
=
1 3K
dσ
m
∂f / ∂sij = sij ,
dε
p ij
=
dλsij
展开为
dε
p x
=
dε
p y
=
dε
p z
=
dγ
p xy
=
dγ
p yz
=
dγ
p zx
=
dλ
sx
sy
第十一章塑性本构关系
其中：k
E
31 2
0
2 3
-体积模量
§11-2 加卸载判别准则
一、理想弹塑性材料
屈服面
当 d ij 与屈服面相切时，为加载，这时可发生 任意的塑性变形。当d ij 指向屈服面内时，则 为卸载，此时不产生新的塑性变形。
f ij 0, f ij dij 0 加载
,
E
2 1
8
当ξβ固定时，（3）式
11
1 E
11
22
33 ,23
1
E
23
化为应力率与应变率之 间的弹性关系：
11
1 E
22
33
11 ,31
1
E
31
rp
s
0 r rp
s rp r R
卸去的应力： （按弹性计算） e M pr
Mp
2R3 s
3
1
1 4
rp R
I
3
p
4r s
3R
1
ijp ，相应的应力为
3
ij
2
ij
ij
。最后，
再通过某一弹性卸载路径使应力由
3回到初值
ij
4
ij
1
ij
，此段材料未产
生新的塑性变形。
得不等式：
2
ij
《弹塑性力学》课件
结构弹塑性分析的方法包括有限元法、有限差分法、边界元法等数值计算 方法。
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在 不同应力状态下表现出的弹塑性性质 ，对于理解材料的力学行为和优化材 料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子 动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法， 可以研究材料的微观结构和宏观性能 之间的关系，预测材料的弹塑性行为 。
THANKS
感谢观看
弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结 构的复杂性，弹塑性力学应 用面临诸多挑战，如非线性 行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采 用先进的数值计算方法和实 验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将 弹塑性力学与计算机科学、 物理学等学科相结合，可以 推动工程实践中的弹塑性力 学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是一门研究材料在弹性和 塑性范围内行为的学科。它主要关注 材料在外力作用下发生的变形行为， 以及这种行为与材料内部应力、应变 的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在 不同应力状态下表现出的弹塑性性质 ，对于理解材料的力学行为和优化材 料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子 动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法， 可以研究材料的微观结构和宏观性能 之间的关系，预测材料的弹塑性行为 。
THANKS
感谢观看
弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结 构的复杂性，弹塑性力学应 用面临诸多挑战，如非线性 行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采 用先进的数值计算方法和实 验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将 弹塑性力学与计算机科学、 物理学等学科相结合，可以 推动工程实践中的弹塑性力 学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是一门研究材料在弹性和 塑性范围内行为的学科。它主要关注 材料在外力作用下发生的变形行为， 以及这种行为与材料内部应力、应变 的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。
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- ’s=0——后继屈服函数 ，而 ’s=’s( p)，
’s
B
s A
o
O’
p e
C
BC
A
’s s
o
O’
s’’
合金钢 -
包辛格效应
当卸载后，反向加载时，有些金属材料反映出反向加载的屈服极
限 ’’s s ——称为包辛格效应（Bauschinger. J. 德国人）。
,
y
或
Me
s
bh 2 6
——最大弹性弯矩
弹塑性阶段：Mp M Me
弯矩继续增大，截面
s
s
s
上塑性区域向中间扩展，
-
y0 -
-
塑性区域内的应力保持
不变，截面上弯矩为 M A x ydA
2b
+s
h/2 y0 +
s
y0 0
s
y y0
ydy
去压力后，体积变化可以恢复，金属不发生塑性变形。 2. 金属受静水压力和拉压联合作用与金属单独受拉压作用比
较，发现静水压力对初始屈服应力 s 没有影响。
结论：静水压力与塑性变形无关。
第二节 一维问题弹塑性分析
拉压杆的弹塑性问题
N1
EA
P
N2
x
图示为两端固定的等截面杆(超静定杆)， a
b
设材料为理想弹塑性材料，在 x=a 处
I
应力张量 ij 存在三个不变量 、 和 。
Ⅰ
ii ，
Ⅱ
1 2
(
2
ij ij ) ，
(
ij
jk ki )
类似、 和 的定义，。
1.可求应力偏量 sij 的三个不变量：
J1 sii s11 s22 s33 0
（b a）作用一逐渐增大的力 P。
s
平衡条件 : N1+N2=P
变形协调条件：a+b=0
o s
（1）弹性解：
当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为
a
N1a EA
,
b
N2b EA
，代入变形协调方程为
N1a N2b 0 EA EA
，
或
N2 N1 a b
由于 b a，所以 N1 N2 ，将 N 2 N1 a b 代入平衡方程。
s
Et (
s)
s
Et E
E (
s)
s E
Et
s (1
Et E
)
Et
s (1
)
Et
o s
Et E 1
线性强化弹塑性模型
在实际问题中当弹性应变 e p 塑性应变时，可忽略弹性变
形。
上述两种模型分别简化为： s 时, = 0
小结：
（1）在弹性阶段（ s）：= e 应力应变关系一一对应力。 （2）当应力达到初始屈服条件（ =s 时），材料进入弹塑性阶 段， = e+ p，应力－应变关系不再是一一对应关系，而要考虑加
载变形历史。
（3）对于有明显屈服流动且强化阶段较小的材料，屈服条件采
用初始屈服条件。对于无明显屈服流动且强化阶段较高的材料，将有
1 6
x y 2 y z 2 z x
2
1 4
2 xy
2 yz
2 zx
在主轴方向：
J
* 2
1 6
1
2 2
2
3 2
3
1 2
第三不变量：
e1 0
J
* 3
eij
0
e2
0
P Pe (1 a b)b Pa (P Pe )b
EA
EA(1 a b)
(3)塑性解：
P
N1=sA , N2=sA
Pp
则最大荷载 Pp=2sA——极限荷载 Pe
这时杆件变形显著增加， 丧失承载能力。
e
梁的弹塑性弯曲 1. 假设：
(1)材料为理想弹塑性;
s
(2)平截面假设(适用于 l h);
-s
(3) 截面上正应力 x 对变形影响为主要的;
2.梁具有两个对称轴截面的弹塑性弯曲:
(1) 梁的弯矩
M
x
M
在线弹性阶段
y
My
b
I
弹性极限状态（设矩形截面）: M=Me
h
z
在截面上 y=h/2 处，
max
s
Meh 2I
Me bh2 6
1 6
s11 s22 2 s22 s33 2 s33 s11 2 s122 s223 s321
0 s11 s22 s33 2 s121 s222 s323 2s11s22 2s22s33 2s33s11
J2
1 3
2 1
或
1 3J 2 e ——等效应力
对于三维应力状态，定义每一点应力状态都存在力学效应相同
的等效应力e
1
e
3J2
3 2
sij sij
主轴方向
2 2
1 2 2 2－3 2 3－12
1 3
s13
s
3 2
s33
0 0 s3
利用 s1 s2 s3 3 0
2.应变偏量 eij 的三个不变量：
第一不变量： J1* 0
第二不变量：
J
* 2
1 2
J
*2 1
eij eij
1 2
eij eij
1 6
e11 e22 2 e22 e33 2 e33 e11 2 e122 e223 e321
截面形状
1.5
1.7
1.15-1.17
（2）梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系
M=EI
( M Me ), 或
M EI
,
将应力与弯矩关系式 My 代入上式，可得 I
Ey
。
在弹塑性阶段，由于梁弯曲时截面仍然保持平面，可得
s Ey0
，
或
y0
s E
s
-
+
+ -
+
=
+
s
-
+-
s
M I
y
x
s
y0
y
M I
y
s
M I
y
y y0 y0 y y0
y y0
3.梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M
x
Mh
z
y b
h
y
y
F2
s
-
-
-
z
+
+ + F1
s
s
s
具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点：随着弯矩的增 大，中性轴的位置而变化。
y
x
h2
s
y y0
y0
s ydy
+
s
b
s
h2 4
y02 3
当
y0=h/2
时： M
Me
b
s
h2 4
h2 12
s
bh 6
2
——最大弹性弯矩
当
y0=0
时： M
M
p
s bh 2 4
——极限弯矩
令 =Mp/Me=1.5（矩形截面）—— 截面形状系数。
s =s
Et s+Et s
o
理想刚塑性模型
o
线性强化刚塑性模型
1.3 金属材料在静水压力实验： 前人（Bridgmen）对大量金属进行水压力实验及拉压和静水压力
联合实验，得到下列结果：
1. 在静水压力(高压) p 作用下，金属体积应变 e=V/V=p/k 成 正比，当 p 达到或超过金属材料的s 时，e 与 p 仍成正比；并且除
P = Pe 后，P 可继续增大，而 N1=sA 不增加（a 段进入塑
性屈服，但 b 段仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA 力 P 作用点的伸长取决于 b 段杆的变形
b
N2b EA
(P
s A)b EA
Pe s A(1 a b) , s A Pe (1 a b)
第十一章 塑性力学基础知识
第一节 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.1 单向拉压实验： 不同材料在单向拉压实验中，有不同的应力－应变曲线。
C
s A B
’s
BC
s A
o p ep e
’s
B
s A
o
O’
p e
C
BC
A
’s s
o
O’
s’’
合金钢 -
包辛格效应
当卸载后，反向加载时，有些金属材料反映出反向加载的屈服极
限 ’’s s ——称为包辛格效应（Bauschinger. J. 德国人）。
,
y
或
Me
s
bh 2 6
——最大弹性弯矩
弹塑性阶段：Mp M Me
弯矩继续增大，截面
s
s
s
上塑性区域向中间扩展，
-
y0 -
-
塑性区域内的应力保持
不变，截面上弯矩为 M A x ydA
2b
+s
h/2 y0 +
s
y0 0
s
y y0
ydy
去压力后，体积变化可以恢复，金属不发生塑性变形。 2. 金属受静水压力和拉压联合作用与金属单独受拉压作用比
较，发现静水压力对初始屈服应力 s 没有影响。
结论：静水压力与塑性变形无关。
第二节 一维问题弹塑性分析
拉压杆的弹塑性问题
N1
EA
P
N2
x
图示为两端固定的等截面杆(超静定杆)， a
b
设材料为理想弹塑性材料，在 x=a 处
I
应力张量 ij 存在三个不变量 、 和 。
Ⅰ
ii ，
Ⅱ
1 2
(
2
ij ij ) ，
(
ij
jk ki )
类似、 和 的定义，。
1.可求应力偏量 sij 的三个不变量：
J1 sii s11 s22 s33 0
（b a）作用一逐渐增大的力 P。
s
平衡条件 : N1+N2=P
变形协调条件：a+b=0
o s
（1）弹性解：
当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为
a
N1a EA
,
b
N2b EA
，代入变形协调方程为
N1a N2b 0 EA EA
，
或
N2 N1 a b
由于 b a，所以 N1 N2 ，将 N 2 N1 a b 代入平衡方程。
s
Et (
s)
s
Et E
E (
s)
s E
Et
s (1
Et E
)
Et
s (1
)
Et
o s
Et E 1
线性强化弹塑性模型
在实际问题中当弹性应变 e p 塑性应变时，可忽略弹性变
形。
上述两种模型分别简化为： s 时, = 0
小结：
（1）在弹性阶段（ s）：= e 应力应变关系一一对应力。 （2）当应力达到初始屈服条件（ =s 时），材料进入弹塑性阶 段， = e+ p，应力－应变关系不再是一一对应关系，而要考虑加
载变形历史。
（3）对于有明显屈服流动且强化阶段较小的材料，屈服条件采
用初始屈服条件。对于无明显屈服流动且强化阶段较高的材料，将有
1 6
x y 2 y z 2 z x
2
1 4
2 xy
2 yz
2 zx
在主轴方向：
J
* 2
1 6
1
2 2
2
3 2
3
1 2
第三不变量：
e1 0
J
* 3
eij
0
e2
0
P Pe (1 a b)b Pa (P Pe )b
EA
EA(1 a b)
(3)塑性解：
P
N1=sA , N2=sA
Pp
则最大荷载 Pp=2sA——极限荷载 Pe
这时杆件变形显著增加， 丧失承载能力。
e
梁的弹塑性弯曲 1. 假设：
(1)材料为理想弹塑性;
s
(2)平截面假设(适用于 l h);
-s
(3) 截面上正应力 x 对变形影响为主要的;
2.梁具有两个对称轴截面的弹塑性弯曲:
(1) 梁的弯矩
M
x
M
在线弹性阶段
y
My
b
I
弹性极限状态（设矩形截面）: M=Me
h
z
在截面上 y=h/2 处，
max
s
Meh 2I
Me bh2 6
1 6
s11 s22 2 s22 s33 2 s33 s11 2 s122 s223 s321
0 s11 s22 s33 2 s121 s222 s323 2s11s22 2s22s33 2s33s11
J2
1 3
2 1
或
1 3J 2 e ——等效应力
对于三维应力状态，定义每一点应力状态都存在力学效应相同
的等效应力e
1
e
3J2
3 2
sij sij
主轴方向
2 2
1 2 2 2－3 2 3－12
1 3
s13
s
3 2
s33
0 0 s3
利用 s1 s2 s3 3 0
2.应变偏量 eij 的三个不变量：
第一不变量： J1* 0
第二不变量：
J
* 2
1 2
J
*2 1
eij eij
1 2
eij eij
1 6
e11 e22 2 e22 e33 2 e33 e11 2 e122 e223 e321
截面形状
1.5
1.7
1.15-1.17
（2）梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系
M=EI
( M Me ), 或
M EI
,
将应力与弯矩关系式 My 代入上式，可得 I
Ey
。
在弹塑性阶段，由于梁弯曲时截面仍然保持平面，可得
s Ey0
，
或
y0
s E
s
-
+
+ -
+
=
+
s
-
+-
s
M I
y
x
s
y0
y
M I
y
s
M I
y
y y0 y0 y y0
y y0
3.梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M
x
Mh
z
y b
h
y
y
F2
s
-
-
-
z
+
+ + F1
s
s
s
具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点：随着弯矩的增 大，中性轴的位置而变化。
y
x
h2
s
y y0
y0
s ydy
+
s
b
s
h2 4
y02 3
当
y0=h/2
时： M
Me
b
s
h2 4
h2 12
s
bh 6
2
——最大弹性弯矩
当
y0=0
时： M
M
p
s bh 2 4
——极限弯矩
令 =Mp/Me=1.5（矩形截面）—— 截面形状系数。
s =s
Et s+Et s
o
理想刚塑性模型
o
线性强化刚塑性模型
1.3 金属材料在静水压力实验： 前人（Bridgmen）对大量金属进行水压力实验及拉压和静水压力
联合实验，得到下列结果：
1. 在静水压力(高压) p 作用下，金属体积应变 e=V/V=p/k 成 正比，当 p 达到或超过金属材料的s 时，e 与 p 仍成正比；并且除
P = Pe 后，P 可继续增大，而 N1=sA 不增加（a 段进入塑
性屈服，但 b 段仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA 力 P 作用点的伸长取决于 b 段杆的变形
b
N2b EA
(P
s A)b EA
Pe s A(1 a b) , s A Pe (1 a b)
第十一章 塑性力学基础知识
第一节 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.1 单向拉压实验： 不同材料在单向拉压实验中，有不同的应力－应变曲线。
C
s A B
’s
BC
s A
o p ep e