弹塑性力学基础翻译-第七章
弹塑性力学-07-文档资料18页
其中
为
ij
kronecker
（克罗内科积）
有
ij
1
0
i j i j
23.09.2019
谢谢！
xiexie!
23.09.2019
2、张量的表示法：有三种
设ai及bi为两个矢量，定 的义 量 ai下 为 j 列 二阶张量，
（1）符号a法 (2)分量法（并矢 aijei法 e（ j e） iej不是矢量的点积）
（3）矩阵法a记 ij 或为aij
3、二阶张量的相加和相减
aijbijcij
x1 x2
c 11 c 21
y1 y1
c 12 c 22
y2 y2
c 13 y 3 c 23 y 3
x 3 c 31 y 1 c 32 y 2 c 33 y 3
23.09.2019
§7-2 张量的概念
一 、张 量
张量是表征一类物理性质（状态）或几何 性质的物理量或几何量，它包括诸如表征连续 介质的应变状态（应变率）和应力状态的量， 表征物理弹性性质的量，确定物体动力性质 （惯性矩）的量等等，也包括空间的各种几何 性质的张量。主要介绍笛卡尔张量的基本概念。
应变 x,y 分 ,z,x y 量 y,xy： z z,yzx xz
采用下标记法σ：ij,εij 这里，i 1,2,3、j 1,2,3 1 x,2 y,3 z
23.09.2019
写成矩阵的形式
11 21
12 22
1 23 3 x yx x
33
a ij b i c j
a ij b i c j
弹塑性力学第七章
r
E
1 2
( dur dr
ur ) r
E
1 2
(ur r
dur ) dr
d 2ur dr 2
1 r
dur dr
ur r2
(1 2 )
E
fr
0
d dr
1 r
d dr
(rur )
(1 2 )
E
fr
0
2020/3/3
24
§7-2 轴对称问题
( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2+D
2020/3/3
33
§7-2 轴对称问题
其中A、B、C、D为任意常数，D可去掉。
将 (r) 代入应力分量与应力函数的关系式，
可得平面应力、平面应变问题应力表达式：
r
1 d A B(1 2 ln r) 2C
)
x
ur r
1 E
(
r )
y
将应力分量表达代入几何方程的第二式，得
2020/3/3
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§7-2 轴对称问题
ur
r E
(
r )
1 E
(1 )
A r
Br3
r Fr
（在
s
上） ）
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§7-2 轴对称问题
7.按应力函数求解
当无体力时应力法基本方程为：
d r
dr
r
r
塑性力学基础
过B点，BC段应力和应变同步增长，称为强化阶段，段内任
一沿点平旳行斜于率OAE旳1称直为线强途化径模回量到。E在点段，内产任生一塑点性（应如变D p点；）卸载， 将
再从E点加载，将沿ED直线途径， 到D点后再次屈服。
D点相应旳应力值s称为后继屈服
极限。可了解为二次加载旳屈服极
s
DC
限，故又称加载应力或加载点。
对于单向拉伸，其屈服条件显然是 s 。
为便于数学体现可改写为 s 0
f ( , k) 0
称为屈服函数，其中 是应力状态（系变量随外荷载变化），
k 是控制参数（系常量是材料旳固有属性，在此 k s ）。
对于复杂应力状态ij，物体上某点旳屈服显然是由六个应
力分量共同作用之成果。其屈服函数仿上可写为 显然，s s ，屈服极限升高， s
故称强化。但其升高旳程度取决于
塑性变形程度（即加载变形历史）。
D点旳应变
p e
E
O
p
e
对于压缩试验，假如在屈服后
无卸载，与拉伸性质相同。 对于无明显屈服阶段旳材料（如 s
合金钢），可取 p 0.2% 时旳应力值作为初始屈服极限。
（4）反向加载与鲍辛格效应
假如在屈服后（如D点）卸载，并反向加载，对于某些材 料，反向屈服极限将有所降低。 s s s s 2s （绝对值）
为何？各分量旳作用怎样？
2. 加载条件
用以判断某点应力状态旳变化过程是否是加载过程旳准则。 仅判断出某点处于塑性状态不足以判断之后旳应力应变关 系应选用塑性关系或是弹性关系，需判断其过程是加载还是卸
载。对于单向应力状态仅需用 d or 0 判断之。
3. 强化条件
用以判断某点应力状态是否是再次屈服旳准则。
弹塑性力学 第07章平面问题的极坐标解答
ϕ 改变，即与 ϕ 无关。由此可见，凡是轴
对称问题，总是使自变称的 物理量不能存在。
考擦应力函数 U 与 ϕ 无关的一种特殊情况，即轴对称， 此时极坐标形式的双调和方程变成常微分方程 ⎛ ∂2 1 ∂ 1 ∂ 2 ⎞⎛ ∂ 2U 1 ∂U 1 ∂ 2U ⎞ ⎜ ⎜ ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂ϕ 2 ⎟ ⎟⎜ ⎜ ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂ϕ 2 ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ d2 1 d ⎞⎛ d 2U 1 dU ⎞ ⎜ ⎜ d ρ 2 + ρ dρ ⎟ ⎟⎜ ⎜ dρ 2 + ρ dρ ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠⎝ ⎠
τ ρϕ = τ ϕρ
∂ ⎛ 1 ∂U ⎞ 1 ∂ 2U 1 ∂U ⎜ ⎟ =− + 2 =− ⎜ ∂ρ ⎝ ρ ∂ϕ ⎟ ρ ∂ρ∂ϕ ρ ∂ϕ ⎠
¾极坐标系中边界条件的处理： ①、对于由径向线和环向线所围成的弹性体，其边界面通常 均为坐标面，即ρ 面（ρ 为常数）和 ϕ 面（ϕ 为常数），使 边界的表示变得十分简单，所以边界条件也十分简单。 ②、对于应力边界条件，通常给定径向和切向面力值，可直 接与对应的应力分量建立等式（注意符号规定） 应力边界条件：
¾平面问题极坐标形式的几何方程
ερ =
∂u ρ
∂ρ u ρ 1 ∂uϕ εϕ = + ρ ρ ∂ϕ 1 ∂u ρ ∂uϕ uϕ + − γ ρϕ = ρ ∂ϕ ∂ρ ρ
平 面 应 变 问 题
⎧ 1 ⎪ε ρ = (σ ρ −ν 1σ ϕ ) E1 ⎪ ⎪ 1 ⎨ε ϕ = (σ ϕ −ν 1σ ρ ) E1 ⎪ ⎪ 2(1 +ν 1 ) γ τ ρϕ = ⎪ ρϕ E1 ⎩
¾平面问题极坐标形式的物理方程 平 面 应 力 问 题
弹塑性_塑性力学基本方程和解法
在加载过程中物体各点处的偏应力分量 sij 保持比例不变。在工程允许精度下，也可推
广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材
料大量试验的验证。
z 强化规律 对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服
变形， Hα 也不变，于是
∂f ∂σ ij
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图 7.7b），即，在强化过程中，屈
服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。还有些材料
在强化过程中随动强化与等向强化同时发生，称为混合强化。
由于在应力和强化参数空间中，表示应力状态的应力点只可能位于后继屈服面
（或加载面）上或其内，不可能位于曲面之外，若加载面是一个正则曲面，则有
⎯2⎯
研究生学位课弹塑性力学电子讲义
姚振汉
⎧ε = 0 ⎨⎩σ = σ s
当 σ <σs 当 ε >0
(2)
图 7.5 理想弹塑性和刚塑性
当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化 弹塑性模型来近似：
⎧σ = Eε
⎨⎩σ = σ s +E1 (ε − εs )
当 ε ≤εs 当 ε >εs
(5)
⎯3⎯
第七章 塑性力学的基本方程与解法
其中 k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的σ s 确定， k = σ s 2 。当不能确定主应力的 排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态 的应力空间为
σ1 −σ 2 ≤ 2k, σ 2 −σ 3 ≤ 2k, σ 3 −σ1 ≤ 2k
第七章 本构-极限状态理论
Void Ratio, e
OC
NC
CSL
NC
CSL
P o'
P f'
Log P '
Shear stress t Du
Effective stress P '
CSL
tanf'
Stress Path No. 3 Undrained OC Soil: e0, svo’, and OCR
Stress Path: DV/V0 = 0
CS NC CSL
P c'
Void Ratio, e
k NC CSL
P c'
Log P '
k k e ve log ln 1 e0 p0 1 e0 p0
Cc / 2.303
假设： 1、回弹线、再压缩线代表的是弹性变形； 2、剪切变形全部为塑性变形，也就是讲， 弹性变形只包括体积变形。这样，根据弹性理 论，弹性变形的大小只与p的大小有关，而与q 的大小无关。
按照经典塑性力学的加卸 载条件，应力沿着屈服面 运动属于中性变载，不应 当产生新的塑性变形。
CSL
Dv p 0
Dv 0
等体 积面
屈服面
状态边界面具有屈服面或 加载面的性质，但又与屈 服面或加载面不完全相同。
CSL YL
状态边界面上的应力路径 都将产生塑性剪应变和/ 或塑性体应变。屈服轨迹 上虽然不产生新的塑性体 应变，但仍然将产生新的 塑性剪应变。
e0, svo’, and OCR = sp’/svo’ where sp’ = svmax’ = Pc’ =
preconsolidation stress;
弹塑性力学讲义 第一章绪论
3
每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢） ，称为二阶 张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。 5.2 求和约定 在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量， 为了书写简捷，采用求和约定。 求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取 值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。如：
e1 e2 a2 b2 e3
a b ai ei b j e j ai b j eijk ek ai b j ekij ek ， 则
c c k eijk ai b j ekij ai b j ， a b a1 b1
ij
自动消失。ij 也称为换标符号。
eijk ( i,j,k =1,2,3)
定义： eijk
共有 27 个元素。
1 若(i , j , k ) (1,2,3)或 ( 2,3,1)或 (3,1,2)时 正排列顺序 －1 若(i , j , k ) ( 2,1,3)或（1， 3， 2）或（3， 2， 1）时 逆排列顺序 0 若 i , j , k中任意两指标相同时
(i=1,2,3)，用 ri 表示矢径；
同样位移矢量 u，用 ui 表示位移，ij 表示应力
张量。
xi aij y j
i
x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3 x2 a21 y1 a22 y2 a23 y3 x a y a y a y 31 1 32 2 33 3 3
矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量
第七章弹塑性断裂力学简介详解
； xy =0
5
sx =s y =s
a 2r
=
K1
2p r
； xy =0
对于平面问题，还有： yz=zx=0；
sz=0 sz=(sx+sy)
则裂纹线上任一点的主应力为：
平面应力 平面应变
s1 =s 2 =
K1
2p r
；
s3=20 K1/
2p r
平面应力 平面应变
塑性力学中，von Mises屈服条件为：
sys
B A
假定材料为弹性-理想塑性，
D K
屈服区内应力恒为sys，应力分
o rp
x
布应由实线AB与虚线BK表示。 a
与原线弹性解(虚线HK) 相比较，少了HB部分大 于sys的应力。
8
TAhBeHs区im域pl表e a示na弹ly性sis材as料ab中o存ve在is
sy H
n的ot力st，ric但tl因y c为or应re力ct 不be能cau超se过it屈was
(s1 -s 2 )2 + (s 2 - s 3 )2 + (s 3- s1)2=2 sy2s
6
将各主应力代入Mises屈服条件，得到：
K1 / 2p rp = s ys (1- 2)K1/ 2prp = s ys
(平面应力) (平面应变)
故塑性屈服区尺寸rp为：
rp=
1 2p
(
sKy1s)2
rp = 21p(sKy1s)2(1-2)2
线弹性断裂力学给出的裂纹尖端附近的应力趋于 无穷大。然而，事实上任何实际工程材料，都不 可能承受无穷大的应力作用。因此，裂尖附近的 材料必然要进入塑性，发生屈服。
2
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弹塑性力学基础翻译■第七章7、塑性7.1介绍两个基本因素控制弹性的发展，一个是加载过程的完全可逆性，当一个使物体产生应变的力消失，物体就立刻回到未加载力之前；第二个因素说明在荷载作用下物体的变形或者应变只取决于最终的应力，与加载过程和路径无关，因此弹性行为可以视为一个点函数，因为任何产生的应变可以通过初始应力、终了应力以及特定的比例常数来确定。
但是当塑性或者永久变形产生时这两个因素就不明显了。
为了产生塑性变形或者塑性流，应力必须超过屈服应力。
如果大大超过屈服应力，许多固体（比如延性金属）的变形或尺寸会一直打到一个很大的程度。
另外，当最终应变形成，一个应变元可以通过不同的加载方式使物体达到末状态，因此当荷载消失后不仅无法观测到像弹性一样的完全可逆现象，末状态也取决于荷载的加载过程而不只是初应力和末应力状态。
这个发现意味着塑性变形是一个过程函数，需要增量应变在应变过程上的累积来确定总的应变。
在研究塑性的时候至少可以采取三种很明显的方式。
1、在考虑应力应变分布满足规定的边界条件的情况下，通过材料的性质来建立理想模型。
这个被称作宏观塑性理论，很类似于长久以来的弹性理论。
2、应用于金属物理学的方法。
在这种方法中，实际固体中单晶体变形方式建立于研究的基础，通过一个物体内部联系从单晶体扩展到多晶体的聚集从而形成整个构件。
这种方法通常被工程师运用。
这个叫做微观塑性理论。
3、技术的方法。
通过寻求某些现象学的规则，运用实验观察实际物体材料在宏观尺寸上的数学表达式。
这确保在一般意义上的设计上可以预测材料的属性，这可能被叫做宏观工程塑性。
这种方法在本章中是重点。
7.2弹性和塑性的比较为了方便，许多上述的说明被总结成表格的形式。
在这种方式有个直接的比较，很明显的揭示了这两种性质的主要区别。
由于屈服的开始和表现是我们优先考虑的，所以我们会用不同的模型来解释上述的物理过程。
对于下面的几个模型，我们做几个假设。
1、固体是各向同性的并且是均质的。
2、拉伸和压缩对屈服是等效的。
没有把司机效应。
3、体积改变是微小的。
膨胀系数等于 0，泊松比为1/2 。
尽管这个比是弹性常数，把这个理论运用到塑性中来也没有什么含糊的。
4、平均正应力的大小和静水效应的形成不影响屈服。
5、忽略应变速率的影响。
6、温度影响不考虑。
注意到假设 3 和 4 通过铸铁上的实验很好验证，但是在许多聚合物上不成立。
7.3塑性变形的模型纯塑性固体完全塑性行为在许多分析研究上应用广泛。
这种情况下当应力达到一个标准值变形就会产生（弹性模量E 无穷大），然后会产生无止境的变形只要有不断的应力流施加。
然后什么都不会出现直到固体发生破裂。
图 7.1 所示是一个较合理的模型。
注意以下的说明：1、只要施加的荷载一直在增加，没有任何位移产生直到某个特定的 F 值。
一旦产生位移，变形就会随时间持续不断的进行。
力 F1 直接决定屈服应力 Y。
2、只要力 F1 卸载，物体没有任何恢复（如 F- 5平面阴影面积所示）。
3 i产生的永久变形将会被保留。
3、变形过程中物体不会硬化。
这意味着没有应变硬化效应。
线性应变硬化固体线应变硬化固体在某种程度上比前面提到的模型更加符合实际情况，因为它包含在固体，尤其是延性金属中观测到的应变硬化的影响。
这种模型中塑性变形也必须到达某个特定的应力值，但是不断的变形需要应力的不断增加。
这在图 7.2 中反映出来。
下面提到的效应需要被注意：1、只有当施加的力F到达某个固定的F o值时并且产生初始的应力流 Y o才会产生位移。
2、只有当施加的应力Y以Y=Y+f （& ）的形式增加时位移才会不断的增加，f（£ ）和线的斜率有关。
这和模量 E 很类似。
在这个模型中，应力硬化产生，应力增加导致塑性变形从而诱发了更深一度的变形。
非线性的应变硬化固体幂指数形式的变化性质更好地解释了许多固体应变硬化的现象。
图 7.3 揭示了这个模型。
这里需要指出的是：除了应变硬化是以非线性的速率进行的，其他现象都和前面的那个模型相同，指数 0<n<1。
最后，通过在变形的初始阶段增加一个直线段就可以把弹性效应的的影响归纳到以上三个模型中去，这个斜率是一个定值的非无穷大的弹性模量。
许多情况下要考虑塑性应变，因为塑性应变的量级要比弹性大，通过满足下面三个情况可以很容易的忽略弹性的影响：1、当弹性效应的V小于二分之一时来确定体积改变。
通过忽略这个效应可以引进体积守恒的概念。
2、卸载后的变形恢复属于弹性恢复。
因此，对这一结果做一临时考虑，以上的模型无法解释这一现象。
也要注意的是，这种情况符合弹性恢复，但连续不断的弹性应变伴随不断增加的塑性流。
3、如果弹性和塑性应变在同一个量级，那么上述的模型就无法成立除非弹性比例被包含在上面提到的情况中。
7.4屈服轨迹和屈服表面由于我们假定塑性流中物体是均质、各向同性、没有巴斯基效应、具有不可压缩性，并且不受静水应力的的影响，在所有的法则中必须有条件用来判定屈服的开始。
二维应力平面图已经被用于预测上述的假设。
我们假定单个应力是所有应力的组成部分，在解决这类问题中应力被视为矢量。
这就类似于相对于一个新的坐标轴的变形，也只能这么理解。
这种情况只适用于主应力并且其中有一个应力为 0（因为是平面应力情况）。
我们使用一个6 1- 6 2 平面图来说明。
因为拉伸和压缩是等效的，所以弹性范围一Y<6 1<Y,又由于各向同性，—丫<6 2<丫。
因此，在6 1- 6 2应力平面内出现了四个点，到达这四个点意味着屈服应力的产生。
一个可接受的但是更加复杂的屈服应力状态理论已经被提出。
这需要理解什么是弹性范围和屈服点，这涉及应力极限这一概念。
图 7.4 展示了屈服极限的开端。
在二维应力平面中，± Y 四点落在了屈服轨迹上，假设材料受到的应力如点 A 所示，然后当增加一个*后应力保持平衡。
在一些点上，如 B 点，弹性变形结束，我们制定 B 为屈服点。
必须注意的是在一个或者两个方向施加相同的荷载可以使应力轨迹沿着0B这样上述B点发生的屈服同样可以发生。
因此，要到达屈服点 B,可以通过无数种不同的加载路径；并且直到屈服前，所有的应变都是弹性的。
使用许多种加载方式，到达最终屈服点，所描述的轨迹区分了弹性应力（在轨迹包含的区域内）和轨迹自身所显示的屈服。
考虑到这个模型包含应变硬化，这就意味着这个效应将增加屈服应力和新的应力流。
在本教材中像这类屈服应力和应力流增加的趋势被认为是增大了初始的应力轨迹，这就被叫做各向同性硬化。
引进三维的应力空间。
图 7.5 中， 1,2 和 3 方向上的应力 a， b 和 c 组合在一起产生了屈服。
这些应力的总的应力状态被定义为（T，在空间中，b从原点开始产生，尖端表示了屈服点。
如果进行足够多的试验，所有的这些点（上述的尖端点）都将在同一个屈服平面上。
所有点类似 b 的应力状态，它们在屈服表面以下的部位只会产生弹性效应，这些矢量的尖端都在这一平面上，这一平面就是屈服的开始。
需要注意的是，屈服轨迹穿过一个经过屈服平面的一个表面，三个主应力中的一个是常数（比如在初始阶段（T 3=0）。
考虑到平均正应力的大小（T m不影响屈服，屈服表面这一概念可以更容易被理解。
参见图 7.6, 可以很好地说明平均正应力的意义。
施加的应力状态在等式做点的因素上。
如图所示，T m等于三个正应力和的三分之一，T m=（T 1+T 2+T 3） /3 ，压缩应力在这个算式中当做负值。
如果从每个所施加的应力中减去平均应力就得到了应力偏量。
很明显这些偏量和平均值无关，如果T m 不影响屈服，那么这些偏应力在某些程度上就导致了屈服，这表明了它们是切应力的函数。
因此，如果应力（T 1，T 2，T 3）合力导致屈服，那么（T 1+T 0，T 2+T 0，T 3+T 0）肯定会导致屈服，所以不同T 0 和（T 1，T 2，T 3）的组合在屈服平面上产生一条线，这条线平行于空间中T 1=T 2=T 3 这条线。
这条线对（ 1,2,3 ）坐标系各轴方向余弦相同。
现在假定各向同性并且没有巴斯基效应，这条线将会绕着空间斜对角线（T 1=T 2=T 3）旋转，就产生了一个棱柱型屈服表面。
为了很好地解释这一棱柱表面，它们截面尺寸和形状都是确定的。
所有和这个斜对角线正交的平面上被认为满足等式CT 1+ 2+ （J 3=常数。
这个常数就是所有正应力组合中的3 J m。
如果把这一常数设为0,那么这一平面就经过原点，并与了棱柱的轴线垂直，这通常被叫做n平面，它与屈服平面的交点形成了曲线G这说明了所有屈服平面上的点都可以通过施加一个适当的应力T 0，这样就可以把初始点在屈服平面上下移动，使点最终落在曲线 C 上。
最后考虑如下应力状态：（T 1，T 2，T 3）=（6，-2 ，1）；T m=5/3,如果这一应力状态“减去”J m （因为应力状态无法加减），那么得到新的应力状态（ J 1 ，，J 2，，J 3，）=（13/3 ，-11/3 ，-2/3 ）, 此时2J，=0因此，三维应力矢量有n平面上的应力偏量和出之于n平面的静水应力或者说平均应力组成。
既然我们已经了解到了屈服轨迹和屈服表面的物理意义，接下来我们烤炉上面已经提出的可能形成的平面。
7.5屈服法则如章节 2 提到的，对于任意的三维应力状态都存在三个等式，它们的三个根都是主应力，一下就是一个符合的等式：I i a P2-12a P-3=0式中的的应力不变量可以通过下述的主应力来表示。
I 1= ( a 1+ a 2+ a 3) I 2=— ( a 1 a 2+ a 1 a 3+ a2 a 3) I 3= ( a 1 a 2 a 3)很明显可以发现I 1=3 a m,因此第一个不变量是静水应力或者平均应力的函数，它不影响屈服。
因此,任何可以被我们接受的屈服法则不应该出现I 1，因此固体屈服现象和平均应力 a m无关。
假定屈服法则如下述：当 a 1—a 2—a 3=常数=+10，屈服将会产生。
如果这是一个可接受的法则，那么 a 1=+5， a 2=—2， a 3=—3 这一应力状态将会导致屈服。
现在添加一个应力， a 0=+10，这意味着产生了一个新的应力状态， ( +15， +8，+7)。
根据上面提出的条件，将不会发生屈服。
由于a1— a 2— a 3=0而不是10,因为只有平均应力改变了，这个法则和实验观察到的不符，所以不能被当做判断屈服的一般理论。
两个广泛应用的法则满足于11无关并且和实验观察大的延性金属的实验现象一致。
7.6特斯卡法则这个法则提出，当切应变函数值达到某个特定值时就会发生屈服。
在（T 1 , （T 2 , （7 3这三个量不事先知道大小的情况下，我们都尽可能遵循7 1>72>7 3 这一惯例。