全国名校高中数学优质试题汇编(附详解)专题4. 3空间直角坐标系
2020_2021学年高中数学第四章圆与方程4.3.1空间直角坐标系刷题课件新人教A版必修
6．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1在如图所示的空间直角坐标系中，则体对角线的 交点O的坐标是_（__1_,_1_，_．-1）
解析 因为O点是线段AC1的中点，又A(0，0，0)，C1(2， 2，－2)，故O点坐标是(1，1，－1)．
4.3.1空间直角坐标系 刷基础
4.3.1空间直角坐标系 刷易错
易错点2 空间中的对称点的特征判断出错
13．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴的对称点
坐标为( B )
A．(4，0，6)
B．(－4，7，－6)
C．(－4，0，－6)
D．(－4，7，0)
解析
∵在空间直角坐标系中，点M(x，y，z)关于y轴的对称点的坐 标为(－x，y，－z)，∴点M(4，7，6)关于y轴的对称点的坐 标为(－4，7，－6)．
易错解析 空间的点关于坐标轴对称的点的坐标的特点是：对称坐标轴对应坐标不变， 其余符号改变．
4.3.1空间直角坐标系 刷易错
易错点2 空间中的对称点的特征判断出错
14．空间直角坐标系中与点P(2，3，5)关于yOz平面对称的点为P′， 则点P′的坐标为__(_-_2_,3__,5_)__．
解析
在空间直角坐标系中，若点M的坐标是M(x，y，z)，设点M关 于yOz平面对称的点为M1，那么点M1的坐标是(－x，y，z)，因 此空间直角坐标系中与点P(2，3，5)关于yOz平面对称的点 P′的坐标为(－2，3，5)．
题型2 空间中的对称点问题
9．在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则M1关 于原点的对称点坐标是__(2__,0_,_3_)_．
解析 点M在xOz平面上的射影M1的坐标为(－2，0，－3)，M1关于原 点的对称点坐标为(2，0，3)．
空间直角坐标系空间向量,高考历年真题.docx
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【考点25】空间直角坐标系、空间向量2009年考题1. （2009安徽高考）在空间直角坐标系中，已知点A （1, 0, 2） , B （l,・3, 1）,点M 在y 轴上，且M到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是 ___________ o【解析】设M(0,y,0)由『 + y2+4 = l + (_3-y)2+l 可得 y = -l 故 M(0, — l,0) 答案:（0,-1, 0）2. （2009安徽高考）如图，四棱锥F-ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线 AC=2, BD=A /2 , AE 、CF 都与平面 ABCD 垂直，AE=1, CF=2・ （I ） 求二面角B-AF-D 的大小；（II ） 求四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 公共部分的体积.【解析】（D （综合法〉连结AC 、BD 交于菱形的中心0,过0作0G 丄AF,G 为垂足。
连接BG 、DG 。
由BD 丄AC, BD 丄CF 得BD 丄平面ACF,故BD 丄AF 。
于是AF 丄平面BGD,所以BG 丄AF, DG 丄AF, ZBGD 为二面角B-AF-D 的平面角。
FC = AC = 2，得 FAC ――,4（向量法）以A 为坐标原点, 由 0B 丄 0 G,0B = 0D = —9 ZBGD = 2ZBG02BD. AC. 农方向分别为x 轴.y 轴.无轴的正方向建立空间直角坐标71~2系（如图〉设平面ABF 的法向量斤=(兀,y,z),则由~°得＜ I • AF = 02”，斤=(_Q_1,1)y = T同理，可求得平面ADF 的法向量石=(血,一1,1)。
由q •刃 〜71 0=0知，平面ABF 与平面ADF 垂直，二面角B-AF-D 的大小等于一。
(II)连EB 、EC 、ED,设直线AF 与直线CE 相交于点H,则四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 的公共部分为四棱锥H-ABCDo 过H 作HP 丄平面ABCD, P 为垂足。
高中数学-空间直角坐标系与空间向量典型例题
高中数学-空间直角坐标系与空间向量一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则：遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。
作法：充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下：（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-，，．设1BC 与CD 所成的角为θ， 则11317cos 17BC CD BC CDθ==． （二）利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3π，∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０）、31022c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，、133022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，．设302E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EAEB =，即3322022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，，，233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即12a =或32a =（舍去）．故31022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角．因11(002)B A BA ==，，，31222EA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故11112cos 3EA B A EA B A θ==，即2tan 2θ=（三）利用面面垂直关系构建直角坐标系例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ． （1）证明AB ⊥平面VAD ；（2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．解析：（1）取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A （1，０，０）、D （－1，０，０）、B （1，2，０）、V （０，０，3），∴AB ＝（０，2，０），VA ＝（1，０，－3）．由(020)(103)0AB VA =-=，，，，，得 AB ⊥VA ．又AB ⊥AD ，从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直，∴ AB ⊥平面VAD ；（2）设E 为DV 的中点，则13022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴33022EA ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，，，33222EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(103)DV =，，． ∴332(103)022EB DV ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，， ∴EB ⊥DV ．又EA ⊥DV ，因此∠AEB 是所求二面角的平面角．∴21cos 7EA EB EAEB EA EB==，． 故所求二面角的余弦值为217． （四）利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例4 已知正四棱锥V －ABCD 中，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ． （1）求∠DEB 的余弦值；（2）若BE ⊥VC ，求∠DEB 的余弦值．解析：（1）如图4，以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，则由AB ＝2a ，OV ＝h ，有B （a ，a ，０）、C （-a ，a ，０）、D （-a ，-a ，０）、V （0，0，h ）、222a a h E ⎛⎫-⎪⎝⎭，， ∴3222a h BE a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，3222a h DE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，．∴22226cos 10BE DEa h BE DE a h BE DE-+==+，， 即22226cos 10a h DEB a h -+=+∠；（2）因为E 是VC 的中点，又BE ⊥VC ，所以0BEVC =，即3()0222a h a a a h ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，，，，，∴22230222a h a --=，∴2h a =． 这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+，，即1cos 3DEB =-∠． 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．（五）利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例5已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ； （2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到面QAD 的距离． 简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB<>==，． 所求异面直线所成的角是1arccos3． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==n n．点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第（3）问也可用“等体积法”求距离．二、向量法解立体几何 （一）知识点向量的数量积和坐标运算b a,是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数θcos ||||⋅⋅b a 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作b a ⋅，即.cos ||||θ⋅⋅=⋅b a b a 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，则①212121z z y y x x b a ++=⋅；②222222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；③212121z z y y x x b a ++=⋅④222222212121212121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅++++>=<（二）例题讲解 题型：求角度相关1. 异面直线n m ,所成的角分别在直线n m ,上取定向量,,b a则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示），则.||||||cos b a b a⋅⋅=θ 2. 直线L 与平面α所成的角在L 上取定AB ，求平面α的法向量n （如图2所示），再求||||cos n AB n AB ⋅=θ，则θπβ-=2为所求的角.3． 二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如图3所示），则图1图①若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n n n ⋅=θ② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、（如图4所示），则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ题型：求距离相关1. 异面直线n m 、的距离分别在直线n m 、上取定向量,,b a求与向量b a 、都垂直的向量n ，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于AB 在n 上的射影长，即||n n AB d=.证明：设CD 为公垂线段，取b DB a CA==,||||)(n AB n CD n BD AB CA n CD BD AB CA CD ⋅=⋅∴⋅++=⋅∴++= ||||n n AB CD d ==∴设直线n m ,所成的角为θ，显然.||||||cos b a b a⋅⋅=θ 2. 平面外一点p 到平面α的距离n 图图4图1求平面α的法向量n，在面内任取一定点A，点p到平面α的距离d等于AP在n上的射影长，即d=.|n|图5三、法向量 例题解析题型：求空间角1、运用法向量求直线和平面所成角设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos(2π-θ) = |cos<AB , n >| = AB AB n n••2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为12,n n ，则<12,n n >或π-<12,n n >是所求角。
高考数学复习、高中数学 空间直角坐标系与空间向量附答案解析
(5)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( )
2. (选修 2－1P104 练习 2 改编)已知平面 α，β 的法向量分别为 n1＝(2，3，5)，n2＝(－3， 1，－4)，则( )
A.α∥β
B.α⊥β
C.α，β 相交但不垂直
D.以上均不对
3. (选修 2－1P118A6 改编)已知 a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量 a＋b 与 a－b 的夹角是________.
6.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线 l1，l2 的方向向量分别为 n1，n2
直线 l 的方向向量为 n，平面 α的法向量为 m
l1∥l2 ln1＝λn2 n1⊥n2⇔ n⊥m⇔
n∥m⇔n＝λm
平面 α，β 的法向量分别为 n，m
α∥β α⊥β
n∥m⇔n＝λm n⊥m⇔
(2)空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
→
→
→
6.如图所示，在四面体 OABC 中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中
→ 点，则OE＝________(用 a，b，c 表示).
考点一 空间向量的线性运算
→
→
【例 1】如图所示，在空间几何体 ABCD－A1B1C1D1 中，各面为平行四边形，设AA1＝a，AB
【精品】高中数学 必修2_空间直角坐标系_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)提高
空间直角坐标系【学习目标】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.【要点梳理】要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标. 要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---；点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --；点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --；点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --；点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -；点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -；点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -.要点三、空间两点间距离公式1.空间两点间距离公式空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则此两点间的距离 222121212||()()()d AB x x y y z z ==-+-+-.特别地，点(),,A x y z 与原点间的距离公式为222OA x y z =++.2.空间线段中点坐标空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【典型例题】 类型一：空间坐标系例1．画一个正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，以A 为坐标原点，以棱AB 、AD 、AA 1所在直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系。
高考数学大一轮复习 空间直角坐标系精品试题 文(含模
精品题库试题文数1.（北京市海淀区2014届高三年级第一学期期末练习）如图所示，正方体的棱长为，，是线段上的动点，过点做平面的垂线交平面于点，则点到点距离的最小值为A．B． C．D．[解析] 1.平面，所以平面平面，在上运动，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，即，所以，，所以当时，2.(2013课标Ⅱ，9,5分) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0, 1), (1,1, 0), (0,1, 1), (0,0, 0), 画该四面体三视图中的正视图时, 以zOx平面为投影面, 则得到的正视图可以为( )[解析] 2.在空间直角坐标系中, 易知O(0,0, 0), A(1,0, 1), B(1,1, 0), C(0,1, 1) 恰为单位正方体的四个顶点. 因此该几何体以zOx平面为投影面所得的正视图为A.3. (2011全国, 20, 12分)如图, 四棱锥S-ABCD中, AB∥CD, BC⊥CD, 侧面SAB为等边三角形. AB=BC=2, CD=SD=1.(Ⅰ)证明:SD⊥平面SAB;(Ⅱ)求AB与平面SBC所成的角的大小.3.4.(2010湖北, 18, 12分)如图, 在四面体ABOC中, OC⊥OA, OC⊥OB, ∠AOB=120°, 且OA=OB=OC=1.(Ⅰ)设P为AC的中点, Q在AB上且AB=3AQ.证明:PQ⊥OA;(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.4.5. (2010江西, 20, 12分)如图, △BCD与△MCD都是边长为2的正三角形, 平面MCD⊥平面BCD, AB⊥平面BCD, AB=2.(Ⅰ)求直线AM与平面BCD所成角的大小;(Ⅱ)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.5.6.(2010江苏, 16, 14分)如图, 在四棱锥P-ABCD中, PD⊥平面ABCD, PD=DC=BC=1, AB=2, AB∥DC, ∠BCD=90°.(Ⅰ)求证:PC⊥BC;(Ⅱ)求点A到平面PBC的距离.6.7. (2010全国Ⅱ, 19, 12分)如图, 直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC=BC, AA1=AB, D为BB1的中点, E为AB1上的一点, AE=3EB1.(Ⅰ)证明:DE为异面直线AB1与CD的公垂线;(Ⅱ)设异面直线AB1与CD的夹角为45°, 求二面角A1-AC1-B1的大小.7.8.(2013江苏，22,10分) 如图, 在直三棱柱A1B1C1-ABC中, AB⊥AC, AB=AC=2, A1A=4, 点D 是BC的中点.(1) 求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2) 求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.8.答案和解析文数[答案] 1.B[解析] 1.平面，所以平面平面，在上运动，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，即，所以，，所以当时，[答案] 2.A[解析] 2.在空间直角坐标系中, 易知O(0,0, 0), A(1,0, 1), B(1,1, 0), C(0,1, 1) 恰为单位正方体的四个顶点. 因此该几何体以zOx平面为投影面所得的正视图为A.[答案] 3.解法一:(Ⅰ)取AB中点E, 连结DE, 则四边形BCDE为矩形, DE=CB=2.连结SE, 则SE⊥AB, SE=.又SD=1, 故ED2=SE2+SD2,所以∠DSE为直角. (3分)由AB⊥DE, AB⊥SE, DE∩SE=E, 得AB⊥平面SDE, 所以AB⊥SD,SD与两条相交直线AB、SE都垂直,所以SD⊥平面SAB. (6分)(Ⅱ)由AB⊥平面SDE知, 平面ABCD⊥平面SDE.作SF⊥DE, 垂足为F, 则SF⊥平面ABCD, SF==.作FG⊥BC, 垂足为G, 则FG=DC=1.连结SG, 则SG⊥BC. 又BC⊥FG, SG∩FG=G, 故BC⊥平面SFG, 平面SBC⊥平面SFG. (9分) 作FH⊥SG, H为垂足, 则FH⊥平面SBC.FH==, 即F到平面SBC的距离为.由于ED∥BC, 所以ED∥平面SBC, E到平面SBC的距离d也为.设AB与平面SBC所成的角为α, 则sin α==,α=arcsin. (12分)解法二:以C为坐标原点, 射线CD为x轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 设D(1, 0, 0), 则A(2, 2, 0)、B(0, 2, 0).又设S(x, y, z), 则x>0, y>0, z>0.(Ⅰ)=(x-2, y-2, z), =(x, y-2, z), =(x-1, y, z),由||=||得=, 故x=1.由||=1得y2+z2=1,又由||=2得x2+(y-2)2+z2=4,即y2+z2-4y+1=0, 故y=, z=. (3分)于是S,=,==·=0, ·=0.故DS⊥AS, DS⊥BS, 又AS∩BS=S, 所以SD⊥平面SAB. (6分)(Ⅱ)设平面SBC的法向量a=(m, n, p),则a⊥, a⊥, a·=0, a·=0.又==(0, 2, 0),故(9分)取p=2得a=(-, 0, 2). 又=(-2, 0, 0), cos<, a>==.故AB与平面SBC所成的角为arcsin. (12分)3.[答案] 4.解法一:(Ⅰ)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N, 连结CN. 在△AOB中, ∵∠AOB=120°且OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=30°.在Rt△AON中, ∵∠OAN=30°, ∴ON=AN.在△ONB中, ∵∠NOB=120°-90°=30°=∠OBN,∴NB=ON=AN.又AB=3AQ, ∴Q为AN的中点.在△CAN中, ∵P, Q分别为AC, AN的中点,∴PQ∥CN.由OA⊥OC, OA⊥ON知:OA⊥平面CON.又NC⊂平面CON, ∴OA⊥CN.由PQ∥C N, 知OA⊥PQ.(Ⅱ)连结PN, PO.由OC⊥OA, OC⊥OB知:OC⊥平面OAB.又ON⊂平面OAB, ∴OC⊥ON.又由ON⊥OA知:ON⊥平面AOC.∴OP是NP在平面AOC内的射影.在等腰Rt△COA中, P为AC的中点,∴AC⊥OP.根据三垂线定理, 知:AC⊥NP.∴∠OPN为二面角O-AC-B的平面角.在等腰Rt△COA中, OC=OA=1, ∴OP=.在Rt△AON中, ON=OAtan 30°=,∴在Rt△PON中, PN==,∴cos∠OPN===.解法二:(Ⅰ)取O为坐标原点, 以OA, OC所在的直线为x轴, z轴, 建立空间直角坐标系O-xyz(如图所示).则A(1, 0, 0), C(0, 0, 1), B.∵P为AC的中点,∴P.∵=,又由已知, 可得==.又=+=.∴=-=,∴·=·(1, 0, 0)=0. 故⊥.(Ⅱ)记平面ABC的法向量n=(n1, n2, n3), 则由n⊥, n⊥, 且=(1, 0, -1),得故可取n=(1, , 1).又平面OAC的法向量为e=(0, 1, 0).∴cos<n, e>==.二面角O-AC-B的平面角是锐角, 记为θ, 则cos θ=.4.[答案] 5. 解法一:(Ⅰ)取CD中点O, 连OB, OM, 则OB⊥CD, OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD, 则MO⊥平面BCD, 所以MO∥AB, A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E, 则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角. OB=MO=, MO∥AB, 则==, EO=OB=,所以EB=2=AB, 故∠AEB=45°.∴直线AM与平面BCD所成角的大小为45°.(Ⅱ)CE是平面ACM与平面BCD的交线.由(Ⅰ)知, O是BE的中点, 则BCED是菱形.作BF⊥EC于F, 连AF, 则AF⊥EC, ∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角, 设为θ.因为∠BCE=120°, 所以∠BCF=60°.BF=BC·sin 60°=, tan θ==2, sin θ=.所以, 所求二面角的正弦值是.解法二:取CD中点O, 连OB, OM, 则OB⊥CD, OM⊥CD,又平面MCD⊥平面BCD, 则MO⊥平面BCD.以O为原点, 直线OC、BO、OM为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系如图.OB=OM=, 则各点坐标分别为O(0, 0, 0), C(1, 0, 0), M(0, 0, ), B(0, -, 0), A(0,-, 2), (Ⅰ)设直线AM与平面BCD所成的角为α. 因=(0, , -), 平面BCD的法向量为n=(0, 0, 1). 则有sin α=cos<, n>===,所以α=45°.∴直线AM与平面BCD所成角的大小为45°.(Ⅱ)=(-1, 0, ), =(-1, -, 2).设平面ACM的法向量为n1=(x, y, z), 由得解得x=z, y=z, 取n1=(, 1, 1). 平面BCD的法向量为n=(0, 0, 1). 则cos<n1, n>==.设所求二面角为θ, 则sin θ==.所以, 所求二面角的正弦值是.5.[答案] 6.解法一:(Ⅰ)因为PD⊥平面ABCD, BC⊂平面ABCD, 所以PD⊥BC.由∠BCD=90°, 得BC⊥DC.又PD∩DC=D, PD⊂平面PCD,DC⊂平面PCD, 所以BC⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD, 所以PC⊥BC.(Ⅱ)连结AC. 设点A到平面PBC的距离为h.因为AB∥DC, ∠BCD=90°, 所以∠ABC=90°.从而由AB=2, BC=1, 得△ABC的面积S△ABC=1.由PD⊥平面ABCD及PD=1, 得三棱锥P-ABC的体积V=S△ABC·PD=.因为PD⊥平面A BCD, DC⊂平面ABCD, 所以PD⊥DC.又PD=DC=1, 所以PC==.由PC⊥BC, BC=1, 得△PBC的面积S△PBC=.由V=S△PBC h=··h=, 得h=.因此, 点A到平面PBC的距离为.解法二:建立如图所示空间直角坐标系D-xyz, 则P(0, 0, 1), C(0, 1, 0), B(1, 1, 0).(Ⅰ)=(0, 1, -1), =(-1, 0, 0).∵·=0×(-1)+1×0+(-1)×0=0, ∴PC⊥BC.(Ⅱ)设平面PBC的法向量n=(x, y, z), 则有即令y=1得n=(0, 1, 1). 又因为A(1, -1, 0), =(0, 2, 0), 所以点A到平面PBC的距离d===.解法三:(Ⅱ)取AB中点E, 连DE, 则DE∥BC, DE∥面PBC, 则A点到面PBC的距离等于E点到面PBC距离的2倍, 即等于点到面PBC距离的2倍.过D作DH⊥PC, 则DH⊥面PBC.在Rt△PCD中, DH=,∴A到面PBC的距离为.6.[答案] 7.解法一:(Ⅰ)连结A1B, 记A1B与AB1的交点为F.因为面AA1B1B为正方形, 故A1B⊥AB1, 且AF=FB1. 又AE=3EB1, 所以FE=EB1. 又D为BB1的中点, 故DE∥BF,DE⊥AB1. 作CG⊥AB, G为垂足, 由AC=BC知, G为AB中点.又由底面ABC⊥面AA1B1B, 得CG⊥面AA1B1B.连结DG, 则DG∥AB1, 故DE⊥DG, 由三垂线定理, 得DE⊥CD.所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.(Ⅱ)因为DG∥AB1, 故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角, ∠CDG=45°.设AB=2, 则AB1=2, DG=, CG=, AC=.作B1H⊥A1C1, H为垂足. 因为底面A1B1C1⊥面AA1C1C, 故B1H⊥面AA1C1C, 又作HK⊥AC1, K为垂足, 连结B1K, 由三垂线定理, 得B1K⊥AC1, 因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.B1H==,HC1==,AC1==, HK==,tan∠B1KH==,所以二面角A1-AC1-B1的大小为arctan.解法二:(Ⅰ)以B为坐标原点, 射线BA为x轴正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz. 设AB=2, 则A(2, 0, 0), B1(0, 2, 0), D(0, 1, 0),E,又设C(1, 0, c), 则==(2, -2, 0), =(1, -1, c). 于是·=0, ·=0,故DE⊥B1A, DE⊥DC,所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.(Ⅱ)因为<>等于异面直线AB1与CD的夹角,故·=||·||cos 45°,即2××=4,解得c=, 故=(-1, 0, ).又==(0, 2, 0),所以=+=(-1, 2, ).设平面AA1C1的法向量为m=(x, y, z),则m·=0, m·=0,即-x+2y+z=0且2y=0.令x=, 则z=1, y=0, 故m=(, 0, 1).设平面AB1C1的法向量为n=(p, q, r),则n·=0, n·=0,即-p+2q+r=0, 2p-2q=0.令p=, 则q=, r=-1, 故n=(, -1).所以cos<m, n>==.由于<m, n>等于二面角A1-AC1-B1的平面角,所以二面角A1-AC1-B1的大小为arccos.7.[答案] 8.(1) 以A为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,0, 0),B(2,0, 0), C(0,2, 0), D(1,1, 0), A1(0,0, 4), C1(0,2, 4), 所以=(2,0, -4), =(1, -1, -4).因为cos< , > ===,所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为(2) 设平面ADC1的法向量为n1=(x, y, z), 因为=(1,1, 0), =(0,2, 4), 所以n1·=0, n1·=0, 即x+y=0且y+2z=0, 取z=1, 得x=2, y=-2, 所以n1=(2, -2,1) 是平面ADC1的一个法向量. 取平面AA1B的一个法向量为n2=(0,1, 0), 设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|===, 得sin θ=.因此, 平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.8.。
高中数学 第二章 解析几何初步 3 空间直角坐标系练习(含解析)北师大版必修2-北师大版高中必修2数
空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式填一填1.空间直角坐标系的特征⎩⎪⎨⎪⎧①三条轴两两相交；②三条轴两两垂直；③有相同的单位长度.2．空间直角坐标系中点的坐标空间一点M 的坐标可用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．3．空间两点间的距离公式空间两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)间的距离|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.判一判1.空间直角坐标系中，y 轴上的点的坐标满足z ＝0，x ＝0.(√) 2．空间直角坐标系中的任意一点的坐标是唯一的．(√) 3．长方体的对角线长度都相等．(√)4．空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点．(×)5．将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改变．(×)6．空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式．(√)7．关于坐标平面yOz 对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反．(√) 8．点P (1,4，－3)与点Q (3，－2,5)的中点坐标是(2,1,1)．(√)想一想1.在空间直角坐标系中求空间一点P 的坐标的步骤是什么？ 提示：2．求空间两点间距离的关键及方法是什么？提示：关键：求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)方法：确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．3．求空间对称点的方法是什么？提示：空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．4．两点间距离公式在几何中的两个应用是什么？ 提示：(1)求立体几何中线段长度问题①建系：将立体图形放在空间直角坐标系中．②定坐标：在空间直角坐标系中，根据条件确定有关的点的坐标． ③定距离：利用空间两点间距离公式确定所求线段的长． (2)判断三角形形状①利用两点间距离公式求三边长．②结合三边长及三角形有关知识判断三角形的形状． 思考感悟：练一练1.点Q (0,0,3)的位置是( )A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在z 轴上D ．在面xOy 上 答案：C2．点A (－3,1,5)，点B (4,3,1)的中点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，－2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，3 C ．(－12,3,5) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，2 答案：B3．已知点A (－1,2,7)，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为( ) A ．(－1，－2，－7) B ．(－1，－2,7) C ．(1，－2，－7) D ．(1,2，－7) 答案：A4．已知点A (2,3,5)，B (－2,1,3)，则|AB |等于( ) A. 6 B ．2 6 C. 2 D ．2 2 答案：B5．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线长为6，且底面是边长为4的正方形，则该长方体的高为( )A ．9 B.92C ．4D ．2 答案：D知识点一空间中点的坐标及其位置1.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点B 1的坐标是( ) A ．(1,0,0) B ．(1,0,1) C ．(1,1,1) D ．(1,1,0)解析：点B 1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C. 答案：C 2.如图所示，已知四棱锥P －ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的等边三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，G 是棱PB 的中点，请建立适当的空间直角坐标系，求出点P ，A ，B ，C ，D ，G 的坐标．解析：如图所示，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O .连接PE .因为AD ⊥PB ，PO ⊥AD ，PO ∩PB ＝P ，所以AD ⊥平面POB ，所以AD ⊥OB .因为PA ＝PD ，所以OA ＝OD . 于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .所以以垂足O 为原点，以OB ，OP 及在底面ABCD 内过O 且垂直于OB 的直线分别为y 轴、z 轴、x 轴建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题意可得∠PEB ＝120°，∠PEO ＝180°－120°＝60°. 又等边三角形PAD 的边长等于2， 所以AE ＝ED ＝1，PE ＝ 3.所以在Rt△POE 中，OE ＝PE ·cos 60°＝32，PO ＝PE ·sin 60°＝32.又底面ABCD 为菱形，所以AD ＝BC ＝AB ＝CD ＝2.所以在Rt△AEB 中，BE ＝AB 2－AE 2＝3，所以OB ＝OE ＋BE ＝332.所以所求坐标分别为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，332，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，332，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，0. 又因为G 是棱PB 的中点，所以由中点坐标公式可得G ⎝⎛⎭⎪⎫0，334，34.知识点二 空间中点的对称问题3.在空间直角坐标系中，若P (3，－2,1)，则P 点关于坐标平面xOz 的对称点坐标为( )A ．(－3，－2，－1)B ．(3,2,1)C ．(－3,2，－1)D ．(3，－2，－1)解析：设所求的点为Q (x ，y ，z )，因为点Q (x ，y ，z )与点P (3，－2,1)关于平面xOz 对称，所以P ，Q 两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标互为相反数，即x ＝3，y ＝2，z ＝1，得Q 点坐标为(3,2,1)，故选B.答案：B4．点P (1,3,5)关于坐标原点对称的点P ′的坐标是( ) A ．(－1，－3，－5) B ．(1，－3,5) C ．(－1，－3,5) D ．(－1,3,5)解析：把点P (1,3,5)的横坐标、纵坐标、竖坐标均变为原来的相反数即可，故点P ′的坐标为(－1，－3，－5)．答案：A知识点三 空间两点间的距离5.已知空间中两点A (1,2,3)，B (4,2，a )，且|AB |＝10，则a 的值为( )A ．2B ．4C ．0D ．2或4解析：由空间两点间的距离公式得|AB |＝4－12＋2－22＋a －32＝10，即9＋a 2－6a ＋9＝10，所以a 2－6a ＋8＝0， 所以a ＝2或a ＝4.故选D. 答案：D6．在空间直角坐标系中，给定点M (2，－1,3)，若点A 与点M 关于xOy 平面对称，点B 与点M 关于x 轴对称，则|AB |等于( )A ．2B ．4C ．2 5D ．37解析：由题可知，A (2，－1，－3)，B (2,1，－3)，所以|AB |＝2－22＋1＋12＋－3＋32＝2.故选A. 答案：A7．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87C.87D.1914解析：|AB |＝x －12＋3－2x 2＋3x －32＝14x 2－32x ＋19，∴当x ＝－－322×14＝87时，|AB |最小．答案：C知识点四 距离公式的综合应用8.在空间直角坐标系中，已知A (3,0,1)和B (1,0，－3)． (1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 的坐标． 解析：(1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |，设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |，可得32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32，显然，此式对任意y ∈R 恒成立．这就是说，y 轴上所有点都满足|MA |＝|MB |. (2)假设在y 轴上存在点M (0，y,0)，使△MAB 为等边三角形． 由(1)可知，对y 轴上任一点都有|MA |＝|MB |，所以只要|MA |＝|AB |就可以使得△MAB 是等边三角形．因为|MA |＝3－02＋0－y 2＋1－02＝10＋y 2，|AB |＝1－32＋0－02＋－3－12＝20，于是10＋y 2＝20，解得y ＝±10，故在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形，点M 的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0).综合知识 空间直角坐标系9.点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )A ．2 5B ．4C ．2 2D ．27解析：点A 关于平面xOy 对称的点C 的坐标是(1,2,1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2,1)，故|BC |＝1－12＋2＋22＋1－12＝4.答案：B10．已知ABCD 为平行四边形，且A (1,2,3)，B (2，－5,1)，C (－3,2，－1)，求D 点坐标． 解析：设D (x ，y ，z )，A 、C 的中点坐标(－1,2,1)∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋22＝－1y －52＝2z ＋12＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝9z ＝1∴D 点坐标为(－4,9,1)基础达标一、选择题1．若A (1,3，－2)，B (－2,3,2)，则A ，B 两点间的距离为( ) A.61 B ．25 C ．5 D.57解析：|AB|＝1＋22＋3－32＋－2－22＝5.答案：C2．空间直角坐标系O－xyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内的射影是点Q，则点Q的坐标为( )A．(1,2,0) B．(0,0,3)C．(1,0,3) D．(0,2,3)解析：因为空间直角坐标系O－xyz中，在xOy平面内的点的竖坐标是0，所以点Q的坐标为(1,2,0)．答案：A3．在空间直角坐标系中，点M(－5,3,1)关于x轴的对称点的坐标为( )A．(－5，－3，－1) B．(5,3，－1)C．(5，－3,1) D．(5，－3，－1)解析：关于x轴的对称点的坐标中，横坐标不变，其余坐标变为相反数，故点M关于x 轴的对称点的坐标为(－5，－3，－1)．答案：A4．点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点间的距离为( )A．10 B.10C.38 D．38解析：由于A，B关于xOy平面对称，则A，B的横、纵坐标相等，竖坐标互为相反数，故点B的坐标为(2，－3，－5)，所以|AB|＝2－22＋－3＋32＋5＋52＝10.答案：A5．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为( ) A．(6,0,0) B．(6,0,1)C．(0,0,6) D．(0,6,0)解析：设P(x,0,0)，|PA|＝x－12＋1＋1，|PB|＝x－32＋9＋9，由|PA|＝|PB|得x＝6，故选A.答案：A6．在空间直角坐标系中，已知三点A(1,0,0)，B(1,1,1)，C(0,1,1)，则三角形ABC是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形解析：由题|AB|＝1－12＋0－12＋0－12＝2，|AC|＝0－12＋1－02＋1－02＝3，|BC|＝0－12＋1－12＋1－12＝1，所以AC2＝AB2＋BC2，所以三角形ABC是直角三角形．答案：A7．已知点A(1,2,2)，B(1，－3,1)，点C在yOz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为( )A．(0,1，－1) B．(0，－1,6)C．(0,1，－6) D．(0,1,6)解析：由题意设点C的坐标为(0，y，z)，所以1＋y－22＋z－22＝1＋y＋32＋z－12，即(y－2)2＋(z－2)2＝(y＋3)2＋(z－1)2.经检验知，只有选项C满足．答案：C二、填空题8．点P(1,4，－3)与点Q(3，－2,5)的中点坐标是________________________________________________________________________．解析：设点P 与点Q 的中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝1＋32＝2，y ＝4－22＝1，z ＝－3＋52＝1.所以中点坐标是(2,1,1)．答案：(2,1,1)9．已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.解析：AB 中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2，|PC |＝3. 而⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－922＋[z －－2]2＝3，解为z ＝0，或z ＝－4. 答案：0或－410．已知平行四边形ABCD 中，A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3，7，－5)，则点D 的坐标为________．解析：设平行四边形ABCD 的两条对角线的交点为点P ，则P 为AC ，BD 的中点．由A (4,1,3)，C (3,7，－5)，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，－1.又点B (2，－5,1)，所以点D 的坐标为(5,13，－3)．答案：(5,13，－3)11．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′点关于原点的对称点的坐标是________．解析：点M (－2,4，－3)在平面xOz 上的射影M ′(－2,0，－3)，M ′关于原点的对称点的坐标是(2,0,3)．答案：(2,0,3)12．三棱锥P －ABC 各顶点的坐标分别为A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,3)，则三棱锥P －ABC 的体积为________．解析：由A ，B ，C ，P 四点的坐标，知△ABC 为直角三角形，AB ⊥AC ，PA ⊥底面ABC .由空间两点间的距离公式，得|AB |＝1，|AC |＝2，|PA |＝3，所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13Sh ＝13×12×1×2×3＝1. 答案：1 三、解答题13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求B 1E 的长．解析：如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz .则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，设点E 的坐标为(x ，y,0)，在坐标平面xOy 内，直线AC 的方程为x 2＋y4＝1，即2x ＋y －4＝0，又DE ⊥AC ，直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45，0.∴|B 1E |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45－42＋0－22＝6105，即B 1E 的长为6105.14．已知正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若|CM |＝|BN |＝a (0<a <2)．(1)求|MN |的长；(2)当a 为何值时，|MN |的长最小． 解析：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ， 平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB ，BC ，BE 两两垂直． 过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ， 垂足分别为G ，H ， 连接NG ，易证NG ⊥AB . ∵|CM |＝|BN |＝a ，∴|CH |＝|MH |＝|BG |＝|GN |＝22a ，∴以B 为原点，以BA ，BE ，BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0.(1)|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －222＋12.(2)由(1)得，当a ＝22时，|MN |最短，最短为22，这时M ，N 恰好为AC ，BF 的中点.能力提升15.已知三点A (－1,1,2)，B (1,2，－1)，C (a,0,3)，是否存在实数a ，使A 、B 、C 共线？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析：AB ＝－1－12＋1－22＋2＋12＝14，AC ＝－1－a 2＋1－02＋2－32＝a ＋12＋2，BC ＝1－a 2＋2－02＋－1－32＝a －12＋20，因为BC >AB ，所以，若A ，B ，C 三点共线，有BC ＝AC ＋AB 或AC ＝BC ＋AB ，若BC ＝AC ＋AB ，整理得：5a 2＋18a ＋19＝0， 此方程无解；若AC ＝BC ＋AB ，整理得：5a 2＋18a ＋19＝0，此方程也无解． 所以不存在实数a ，使A 、B 、C 共线． 16.如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．(1)当2|DQ |＝|QC |时，求|PQ |；(2)当点P 为对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ |的最小值； (3)当点Q 为棱CD 的中点，点P 在对角线AB 上运动时，探究|PQ |的最小值． 解析：设正方体的棱长为a .(1)当点P 为对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2. 由2|DQ |＝|QC |，易知|QC |＝23a ，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，23a 从而|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－02＋a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－23a 2＝196a . (2)∵点Q 在线段CD 上，设Q (0，a ，z ) ∴|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 22 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 22＋12a 2. 当z ＝a 2时，|PQ |的最小值为22a .即点Q 在棱CD 的中点时，|PQ |有最小值22a . (3)如图，当Q 为CD 的中点时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2，设P 的坐标为(x ，x ，z )，则由三角形相似可得z a ＝2a －2x 2a，则z ＝a －x . ∴|PQ |2＝x 2＋(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－x 2＝3x 2－3ax ＋54a 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 22.当x ＝a 2时，|PQ |有最小值为22a ，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2为AB 的中点．。
高中数学课件-4.3.1空间直角坐标系
z •R
1
x
x
•
P
•o
1
1
•M
y
•Q y
3、空间中点的坐标
方法二：过P点作xOy面的垂线，垂足为 P点0 。
点 P0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、
纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足 P1在z轴上的坐标z
就是P点的竖坐标z。
z P1
1
x
•o
(2) | AB | (6 3)2 (0 5)2 (1 7)2 70
2、在Z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等.
解：设M点的坐标为(0,0, a) 由题意可知：| MA || MB |
即 ：(0 1)2 (0 0)2 (a 2)2
(0 1)2 (0 3)2 (a 1)2 解得：a 3 M点 的 坐 标 为(0,0,3)
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
练习
3、如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a， |AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN的长.
z
D`
C`
A`
B` M
O
A x
Cy
N
B
例4 求证以M（1 4，3，1）、M2 (7,1,2）、M3(5, 2,3)三点 为顶点的三角形是一个等腰三角形。
变式2 设P在x轴上，它到P1(0, 2,3)的距离为
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4. 3空间直角坐标系
第1题. 在空间直角坐标系中，点(123)P，，，过点P作平面xOy的垂线
PQ，则Q
的坐标为（ ）
Ａ．(020)，， Ｂ．(023)，， Ｃ．(103)，， Ｄ．(120)，，
答案：Ｄ．
第2题. 已知点(314)A，，，则点A关于原点的对称点的坐标为（ ）
Ａ．(134)，， Ｂ．(413)，，
Ｃ．(314)，， Ｄ．(413)，，
答案：Ｃ
第3题. 在xOy平面内的直线1xy上确定一点M，使M到点(651)N，，的
距离最小．
答案：解：由已知，可设(10)Mxx，，，
则222(6)(15)(01)MNxx22(1)51x．
min
51MN∴
．
第4题. 求到两定点(230)A，，，(510)B，，距离相等的点的坐标()xyz，，满足
的条件．
答案：解：设()Pxyz，，为满足条件的任一点，则由题意，
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得222(2)(3)(0)PAxyz，222(5)(1)(0)PBxyz．
PAPB∵
，64130xy∴即为所求点所满足的条件．
第5题. 在z轴上与点(417)A，，和点(352)B，，等距离的点C的坐标
为 ．
答案：14(00)9，，
第6题. 已知(11)Attt，，，(2)Btt，，，则AB的最小值为（ ）
Ａ．55 Ｂ．555 Ｃ．355 Ｄ．115
答案：Ｃ．
第7题. 已知三角形的三个顶点(214)A，，，(326)B，，，(502)C，，．则
（1）过A点的中线长为 ；
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（2）过B点的中线长为 ；
（3）过C点的中线长为 ．
答案：211；5142；622
第8题. 已知(121)A，，，(134)B，，，(111)C，，，2APPB，则PC长为
．
答案：773．
第9题. 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点0(412)P，，的
距离为30．
答案：解：设点P的坐标是(00)x，，，由题意，030PP，即
222
(4)1230x
，
2
(4)25x∴．解得9x或1x
．
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∴点P
坐标为(900)，，或(100)，，．
第10题. 下列各点不在曲线22212xyz上的是（ ）
Ａ．(222)，， Ｂ．(0222)，， Ｃ．(222)，， Ｄ．(134)，，
答案：Ｄ．
第11题. 坐标原点到下列各点的距离最小的是（ ）
Ａ．(111)，， Ｂ．(122)，， Ｃ．(235)，， Ｄ．(304)，，
答案：Ａ．
第12题. 已知A点坐标为(111)，，，(333)B，，，点P在x轴上，且PAPB，
则P点坐标为（ ）
Ａ．(600)，， Ｂ．(601)，， Ｃ．(006)，， Ｄ．(060)，，
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答案：Ａ．
第13题. 在空间直角坐标系Oxyz中，1z的所有点构成的图形
是 ．
答案：过点(001)，，且与z轴垂直的平面
第14题. 点(235)P，，到平面xOy的距离为 ．
答案：5
第15题. 求证：以(419)A，，，(1016)B，，，(243)C，，为顶点的三
角形是等腰直角三角形．
答案：证明：222()(410)(11)(96)7dAB，，
222
()(42)(14)(93)7dAC，
，
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222
()(102)(14)(63)72dBC，
，
∵
222
()()()dABdACdBC，，，
且()()dABdAC，，．
ABC∴△
为等腰直角三角形．
第16题. 已知(1,2,1)A，(1,3,4)B，(1,1,1)C，2APPB，则
PC
长为 ．
答案：773．
第17题. 如图，长方体
OABCDABC''''
中，3OA，4OC，
3OD'
，AC''于BD''相交于点P．分
别写出C，B'，P的坐标．
z
x
y
O
A B
C
B'
C'
D'
A'
P