高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)
2022新高考数学高频考点题型归纳07函数的奇偶性与周期性(学生版)
专题07函数的奇偶性和周期性一、关键能力在学习函数基本性质的过程中，学生能理解数学知识之间的联系，建构知识框架，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。
能够进一步提高数学运算能力，能有效借助运算方法解决实际问题，能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯，形成一丝不苟、严谨求实的科学精神，在此过程中提高逻辑推理和数学运算能力。
二、教学建议教学中，要结合231,,,y x y x y x yx====等函数，了解函数奇偶性的概念、图象和性质，并能判断一些简单函数的奇偶性（对一般函数的奇偶性，不要做深入讨论）。
函数各种性质的综合常常是命制高考数学试题的重要出发点和落脚点，在复习函数性质时应注意到数形结合思想、分类讨论、由特殊到一般（由一般到特殊）等数学思想方法的灵活运用。
三、自主梳理1.函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.3.奇偶性常见结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.4.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0). (3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0).5.对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称.四、真题感悟1.（2021新高考1卷） 已知函数()()322xx x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.2.（2021全国乙卷理）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. ()11f x -- B. ()11f x -+ C. ()11f x +- D. ()11f x ++3.（2021全国甲卷理） 设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A. 94- B. 32-C.74 D.524（2021浙江卷）. 已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A. 1()()4y f x g x =+- B. 1()()4y f x g x =-- C. ()()y f x g x = D. ()()g x y f x =5.（2020山东8）若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足(1)0xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[][)1,13,-+∞B ．[][]3,10,1--C ．[][)1,01,-+∞D ．[][]1,01,3-6.(2018全国卷Ⅱ)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ． 若(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f fA ．50-B ．0C ．2D ．50五、高频考点+重点题型 考点一、奇偶性的判定例1．下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．()ln xf x x=B ．32()f x x x =+C ．()||f x x x =-D ．)()lgf x x =-对点训练1.（2021·四川成都市·石室中学高二期中（理））已知函数()2xxf x e ex -=--，若不等式()()2120f ax f ax +-≥对x R ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,eB ．[]0,eC ．(]0,1D ．[]0,1对点训练2.【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是对点训练3.(2021·湖北省丹江口市一中模拟)设f (x )＝e x ＋e －x ，g (x )＝e x －e －x ，f (x )，g (x )的定义域均为R ，下列结论错误的是( )A ．|g (x )|是偶函数B ．f (x )g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是偶函数D ．f (x )＋g (x )是奇函数4.【2020·全国Ⅱ卷】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x ) A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减考点二、利用奇偶性求解析式例2.（1）(2019·全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x <0时，f (x )＝( )A ．e －x －1 B ．e －x ＋1 C ．－e －x －1 D ．－e －x ＋1（2）（2019·北京高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则f （x ）=________对点训练1.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(35)2f x +>-的解集为（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,+-∞C ．(),2-∞-D ．()2,+-∞对点训练2．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()f x f x x--<的解集为( )A ．(1-，0)(1⋃，)+∞B ．(-∞，1)(0-⋃，1)C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(1-，0)(0⋃，1)考点三、利用奇偶性画函数图像例3. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－5x ，则不等式f (x －1)>f (x )的解集为________．对点训练1．（2019·全国高考真题（理））函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．对点训练2．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，则不等式()10xf x -≤的解集为（ ） A ．(][),13,-∞-+∞B ．(][],11,3-∞-C ．[][]1,01,3-D ．[][)1,03,-+∞考点四、周期性判定与作用例4．（1）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且当x ∈(2，4)时，f (x )＝x 3－3x ，则f (2 021)等于( )A. 2B. －18C. 18D. －2（2）设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则当x ∈[1，2]时，f (x )＝________．对点训练1.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()πcos2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5对点训练2.已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；③当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2对点训练3．（2021·江苏南通市·高三一模）已知()f x 是定义在R 上的函数，()22f =，且对任意的x ∈R ，都有()()33f x f x +≥+，()()11f x f x +≤+，若()()1g x f x x =+-，则()2020g =（ ）A ．2020B ．3C ．2D ．1考点五、函数的奇偶性、周期性、单调性综合应用例5（1）定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，且f (x )＝f (x ＋6)，当x ∈[0，3]时，f (x )单调递增，则f (x )在下列哪个区间上单调递减( )A ．[3，7]B ．[4，5]C ．[5，8]D ．[6，10]（2）已知函数f (x )＝e x －1－e －x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是1B ．函数f (x )是单调递减函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1轴对称D ．函数f (x )的图象关于(1，0)中心对称对点训练1．（多选题）（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：A 、f （x ）的图象关于y 轴对称．B 、f （x ）的图象关于原点对称．C 、f （x ）的图象关于直线x =2π对称． D 、f （x ）的最小值为2． 其中所有真命题的是（ ）．对点训练2.函数()2cos x x xf x -=的部分图象大致为（ ）A ．B ．C．D．对点训练3.(2021·河北模拟)定义在R上的偶函数f (x)满足f (x＋2)＝f (x)，且在[－1,0]上单调递减．设a＝f (－2.8)，b＝f (－1.6)，c＝f (0.5)，则a，b，c的大小关系是() A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a>c>b巩固训练一、单项选择题1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x ．2．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4) 的值是（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 3．3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是（ ） A. 1- B.13C. 0D. 3． 4．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于________．5．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是（ ）A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)6．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)＝________． A. 1 B. 2 C. 0 D. 132．二、多项选择题7．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，则以下结论正确的是（ ）A ．函数f (x )是周期函数；B ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； C ．函数f (x )为R 上的偶函数； D ．函数f (x )为R 上的单调函数．8．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 B ．f (4)＝0C ．f (x ＋8)＝f (x )D ．若f (－5)＝－1，则f (2019)＝－1三、填空题9．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是________．10．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R ．若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．四、解答题11．设f (x )＝e x ＋a e －x (a ∈R ，x ∈R )． (1)讨论函数g (x )＝xf (x )的奇偶性；(2)若g (x )是偶函数，解不等式f (x 2－2)≤f (x )．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．。
高考数学高频考点汇总
高考数学高频考点汇总在复高考数学时，我们应该深入研究考试大纲和考试说明，确保对“考什么”和“怎么考”有深刻的理解。
此外，我们还应注意练的阶段性、层次性和渐进性，避免重复练并突出重点。
科学性和针对性的知识讲解和练检测也很重要，以便形成系统化、条理化的知识框架。
最后，我们应该确保练检测与高考相符合，难度适宜，注重基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法。
在冲刺阶段，我们应该明确重点，以确保对高考“考什么”和“怎样考”了如指掌。
以下是高考数学的7大必考专题、62个高频考点和4大抢分技巧，供参考。
1.7大必考专题：专题1：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点。
我们应该重点掌握函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等性质。
此外，一元二次函数和不等式也是重点，需要掌握它们的基础性质和解法，以及不等式与数列的结合问题和放缩技巧。
专题2：数列，以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式、求和公式和它们之间的关系，以及求通项公式和前n项和的常用方法。
专题3：三角函数、平面向量和解三角形等问题也是考点，需要掌握它们的基本概念和解法。
2.62个高频考点：这些考点包括函数的性质、一元二次函数、不等式、数列、三角函数、平面向量、解三角形等问题，需要我们掌握它们的基本概念和解法。
3.4大抢分技巧：技巧1：熟练掌握基础知识，包括函数的性质、一元二次函数、不等式、数列、三角函数、平面向量和解三角形等问题。
技巧2：注重解题方法，包括分类讨论、化简、代数运算、几何画图和利用性质等方法。
技巧3：注意细节，如符号、单位、精度等问题，避免因细节错误而失分。
技巧4：多做模拟题，熟悉考试规则和题型，增强应试能力。
高考数学考试中，常规模式是直接套用已知的解题方法。
在理解题意后，考生应该思考该题属于哪一学科、哪一章节，与哪个类型比较接近，有哪些解题方法可用，哪个方法可以首先尝试使用。
这样一来，考生就能够快速确定解题方向，提高解题速度。
高考数学各类题型的答题套路及技巧
高考数学各类题型的答题套路及技巧高考数学必考题及解题技巧篇一1、解三角形常用知识：正余弦定理、面积公式、边角互换、均值不等式，注意角范围的叙述(三角形内角和定理);三角函数与解三角形，向量相结合：化一公式、诱导公式、二倍角公式、基本关系式，均值不等式、周期的求法。
2、数列求通项an的方法：公式法、累加法、累乘法、构造法、倒数法、同除法、an与S，和Sn-1的等量关系。
求Sn的常用方法：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等。
3、立体几何证明平行：做辅助线(中位线，平行四边形，相似三角形等)可证面面平行，线面平行性质等。
证明垂直：勾股定理；等腰，等边三角形性质；菱形，正方形性质；基本图形的垂直；线面垂直得线线垂直；面面垂直性质，直径所对的圆周角等。
求距离：解三角形，等体积法等。
求空间角：做辅助线，建系，标出相应点的坐标，求出平面的法向量，写出相应的夹角公式，线面角公式等。
高考数学答题技巧篇二1、高考数学答题带着量角器进考场带个量角器进考场，遇见解析几何马上可以知道是多少度，小题求角基本马上解了，要是求别的也可以代换，大题角度是个很重要的结论，如果你实在不会，也可以写出最后结论。
2、高考数学答题取特殊值法圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致算不出，这时你可以取特殊值法强行算出过程就是先联立，后算代尔塔，用下韦达定理，列出题目要求解的表达式，就可以了。
3、高考数学答题空间几何空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。
如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直接用！用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有2分可以得。
4、高考数学答题图像法超越函数的导数选择题，可以用满足条件常函数代替，不行用一次函数。
如果条件过多，用图像法秒杀。
不等式也是特值法图像法。
先易后难我们在答数学试卷的时候，一定要先选择自己会的有把握的，要按照这个顺序，确保自己会都正确，我们在做其他的题。
高中数学常考题型答题技巧与方法超全整合版
高中数学常考题型答题技巧与方法超全整合版高中数学常考题型答题技巧与方法1、解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2、因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法3、配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：4、换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元5、待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：①设②列③解④写6、复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0两种情况为且型7、数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组8、化简二次根式基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：9、观察法10、代数式求值方法有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法(和积代入法)注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
11、解含参方程方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。
解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型求解(2)根据需要讨论(3)分类写出结论12、恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。
高考数学必考题型及答题技巧锦集
高考数学必考题型及答题技巧锦集【篇1】高考数学必考题型及答题技巧①单项选择考试范围。
集合的基本运算、复数的基本运算、统计与概率-排列组合、立体几何、概率事件、指数与对数函数、平面向量与平面几何、函数的与导数。
②多项选择考试范围。
解析几何(双曲线)、三角函数、不等式应用、对数运算及不等式基本性质。
③填空题考试范围。
解析几何(抛物线)、数列(等差或等比)、三角函数、立体几何轨迹计算。
④解答题考试范围。
三角函数(正弦余弦定理)、等比数列及其求和、统计与概率、立体几何、解析几何、函数与导数。
高考数学不及格影响院校录取吗?高考有科目不及格，不会影响太大，只要总分足够高，还是能上好的大学，只是在同等分数下，你的分数不及格，学校可能会优先选择及格的学生。
【篇2】高考数学必考题型及答题技巧高考数学必考题型是什么题型一运用同三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。
题型二运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。
题型三解三角函数问题、判断三角形形状、正余弦定理的应用。
题型四数列的通向公式的求法。
高考数学答题技巧有哪些1、函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2、如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法;3、面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。
如所过的定点，二次函数的对称轴或是……;4、选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法;5、求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法;6、恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏;7、圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式;【篇3】高考数学必考题型及答题技巧无论是全国卷，还是各个省的自命题卷，虽然对知识的考察重点不同，但是，题型却有很多共性。
新高考数学必考知识点归纳
新高考数学必考知识点归纳新高考数学作为高中数学教育的重要组成部分，其必考知识点覆盖了基础数学的多个领域。
以下是对新高考数学必考知识点的归纳：一、函数与导数- 函数的定义、性质、图像- 一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数- 函数的单调性、奇偶性、周期性- 导数的定义、几何意义、运算法则- 基本导数公式、复合函数的求导法则- 高阶导数、隐函数求导、参数方程求导二、三角函数与解三角形- 三角函数的定义、图像、性质- 正弦定理、余弦定理、正切定理- 三角恒等变换、和差化积、积化和差- 三角函数的反函数、同角三角函数关系三、不等式与方程- 不等式的基本性质、解法- 一元一次不等式、一元二次不等式- 分式不等式、绝对值不等式- 线性方程组、非线性方程组的解法- 一元高次方程的解法四、数列- 数列的概念、分类- 等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式- 数列的极限、无穷等比数列的求和- 数列的单调性、有界性五、解析几何- 点、线、面的基本性质- 直线的方程、圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线的方程- 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系- 圆锥曲线的参数方程、极坐标方程六、立体几何- 空间直线、平面的基本性质- 空间向量、向量积- 空间直线与平面的位置关系- 多面体、旋转体的体积、表面积七、概率与统计初步- 随机事件的概率、概率的加法公式、乘法公式- 条件概率、独立事件- 离散型随机变量及其分布列、期望、方差- 统计数据的收集、整理、描述八、复数- 复数的概念、复数的运算- 复数的几何意义、复平面- 复数的共轭、模、辐角九、逻辑推理与证明- 逻辑推理的基本形式、演绎推理- 直接证明、反证法、数学归纳法十、数学思想与方法- 数学建模、数学思维- 解题策略、数学方法论新高考数学的备考需要对这些知识点有深入的理解和熟练的运用能力。
通过不断的练习和总结，考生可以提高解题速度和准确率，为高考取得优异成绩打下坚实的基础。
2022新高考数学高频考点题型归纳10对数与对数函数(教师版)
专题10对数与对数函数一、关键能力学生应理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；对数函数图象常结合着零点问题、复合函数问题等综合考察，则为较难题． 二、教学建议在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。
求简单函数的定义域中，“简单函数”指下列函数：2,,,,log (),sin ,cos x a cx dy ax b y ax bx c y y y a y mx n y x y x ax b+=+=++===+==+ 求简单函数的值域中，简单函数指下列函数：2,,,log ,sin ,cos x a y ax b y ax bx c y a y x y x y x =+=++====，及它们之间简单的加减组合（更复杂的组合需在导数复习结束后加入）。
函数各种性质的综合常常是命制高考数学试题的重要出发点和落脚点，在复习函数性 质时应注意到数形结合思想、分类讨论、由特殊到一般（由一般到特殊）等数学思想方法的灵活运用。
三、自主梳理 1．对数的概念如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)；④m a log M n ＝nm log a M ．(2)对数的性质（☆☆☆） ①Na alog＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)．(3)对数的重要公式（☆☆☆）①换底公式：log a N ＝log c Nlog c b (a ，c 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．3．对数函数的图象与性质（☆☆☆）(1)定义域：(0，＋∞)四、真题感悟1.（2021全国甲）. 设2ln1.01a=，ln1.02b=，1c=-．则（）A. a b c<< B. b c a<< C. b a c<< D.c a b<<【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b 与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数()()2ln11f x x=+, ()()ln121g x x=+，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】()()2222ln1.01ln1.01ln10.01ln120.010.01ln1.02a b===+=+⨯+>=,所以b a<;下面比较c与,a b的大小关系.记()()2ln11f x x=+,则()00f=,()2121xf xx-='=+，由于()()2214122x x x x x x+-+=-=-所以当0<x<2时，()21410x x+-+>,()1x>+,()0f x'>,所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=,即2ln1.011>,即a c >; 令()()ln 121g x x =+,则()00g =,()212212x g x x -==+', 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时,()214120x x +-+<,所以()0g x '<,即函数()g x 在[0,+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=,即ln1.021<,即b <c ;综上，b c a <<, 故选：B.2. （2021全国乙卷文）下列函数中最小值为4的是（ ） A. 224y x x =++B. 4sin sin y x x=+C. 222x xy -=+D. 4ln ln y x x=+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意； 对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242xxx x y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．3.【2020·全国Ⅱ卷】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；故CD 无法确定.故选：A ．4.【2020·全国Ⅱ卷】已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A【解析】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<.5．（2017新课标Ⅰ）设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z << 【答案】D 【解析】设235x y z k ===，因为,,x y z 为正数，所以1k >，则2log x k =，3log y k =，5log z k =，所以22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⨯=>，则23x y >，排除A 、B ；只需比较2x 与5z ，22lg lg 5lg 2515lg 25lg lg 32x k z k =⨯=<，则25x z <，选D ．五、高频考点+重点题型 考点一、指数幂根式的化简运算例1.（1）化简：lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40＝________． （2）化简：45.0log32+＝________．（3）设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于答案：（1）1 （2）2 （3）10 解析：1．原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1．2．45.0log32+＝23·2log 0．54＝8·421log 2＝8·2－log 24＝8·41log 22＝8·14＝2．3．D 由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10． ∵1a ＋1b ＝2，∴log m 10＝2，∴m 2＝10，m ＝10． 对点训练1.已知2log 3,37ba ＝＝，则21log 56＝（ ） A ．3ab a ab++B ．3a ba ab++C ．3ab a b++ D ．3b a ab++【答案】A【详解】由37b =，可得3log 7b =，所以()()33213log 72log 56log 37⨯=⨯33333log 7log 2log 3log 7+=+131b a b+⨯=+3ab a ab+=+. 对点训练2.(2021·云南曲靖模拟)设a ＝log 0.30.4，b ＝log 30.4，则( )A ．ab ＜a ＋b ＜0B ．a ＋b ＜ab ＜0C ．ab ＜0＜a ＋bD ．a ＋b ＜0＜ab【答案】A【解析】因为a ＝log 0.30.4＞log 0.31＝0，b ＝log 30.4＜log 31＝0，所以ab ＜0，又a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.40.3＋log 0.43＝log 0.40.9Ⅱ(0,1)，所以0＜a ＋bab＜1，所以ab ＜a ＋b ＜0.对点训练3.(2021·北京二中高三月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A ．12B ．13C ．16D ．110 【答案】C【解析】由题设有[H ＋][OH －]＝[H ＋]210－14＝1014[H ＋]2.又10－7.45≤[H ＋]≤10－7.35 ，所以10－0.9≤1014[H＋]2≤10－0.7.所以－0.9≤lg1014[H ＋]2≤－0.7.又lg 12≈－0.3，lg 13＝－0.48，lg 16＝－0.78，lg 110＝－1，只有lg 16在范围之中．故选C ． 总结：1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N Ⅱb ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二、对数函数图像与性质的运用例2.（1）（2021·湖北武汉模拟）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0.关于x 的方程f (x )＋x －a＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．(2)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】（1）(1，＋∞) （2）D【解析】（1）问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合图象可知a >1.(2)法一 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .对点训练1.（2019·北京高考模拟（理））若函数 则函数的值域是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩()f x (,2)-∞(,2]-∞[0,)+∞(,0)(0,2)-∞(),2-∞考点三、指数型函数性质与图像考察例3.（1）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是__________．（2）(2021·湖北宜昌模拟)若函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上单调递增，且b ＝lg 0.9，c ＝20.9，则( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c【答案】（1）B （2）(10,12) 解析：（1）作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ， 则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6．∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c ． 由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．（2）由5＋4x －x 2>0，得－1<x <5，又函数t ＝5＋4x －x 2的对称轴方程为x ＝2，Ⅱ复合函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)的单调递增区间为(2,5)，Ⅱ函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上单调递增，Ⅱ⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥2，a ＋1≤5，则3≤a ≤4，而b ＝lg 0.9<0，1<c ＝20.9<2，所以b <c <a .对点训练1.(2021·浙江宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，其中“同形”函数是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )【答案】A【解析】f 3(x )＝log 2x 2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x )的图象重合，故排除选项B ，D ；f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x 的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.对点训练2.（2021·福建省莆田模拟已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则( )A ．f (x )在(0,2)上单调递增B ．f (x )在(0,2)上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称 【答案】C【解析】f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln (－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x Ⅱ(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，Ⅱf (x )＝ln (－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．ⅡA ，B 错误．Ⅱf (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝f (2－x )，Ⅱf (x )的图象关于直线x ＝1对称，ⅡC 正确．Ⅱf (2－x )＋f (x )＝[ln (2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln (2－x )]＝2[ln x ＋ln (2－x )]，不恒为0，Ⅱf (x )的图象不关于点(1,0)对称，ⅡD 错误．故选C.考点四、比较大小例4．【多选题】（2021·全国高三专题练习（理））已知0a b >>，且4ab =，则（ ） A ．21a b -> B ．22log log 1a b -> C ．228a b +> D ．22log log 1a b ⋅<【答案】ACD 【解析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】因为0a b >>，且4ab =，对A ，0a b ->，所以0221a b ->=，故A 正确；对B ，取83,32a b ==，所以2222216log log log log log 219a a b b -==<=，故B 错误；对C ，22a b ≥+，当且仅当a b =取等号，又因为4a b +≥=，当且仅当a b =取等号，所以228a b ≥≥=+，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故C 正确；对D ，当10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 1a b ⋅<；当1a b >>，22log 0,log 0a b >>，所以()()2222222log log log log log 144a b ab a b +⋅≤==，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故D 正确.故选：ACD.对点训练1.【多选题】（2021·湖南高三二模）若正实数a ，b 满足a b >且ln ln 0a b ⋅>，下列不等式恒成立的是（ ） A ．log 2log 2a b > B ．ln ln a a b b ⋅>⋅ C ．122ab a b ++> D ．log 0a b >【答案】CD 【解析】由已知不等式，求出,a b 之间的关系，结合选项一一判断即可． 【详解】由ln ln 0a b ⋅>有01b a <<< 或1a b >> ，对于选项A ，当01b a <<<或1a b >>都有log 2log 2a b < ，选项A 错误；对于选项B ，比如当11,24a b == 时，有211111111ln ln 2ln ln 44424222⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故ln ln a a b b ⋅>⋅不成立，选项B 错误；对于C ，因为()()1110ab a b a b +--=-->，所以1ab a b +>+ ，则122ab a b ++> ，选项C 正确；对于选项D ，因为ln ln 0a b ⋅>，所以ln log 0ln a bb a=>，选项D 正确， 故选：CD ．对点训练2.（2020·全国高考真题（理））若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以.，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C 、D 错误. 故选：B.242log 42log a ba b +=+2a b >2a b <2a b >2a b <2()2log xf x x =+()f x 22422log 42log 2log a b b a b b +=+=+()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b bb b +-+21log 102==-<()(2)f a f b <2a b <2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log bb b --1b =2()()20f a f b -=>2()()f a f b >2a b >2b =2()()10f a f b -=-<2()()f a f b <2a b <巩固训练一、单项选择题1．函数y ＝ln 1|2x －3|的图象为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，所以选A.2．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a <b <c D ．a >b >c答案 B解析 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .3．函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间是________．A. (),1-∞B. (),1-∞-C. ()3,+∞D. ()1,+∞． 答案： B解析： 设t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t ．由t ＞0解得x ＜－1或x ＞3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．∴t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在(－∞，－1)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．而函数y ＝log 12t 为关于t 的减函数，所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)．4.（2021·辽宁高三月考）某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度h 与其采摘后时间t （小时）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（ ）（已知lg 20.3≈，结果取整数） A ．42小时 B ．53小时 C ．56小时 D ．67小时【答案】D 【解析】利用指数的运算得出1202a =，再利用对数的运算即可求解.【详解】由题意可得200010m a =⋅，①400020m a =⋅，②②÷①可得202a =，解得1202a =，所以0050tm a =⋅，③③÷①可得205t a -=， 所以202025t -=，即20lg 2lg51lg 20.720t -==-=， 解得67t ≈（小时）. 故选：D5.（2021·山东菏泽模拟）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)Ⅱ(0，1)B ．(－∞，－1)Ⅱ(1，＋∞)C ．(－1，0)Ⅱ(1，＋∞)D ．(－∞，－1)Ⅱ(0，1)【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ）， 解得a >1或－1<a <0.故选C. 【答案】C6．（2021·安徽省阜阳一中模拟设函数f (x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( )A ．(0，2] B.⎣⎡⎦⎤12，2C ．[2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12Ⅱ[2，＋∞) 【答案】B【解析】因为f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减， 令t ＝log 2x ，所以log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1，又因为f (1)＝log 122＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，所以－1≤t ≤1，即log 2x Ⅱ[－1，1]，所以x Ⅱ⎣⎡⎦⎤12，2，故选B. 二、多项选择题关于函数f (x )＝ln 1－x 1＋x ，下列说法中正确的有( )A ．f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．f (x )为奇函数C ．f (x )在定义域上是增函数D ．对任意x 1，x 2∈(－1,1)，都有f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2答案： BD解析： 函数f (x )＝ln 1－x1＋x ＝ln ⎝⎛⎭⎫21＋x －1，其定义域满足(1－x )(1＋x )＞0，解得－1＜x ＜1， ∴定义域为{x |－1＜x ＜1}．∴A 不对．由f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，是奇函数，∴B 对．函数y ＝21＋x －1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，∴f (x )在定义域内是减函数，C 不对．f (x 1)＋f (x 2)＝ln 1－x 11＋x 1＋ln 1－x 21＋x 2＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1×1－x 21＋x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2.∴D 对． 8．(多选)已知函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列说法，其中正确的说法为( )A ．h (x )的图象关于原点对称B ．h (x )的图象关于y 轴对称C ．h (x )的最大值为0D ．h (x )在区间(－1,1)上单调递增 答案： BC解析： 函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称， ∴f (x )＝log 2x ，h (x )＝log 2(1－|x |)，为偶函数，不是奇函数， ∴A 错误，B 正确；根据偶函数性质可知D 错误；∵1－|x |≤1，∴h (x )≤log 21＝0，故C 正确．三、填空题9．(2021·浙江宁波高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则a 的取值范围是________．【解析】由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即有f (x )＝f (|x |)， 由实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则有f (log 3a )＋f (－log 3a )≥2f (1)， 即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1)， 即有f (|log 3a |)≥f (1)，由于f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减， 则|log 3a |≤1，即有－1≤log 3a ≤1， 解得13≤a ≤3.【答案】⎣⎡⎦⎤13，310．已知表中的对数值有且只有一个是错误的．答案： lg 5＝a ＋c解析： 由2a －b ＝lg 3，得lg 9＝2lg 3＝2(2a －b )，从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5＝a ＋c －1错误，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －b －c ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，31－a －c ＝lg 8＝3lg 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧lg 2＝1－a －c ，lg 3＝2a －b ，所以lg 5＝1－lg 2＝a ＋c ． 因此lg 5＝a ＋c －1错误，正确结论是lg 5＝a ＋c ．二、解答题11．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1．故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1．所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}． 12．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x ．(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )得 (3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ； ②当t ∈(0,2]时，k <(34)(3)t t t--恒成立，即k <4t ＋9t －15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t －15的最小值为－3，综上，k ∈(－∞，－3)．。
2025年高考数学重点考点汇总
2025年高考数学重点考点汇总高考数学一直是考生们重点关注的科目，随着教育改革的不断推进，数学考试的重点和趋势也在发生变化。
对于即将参加 2025 年高考的同学们来说，了解重点考点是备考的关键。
下面为大家汇总了 2025 年高考数学的重点考点。
一、函数函数是高中数学的核心内容，也是高考的重点考查对象。
包括函数的概念、性质（单调性、奇偶性、周期性）、图象等。
1、函数的定义域和值域求函数定义域时，要注意分式的分母不为零、偶次根式的被开方数非负、对数函数的真数大于零等限制条件。
值域的求解方法多样，如配方法、换元法、判别式法等。
2、函数的单调性和奇偶性利用定义判断函数的单调性和奇偶性是常见的题型。
同时，要能根据函数的单调性和奇偶性来解决不等式、比较大小等问题。
3、二次函数二次函数的图象和性质是重点，包括顶点、对称轴、最值等。
此外，二次函数与一元二次方程、不等式的结合也是常考的知识点。
4、指数函数和对数函数要掌握指数函数和对数函数的图象、性质，以及它们的运算性质。
指数函数和对数函数的综合应用，如解指数、对数方程和不等式等也是考点之一。
二、三角函数三角函数在高考中占有较大的比重，涉及的知识点较多。
1、三角函数的定义和诱导公式理解三角函数的定义，熟练掌握诱导公式，能够进行三角函数的化简和求值。
2、三角函数的图象和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图象特点、周期、振幅、相位等性质要牢记。
3、三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等的运用，以及三角函数的化简、求值和证明。
4、解三角形利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的边长、角度、面积等问题。
三、数列数列是高考数学的必考内容之一。
1、数列的概念和通项公式掌握等差数列和等比数列的定义、通项公式，能根据给出的条件求出数列的通项公式。
2、数列的前 n 项和等差数列和等比数列的前 n 项和公式要熟练运用。
同时，要掌握错位相减法、裂项相消法等求数列前 n 项和的方法。
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高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
高考数学的高频考点题型主要包括以下几类：
1. 函数与方程：包括一次函数、二次函数、指数函数、对
数函数、三角函数等的性质、图像和应用；一元二次方程、一元二次不等式、一元一次方程组等的解法与应用。
解题方法：熟悉各种函数的性质和图像特点，掌握解方程
和解不等式的方法和步骤。
2. 数列与数列的通项公式：包括等差数列、等比数列、递
推数列等的性质、求和公式和通项公式。
解题方法：了解数列的性质和公式，掌握数列的求和方法
和通项公式的推导。
3. 三角函数与解三角形：包括三角函数的性质、图像和应用；解三角形的正弦定理、余弦定理和正弦定理。
解题方法：熟悉三角函数的性质和图像特点，掌握解三角
形的定理和公式。
4. 平面几何与立体几何：包括平面图形的性质、面积和周
长计算；立体图形的性质、体积和表面积计算。
解题方法：熟悉各种图形的性质和计算公式，掌握平面几
何和立体几何的解题方法和步骤。
5. 概率与统计：包括事件的概率计算、随机变量的期望计算、样本调查和数据处理等。
解题方法：掌握概率和统计的基本概念和计算方法，了解常见的概率分布和统计图表的绘制方法。
6. 解析几何：包括平面解析几何和空间解析几何的性质、方程和应用。
解题方法：熟悉解析几何的基本概念和计算方法，掌握平面解析几何和空间解析几何的解题方法和步骤。
总结起来，高考数学的高频考点题型主要集中在函数与方程、数列与数列的通项公式、三角函数与解三角形、平面几何与立体几何、概率与统计、解析几何等方面。
解题方法主要是熟悉各种概念和公式，掌握解题方法和步骤。