中考数学专项培优训练--二次函数面积最值问题(含解析)
初中数学试题分类汇编之二次函数最值问题专项训练1(填空培优 附答案)
初中数学试题分类汇编之二次函数最值问题专项训练1（填空培优 附答案） 1．如图，在ABC中，10AB，25AC，45ACB，D为AB边上一动点（不
与点B重合），以CD为边长作正方形CDEF，连接BE，则BDE的面积的最大值等于________．
2．如图，O的半径为1，点,4Paa为O外一点，过点P作O的两条切线，
切点分别为点A和点B，则四边形PBOA面积的最小值是___________．
3．如图，在正方形ABCD中，AB=4，以B为圆心，BA长为半径画弧，点M为弧上
一点，MN⊥CD于N，连接CM，则CM－MN的最大值为 ______．
4．如图，二次函数2(0)yaxbxca的图象与x轴交于1,0A，对称轴为直线
1x，与y轴的交点B在0,2和0,3之间（不包括这两个点），下列结论：①当
13x时，0y；②213a；③当1m时，abmamb；
④22415baca．其中正确的结论的序号是___________． 5．如图，在正方形ABCD中，M、N是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的
任意一点，且4AB，2MN．关于下列结论：①当△PAN是等腰三角形时，P点有6个；②当△PMN是等边三角形时，P点有4个；③DM+DN的最小值等于6．其中，一
定正确的结论的序号是_______．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，6），B（2，0），C（6，0），D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，则CP的最大值_____．
7．已知：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，对角线AC、BD相交于点O．过
点O作一直角∠MON，直角边OM、ON分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MON，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），OM、ON分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①2EFOE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：2；③2BEBFOA；④OG•BD=AE2+CF2；⑤在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，34AE．
中考数学专题复习：二次函数与面积最值问题
中考数学专题复习：二次函数与面积最值问题1．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B 两点，点A在点B左侧，点B的坐标为(1，0)、C(0，﹣3)．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．2．已知抛物线y=12x2+mx﹣2m﹣2(m≥0)与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C（1）当m＝1时，求点A和点B的坐标（2）抛物线上有一点D(﹣1，n)，若△ACD的面积为5，求m的值。
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A(﹣3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为(﹣1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标。
第4题图第5题图5．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，矩形OABC的顶点A(2，0)、C(0，23)．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN 分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y＝ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：__________；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间(不含点R、E)运动，设△PQH的面积为s，当36＜≤Q的横坐标的取值范围．参考答案1．（1）将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得：4+=0=−3，解得：a=34，c＝﹣3．∴抛物线的解析式为y=34x2+94x﹣3。
人教版九年级上册数学同步培优第二十二章 二次函数 用二次函数求最值问题
(3)当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况 下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函 数的解析式．
解：当c＝b2时，二次函数的解析式为y＝x2＋bx＋b2，
图象开口向上，对称轴为直线x＝－ b .
①当－
b 2
＜b，即b＞0时，
2
在自变量x的值满足b≤x≤b＋3的情况下，y随x的增大而增大，
返回
2．【教材P49探究1变式】【2021·广东】我国南宋时期数学 家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公
式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角 形的三边长分别为a，b，c，记p＝ a＋b＋c ，则其面积S
2 ＝ p（p－a）（p－b）（p－c）. 这个公式也被称为海伦 －秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大 值为( )
【点思路】设销售价为x元(x≥9)，每天所获利 润为y元，则y＝[20－4(x－9)]·(x－8)＝－4(x－ 11)2＋36，所以将销售价定为11元时，才能使每 天所获销售利润最大.
【答案】11
返回
5．【2021·鄂州】为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收 入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放 种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植 某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该 作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系 ，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960.
对称轴为直线 x＝1 810000－a， ∵x 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为 17 辆时， 月利润之差最大， ∴16.5≤1 810000－a≤17.5.解得 50≤a≤150.
返回
(1)求y与x之间的函数解析式(不求自变量的取值范围)； 【点方法】根据已知条件用待定系数法即可求出一次
中考压轴专题03 二次函数的线段面积最值问题 - 解析
压轴专题03 二次函数的线段面积最值问题【考点1】二次函数的线段最值问题【例1】如图，抛物线215:324L y x x =--与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标；(2)如图1，点P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求PD BD +的最大值，并求出此时点P 的坐标； (3)如图2，将抛物线215:324L y x x =--向右平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M ，N 两点，若点A 是线段MN 的中点，求抛物线L '的解析式． 【分析】(1)先根据函数关系式求出A 、B 两点的坐标，设直线AB 的解析式为y kx b =+，利用待定系数法求出AB 的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标； (2)过点D 作DE y ⊥轴于E ，则//DE OA ．求得AB=5，设点P 的坐标为2155,34244x x x x ⎛⎫⎛⎫--<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则点D 的坐标为3,34x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，ED=x ，证明BDE BAO ∽，由相似三角形的性质求出54BD x =，用含x 的式子表示PD ，配方求得最大值，即可求得点P 的坐标； (3)设平移后抛物线L '的解析式21121()232y x m =--，将L′的解析式和直线AB 联立，得到关于x 的方程，设()()1122,,,M x y N x y ，则12,x x 是方程2232520416x m x m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭的两根，得到12324x x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，点A 为MN 的中点，128x x +=，可求得m 的值，即可求得L′的函数解析式． 【详解】(1)在215324y x x =--中， 令0y =，则2153024x x --=，解得123,42x x =-=，∴(4,0)A ．令0x =，则3y =-，∴()0,3B -．设直线AB 的解析式为y kx b =+，则403k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AB 的解析式为334y x =-． 2215151213242432y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴抛物线顶点坐标为5121,432⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)如图，过点D 作DE y ⊥轴于E ，则//DE OA ．∵4,3OA OB ==，∴5AB ==， 设点P 的坐标为2155,34244x x x x ⎛⎫⎛⎫--<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则点D 的坐标为3,34x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴ED x =． ∵//DE OA ，∴BDE BAO ∽，∴BD ED BA OA =，∴54BD x =，∴54BD x =． 而2231513324242PD x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭， ∴22215113113169224242432PD BD x x x x x x ⎛⎫+=-++=-+=--+⎪⎝⎭， ∵102-<，544x <<，由二次函数的性质可知：当134x =时，PD BD +的最大值为16932．2235313513573344444432x x ⎛⎫--=⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭，∴1357,432P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(3)设平移后抛物线L '的解析式21121()232y x m =--，联立23341121()232y x y x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，∴2311213()4232x x m -=--，整理，得：2232520416x m x m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,M x y N x y ，则12,x x 是方程2232520416x m x m ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭的两根， ∴12324x x m ⎛⎫+=+⎪⎝⎭． 而A 为MN 的中点，∴128x x +=，∴3284m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：134m =． ∴抛物线L '的解析式2211312111332432242y x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．【变式1-1】如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点()30A -,，()10B ,，交y轴于点C ．点(),0P m 是x 轴上的一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)223y x x =+-；(2)①94，②存在，123(0,321),(0,1),(0,321)Q Q Q --- 【分析】(1)把(3,0),(1,0)A B -代入2y x bx c =++中求出b ，c 的值即可； (2)①由点(),0P m 得()2(,3),,23M m m N m m m --+-，从而得()2(3)23MN m m m =---+-，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN=MC 和2MC MN =两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把(3,0),(1,0)A B -代入2y x bx c =++中，得093,01.b c x c =-+⎧⎨=++⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=-⎩∴223y x x =+-．(2)设直线AC 的表达式为y kx b =+，把(3,0),(0,3)A C --代入y kx b =+．得，03,3.k b b =-+⎧⎨-=⎩解这个方程组，得1,3.k b =-⎧⎨=-⎩∴3y x =--．∵点(),0P m 是x 轴上的一动点，且PM x ⊥轴．∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-．∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--23924m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． ∵10a =-<，∴此函数有最大值． 又∵点P 在线段OA 上运动，且3302-<-<∴当32m =-时，MN 有最大值94． ②∵点(),0P m 是x 轴上的一动点，且PM x ⊥轴．∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-．∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC ，如图，∵C (0，-3)∴222(0)(33)2m m m -+--+∴223=2m m m --432670m m m ++=∵20m ≠，∴2670m m ++=，解得，132m =-，232m =-∴当32m =-CQ=MN=322，∴OQ=-3-(322)=321-∴Q(0，321-)；当m=32-CQ=MN=-322，∴OQ=-3-(-322)=321∴Q(0，321)； (ii)若2MC MN =，如图，则有223=22m m m --整理得，432650m m m ++= ∵20m ≠，∴2650m m ++=，解得，11m =-，25m =- 当m=-1时，MN=CQ=2，∴Q (0，-1)， 当m=-5时，MN=-10＜0(不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为123(0,321),(0,1),(0,321)Q Q Q --- 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．【考点2】二次函数的面积定值问题【例2】已知二次函数2248y x mx m =-+-．(1)图象经过点1,1（）时，则m =_________；(2)当2x ≤时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；(3)以抛物线2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN (M ，N 两点在抛物线上)，请问：AMN ∆的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【分析】(1)将点1,1（）代入二次函数解析式即可求出m ；(2)求出二次函数的对称轴为x ＝m ，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边y 随x 的增大而减小，可求出m 的取值范围；(3)在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到△AMN 的面积是与m 无关的定值． 【详解】解：(1)将点1,1（）代入2248y x mx m =-+-可得：11248m m =-+-，解得：m=4；(2)二次函数2248y x mx m =-+-的对称轴是：x ＝m ， ∵当x≤2时，函数值y 随x 的增大而减小，∴m≥2； (3)AMN ∆的面积是与m 无关的定值；如图：顶点A 的坐标为(m ，−m 2＋4m−8)，△AMN 是抛物线的内接正三角形，MN 交对称轴于点B ，∵tan ∠AMB ＝tan60°＝3ABBM，∴AB 33，设BM ＝BN ＝a ，则AB 3，∴点M 的坐标为(m ＋a 32＋4m−8)，∵点M 在抛物线上，32＋4m−8＝(m ＋a)2−2m(m ＋a)＋4m−8， 整理得：230a a ，解得：a 3a ＝0(舍去)，∴△AMN 是边长为23 ∴AB=3，S △AMN ＝133332⨯=m 无关.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函数的应用，其中(3)问有一定难度，根据点M 在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键．【变式2-1】若抛物线L ：y ＝ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)与直线l ：y ＝ax +b 满足a 2+b 2＝2a (2c ﹣b )，则称此直线l 与该抛物线L 具有“支干”关系．此时，直线l 叫做抛物线L 的“支线”，抛物线L 叫做直线l 的“干线”．(1)若直线y ＝x ﹣2与抛物线y ＝ax 2+bx +c 具有“支干”关系，求“干线”的最小值； (2)若抛物线y ＝x 2+bx +c 的“支线”与y ＝﹣4cx的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；(3)已知“干线”y ＝ax 2+bx +c 与它的“支线”交于点P ，与它的“支线”的平行线l ′：y ＝ax +4a +b 交于点A ，B ，记△ABP 得面积为S ，试问：||Sa 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)﹣34；(2)y ＝﹣1x 或y ＝﹣19x ；(3)是定值，理由见解析．【分析】(1)根据“支干”关系的定义，求出a 、b 、c 的值，利用配方法确定函数的最值．(2)由题意a ＝1，1+b 2＝2(2c ﹣b ) ①，可得抛物线y ＝x 2+bx +c 的“支线”为y ＝x +b ，由，4y x bcy x=+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y 得到x 2+bx +4c ＝0，由抛物线y ＝x 2+bx +c 的“支线”与4y cx=-的图象只有一个交点，可知△＝0，得b 2﹣16c ＝0 ②，由①②解方程组即可解决问题．(3)a的值是定值．不妨设a ＞0，如图所示，y ＝ax 2+bx +c 与它的“支线”交y 轴于C ，直线y ＝ax +4a +b 与y 轴交于点D ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由2y 4ax bx c y ax a b⎧=++⎨=++⎩ ，消去y 得到ax 2+(b ﹣a )x +c ﹣4a ﹣b ＝0，推出x 1+x 2＝a ba -，x 1x 2＝c 4a b a -- ，推出|x 1﹣x 2|，把22a b + ＝2a (2c ﹣b )代入上式化简12x x -＝4，由AB ∥PC ，可得S ＝S △P AB ＝S △CAB ＝S △CDB ﹣S △CDA ═12 •CD •x x B A -＝12•4a •4＝8•a ，由此即可解决问题． 【详解】解：(1)由题意a ＝1，b ＝﹣2，12+(﹣2)2＝2(2c +2)，解得c ＝14， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x +14， ∵y ＝x 2﹣2x +3414＝(x ﹣1)2﹣34， ∵a ＝1＞0，∴x ＝1时，y 有最小值，最小值为﹣34． (2)由题意a ＝1，1+b 2＝2(2c ﹣b ) ① ∴抛物线y ＝x 2+bx +c 的“支线”为y ＝x +b ，由，4y x b c y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩消，消去y 得到x 2+bx +4c ＝0，∵抛物线y ＝x 2+bx +c 的“支线”与4y cx=-的图象只有一个交点，∴△＝0， ∴b 2﹣16c ＝0 ②由①②可得b ＝﹣2，1c 4=或21b ,336c =-=， ∴反比例函数的解析式为y ＝﹣1x 或y ＝﹣19x．(3)a是定值．理由如下：不妨设a ＞0，如图所示，y ＝ax 2+bx +c 与它的“支线”交y 轴于C ，直线y ＝ax +4a +b 与y 轴交于点D ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由2y 4ax bx cy ax a b⎧=++⎨=++⎩ 得到ax 2+(b ﹣a )x +c ﹣4a ﹣b ＝0， ∴x 1+x 2＝a b a -，x 1x 2＝c 4a b a -- ，|x 1﹣x 2|＝24(4)c a b a a---（a-b ）＝2222a 24164ab b ac a aba-+-++把a 2+b 2＝2a (2c ﹣b )代入上式化简得到|x 1﹣x 2|＝4， ∵AB ∥PC ，∴S ＝S △P AB ＝S △CAB ＝S △CDB ﹣S △CDA ═12•CD •|B x ﹣A x |＝•|124a |•4＝8•|a |， ∴s a ＝8，sa的值是定值．【点睛】本题考查了二次函数综合题、一次函数的应用、反比例函数的性质、一元一次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，学会用分割法求三角形的面积．【考点3】二次函数的面积最值问题【例3】如图，抛物线过点A(0，1)和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B(3，0)，平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为433，四边形BDEF为平行四边形．(1)求点F的坐标及抛物线的解析式；(2)若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；(3)在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．【分析】(1)由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣33x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝163a﹣8a+1﹣(﹣13)，求出a的值，则可得出答案；(2)设P(n，﹣n23)，作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'(n，﹣33n+1)，得出PP'＝﹣n2733，由二次函数的性质可得出答案；(3)联立直线AC和抛物线解析式求出C 73343)，设Q3m)，分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．【详解】解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c(a≠0)，∵A (0，1)，B (3，0)，设直线AB 的解析式为y ＝kx+m ，∴3k m 0m 1⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得331k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣33x+1， ∵点F 的横坐标为433，∴F 点纵坐标为﹣34333⨯+1＝﹣13， ∴F 点的坐标为(433，﹣13)， 又∵点A 在抛物线上，∴c ＝1，对称轴为：x ＝﹣32ba=，∴b ＝﹣23a ， ∴解析式化为：y ＝ax 2﹣23ax+1，∵四边形DBFE 为平行四边形．∴BD ＝EF ，∴﹣3a+1＝163a ﹣8a+1﹣(﹣13)，解得a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+23x+1；(2)设P (n ，﹣n 2+23n+1)，作PP'⊥x 轴交AC 于点P'，则P'(n ，﹣33)，∴PP'＝﹣n 2733， S △ABP ＝12OB•PP'2372+n 2374936324n ⎝ ∴当n 736△ABP 49324P 7364712)． (3)∵2313231y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩， ∴x ＝0或x 733C 73343)，设Q 3m )，①当AQ 为对角线时，∴R (73m +)，∵R 在抛物线y ＝2(x -+4上，∴m+73＝﹣2⎛ ⎝+4，解得m ＝﹣443，∴Q 443⎫-⎪⎭，R 373⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当AR 为对角线时，∴R 73m -)，∵R 在抛物线y ＝2(x -+4上，∴m ﹣273=-+4，解得m ＝﹣10，∴Q 10)，R 373-)．综上所述，Q 443⎫-⎪⎭，R 373⎛⎫- ⎪⎝⎭；或Q 10)，R 373-)． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()3,4A --，()0,1B -． (1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值； (3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)241y x x =+-；(2)PAB △面积最大值为278；(3)存在，1234(12)(346)(346),(13)E E E E ------，，，，，， 【分析】(1)将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；(2)设AB y kx b =+，求得解析式，过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F ，设点()2,41P a a a +-，则(,1)F a a -，1||2PABB A S PF x x ∆=⋅-23327228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即可求解； (3)分BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：(1)∵抛物线过(3,4)A --，(0,1)B -∴9341b c c -+=-⎧⎨=-⎩∴41b c =⎧⎨=-⎩∴241y x x =+-(2)设AB y kx b =+，将点()3,4A --(0,1)B -代入AB y ∴1AB y x =- 过点P 作x 轴得垂线与直线AB 交于点F设点()2,41P a a a +-，则(,1)F a a -由铅垂定理可得1||2PAB B A S PF x x ∆=⋅-()231412a a a =---+()2332a a =-- 23327228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴PAB △面积最大值为278(3)抛物线的表达式为：y ＝x 2＋4x−1＝(x ＋2)2−5， 则平移后的抛物线表达式为：y ＝x 2−5，联立上述两式并解得：14x y -⎧⎨-⎩＝＝，故点C (−1，−4)；设点D (−2，m )、点E (s ，t )，而点B 、C 的坐标分别为(0，−1)、(−1，−4)； ①当BC 为菱形的边时，点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样D (E )向右平移1个单位向上平移3个单位得到E (D )，即−2＋1＝s 且m ＋3＝t ①或−2−1＝s 且m−3＝t ②，当点D 在E 的下方时，则BE ＝BC ，即s 2＋(t ＋1)2＝12＋32③， 当点D 在E 的上方时，则BD ＝BC ，即22＋(m ＋1)2＝12＋32④， 联立①③并解得：s ＝−1，t ＝2或−4(舍去−4)，故点E (−1，2)；联立②④并解得：s ＝-3，t ＝-4±6，故点E (-3，-4＋6)或(-3，-4−6)； ②当BC 为菱形的的对角线时，则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m ＋t ⑤， 此时，BD ＝BE ，即22＋(m ＋1)2＝s 2＋(t ＋1)2⑥， 联立⑤⑥并解得：s ＝1，t ＝−3， 故点E (1，−3)，综上，点E 的坐标为：(−1，2)或(346)--+，，或(346)---，或(1，−3)． ∴存在，1234(12)(346)(346),(13)E E E E ---+----，，，，，， 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．【考点4】二次函数的其他问题【例4】已知抛物线过点和，与x 轴交于另一点B ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标； (2)如图1，E 为线段上方的抛物线上一点，，垂足为F ，轴，垂足为M ，交于点G ．当时，求的面积；(3)如图2，与的延长线交于点H ，在x 轴上方的抛物线上是否存在点P ，使？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．【分析】(1)利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；(2)先求出BC的解析式，再设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，联立方程求出点F，G的坐标，根据列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；(3)过点A作AN⊥HB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到，设点，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR，证明，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标．【详解】(1)把点A(-1，0)，C(0，3)代入中，，解得，，当时，y=4，(2)令或x=3设BC的解析式为，将点代入，得，解得，，设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，将点E坐标代入中，得，把x=m代入即解得m=2或m=-3∵点E是BC上方抛物线上的点，∴m=-3舍去，∴点，(3)过点A作AN⊥HB，∵点，∵点，点，设，把(-1，0)代入，得b=，，，设点过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR且点S的坐标为若在和中，或【点睛】本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解．【变式4-1】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C(0，﹣8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到△ACD．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)△ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由．(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得△ACE与△ACD面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】(1)由抛物线过A(﹣2，0)，点B(8，0)和C(0，﹣8)，利用待定系数法可求解析式；(2)求△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，连结BC交抛物线对称轴于D，利用待定系数法可求BC解析式，把x=3代入即可求解点D坐标；(3)△ACE与△ACD面积相等，两个三角形同底，只要点E与点D到AC的距离相等即可，先求出AC解析式，由面积相等可得DE∥AC，利用待定系数法可求DE的解析式，与抛物线联立方程组可求解．【详解】解：(1)由题意可得：0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩，解得：1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为：y＝12x2﹣3x﹣8；(2)△ACD周长能取得最小值，∵点A(﹣2，0)，点B(8，0)，∴对称轴为直线x＝3，∵△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，∴当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，∵点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，∴连接BC 交对称轴直线x ＝3于点D ，此时AD +CD 有最小值，设直线BC 解析式为：y ＝kx ﹣8，∴0＝8k ﹣8，∴k ＝1，∴直线BC 解析式为：y ＝x ﹣8，当x ＝3，y ＝﹣5，∴点D (3，﹣5)；(3)存在，∵点A (﹣2，0)，点C (0，﹣8)，∴直线AC 解析式为y ＝﹣4x ﹣8， 如图，∵△ACE 与△ACD 面积相等，∴DE ∥AC ，∴设DE 解析式为：y ＝﹣4x +n ，∴﹣5＝﹣4×3+n ，∴n ＝7，∴DE 解析式为：y ＝﹣4x +7， 联立方程组可得：2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得：1231143111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，2231143111x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩， ∴点E 311，﹣31)或(311，31)．【点睛】本题考查抛物线解析式，三角形最短周长，和面积相等时抛物线上点的坐标问题，会用待定系数法求解析式，周长最短问题转化线段的和最短问题，会用过找对称点实现转化，利用底相同，高相同，转化平行线问题是解题关键．。
冲刺2023年中考数学提优专题《 二次函数的最值》(含答案)
二次函数的最值（提优）1．如图，四边形的对角线AC、BD互相垂直，AC+BD＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？2．一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝6．用这块废料剪出一个平行四边形AGEF，其中，点G，E，F分别在AB，BC，AC上．设CE＝x（1）求x＝2时，平行四边形AGEF的面积．（2）当x为何值时，平行四边形AGEF的面积最大？最大面积是多少？3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AC上，与△ADC 另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D不与A重合），设AF＝x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y．（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时y的值最大？4．已知二次函数y＝9x2﹣6ax+a2﹣b（1）当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）①求a的值；②求当a≤x≤b时，一次函数y＝ax+b的最大值及最小值；（2）若a≥3，b﹣1＝2a，函数y＝9x2﹣6ax+a2﹣b在−12＜x＜c时的值恒大于或等于0，求实数c的取值范围．5．对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝x2+bx+c，与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）点C是抛物线与y轴的交点，点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD 长度的最大值．6．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值是多少？7．某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格，经调查发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，在此价格基础上，若涨价5元，则每月销售量将减少150件，若每月销售y （件）与价格x （元/件）满足关系y ＝kx +b ．（1）确定k ，b 的值；（2）为了使每月获得利润为1920元，问商品价格应是每件多少元？1920元是最大利润吗？8．如图正方形ABCD ，点P ，Q ，R ，S 分别在AB ，BC ，CD ，DA 上，且BQ ＝2AP ，CR ＝3AP ，DS ＝4AP（1）若正方形边长为4，则当AP 为何值时，四边形PQRS 的面积为正方形面积的一半；（2）若正方形边长为a （a 为常数），则当AP 为何值时，四边形PQRS 的面积最小，并求出最小面积．9．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数，当x ≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y ＝x ﹣1，它的相关函数为y ={−x +1(x ＜0)x −1(x ≥0)已知二次函数y ＝﹣x 2+6x +12（1）直接写出已知二次函数的相关函数为y ＝ ；（2）当点B （m ，32）在这个二次函数的相关函数的图象上时，求m 的值； （3）当﹣3≤x ≤7时，求函数y ＝﹣x 2+6x +12的相关函数的最大值和最小值．10．设a 、b 是任意两个实数，用max {a ，b }表示a 、b 两数中较大者，例如：max {﹣1，﹣1}＝﹣1，max {1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}＝，max{0，3}＝；（2）若max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y＝x2﹣2x﹣4与y＝﹣x+2的图象的交点坐标，函数y＝x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．11．在直角坐标系中，点A（0，2），B（2，2），抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P（x0，y0）．抛物线上有点M（x1，y1），N（x2，y2）（请画示意图解答）（1）当y0取得最小值时，且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（2）当抛物线与线段AB有公共点时，请求出m的范围．12．在△ACB中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝3cm，点P从A点开始沿着AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，如果运动时间为t秒．（1）t为何值时，P、Q间的距离等于4√2cm？（2）t为何值时，S△PQB有最大值？最大值是多少？13．小佳同学在学习乘法公式（a+b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，发现可以运用所学知识上数学课时，求代数式x2+4x+5的最小值？他的解答方法如下：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题（1）知识再现：当x＝时，代数式x2﹣6x+12的最小值是；（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x取何值时，y取得最大值？14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝5，点E在CB边上，以每秒1个单位的速度从点C向点B运动，运动时间为t（s），过点E作AB的平行线，交AC边于点D，以DE为边向上作等边△DEF，设△ABC与△DEF重叠部分的面积为S．（1）当点F恰好落在AB边上时，求t的值；（2）当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？15．如图，已知△ABC是等边三角形，边长为10，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且AD＝BE＝CF，（1）设AD为x，△ADF的面积为y，当x为何值时，△ADF的面积最大，最大面积是多少？（2）当x为何值时，△ADF是直角三角形？16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点D在BC上，且CD＝3cm．动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以54cm/s的速度沿CB向终点B移动．过P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示EP；（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；（3）当Q在线段BD（不包括点B、点D）上运动时，求四边形EPDQ面积的最大值．17．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，P是对角线AC上一动点，连接PD，过点P作PE⊥PD交线段BC于E，设AP＝x．（1）求PD：PE的值；（2）设DE2＝y，试求出y与x的函数关系式，并求x取何值时，y有最小值；（3）当△PCD为等腰三角形时，求AP的长．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ ∥AD 时，求x 的值；（2）当线段PQ 的垂直平分线与BC 边相交时，求x 的取值范围；（3）当线段PQ 的垂直平分线与BC 相交时，设交点为E ，连接EP 、EQ ，设△EPQ 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，并写出S 的取值范围．19．如图，将OA ＝6，AB ＝4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M 、N 以每秒1个单位的速度分别从点A 、C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ．（1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ；（2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0＜t ＜6）；并求t 为何值时，S 有最大值？（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的13？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 是等腰三角形，BO ＝BA ＝5，OA ＝6，OH ⊥AB 于点H ，点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动，点Q 从点O 出发，沿y 轴正半轴方向运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，点P运动到O即停止，设运动时间为t秒．（1）求点B坐标和OH的长；（2）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少？（3）当△OPQ为等腰三角形时，求运动时间t的值．专题15 二次函数的最值（提优）1．如图，四边形的对角线AC 、BD 互相垂直，AC +BD ＝10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？【分析】根据已知设四边形ABCD 面积为S ，AC 为x ，则BD ＝10﹣x ，进而求出S =−12x 2+5x ，再求出最值即可．【解答】解：设AC ＝x ，四边形ABCD 面积为S ，则BD ＝10﹣x ，S =12x （10﹣x ）=−12x 2+5x ，∵−12＜0，∴抛物线开口向下，当x =−52×(−12)=5时，S 最大=−12×52+5×5=252， 即当AC ＝5，BD ＝5时，四边形ABCD 面积最大，最大值为252．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知正确得出二次函数关系是解题关键．2．一块三角形废料如图所示，∠A ＝30°，∠C ＝90°，BC ＝6．用这块废料剪出一个平行四边形AGEF ，其中，点G ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上．设CE ＝x（1）求x ＝2时，平行四边形AGEF 的面积．（2）当x 为何值时，平行四边形AGEF 的面积最大？最大面积是多少？【分析】设平行四边形AGEF 的面积是S ．利用平行四边形AGEF 的对边互相平行知EF ∥AG ，所以同位角∠A ＝∠CFE ＝30°；然后在直角三角形ABC 和直角三角形BEF 中利用锐角三角函数的定义求得CF 、AC的长度，从而求得平行四边形AGEF的底边AF＝AC﹣CF；最后根据平行四边形的面积公式S＝底×高得出关于S与x的函数关系式S=−√3x2+6√3x；（1）将x＝2代入S与x的函数关系式S=−√3x2+6√3x，并求解即可；（2）利用配方法求二次函数的最值．【解答】解：设平行四边形AGEF的面积是S．∵四边形AGEF是平行四边形，∴EF∥AG；∵∠A＝30°，∠C＝90°，CE＝x，BC＝6，∴∠A＝∠CFE＝30°，∴CF=√3x，AC＝6√3，∴AF＝6√3−√3x；∴S＝AF•CE＝（6√3−√3x）x=−√3x2+6√3x，即S=−√3x2+6√3x；（1）当x＝2时，S＝﹣4√3+12√3=8√3，即S＝8√3．答：平行四边形AGEF的面积为8√3（平方单位）…4分（2）由S=−√3x2+6√3x，得S=−√3x2+6√3x，∴S=−√3(x−3)2+9√3，∴当x＝3时，平行四边形AGEF的面积最大，最大面积是9√3（平方单位）…9分．【点评】本题考查了平行四边形的性质、二次函数的最值．解答本题的关键是求出平行四边形AGEF的底边AF、底边上的高线CE的长度．3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AC上，与△ADC 另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D不与A重合），设AF＝x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y．（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时y的值最大？【分析】（1）当点D保持在AC上时，正方形与△ABC重叠部分为直角梯形DEBF，根据直角梯形的面积公式，只需用含x的代数式分别表示出上底DE、下底BF及高DF的长度即可．由△ADF为等腰直角三角形，可得高DF＝AF＝x；则AD=√2x，下底BF＝AB﹣AF＝1﹣x；进而得出CD＝AC﹣AD＝1−√2x，再根据等腰三角形及平行线的性质可证∠C＝∠CED，得出上底DE＝CD1−√2x；根据点D保持在AC上，且D不与A重合，可知0＜AD≤1，从而求出自变量x的取值范围；（2）由（1）知，y是x的二次函数，根据二次函数的性质，可知当x=−b2a时，y的值最大；【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE∥AB，∴∠B＝∠CED，∠AFD＝∠FDE＝90°，∴∠C＝∠CED，∴DC＝DE．在Rt△ADF中，∵∠A＝45°，∴∠ADF＝45°＝∠A，∴AF＝DF＝x，∴AD=xcos45°=√2x，∴DC＝DE＝1−√2x，∴y=12（DE+FB）×DF=12（1−√2x+1﹣x）x=−12（√2+1）x2+x．∵点D保持在AC上，且D不与A重合，∴0＜AD≤1，∴0＜√2x≤1，∴0＜x≤√2 2．故y=−12（√2+1）x2+x，自变量x的取值范围是0＜x≤√22；（2）∵y=−12（√2+1）x2+x，∴当x=12×(−12)(√2+1)=√2−1时，y有最大值．【点评】本题考查了正方形、平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角梯形的面积及二次函数的性质，综合性较强，难度中等． 4．已知二次函数y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b（1）当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求a 的值；②求当a ≤x ≤b 时，一次函数y ＝ax +b 的最大值及最小值；（2）若a ≥3，b ﹣1＝2a ，函数y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b 在−12＜x ＜c 时的值恒大于或等于0，求实数c 的取值范围．【分析】先求出该抛物线的对称轴，然后根据对称轴的位置即可求出a 的取值范围． 【解答】解：（1）①∵y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时， 二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4＝9×（﹣1）2﹣6a ×（﹣1）+a 2+3， 解得，a 1＝﹣2，a 2＝﹣4， ∴a 的值是﹣2或﹣4； ②∵a ≤x ≤b ，b ＝﹣3 ∴a ＝﹣2舍去， ∴a ＝﹣4， ∴﹣4≤x ≤﹣3， ∴一次函数y ＝﹣4x ﹣3，∵一次函数y ＝﹣4x ﹣3为单调递减函数，∴当x ＝﹣4时，函数取得最大值，y ＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13 x ＝﹣3时，函数取得最小值，y ＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9 （2）∵b ﹣1＝2a∴y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b 可化简为y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣2a ﹣1 ∴抛物线的对称轴为：x =a3≥1， 抛物线与x 轴的交点为（a+√2a+13，0）（a−√2a+13，0）∵函数y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b 在−12＜x ＜c 时的值恒大于或等于0 ∴c ≤a−√2a+13， ∵a ≥3，∴−12＜c ≤3−√73． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象，本题属于中等题型． 5．对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【分析】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）．（2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）． 设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ， 则{−3m +n =0n =−3， 解得：{m =−1n =−3，∴y＝﹣x﹣3如图，设点Q的坐标为（x．y），﹣3≤x≤0．则有QD＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x=−32时，QD有最大值94．∴线段QD长度的最大值为9 4．【点评】此题主要考查了二次函数最值问题以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识，正确得出QD的解析式是解题关键．6．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值是多少？【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD=12×5×（﹣x2+6x﹣3）=−52（x﹣3）2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值．【解答】解：∵D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC=√42+32=5，∵四边形OABC是菱形，∴BC＝OC＝5，BC∥x轴，∴S△BCD=12×5×（﹣x2+6x﹣3）=−52（x﹣3）2+15，∵−52＜0，∴S△BCD有最大值，最大值为15，【点评】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键．7．某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格，经调查发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，在此价格基础上，若涨价5元，则每月销售量将减少150件，若每月销售y（件）与价格x（元/件）满足关系y＝kx+b．（1）确定k，b的值；（2）为了使每月获得利润为1920元，问商品价格应是每件多少元？1920元是最大利润吗？【分析】（1）可根据题意用待定系数法，求出k，b的值．（2）利润＝单件的利润×销售的数量．然后根据函数的性质来求出利润最大的方案．【解答】解：（1）由题意可知：{20k+b=36025k+b=210，解得：k＝﹣30，b＝960．（2）由（1）可知：y与x的函数关系应该是y＝﹣30x+960设利润为W，由题意可得W＝（x﹣16）（﹣30x+960）＝﹣30x2+1440x﹣15360．∵﹣30＜0，∴当x=−14402×(−30)=24时利润最大，W最大＝1920答：当定价为24元时利润最大，最大的利润为1920元．【点评】考查了二次函数的最值，此类应用题常出现于销售、收费、行程等实际问题当中，利用函数求最值时，主要应用函数的性质．8．如图正方形ABCD，点P，Q，R，S分别在AB，BC，CD，DA上，且BQ＝2AP，CR＝3AP，DS＝4AP （1）若正方形边长为4，则当AP为何值时，四边形PQRS的面积为正方形面积的一半；（2）若正方形边长为a（a为常数），则当AP为何值时，四边形PQRS的面积最小，并求出最小面积．【分析】（1）求出四边形PQRS 的面积是S 正方形ABCD ﹣S △P AS ﹣S △PBQ ﹣S △QCR ﹣S △SDR ，根据四边形PQRS 的面积＝正方形ABCD 是面积的一半列出方程，求出方程的解即可； （2）先求出四边形PQRS 的面积S 和x 的解析式，再求出最值即可． 【解答】解：（1）设AP ＝x ，则BQ ＝2x ，CR ＝3x ，DS ＝4x ， ∵正方形ABCD 的边长为4， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝4，∴BP ＝4﹣x ，CQ ＝4﹣2x ，DR ＝4﹣3x ，AS ＝4﹣4x ，则四边形PQRS 的面积是S 正方形ABCD ﹣S △P AS ﹣S △PBQ ﹣S △QCR ﹣S △SDR ，当四边形PQRS 的面积＝正方形ABCD 是面积的一半时，4×4−12•x •（4﹣4x ）−12⋅2x •（4﹣x ）−12⋅3x •（4﹣2x ）−12⋅（4﹣3x ）•4x =12×4×4， 整理得：3x 2﹣5x +2＝0， 解得：x ＝1或23，即AP ＝1或23，所以当AP 为1或23时，四边形PQRS 的面积为正方形面积的一半；（2）设AP ＝x ，则BQ ＝2x ，CR ＝3x ，DS ＝4x ， ∵正方形ABCD 的边长为a ， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝a ，∴BP ＝a ﹣x ，CQ ＝a ﹣2x ，DR ＝a ﹣3x ，AS ＝a ﹣4x ，则四边形PQRS 的面积S ＝S 正方形ABCD ﹣S △P AS ﹣S △PBQ ﹣S △QCR ﹣S △SDR ＝4×4−12•x •（a ﹣4x ）−12⋅2x •（a ﹣x ）−12⋅3x •（a ﹣2x ）−12⋅（a ﹣3x ）•4x ＝12x 2﹣5ax +a 2，当AP ＝x =−−5a 2×12=5a24时，面积最小，最大值是4×12×a 2−(−5a)24×12=23a 248．【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积和二次函数的最值，能求出函数的解析式是解此题的关键．9．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数，当x ≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y ＝x ﹣1，它的相关函数为y ={−x +1(x ＜0)x −1(x ≥0)已知二次函数y ＝﹣x 2+6x +12（1）直接写出已知二次函数的相关函数为y ＝ {x 2−6x −12(x ＜0)−x 2+6x +12(x ≥0)； （2）当点B （m ，32）在这个二次函数的相关函数的图象上时，求m 的值；（3）当﹣3≤x ≤7时，求函数y ＝﹣x 2+6x +12的相关函数的最大值和最小值．【分析】（1）根据相关函数的定义即可找出二次函数y ＝﹣x 2+6x +12的相关函数，将点A （﹣5，8）代入y ＝﹣ax +3中即可求出a 值；（2）分m ＜0及m ≥0两种情况考虑，代入点B （m ，32）的坐标求出m 值即可；（3）分﹣3≤x ＜0及0≤x ≤7两种情况，找出函数y ＝﹣x 2+6x +12的相关函数的最大值和最小值，综上即可得出结论．【解答】解：（1）二次函数y ＝﹣x 2+6x +12的相关函数为y ={x 2−6x −12(x ＜0)−x 2+6x +12(x ≥0)， 故答案为：{x 2−6x −12(x ＜0)−x 2+6x +12(x ≥0)；（2）当m ＜0时，把B （m ，32）代入y ＝x 2﹣6x −12得：m 2﹣6m −12=32，解得：m ＝3+√11（舍去）或m ＝3−√11；当m ≥0时，把B （m ，32）代入y ＝﹣x 2+6x +12得：﹣m 2+6m +12=32，解得：m ＝3±2√2，综合上述：m ＝3−√11或m ＝3﹣2√2或3+2√2；（3）当﹣3≤x ＜0时，y ＝x 2﹣6x −12=（x ﹣3）2−192， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝3，在﹣3≤x ＜0上，y 随x 的增大而减小， ∴当x ＝﹣3时，y 取最大值，最大值为532；当0≤x ≤7时，y ＝﹣x 2+6x +12=−（x ﹣3）2+192， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝3， ∴当x ＝3时，y 取最大值，最大值为192，当x ＝7时，y 取最小值，最小值为−132． 综上所述：当﹣3≤x ≤7时，所求函数的相关函数的最大值为532，最小值为−132． 【点评】本题考查了二次函数的最值、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据相关函数的定义找出二次函数y ＝﹣x 2+6x +12的相关函数；（2）分m ＜0及m ≥0两种情况考虑；（3）分﹣3≤x ＜0及0≤x ≤7两种情况，找出函数y ＝﹣x 2+6x +12的相关函数的最大值和最小值．10．设a 、b 是任意两个实数，用max {a ，b }表示a 、b 两数中较大者，例如：max {﹣1，﹣1}＝﹣1，max {1，2}＝2，max {4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题： （1）max {5，2}＝ 5 ，max {0，3}＝ 3 ； （2）若max {3x +1，﹣x +1}＝﹣x +1，求x 的取值范围；（3）求函数y ＝x 2﹣2x ﹣4与y ＝﹣x +2的图象的交点坐标，函数y ＝x 2﹣2x ﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y ＝﹣x +2的图象，并根据图象直接写出max {﹣x +2，x 2﹣2x ﹣4}的最小值．【分析】（1）根据max {a ，b }表示a 、b 两数中较大者，即可求出结论；（2）根据max {3x +1，﹣x +1}＝﹣x +1，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论； （3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y ＝﹣x +2的图象，观察图形，即可得出max {﹣x +2，x 2﹣2x ﹣4}的最小值．【解答】解：（1）max{5，2}＝5，max{0，3}＝3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，{y=x 2−2x−4y=−x+2，解得：{x1=−2y1=4，{x2=3y2=−1，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y＝﹣x+2，如图所示，观察函数图象可知：当x＝3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．【点评】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}＝﹣x+1，找出关于x的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．11．在直角坐标系中，点A（0，2），B（2，2），抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P（x0，y0）．抛物线上有点M（x1，y1），N（x2，y2）（请画示意图解答）（1）当y0取得最小值时，且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（2）当抛物线与线段AB有公共点时，请求出m的范围．【分析】（1）先将x0＝﹣2代入抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2中，可得y0＝22﹣2m×（﹣2）+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，根据二次函数的最值可得y0的最小值，确定此时抛物线的解析式，根据增减性和图象可得y1与y2的大小；（2）令y＝2解出两个解，这两个解符合AB横坐标范围，可解答．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P（x0，y0），∴y0＝22﹣2m×（﹣2）+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，∴当m＝﹣2时，y0取得最小值，此时y0＝﹣2，如图1，∴y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2；（2）如图2，y＝x2﹣2mx+m2﹣2＝（x﹣m）2﹣2，当y＝2时，（x﹣m）2﹣2＝2，x﹣m＝±2，x＝m±2，∵抛物线与线段AB有公共点，且点A（0，2），B（2，2），∴0≤m﹣2≤2或0≤m+2≤2，∴﹣2≤m≤0或2≤m≤4；∴m的范围为﹣2≤m≤0或2≤m≤4．【点评】本题考查了二次函数图象的最值问题与对称轴的关系，增减性及抛物线与线段的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是关键，并运用了数形结合的思想，此类题目，利用对称轴的变化求解更简便．12．在△ACB 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝3cm ，点P 从A 点开始沿着AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，如果运动时间为t 秒．（1）t 为何值时，P 、Q 间的距离等于4√2cm ？（2）t 为何值时，S △PQB 有最大值？最大值是多少？【分析】（1）设经过x 秒，PQ ＝4√2cm ，则AP ＝tcm ，BQ ＝2tcm ，BP ＝（6﹣t ）cm ，利用勾股定理列出方程即可求解．（2）构建二次函数，利用二次函数的性质确定最值问题；【解答】解：（1）设经过t 秒，PQ ＝4√2cm ，则AP ＝xtm ，BQ ＝2tcm ，BP ＝（6﹣t ）cm ，∴（2t ）2+（6﹣t ）2＝（4√2）2解得：t ＝2或25经检验y ＝2不合题意，舍去，故t =25s ．（2）∵S △PBQ =12•（6﹣t ）•2t ＝﹣t 2+6t ＝﹣（t ﹣3）2+9，∵﹣1＜0，0＜t ≤32，∴t =32时，△PQB 的面积最大，最大值=274【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是正确的设出未知数并表示出有关线段的长，学会构建二次函数解决最值问题；13．小佳同学在学习乘法公式（a +b ）2＝a 2±2ab +b 2的多种运用后，发现可以运用所学知识上数学课时，求代数式x 2+4x +5的最小值？他的解答方法如下：解：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1∵（x +2）2≥0，∴当x ＝﹣2时，（x +2）2的值最小，最小值是0，∴（x +2）2+1≥1∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题（1）知识再现：当x＝3时，代数式x2﹣6x+12的最小值是3；（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x取何值时，y取得最大值？【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可；（2）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．【解答】解：（1）x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3，则x＝3时，代数式的最小值是3，故答案为：3；3；（2）y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，则当x＝1时，y取得最大值是﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的最值的确定，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝5，点E在CB边上，以每秒1个单位的速度从点C向点B运动，运动时间为t（s），过点E作AB的平行线，交AC边于点D，以DE为边向上作等边△DEF，设△ABC与△DEF重叠部分的面积为S．（1）当点F恰好落在AB边上时，求t的值；（2）当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？【分析】（1）由于ED∥AB，得出∠EDC＝30°，解直角三角形得出ED＝FD＝2t，CD=√3t，进而求得AD＝AC﹣CD＝5√3−√3t，由等边三角形的性质求得∠ADF＝90°，解直角三角形求得AD=√3t D F＝2√3t，从而得出5√3−√3t＝2√3t，解方程即可求得；（2）分两种情况，当0＜t≤53时，S就是等边三角形DEF的面积；当53＜t＜5时，S就是等边三角形DEF的面积减去等边三角形GHF的面积，再利用配方法写成顶点式，根据二次函数的性质即可求出S的最大值；【解答】解：（1）如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝5，DE∥AB，∴∠CDE ＝∠A ＝30°，∴AC =√3BC ＝5√3，∵EC ＝t ，∴ED ＝FD ＝2t ，CD =√3t ，∴AD ＝AC ﹣CD ＝5√3−√3t ，∵△DEF 是等边三角形，∴∠EDF ＝60°，∴∠ADF ＝90°，∴AD =√3FD ＝2√3t ，∴5√3−√3t ＝2√3t ，解得t =53；（2）当0＜t ≤53时，S =12•2t •√32•2t =√3t 2， 当53＜t ＜5时，∵AD ＝AC ﹣CD ＝5√3−√3t ，∴DG =√33AD ＝5﹣t ，∵ED ＝DF ＝2t ，∴FG ＝2t ﹣（5﹣t ）＝3t ﹣5，∵ED ∥AB ，∴∠FHG ＝∠FGH ＝∠EDF ＝60°，∴△GFH 是等边三角形，∴S ═12•2t •√32•2t −12（3t ﹣5）•√32•（3t ﹣5）=√34（2t ）2−√34（3t ﹣5）2=5√34（t ﹣3）2+5√3， ∴t ＝3时，S 有最大值5√3．【点评】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积，二次函数的性质等，综合性较强，有一定难度．15．如图，已知△ABC是等边三角形，边长为10，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且AD＝BE＝CF，（1）设AD为x，△ADF的面积为y，当x为何值时，△ADF的面积最大，最大面积是多少？（2）当x为何值时，△ADF是直角三角形？【分析】（1）过F作AB的垂线，垂足为H，可得FH＝AF×sin60°＝（10﹣x）×√32，△ADF的面积为y=−√34x2+5x，根据二次函数的最值公式，即可求出当x为何值时，△ADF的面积最大值；（2）①△ADF是直角三角形，令∠ADF是直角，则FD2+AD2＝AF2，②△ADF是直角三角形，令∠AFD 是直角，则FD2+AF2＝AD2，根据勾股定理列方程，解答出即可．【解答】解：（1）∵AD为x，AD＝BE＝CF，∴AF＝10﹣x，过F作AB的垂线，垂足为H，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，则FH＝AF×sin60°＝（10﹣x）×√3 2，∴y=12×x×（10﹣x）×√32=−√34x2+5√32x，∴x=−b2a=5√322×√34=5，y =4ac−b 24a =0−(5√32)24×(−√34)=25√34， 综上，当x ＝5，△ADF 的面积最大，最大面积是25√34；（2）①如果△ADF 是直角三角形，令∠ADF 是直角，根据勾股定理的逆定理得：FD 2+AD 2＝AF 2， 则[(10−x)×√32]2+x 2＝（10﹣x ）2，解得：x 1＝﹣10（舍去），x 2=103；②如果△ADF 是直角三角形，令∠AFD 是直角，根据勾股定理的逆定理得：FD 2+AF 2＝AD 2，则[√32x]2+（10﹣x ）2＝x 2，解得，x 1＝20（舍去），x 2=203；综上，当x =103或203时，△ADF 是直角三角形．【点评】本题主要考查了二次函数的最值、等边三角形的性质及勾股定理等知识，注意（2）中分两种情况讨论解答．16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝5cm ，点D 在BC 上，且CD ＝3cm ．动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，其中点P 以1cm /s 的速度沿AC 向终点C 移动；点Q 以54cm /s 的速度沿CB 向终点B 移动．过P 作PE ∥CB 交AD 于点E ，设动点的运动时间为x 秒．（1）用含x 的代数式表示EP ；（2）当Q 在线段CD 上运动几秒时，四边形PEDQ 是平行四边形；（3）当Q 在线段BD （不包括点B 、点D ）上运动时，求四边形EPDQ 面积的最大值．【分析】（1）此题有两种解法：①由于PE ∥CD ，易证得△APE ∽△ACD ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得PE 的长，②根据∠A 的正切值求解．（2）当Q 在线段CD 上运动时，0＜x ＜2.4，若四边形PEDQ 是平行四边形，则PE ＝DQ 1，可用x 表示出DQ 1的长，联立PE 的表达式列方程求出x 的值．（3）当Q 在线段BD 上运动时，四边形EPDQ 是梯形，DQ 、CP 的长易求得，即可根据梯形的面积公式求得关于四边形EPDQ 的面积与x 的函数关系式，根据函数的性质即可得到四边形EPDQ 的最大面积．【解答】解：（1）∵PE ∥CB ，∴∠AEP ＝∠ADC ，又∵∠EAP ＝∠DAC ，∴△AEP ∽△ADC ，（2分）∴AP AC =EP DC ， ∴EP 3=x 4，（3分）∴EP =34x ．（4分）（2）由四边形PEDQ 1是平行四边形，可得EP ＝DQ 1．（5分）即34x ＝3−54x ，所以x ＝1.5．（6分） ∵0＜x ＜2.4（7分）∴当Q 在线段CD 上运动1.5秒时，四边形PEDQ 是平行四边形．（8分）（3）S 四边形EPDQ 2=12（34x +54x ﹣3）•（4﹣x ）（9分） ＝﹣x 2+112x ﹣6＝﹣（x −114）2+2516，（10分）又∵2.4＜x ＜4，（12分）∴当x =114时，S 取得最大值，最大值为2516．（13分）【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、梯形的面积以及二次函数最值的应用；在求图形面积的最大或最小值时，通常转化为二次函数的最值问题进行求解．17．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝8，P 是对角线AC 上一动点，连接PD ，过点P 作PE ⊥PD 交线段BC 于E ，设AP ＝x ．（1）求PD ：PE 的值；（2）设DE 2＝y ，试求出y 与x 的函数关系式，并求x 取何值时，y 有最小值；（3）当△PCD 为等腰三角形时，求AP 的长．【分析】（1）此题要通过构建相似三角形求解，过P 作MN ⊥BC 于N ，交AD 于M ，若AP ＝x ，通过△APM ∽△ACD 即可得到PM 、DM 的表达式，同理可求得PN 、CN 表达式，由于PD ⊥PE ，可证得△PDM ∽△EPN ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得到PD ：PE 的值．（2）由于△DPE 是直角三角形，即可由勾股定理求得DE 2的表达式，也就得到了关于y 、x 的函数关系式，根据函数的性质即可求出y 的最小值及对应的x 的值．（3）在上面两个题中，已经求得了PD 、PC 的表达式，可根据：①PD ＝PC ，②PD ＝DC ，③PC ＝CD ，三个不同的等量关系，列方程求出对应的x 的值，即AP 的长．【解答】解：（1）过P 作MN ⊥BC 交BC 、AD 于N 、M ，则MN ∥CD ．∴AP AC =AM AD=PM CD ， ∴PM =√55x ，AM =2√55x ，∴PN =4−√55x ，DM =8−2√55x ．（2分）∵∠MPD +∠MDP ＝∠MPD +∠NPE ＝90°，∴∠MDP ＝∠NPE ．又∵∠DMP ＝∠PNE ＝90°，∴△DMP ∽△PNE ．（3分）∴DM PN =PD PE =PM NE =8−25√5x 4−15√5x =2，∴PD ：PE ＝2：1；（2）∵PM =√55x ， ∴NE =√510x ．（4分）∵CN =DM =8−2√55x ，NE =√510x ， ∴CE =8−√52x ．（6分）∵DE 2＝CD 2+CE 2，∴y =54x 2−8√5x +80．（8分）当DP ⊥AC 时y 有最小值，可求AP =16√55，即当x =16√55时，y 有最小值．（9分）（3）当PD ＝PC 时，则AP =2√5；（10分）当CP ＝CD 时，则AP =4√5−4；（11分）当DP ＝DC 时，则AP =12√55．（12分）【点评】此题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．18．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，点P 、Q 分别是AB 边和CD 边上的动点，点P 从点A 向点B 运动，点Q 从点C 向点D 运动，且保持AP ＝CQ ．设AP ＝x ．（1）当PQ ∥AD 时，求x 的值；（2）当线段PQ 的垂直平分线与BC 边相交时，求x 的取值范围；（3）当线段PQ 的垂直平分线与BC 相交时，设交点为E ，连接EP 、EQ ，设△EPQ 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，并写出S 的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD 是矩形，再根据矩形的性质和AP ＝CQ 求x 即可；（2）连接EP 、EQ ，则EP ＝EQ ，设BE ＝y ，列出等式（8﹣x ）2+y 2＝（6﹣y ）2+x 2然后根据函数的性质来求x 的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ ∥AD 时，则∠A ＝∠APQ ＝90°，∠D ＝∠DQP ＝90°，又∵AB ∥CD ，∴四边形APQD 是矩形，∴AP ＝QD ，∵AP ＝CQ ，AP =12CD =12×8=4， ∴x ＝4．（2）如图，连接EP 、EQ ，则EP ＝EQ ，设BE ＝y ．∴（8﹣x ）2+y 2＝（6﹣y ）2+x 2，∴y =4x−73． ∵0≤y ≤6，∴0≤4x−73≤6， ∴74≤x ≤254．（3）S △BPE =12•BE •BP =12•4x−73•（8﹣x ）=−4x 2+39x−566，S △ECQ =12⋅CE ⋅CQ =12•（6−4x−73）•x =−4x 2+25x 6， ∵AP ＝CQ ，∴S BPQC =12S 矩形ABCD =24，∴S ＝S BPQC ﹣S △BPE ﹣S △ECQ ＝24−−4x 2+39x−566−−4x 2+25x 6， 整理得：S =4x 2−32x+1003=43（x ﹣4）2+12（74≤x ≤254）， ∴当x ＝4时，S 有最小值12，当x =74或x =254时，S 有最大值754． ∴12≤S ≤754．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．19．如图，将OA ＝6，AB ＝4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M 、N 以每秒1个单位的速度分别从点A 、C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ．（1）点B 的坐标为 （6，4） ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 （t ，23t ） ； （2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0＜t ＜6）；并求t 为何值时，S 有最大值？（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的13？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学培优 易错 难题(含解析)之二次函数及答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m 2=-,22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．综上所述，2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣3（a≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．【答案】（1）y=38x 2﹣34x ﹣3（2）运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910 （3）K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158） 【解析】【详解】 试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910（t ﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=34x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =94．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣34m 2+3m=94．易求得K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）． 解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得 423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以该抛物线的解析式为：y=38x 2﹣34x ﹣3； （2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ．∴PB=6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）． 在Rt △BOC 中，．如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．∴QH ∥CO ，∴△BHQ ∽△BOC ， ∴HB OC BG BC=，即Hb 35t =， ∴HQ=35t ． ∴S △PBQ =12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+95t=﹣910（t ﹣1）2+910． 当△PBQ 存在时，0＜t ＜2∴当t=1时， S △PBQ 最大=910． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）．把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得403k c c +=⎧⎨=-⎩， 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3． ∵点K 在抛物线上． ∴设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，34m ﹣3）．∴EK=34m﹣3﹣（38m2﹣34m﹣3）=﹣38m2+32m．当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=9 10．∴S△CBK=94．S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•（4﹣m）=12×4•EK=2（﹣38m2+32m）=﹣34m2+3m．即：﹣34m2+3m=94．解得 m1=1，m2=3．∴K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．3．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵2，∴QF=1．①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t ＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -．综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．4．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.【答案】(1)y=-224(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）(2)m 、n 的值分别为 5，-5【解析】（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得：4b+c-16=0，b+c-1="3" ，解得：b="4" ， c=0．所以抛物线的表达式为：24y x x =-+．y=-224(2)4y x x x =-+=--+，所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）．（2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）．三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20，所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0）又n=-2m +4m ，所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0)故所求m 、n 的值分别为 5，-5．5．如图，已知点A （0，2），B （2，2），C （-1，-2），抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2与直线x=-2交于点P ．（1）当抛物线F 经过点C 时，求它的解析式；（2）设点P 的纵坐标为y P ，求y P 的最小值，此时抛物线F 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），且x 1＜x 2≤-2，比较y 1与y 2的大小.【答案】(1) 221y x x =+-；(2)12y y >.【解析】【分析】 （1）根据抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2过点C （-1，-2），可以求得抛物线F 的表达式； （2）根据题意，可以求得y P 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 1与y 2的大小.【详解】(1) ∵抛物线F 经过点C （－1，－2），∴22122m m -=++-.∴m 1=m 2=-1.∴抛物线F 的解析式是221y x x =+-.(2)当x=-2时，2442P y m m =++-=()222m +-. ∴当m=-2时，P y 的最小值为－2.此时抛物线F 的表达式是()222y x =+-.∴当2x ≤-时，y 随x 的增大而减小.∵12x x <≤－2，∴1y >2y .【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．6．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得： 660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，∵PH ⊥OB 于H ， ∴∠DHB=∠AOB=90°， ∴DH ∥AO ， ∵OA=OB=6， ∴∠BDH=∠BAO=45°， ∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴， ∴∠DPE=90°，若△PDE 为等腰直角三角形， 则∠EDP=45°，∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即点E 与点A 重合，则当y=6时，﹣12x 2+2x+6=6， 解得：x=0（舍）或x=4， 即点P （4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.7．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． （1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本）与销售单价x （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．【答案】（1）10500(3038)y x x =-+；（2）2a =． 【解析】 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x-20-a ）（-10x+500）=-10x 2+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38，则当1352x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=2，a 2=58，于是得到a=2． 【详解】解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++--对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38， 则当1352x a =+时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴122,58a a ==（不合题意舍去），∴2a =． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．8．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。
中考数学二次函数(大题培优)及答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩，则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6），∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t=﹣32（t ﹣3）2+272，∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，∵PH ⊥OB 于H ， ∴∠DHB=∠AOB=90°， ∴DH ∥AO ， ∵OA=OB=6， ∴∠BDH=∠BAO=45°， ∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴， ∴∠DPE=90°，若△PDE 为等腰直角三角形， 则∠EDP=45°，∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角，即点E 与点A 重合，则当y=6时，﹣12x 2+2x+6=6， 解得：x=0（舍）或x=4， 即点P （4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.2．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论：①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m ，即点C 坐标为：（，0）或（﹣，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5±，即：点C 坐标为（5+，0）或（5﹣0）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C 的坐标为：（，0）或（5±0）或（9710，0）； （3）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ．设直线AB 的表达式为y =kx ﹣3，把点B 坐标代入上式，9=5k ﹣3，则k 125=，故函数的表达式为：y 125=x ﹣3，设点P 坐标为（m ，125m 2485-m ﹣3），则点H 坐标为（m ，125m ﹣3），S △PAB 12=•PH •x B 52=（125-m 2+12m ）=－6m 2+30m =25756()22m --+，当m =52时，S △PAB 取得最大值为：752． 答：△PAB 的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．【答案】（1）y=38x2﹣34x﹣3（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是9 10（3）K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）【解析】【详解】试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣910（t ﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=34x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）．如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =94．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣34m 2+3m=94．易求得K 1（1，﹣278），K 2（3，﹣158）．解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得423016430a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得3834a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以该抛物线的解析式为：y=38x 2﹣34x ﹣3；（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ． ∴PB=6﹣3t ．由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）． 在Rt △BOC 中，BC=2234+=5． 如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．∴QH ∥CO ， ∴△BHQ ∽△BOC ，∴HB OC BGBC=，即Hb 35t=，∴HQ=35t ． ∴S △PBQ =12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+95t=﹣910（t ﹣1）2+910．当△PBQ 存在时，0＜t ＜2 ∴当t=1时，S △PBQ 最大=910． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）． 把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得403k c c +=⎧⎨=-⎩， 解得3k 4c 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 的解析式为y=34x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．∴设点K 的坐标为（m ，38m 2﹣34m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，34m ﹣3）．∴EK=34m ﹣3﹣（38m 2﹣34m ﹣3）=﹣38m 2+32m ．当△PBQ 的面积最大时，∵S △CBK ：S △PBQ =5：2，S △PBQ =910．∴S△CBK=94．S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•（4﹣m）=12×4•EK=2（﹣38m2+32m）=﹣34m2+3m．即：﹣34m2+3m=94．解得 m1=1，m2=3．∴K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．4．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？【答案】（1）足球飞行的时间是85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.【解析】试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．解：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，∴当t=时，y 最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t 得t=2.8， ∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门． 考点：二次函数的应用．5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +4与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D 为抛物线对称轴上一动点，求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小； （3）如图2，点E 在第一象限抛物线上，AE 与BC 交于点F ，若AF ：FE ＝2：1，求E 点坐标；（4）点M 、N 同时从B 点出发，分别沿BA 、BC 方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M 运动到点A 时，点N 停止运动，则当点N 停止运动后，在x 轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ⎛⎫⎪⎝⎭（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【解析】 【分析】（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF2EH EF==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标 【详解】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4， 得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩解得a ＝43-，b ＝83， ∴抛物线的解析式248433y x x =-++； （2）22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1， ∴D 的横坐标为1，由（1）可得C （0，4）， ∵B （3，0）， ∴直线BC ：4y 43x =-+ ∵DA ＝DB ，△DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ， 连接BC ，与对称轴交于点D ，此时CD+BD 最小， ∵AC 为定值， ∴此时△DAC 的周长， 当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83， ∴D （1，83）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，∴△ABF ∽△EHF ， ∵AF ：FE ＝2：1，∴AB AF2EH EF ==， ∵AB ＝4， ∴EH ＝2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+） ∵EH ∥AB ， ∴y E ＝y H ，∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2，y ＝163或4， ∴E （1，163）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4） ∴AB ＝4，OC ＝4，点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4， ∴BN ＝4，∵△PBN 是等腰三角形， ①BP ＝BC 时，若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1， ∴P 1（﹣1，0），若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7， ∴P 2（7，0）；②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴， △NHB ∽△COB ，∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445⨯＝165，BH ＝45BC ＝125， ∴PH ＝BH ＝125， BP ＝245， ∴OP ＝BP ﹣OB ＝249355-=， ∴P 3（﹣95，0）； ③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ， ∴△NOB ∽△PKB ，∴PB BKBN OB= ∴PB ＝83，∴OP ＝OB ﹣PB ＝3﹣83＝13P 4（13，0） 综上，当△PBN 是等腰三角形时，点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D 点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键6．如图1,在平面直角坐标系中,直线1y x =-与抛物线2y x bx c =-++交于A B 、两点，其中(),0A m ,()4,B n .该抛物线与y 轴交于点C ,与x 轴交于另一点D .(1)求mn 、的值及该抛物线的解析式; (2)如图2.若点P 为线段AD 上的一动点(不与A D 、重合).分别以AP 、DP 为斜边,在直线AD 的同侧作等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ,连接MN ,试确定△MPN 面积最大时P 点的坐标.(3)如图3.连接BD 、CD ,在线段CD 上是否存在点Q ,使得以A D Q 、、为顶点的三角形与△ABD 相似,若存在,请直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）265y x x =-+-；（2）当2m =，即2AP =时，MPN S ∆最大，此时3OP =,所以()3,0P ；（3）存在点Q 坐标为2-3（，）或78-33⎛⎫⎪⎝⎭，. 【解析】分析：（1）把A 与B 坐标代入一次函数解析式求出m 与n 的值，确定出A 与B 坐标，代入二次函数解析式求出b 与c 的值即可；（2）由等腰直角△APM 和等腰直角△DPN ，得到∠MPN 为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN 面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P 的坐标即可； （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ 的长，利用两点间的距离公式求出Q 坐标即可．详解：（1）把A （m ，0），B （4，n ）代入y =x ﹣1得：m =1，n =3，∴A （1，0），B （4，3）．∵y =﹣x 2+bx +c 经过点A 与点B ，∴101643b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：65b c =⎧⎨=-⎩，则二次函数解析式为y =﹣x 2+6x ﹣5；（2）如图2，△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM =∠DPN =45°，∴∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，令﹣x 2+6x ﹣5=0，得到x =1或x =5，∴D （5，0），即DP =5﹣1=4，设AP =m ，则有DP =4﹣m ，∴PM =2m ，PN =2（4﹣m ），∴S △MPN =12PM •PN =12×2m ×2（4﹣m ）=﹣14m 2﹣m =﹣14（m ﹣2）2+1，∴当m =2，即AP =2时，S △MPN 最大，此时OP =3，即P （3，0）；（3）存在，易得直线CD 解析式为y =x ﹣5，设Q （x ，x ﹣5），由题意得：∠BAD =∠ADC =45°，分两种情况讨论：①当△ABD ∽△DAQ 时，AB DA =BD AQ 4AQ ，解得：AQ 公式得：（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=1283，解得：x =73，此时Q （73，﹣83）；②当△ABD ∽△DQA 时，BDAQ=1，即AQ ，∴（x ﹣1）2+（x ﹣5）2=10，解得：x =2，此时Q （2，﹣3）．综上，点Q 的坐标为（2，﹣3）或（73，﹣83）． 点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ． （1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D 的坐标，OE 等于多少； （2）OE 的长是否与a 值有关，说明你的理由； （3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a 的取值范围；（4）以DE 为斜边，在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE ．设P （m ，n ），直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣3≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．【解析】【分析】(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解：(1)当a=﹣1时，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)，∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，∴E（3，0），∴OE=3，(2)结论：OE的长与a值无关．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，当y=0时，x=3，∴E（3，0），∴OE=3，∴OE的长与a值无关．(3)当β=45°时，OC=OE=3，∴﹣3a=3，∴a=﹣1，当β=60°时，在Rt△OCE中，33∴﹣3∴a=3，∴45°≤β≤60°，a3≤a≤﹣1．(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，∴∠DPM=∠EPN，∴△DPM≌△EPN，∴PM=PN，PM=EN，∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，∴EN=4+n=3﹣m，∴n=﹣m﹣1，当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1，∵抛物线的顶点在第二象限，∴m＜1．∴n=﹣m﹣1(m＜1)．故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)﹣3≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质。
二次函数的最值(4种题型)(解析版)--初中数学专题训练
二次函数的最值(4种题型)【题型细目表】题型一：利用二次函数的对称性求最短路径题型二：面积最值问题题型三：最大利润问题题型四：线段最值问题【考点剖析】题型一：利用二次函数的对称性求最短路径一、填空题1(浙江宁波·九年级宁波东海实验学校校考期中)如图，抛物线y =ax 2+bx +3过点A (1，0)，B (3，0)，与y 轴相交于点C ．若点P 为线段OC 上的动点，连结BP ，过点C 作CN 垂直于直线BP ，垂足为N ，当点P 从点O 运动到点C 时，点N 运动路径的长为【答案】324π【分析】先求出抛物线的解析式，连接BC ，可得点N 的路径是以BC 的中点M 为圆心，BC 长的一半为半径的OC ，，求出OC的长度即可．【详解】解：把点A (1，0)，B (3，0)，代入抛物线，则0=a +b +30=9a +3b +3 ，解得：a =1b =-4 ，∴y =x 2-4x +3；连接BC ，可得点N 的路径是以BC 的中点M 为圆心，BC 长的一半为半径的OC ，连接OM ，如图：∵OB =OC =3，∴OM ⊥BC ，∴∠OMC =90°，∵BC =OB 2+OC 2=32+32=32，∴OM =322，∴点N 运动路径的长为：90π180•322=324π；故答案为：324π．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．2(浙江杭州·九年级翠苑中学校联考期中)若抛物线y =-x 2+2x +m +1(m 为常数)交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B ．①抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2有且只有一个交点；②若点M (-2，y 1)、点N 12，y 2、点P (2，y 3)在该函数图象上，则y 1<y 2<y 3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y =-(x +1)2+m ；④点A 关于直线x =1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m =1时，四边形BCDE 周长的最小值为3+2+13．其中正确的是．(填序号)【答案】①③【分析】①联立抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2，然后根据韦达定理可进行判断；②根据二次函数的增减性可直接进行判断；③根据图象平移可直接进行求解；④由题意画出函数图象，进而作点B 关于y 轴的对称点B ，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接B C 与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，最后问题可求解．【详解】解：联立抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2可得：x 2-2x +1=0，其中Δ=4-4=0，∴此方程有两个相等的实数根，∴抛物线y =-x 2+2x +m +1与直线y =m +2有且只有一个交点，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x =-b 2a=1，且a =-1<0，开口向下，∴根据抛物线的性质可知离对称轴越近，所对应的函数值越大，∵点M (-2，y 1)、点N 12，y 2、点P (2，y 3)在该函数图象上，∴y 1<y 3<y 2，故②错误；由将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为：y =-x +2 2+2x +2 +m +1-2=-x +1 2+m ，故③正确；当m =1时，抛物线解析式为y =-x 2+2x +2，∴A 0,2 ,B 1,3 ,C 2,2 ，作点B 关于y 轴的对称点B ，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接B C 与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，如图所示：∴B -1,3,C 2,-2，∴BE+ED+CD+BC=B E+ED+C D+BC=B C +BC，根据两点之间线段最短，知B C 最短，而BC长度一定，∴此时四边形BCDE的周长为B C +BC最小，由两点距离公式可得：B C +BC=2+12+-2-32+2-12+2-32=34+2，故④错误；综上所述：正确的有①③；故答案为①③．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及轴对称，熟练掌握二次函数的图象与性质及轴对称是解题的关键．二、解答题3(浙江宁波·九年级统考期末)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点A．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴直线x=-1上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ=45°，请求出点Q坐标.【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为-1,2；(3)点Q-52 ,74.【分析】(1)根据对称轴方程可得-b2a=-1，把B、C坐标代入列方程组求出a、b、c的值即可得答案；(2)根据二次函数的对称性可得A点坐标，设直线AC与对称轴x=-1的交点为M，可得MB=MA，即可得出MB+MC=MC+MA=AC，为MB+MC的最小值，根据A、C坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，把x=-1代入求出y值，即可得点M的坐标.(3)设直线BQ交y轴于点H，过点H作HM⊥BC于点M，利用勾股定理可求出BC的长，根据∠CBQ=45°可得HM=BM，利用∠OCB的正切函数可得CM=3HM，即可求出CM、HM的长，利用勾股定理可求出CH的长，即可得H点坐标，利用待定系数法可得直线BH的解析式，联立直线BQ与抛物线的解析式求出交点坐标即可得点Q坐标.【详解】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，∴-b2a=-1，∵抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，∴-b2a=-1a+b+c=0 c=3，解得：a=-1 b=-2 c=3，∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3.(2)设直线AC的解析式为y=mx+n，∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1，B(0，0)，∴点A坐标为(-3，0)，∵C(0，3)，∴-3m+n=0 n=3，解得：m=1 n=3，∴直线解析式为y=x+3，设直线AC与对称轴x=-1的交点为M，∵点A与点B关于对称轴x=-1对称，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此时MB+MC的值最小，当x=-1时，y=-1+3=2，∴当点M到点B的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为-1,2.(3)如图，设直线BQ交y轴于点H，过点H作HM⊥BC于点M，∵B(1，0)，C(0，3)，∴OB=1，OC=3，BC=OB2+OC2=10，∴tan∠OCB=OBCO =13，∵∠CBQ=45°，∴△BHM是等腰直角三角形，∴HM=BM，∵tan∠OCB=HMCM =13，∴CM =3HM ，∴BC =MB +CM =4HM =10，解得：HM =104，∴CM =3104，∴CH =CM 2+HM 2=52，∴OH =OC -CH =3-52=12，∴H 0,12，设直线BH 的解析式为：y =kx +b ，∴k +b =0b =12，解得：k =-12b =12 ，∴BH Q 的表达式为：y =-12x +12，联立直线BH 与抛物线解析式得y =-12x +12y =-x 2-2x +3，解得：x =1(舍去)或x =-52，当x =-52时，y =--52 2-2×-52 +3=74，∴点Q 坐标为-52，74.【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.4(浙江杭州·九年级期末)如图，抛物线y =x 2+bx -3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A (-1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)点M 是对称轴上的一个动点，当△ACM 的周长最小时，求点M 的坐标．【答案】(1)y =x 2-2x -3，(1，-4)；(2)M (1，-2)【分析】(1)把A的坐标代入函数的解析式，即可求得b的值，然后利用配方法即可求得顶点坐标；(2)直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，BC的长就是最小值．【详解】解：(1)∵点A(-1，0)在抛物线y=x2+bx-3上，∴b=-2，∴抛物线解析式y=x2-2x-3，∵抛物线y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴顶点D的坐标(1，-4)；(2)对于y=x2-2x-3，当x=0时，y=-3，∴C(0，-3)，当y=0时，0=x2-2x-3，解得：x=3或-1，∴B(3，0)，由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM=BC为最小值，而AC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，设直线BC的表达式为y=mx+n，则0=3m+n n=-3，解得：m=1 n=-3，故直线BC的表达式为y=x-3，当x=1时，y=-2，故点M(1，-2)．【点睛】本题考查了利用配方法确定二次函数的顶点坐标以及对称点的作法，正确确定直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，是本题解题的关键．5(浙江绍兴·九年级校联考期中)如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交与点C，抛物线的顶点坐标是(2，9)，且经过D(3，8)．(1)求抛物线的函数关系式；(2)求△ABC的面积；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM+DM最短？若存在，求出M的坐标．若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(x-2)2+9；(2)S△ABC=15；(3)M(2，6)【分析】(1)根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点D的坐标代入即可得；(2)求出A，B，C点坐标，利用三角形的面积公式即可求解；(3)先求出点D关于对称轴对称的点D'的坐标，从而可得BM+DM=BM+D'M，再根据两点之间线段最短可得当点B，D'，M在一条直线上时，BM+D'M最短，然后利用待定系数法求出直线BD'的函数解析式，最后将点M的横坐标代入即可得．【详解】(1)∵抛物线的顶点坐标为(2，9)，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+9，∵抛物线经过点D(3，8)，∴(3-2)2•a+9=8，解得a=-1，∴抛物线的函数解析式为y=-(x-2)2+9；(2)令y=-(x-2)2+9=0，解得x1=5，x2=-1，∴A(-1，0)，B(5，0)，令x=0，则y=-(0-2)2+9=5∴C(0，5)∴S△ABC=12AB⋅h=12×6×5=15；(3)存在，求解过程如下：∵二次函数y=-(x-2)2+9的对称轴为直线x=2，∴A(-1，0)，B(5，0)，∵点D(3，8)关于对称轴x=2对称的点的坐标为D'(1，8)，由对称性得：DM=D'M，则BM+DM=BM+D'M，如图，由两点之间线段最短可知，当点B，D'，M在一条直线上时，BM+DM最短，设直线BD'的函数解析式为y=kx+b，把(5，0)，(1，8)代入y=kx+b，得：0=5k+b 8=k+b，解得k=-2b=10，∴y=-2x+10，取x =2，则-2×2+10=6，∴M (2，6)．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．6(2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中)如图，已知抛物线y =-x 2+mx +5与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(5，0)．(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求点P 的坐标．【答案】(1)m =4，顶点坐标为(2，9)(2)P (2，3)【分析】(1)将点(5，0)，代入y =-x 2+mx +5，得其解析式，从而求出m 的值及抛物线的顶点坐标；(2)利用“将军饮马”思路，点A 关于抛物线对称轴l 对称的点是点B ，进而解决问题．【详解】(1)将点(5，0)代入y =-x 2+mx +5得，0=-25+5m +5，m =4，∴抛物线解析式为y =-x 2+4x +5y =-x 2+4x +5=-(x -2)2+9，∴抛物线的顶点坐标为(2，9)；(2)如下图，点A 与点B 是关于直线l 成轴对称，根据其性质有，PA +PC =PC +PB ，当点C 、点P 、点B 共线时，PC +PB =BC 为最小值，即为PA +PC 的最小值，由抛物线解析式为y =-x 2+4x +5=-x -2 2+9，可得点C 坐标为(0，5)，点B 坐标为(5，0)，对称轴l 为x =2，设直线BC 的解释为y =kx +b ，将点C (0，5)，点B (5，0)，代入y =kx +b 得，0=5k +b 5=b ，解得k =-1b =5 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +5，联立方程，y =-x +5x =2 ，解得x =2y =3 ，∴当PA +PC 的值最小时，点P 的坐标为(2，3)．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质和最短路径问题，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．7(浙江宁波·校联考一模)如图，抛物线M 1：y =x 2-4与x 轴的负半轴相交于点A ，将抛物线M 1平移得到抛物线M 2：y =ax 2+bx +c ，M 1与M 2相交于点B ，直线AB 交M 2于点C (8，m )，且AB =BC ．(1)求点A ，B ，C 的坐标；(2)写出一种将抛物线M 1平移到抛物线M 2的方法；(3)在y 轴上找点P ，使得BP +CP 的值最小，求点P的坐标．【答案】(1)A (-2，0)，B (3，5)，C (8，10)；(2)由M 1平移得到抛物线M 2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；(3)P 0，7011 .【分析】(1)y =0，即求A ；AB =BC ，得B 3，m 2，求出直线AB 的解析式与二次函数求交点，利用根与系数的关系求m 的值，从而确定B 与C 的坐标；(2)抛物线平移前后a 的值不变，由点B (3，5)，C (8，10)在抛物线y =x 2+bx +c 上，确定抛物线解析式，从而得到平移过程；(3)作点B 关于y 轴的对称点B '，连接CB '与y 轴的交点即为P ，求出直线B 'C 的直线解析式的解析式与y 轴交点即为P ；【详解】(1)M 1：y =x 2-4与x 轴的负半轴相交于点A ，∴A (-2，0)，∵AB =BC ，C (8，m )，∴B 3，m 2，设AB 直线解析式为y =kx +b ，∴0=-2k +b m 2=3k +b ，∴k =m 10b =m 5 ，∴y =m 10x +m 5，∵y =x 2-4与y =m 10x +m 5相交于点A 和B ，∴x 2-m 10x +m 5-4=0，∴x 1+x 2=m 10=1，∴m =10，∴B (3，5)，C (8，10)；(2)∵抛物线M 1平移得到抛物线M 2，∴a =1，∵B (3，5)，C (8，10)在抛物线y =x 2+bx +c 上，∴10=64+8b +c 5=9+3b +c，∴b =-10c =26 ，∴y =x 2-10+26=(x -5)2+1，由M 1平移得到抛物线M 2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；(3)作点B 关于y 轴的对称点B '，连接CB '与y 轴的交点即为P ，∴B '(-3，5)，设直线B 'C 的直线解析式为y =mx +n ，∴5=-3k +b 10=8k +b，∴k =511b =7011 ，∴y =511x +7011，∴P 0，7011.【点睛】本题考查二次函数图象的平移，最短路径问题；掌握二次函数平移前后a 的值不变是解决平移后二次函数解析的关键，通过作对称点，将线段和的最小进行转化是解决最短路径的关键．8(2022秋·浙江金华·九年级校考阶段练习)已知抛物线y =x 2+bx +c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点的坐标为A (-1，0)，与y 轴的交点坐标为C (0，-3)．(1)求抛物线的解析式及与x 轴的另一个交点B 的坐标；(2)根据图象回答：当x 取何值时，y <0？(3)在抛物线的对称轴上有一动点P ，求PA +PB 的值最小时的点P 的坐标．【答案】(1)y =x 2-2x -3，B (3,0)(2)-1<x <3(3)P (1,0)【分析】(1)把A (-1，0)，C (0，-3)代入y =x 2+bx +c ，利用待定系数法求解b ，c ，再求解点B 的坐标即可得到答案；(2)由y <0，可得抛物线的图像在x 轴的下方，结合图象可得x 的取值范围，从而可得答案；(3)由A(-1，0)，B(3，0)关于抛物线的对称轴x=1对称，可得AB与对称轴的交点满足PA+PB 最小，从而可得答案．【详解】(1)把A(-1，0)，C(0，-3)代入y=x2+bx+c，∴1-b+c=0 c=-3，解得：b=-2 c=-3，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3，由x2-2x-3=0，∴(x-3)(x+1)=0，∴x1=3,x2=-1,∴B(3，0)；(2)∵抛物线与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)，y<0，∴抛物线的图象在x轴的下方，结合图象可得：-1<x<3；(3)∵A(-1，0)，B(3，0)，∴对称轴是直线x=1，如图，当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点，即P(1，0)．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键．题型二：面积最值问题一、解答题9(2022·浙江·九年级自主招生)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦--秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=10,c= 6，求这个三角形面积的最大值，并判断此时三角形的形状．【答案】12，等腰三角形【分析】根据已知条件a+b=10，再表示成b=10-a，代入公式，再利用二次函数的性质求出最值，最后根据三边长判断三角形的形状．【详解】解：∵三角形的边长满足c=6，a+b=10，∴p=12(a+b+c)=8，∴b=10-a，∴S=p(p-a)(p-b)(p-c)=8×(8-a)×(8-b)×(8-6)=8×2×(8-a)×(a-2)=-16a-52+144当a=5时，S有最大值为12，此时三角形三边分别为5，5，6，故为等腰三角形．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用新公式将三角形面积表示出来，并利用二次函数的性质求最值．10(2022秋·浙江宁波·九年级校考期中)如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设AD 的长度为x 米，矩形菜园ABCD 面积为S 平方米．(1)写出S 与x 的关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)若a =20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；(3)求矩形菜园ABCD 面积的最大值．【答案】(1)S =12x (100-x )(2)10m(3)当0<a <50时，矩形菜园ABCD 面积的最大值为-12a 2+50a 平方米，当a ≥50时，最大值为1250平方米．【分析】(1)根据题意得出BC =100-x 2m ，然后求面积即可；(2)利用(1)中结论，直接代入求解即可；(3)将(1)中结果化为顶点式，然后分两种情况分析即可．【详解】(1)解：设AD =xm ．则BC =100-x 2m ，∴S =12x (100-x )；(2)由(1)得S =12x (100-x )，则450=12x (100-x )解得x 1=10，x 2=90(舍去)，∴AD 的长为10m ；(3)①当a ≥50时，由(1)得S =12x (100-x )=-12(x -50)2+1250，∵a ≥50，∴x =50时，S 的最大值为1250．②当0<a <50时，则0<x ≤a ，S 随a 的增大而增大，当x =a 时，S 的最大值为-12a 2+50a ；综上所述，当0<a <50时，矩形菜园ABCD 面积的最大值为-12a 2+50a 平方米，当a ≥50时，最大值为1250平方米．【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式进行分类讨论是解题关键．11(2023秋·浙江台州·九年级统考期末)某校科技兴趣小组制作了一个机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行b n (表示第n 次行走的路程)，再逆时针旋转α0°<α≤90°，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为l，所走路径形成的封闭图形的面积为S．例如：如图1，当每次直行路程均为1(即b n=1)，α=60°时，机器人的运动路径为A→B→C→D→E→F→A，机器人共走的路程l=6，由图1图2易得所走路径形成的封闭图形的面积为S=332．(1)若b n=1，请完成下表．α30°45°72°l(2)如图3，若α=60°，机器人执行六次指令后回到起点处停止．①若b1=2，b2=4，b3=1.5，b4=3，则b5=，b5+b6=．②若b1=2，b2=4，l=20，请直接写出b3与b4之间的数量关系，并求出当S最大时b4的值．【答案】(1)12，8，5(2)①3，5.5；②2b3+b4=10；b4=3【分析】(1)根据每次逆时针旋转α，旋转360°α次，可回到起点，即可进行解答；(2)①构造如图所示三角形，则△ABC,△AIH,△DBE,△GFC为等边三角形，根据等边三角形三边相等，即可依次推出各边长度；②构造如图所示三角形，根据题意可得GI=b3+b4+4，b6=b3+b4-2，b5 =6-b4，进而得出2b3+b4=10，根据等边三角形的面积公式，即可求出S的表达式，即可求解．【详解】(1)解：当α=30°时，l=1×36030=12，当α=45°时，l=1×36045=8，当α=72°时，l=1×36072=5，故答案为：12，8，5．(2)①构造如图所示的三角形，∵α=60°，∴△ABC,△AIH,△DBE,△GFC为等边三角形，∴CG=b2=4,AH=b4=3，∴AC=AH+b3+CG=4+1.5+3=8.5，则AB=AC=BC=8.5，∵b1=2，b2=4，∴EF=2，CF=4，∴b6=BE=BC-EF-CF=8.5-2-4=2.5，∴b5=DI=AB-AI-BD=8.5-3-2.5=3，∴b5+b6=2.5+3=5.5，故答案为：3，5.5．3，5．5②如图，构造等边△GHI∴GI=b3+b4+4，b6=b3+b4-2，b5=6-b4，∵l=20，∴2+4+b3+b4+6-b4+b3+b4-2=20，∴2b3+b4=10，如图：等边三角形边长为a，高为h，h=a sin60°=32a，∴等边三角形面积=12ah=12a⋅32a=34a2∴S=34b3+b4+42-34b3+b4-22-34b4-3442∴S=34-b42+6b42+56=-34b-32+6534，∴当S最大时，b4=3．【点睛】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°，根据题意构造等边三角形，根据等边三角形的性质求解．12(2022秋·浙江杭州·九年级校考期中)如图，有一个铝合金窗框，所使用的铝合金材料长度为24m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．(1)求S关于x的函数表达式；(2)若AB的长不能低于2m，且AB<BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．【答案】(1)S=-32x2+12x(2)窗户总面积S的最大值24m2，最小值是18m2【分析】(1)根据题意和图形可以求得S与x的函数表达式；(2)根据题意可以得到关于x的不等式，从而求出x的范围，然后根据(1)中的函数解析式和二次函数的性质即可解答．【详解】(1)解：根据题意，得S=x⋅24-3x2=-32x2+12x．即S与x的函数表达式是S=-32x2+12x．(2)解：根据题意，得2≤x<24-3x2．解得：2≤x<4.8．S=-32x2+12x=-32x-42+24，∵-32<0，∴S有最大值，∵2≤x<4.8，抛物线的对称轴为直线x=4．∴当x=4时，S有最大值，此时S=24，当x=2时，S有最小值，此时S=-322-42+24=18，答：窗户总面积S的最大值24m2，最小值是18m2．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．13(2023·浙江宁波·统考一模)有一块形状如图1的四边形余料ABCD，AB=6，AD=2，∠A=90°，∠D=135°，tan∠B=2，要在这块余料上截取一块矩形材料，其中一条边在AB上．(1)如图2，若所截矩形材料的另一条边AE 在AD 上，设AE =x ，矩形AEFG 的面积为y ，①求y 关于x 的函数表达式．②求矩形面积y 的最大值．(2)能否截出比(1)中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．【答案】(1)①y =-x 22+6x ；②当x =2时，y 取到最大值10(2)能截出面积更大的矩形材料，这些矩形材料的最大面积为323【分析】(1)①由锐角三角函数可求GB 的长，由矩形的面积公式可求解；②由二次函数的性质可求解；(2)用NH 分别表示BH ，AF 的长，由面积公式和二次函数的性质可求解．【详解】(1)解：①如图2，∵四边形AEFG 是矩形，∴AE =FG ，∠A =∠FGB =90°，∵tan ∠B =FG GB =2，∴GB =12x ，∴AG =AB -GB =6-12x ，∴S =AE ⋅AG =x 6-12x =-12x 2+6x ；②∵点E 在线段AE 上，∴0<x ≤2，∵y =-12x 2+6x =-12(x -6)2+18，∴当x =2时，y 的最大值为10；(2)能，如图1，当点E 在线段CD 上时，过点D 作DM ⊥EF 于M ，∵四边形EFHN 是矩形，∴EF =NH ，EN =FH ，∵tan ∠B =NH HB =2，∴HB =12NH ，∵∠A =90°=∠AFE ，DM ⊥EF ，∴四边形ADMF 是矩形，∴DM =AF ，AD =MF =2，∵∠ADC =135°，∴∠EDM =45°，∴DM =EM =NH -2，∴AF =NH -2，∴FH =AB -AF -BH =8-32NH ，∴S =FH ⋅NH =NH 8-32NH =-32NH -83 2+323，∴当NH =83时，S 有最大值为323，∵323>10，∴能截出比(1)中更大面积的矩形材料，这些矩形材料面积的最大值为323．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，锐角三角函数，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．14(2023·浙江嘉兴·统考一模)“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P (a ，b )，Q (c ，d )是平面直角坐标系内的两点，我们将a -c +b -d 称作P ，Q 间的“L 型距离”，记作L (P ，Q )，即L P ,Q =a -c +b -d ．已知二次函数y 1的图像经过平面直角坐标系内的A ，B ，C 三点，其中A ，B 两点的坐标为A (-1，0)，B (0，3)，点C 在直线x =2上运动，且满足L B ,C ≤BC ．(1)求L (A ，B )；(2)求抛物线y 1的表达式；(3)已知y 2=2tx +1是该坐标系内的一个一次函数．①若D ，E 是y 2=2tx +1图像上的两个动点，且DE =5，求△CDE 面积的最大值；②当t ≤x ≤t +3时，若函数y =y 1+y 2的最大值与最小值之和为8，求实数t 的值．【答案】(1)4；(2)y 1=-x 2+2x +3；(3)①△CDE 面积最大值为52；②t =-1±2．【分析】(1)根据题干中对于“L 型距离”的定义，即可求解；(2)根据二次函数y 1经过点A 、B 、C 三点，所以只要求出C 点坐标即可：根据点C 在直线x =2上运动，所以可设点C 2,m ，根据L B ,C ≤BC 列方程求解出m 的值，利用待定系数法列方程组即可求出抛物线y 1的表达式；(3)①根据△CDE 的一边DE 长度固定等于5，所以只要求出顶点C 到DE 的最大距离即可：由DE 所在的直线y 2=2tx +1过固定点N 0,1 ,故直线y 2的图像是绕点N 0,1 旋转的直线，当CN ⊥直线y 2时，点C 到DE 的距离最大，此时就是△CDE 的最大面积，根据三角形面积公式求解即可；②根据y =y 1+y 2，可得函数y 的解析式：y =-x 2+2t +1 x +4，可知函数y 的图像是一个开口向下，对称轴是x =t +1的抛物线，由此可知函数y 在对称轴上取得最大值，根据t ≤x ≤t +3可知当x =t +3时y 有最小值，最后根据函数y 的最大值与最小值之和是8，从而列出方程即可求出t 的值．【详解】(1)解：由题意得：∵A -1，0 ，B 0，3 ，∴L A ,B =-1-0 +0-3 =1+3=4；(2)∵点C 在直线x =2上运动，∴设点C 2,m ，且B 0,3由平面上两点间距离，利用勾股定理得：∴BC 2=2-0 2+3-m 2=4+3-m 2∵L B ,C =0-2 +3-m =2+3-m∴L 2B ,C =2+3-m 2=22+43-m +3-m 2∵0≤L B ,C ≤BC∴L 2B ,C ≤BC 2即22+43-m +3-m 2≤4+3-m 2∴43-m ≤0，又∵3-m ≥0∴3-m =0∴m =3∴C 2,3∵二次函数y 1的图像经过A -1,0 ，B 0,3 ，C 2,3 ，∴设y 1=a 1x 2+b 1x +c 1∴代入解析式得：a 1-b 1+c 1=0c 1=34a 1+2b 1+c 1=3解方程组得：a 1=-1b 1=2c 1=3∴抛物线y 1的表达式为y 1=-x 2+2x +3；(3)①∵y 2=2tx +1令x =0时，y 2=1∴直线y 2恒过定点N 0,1∴直线y 2的图像是绕点N 0,1 旋转的直线，∴当CN ⊥直线y 2时，点C 到DE 的距离最大，△CDE 面积也最大，过点C 作CM ⊥DE 交直线y 2于点M由点到直线的距离，垂线段最短知：CM≤CN∴S△CDE=12DE×CM≤12DE×CN=52CN∵C2,3，N0,1∴CN=2-02+3-12=4+4=22∴5 2CN=52×22=52∴△CDE面积的最大值为52②∵y=y1+y2=-x2+2x+3+2tx+1=-x2+2t+1x+4二次函数y的对称轴为x=-2t+12×-1=t+1∵a=-1<0∴二次函数y的图像开口向下，当x=t+1时，函数值y取得最大值y=-t+12+2t+1t+1+ 4又∵t+3-t+1>t+1-t∴当x=t+3时，函数值y取得最小值y=-t+32+2t+1t+3+4∵函数y=y1+y2的最大值与最小值之和为8∴-t+12+2t+12+4-t+32+2t+1t+3+4=8整理得：t2+2t-1=0解得：t=-1±2∴实数t的值为-1±2．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了对于题干中“L型距离”的理解能力、以及根据“L型距离”以及用待定系数法求抛物线的表达式、根据垂线段最短求三角形最大面积、根据二次函数图像的性质求函数最值等，对知识的综合性很强．根据题意灵活运用所学知识以及扎实的计算基础是解此题的关键．题型三：最大利润问题一、解答题15(2023秋·浙江温州·九年级期末)某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元，调查发现，销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具的售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元，(x为整数)月销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？(3)如果商店想要每月获得的利润不低于2520元，那么每月用于购进这种玩具的成本需要多少元？(4)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】(1)y=-10x2+130x+2300，x的取值范围为0≤x≤10(x为整数)(2)32元(3)每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元(4)每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元【分析】(1)每件玩具的销售单价上涨x元时，单件利润为30-20+x件，根元，销量为230-10x据总利润等于单件利润乘以销量列式即可；(2)令y=2520，解一元二次方程，根据实际情况对求出的解进行取舍即可；(3)结合(2)中结论可知，当销售单价上涨2、3、4、5、6、7、8、9、10元时，每月获得的利润不低于2520元；(4)将y=-10x2+130x+2300化为顶点式，结合x的取值范围即可求出y的最大值．【详解】(1)解：依题意得：y=30-20+x=-10x2+130x+2300，230-10x∵每件首饰售价不能高于40元，∴x+30≤40，∴0≤x≤10(x为整数)．因此y与x的函数关系式为y=-10x2+130x+2300，x的取值范围为0≤x≤10，且x为整数；(2)解：当y=2520时，-10x2+130x+2300=2520，整理得x2-13x+22=0，解得x1=2，x2=11，∵0≤x≤10，∴x=2，当x=2时，30+2=32．即每件首饰的售价定为32元时月销售利润恰好为2520元；(3)解：如图，由题可知：当每件玩具的销售单价上涨了2、3、4、5、6、7、8、9、10元，每月获得的利润不低于2520元，对应的销售量为210、200、190、180、170、160、150、140、130，每月用于购进这种玩具的成本需要4200元、4000元、3800元、3600元、3400元、3200元、3000元、2800元、2600元．(4)解：∵y=-10x2+130x+2300，∴y=-10x-6.52+2722.5．∵a=-10<0，0≤x≤10，且x取正整数，∴当x =6或7时，y 取最大值，y 最大值=-10×7-6.5 2+2722.5=2720，∴每件玩具的售价定为：30+6=36(元)或30+7=37(元)．即每件玩具的售价定为36或37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2720元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据“总利润=单件利润×销量”列出y 与x 的函数关系式．16(2023秋·浙江温州·九年级期末)某服装厂生产A 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 件时，批发单价为y 元，y 与x 之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x 为10的正整数倍．(1)当100≤x ≤300时，y 与x 的函数关系式为．(2)某零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装200件，需要支付多少元？(3)零售商到此服装厂一次性批发A 品牌服装x 100≤x ≤400 件，服装厂的利润为w 元，问：x 为何值时，w 最大？最大值是多少？【答案】(1)y =-110x +110(2)18000元(3)x 为190或200时，w 最大，最大值是3800元【分析】(1)设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，根据图象利用待定系数法求解析式即可；(2)根据(1)求出此时的批发单价，再乘以批发数量即可；(3)分类讨论①当100≤x ≤300时和②当300<x ≤400时，结合利润=销售量×(售价-成本)列出w 与x 的函数关系即可得出答案．【详解】(1)当100≤x ≤300时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，根据题意得出：100k +b =100300k +b =80 ，解得：k =-110b =110 ，∴y 与x 的函数关系式为：y =-110x +110，故答案为：y =-110x +110；(2)当x =200时，y =-20+110=90，∴90×200=18000(元)，答：某零售商一次性批发A 品牌服装200件，需要支付18000元；(3)分两种情况：①当100≤x ≤300时，w =-110x +110-71 x =-110x 2+39x =-110x -195 2+3802.5，∵批发件数x为10的正整数倍，∴当x=190或200时，w有最大值是：-110200-1952+3802.5=3800；②当300<x≤400时，w=80-71x=9x，当x=400时，w有最大值是：9×400=3600，∴一次性批发A品牌服装x(100≤x≤400)件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求解析式以及理解题意利润=销售量×(售价-成本)列出w与x的函数关系式是解答本题的关键．17(2023秋·浙江温州·九年级期末)某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．设每箱水果降价x元．(1)当x=10时，求销售该水果的总利润；(2)设每天销售该水果的总利润为w元．①求w与x之间的函数解析式：②试判断w能否达到8200元，如果能达到，求出此时x的值；如果不能达到，求出w的最大值．【答案】(1)8000元(2)①w=-4x2+120x+7200 ②不能达到，最大值是8100元【分析】(1)利用每箱利润=60-每箱降低的价格及平均每天的销售量=120+20×每箱降低的价格5，即可求出结论；(2)①设每箱应降价x元，则每箱利润为60-x元，平均每天可售出4x+120箱，利用平均每天销售该种水果获得的总利润=每箱的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的函数解析式，②利用二次函数的性质即可得出结论．【详解】(1)解：根据题意，可知：当每箱水果降价10元时，每箱利润为60-10=50(元)，平均每天可售出120+20×105=160(箱)总利润为：50×160=8000(元)．(2)①设每箱应降价x元，则每箱利润为60-x元，平均每天可售出120+20×x5=4x+120箱，依题意得：w与x之间的函数解析式为w=60-x120+x5×20=-4x2+120x+7200；②w不能达到8200元；w=-4x2+120x+7200=-4x-152+8100.∵-4<0，∴当x=15时，w取到最大值，w最大值=8100<8200，∴w不能达到8200元，w的最大值是8100元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用的应用，找准等量关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键．18(2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中)在新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研，某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数几何动点问题（含解析）一、面积最大值问题1.（2020九上·休宁月考）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，求的最大面积．2.（2021·芜湖模拟）如图，抛物线与直线相交于点，，且这条抛物线的对称轴为．（1）若将该抛物线平移使其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值：（2）设P为直线下方的抛物线上一点，求面积的最大值及此时P点的坐标．3.（2020九上·寻乌期末）已知二次函数的图象的对称轴是直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是．（1）请在平面直角坐标系内画出示意图，并根据图象直接写出时x的取值范围；（2）求此图象所对应的函数关系式；（3）若点P是此二次函数图象上位于x轴上方的一个动点，求面积的最大值．4.（2020九上·瑶海月考）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（-1，0），且对称轴为直线x=1（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是第四象限内抛物线上的一点，当△BCM的面积最大时，求点M的坐标；5.（2020·洞头模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．6.（2020九上·山亭期末）己知:如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点，（1）求抛物线解析式:（2）当点运动到什么位置时，的面积最大?7.（2020九上·旬阳期末）已知抛物线经过点，，与y轴交于点C.（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值.8.（2020九上·永年期末）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（）和B（4，6），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当C为抛物线顶点的时候，求的面积.（3）是否存在这样的点P，使的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由.二、等腰三角形问题9.（2020九上·呼和浩特期中）如图，抛物线y= +bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B 两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并予证明．（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10.（2020·肇东模拟）如图，抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）．求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．三、直角三角形问题11.（2020九下·扎鲁特旗月考）如图，二次函数的图象经过点，直线与y轴交于点为二次函数图象上任一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点E是直线上方抛物线上一点，过E分别作和y轴的垂线，交直线于不同的两点在G的左侧)，求周长的最大值；（3）是否存在点E，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．12.（2020九上·芦淞期末）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．①求△PCD的面积的最大值；②是否存在点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．13.（2020九上·泉州期中）如图，直线交轴于点，交轴于点B，抛物线的顶点为，且经过点．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）点是抛物线上的点，是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．四、平行四边形问题14.（2019九上·武威期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D.（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.15.（2020九上·广丰期末）如图二次函数的图像交轴于、，交轴于，直线平行于周，与抛物线另一个交点为.（1）求函数的解析式；（2）若是轴上的动点，是抛物线上的动点，求使以、、、为顶点的四边形是平行四边形的的横坐标.16.（2020九上·桐城期末）已知直线y＝kx＋b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y＝x2相交于B、C两点．（1）如图，当点C的横坐标为1时，求直线BC的表达式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）设，把A点坐标代入得：，∴二次函数的解析式是（2），轴，P在上，∴，∵点，∴直线OA的解析式为y=x，又点C在直线OA上，∴点C（m，m）当点P在直线OA的上方时，，，，，开口向下，当m= 时，PC有最大值，即当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．（3）∵A点坐标，且PC有最大值，∴．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）由题意可知，易求得直线OA 的解析式，可得点，由= ，利用二次函数最值求法求解即可；（3）根据点A坐标和PC的最大值即可求解．2.【答案】（1）解：抛物线过点，，且这条抛物线的对称轴为．代入得，解得．∴抛物线为．∵该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，∴平移后的抛物线为．将代入得．（2）解：如图，过P作轴，交于Q．设，则，则．∴．∵∴当时，的面积最大，，当t=2时，∴．【解析】【分析】利用待定系数法求一次函数的解析式和二次函数式的解析式。
3.【答案】（1）解：∵对称轴为，A为，∴B为，且点，∴此函数图象示意图如图所示：观察图象，当时，x的取值范围为：（2）解：由题意得，解得，∴抛物线解析式为（3）解：根据题意可知当P为顶点时的面积最大，由（2）可求得其顶点坐标为，且，∴，即面积的最大值为4【解析】【分析】（1）先求出B为，且点，再作图求解即可；（2）先求出，即可求出函数解析式；（3）根据三角形的面积公式计算求解即可。
4.【答案】（1）解：由已知可求B（3，0），将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，，∴，∴y=x2-2x-3（2）解：如图1，作MD⊥x轴交直线BC于点D，∴BC的解析式为y=x-3，设点M（m，m2-2m-3），则点D（m，m-3），∴MD=m-3-（m2-2m-3）=-m2+3m，∴S△BCM= MD•（x B-x M）+ MD•（x M-x C）= MD•（x B-x C）= （-m2+3m）•3=- （m- ）2+ ，∴当m= 时，△BCM的面积最大，此时M（，- ）【解析】【分析】利用待定系数法求抛物线的解析式，再根据三角形的面积列出函数关系式，求出最大值时点M的坐标即可。
5.【答案】（1）解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得，解得：，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）解：∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图1，∵B（4，0），C（0，﹣4）∴直线BC解析式为y＝x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，∴S△PBC＝S△PFC+S△PFB＝＝，∴当t＝2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．【解析】【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过P作PE⊥x 轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．6.【答案】（1）解：抛物线过点,,解这个方程组，得,抛物线解析式为.（2）解：如图1，过点作轴于点,交于点.时，,.直线解析式为.点在线段上方抛物线上，设...=点运动到坐标为，面积最大.【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求抛物线解析式．（2）设点P横坐标为t，过点P作PF∥y轴交AB于点F，求直线AB解析式，即能用t表示点F坐标，进而表示PF的长．把△PAB分成△PAF与△PBF 求面积和，即得到△PAB面积与t的函数关系，配方即得到t为何值时，△PAB面积最大，进而求得此时点P坐标．7.【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，∴，解得，∴抛物线的解析式为，（2）解：如图，连接，设点，，四边形的面积为S，由题意得点，∴，∵，∴开口向下，有最大值，∴当时，四边形的面积最大，最大值为16.【解析】【分析】（1）将，代入抛物线中求解即可；（2）利用分割法将四边形面积分成，假设P点坐标，四边形面积可表示为二次函数解析式，再利用二次函数的图象和性质求得最值.8.【答案】（1）解：∵A( )和B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上，∴解得：，∴抛物线的解析式；（2）解：∵二次函数解析式为，∴顶点C坐标为，∵PC⊥x，点P在直线y=x+2上，∴点P的坐标为，∴PC=6；∵点E为直线y=x+2与x轴的交点，∴点E的坐标为∵=∴.（3）解：存在.设动点P的坐标是，点C的坐标为，∵∴∵,∴函数开口向下，有最大值∴当时，△ABC的面积有最大值为.【解析】【分析】（1）把A、B坐标代入二次函数解析式，求出a、b，即可求得解析式；（2）根据第（1）问求出的函数解析式可得出C点的坐标，根据C、P两点横坐标一样可得出P点的坐标，将△BCE的面积分成△PCE与△PCB，以PC为底，即可求出△BCE的面积.（3）设动点P的坐标为（m，m+2），点C的坐标为（m，），表示出PC的长度，根据，构造二次函数，然后求出二次函数的最大值，并求出此时m的值即可.9.【答案】（1）解：点A（1，0）关于x=﹣1的对称点B（﹣3，0），设过A（1，0）、B（﹣3，0）的抛物线为y=a（x﹣1）（x+3），该抛物线又过C（0，3），则有：3=﹣3a，解得a=﹣1，即y= = ﹣2x+3，顶点D为（﹣1，4）；（2）解：△DCB为直角三角形，理由如下：过D点，作DT⊥y轴于T，如图1，则T（0，4）．∵DT=TC=1，∴△DTC为等腰直角三角形，∴∠DCT=45°，同理可证∠BCO=45°，∴∠DCB=90°，∴△DCB为直角三角形；（3）解：设P（﹣1，t），∵A（1，0），C（0，3），∴= = ，= = ，= =10，∵△APC为等腰三角形，∴有AP=CP、AP=AC和CP=AC三种情况，①当AP=CP时，则有= ，即= ，解得t=1，此时P（﹣1，1）；②当AP=AC时，则有= ，即=10，解得t= ，此时P（﹣1，）或（﹣1，）；③当CP=AC时，则有= ，即=10，解得t=0或t=6，此时P（﹣1，0）或P（﹣1，6）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（﹣1，1）或（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，0）或（﹣1，6）．【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性得到点B的坐标为（﹣3，0），故设抛物线为两点式方程y=a （x﹣1）（x+3），把点C的坐标代入即可求得a的值；利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；（2）过D作DT⊥y轴于T，则可求得∠DCT=45°，∠BCO=45°，则可判断△BCD的形状；（3）可设出P（﹣1，t），则可分别表示出AP、CP、AC的长度，分AP=CP、AP=AC和CP=AC三种情况分别可得到关于t的方程，可求得P点坐标．10.【答案】（1）解：∵A（0，3），B（4，0）∴，解得，∴该抛物线的解析式是（2）解：如图设直线AB的解析式为y=kx+b1∵A（0，3），B（4，0）∴，解得∴直线AB的解析式为∵CD∥y轴∴C、D两点的横坐标都为m．在中，当x=m时，∴C（m，）在中，当x=m时，∴D（m，），∴（3）解：存在．∵A（0，3），B（4，0）∴OA=3，OB=4，过点C作CE⊥y轴于点E，∴CE∥OB，∴△ACE∽△ABO，∴若△ACD是等腰三角形，则分以下情况讨论：①CA=CD时，则整理得解得：m=0或∵C不与A重合，∴m=0舍去∴②DA=DC时，过点D作DH⊥AC于点H，∴AH=HC∵CD∥y轴∴∠DCA=∠OAB，∴cos∠DCA=cos∠OAB，∴，∴，∴5CH=3CD．又∵HC= AC，∴5AC=6CD则整理得解得：m=0或∵C不与A重合，∴m=0舍去∴③AD=AC时同理得m=1综上存在m值，或或m=1使得△ACD是等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据因式分解法解方程，可得答案．11.【答案】（1）解：设抛物线为：把代入（2）解：设直线为解得：轴，轴，设的周长当时，周长最大．最大周长为：（3）解：如图，当时，为抛物线与y轴的交点，当时，与x轴交于H点，设的解析式为：解得：为解得：或综上：以为直角边的直角三角形时，点E坐标为或或．【解析】【分析】（1）运用待定系数法求这个二次函数的解析式；（2）先求出直线BC的解析式为，设点E的坐标，写出G的坐标，求出EG的长，证明：△EFG∽△DOB，根据相似三角形周长的比等于相似比表示△EFG周长，根据二次函数的顶点确定最值；（3）分三种情况：分别以三个顶点为直角是，列方程组，求E坐标，根据两垂直直线的一次项系数为负倒数得出结论。