八年级数学上册 第十一章《三角形》小专题(一)三角形三边关系的巧用试题 (新版)新人教版

小专题(一)三角形三边关系的巧用

“三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”是常考的重要知识点之一.解题时注意方程思想和分类讨论思想的应用,注意根据题意列方程(组)或不等式(组)进行求解,解题时容易忽视检验所得的三角形是否存在,巧用三角形的三边关系往往能化难为易,起到事半功倍的解题效果.

类型1判断三条线段能否组成三角形

1.判断下列所给的三条线段能否围成三角形?

(1)5,5,a(0

(2)a+1,a+2,a+3;

(3)三条线段的长度之比为2∶3∶5.

解:(1)∵0a,因而能构成三角形.

(2)当a=0时,a+1+a+2=2a+3=3,因而不能组成三角形.

(3)∵三条线段之比为2∶3∶5,∴设三条线段为2k,3k,5k,

∵2k+3k=5k,因而不能组成三角形.

类型2确定三角形的个数

2.以长度为5 cm,7 cm,9 cm,13 cm的线段中的三条为边,能组成三角形的情况有(B)

A.2种

B.3种

C.4种

D.5种

3.边长为整数并且最大边长是5的三角形共有9个.

4.现有长为7 cm,3 cm的木棒各一根,另有一堆长短不等的木棒若干,请在这堆木棒里选取长为偶数且能与原两根木棒钉成三角形的木棒,则符合条件的木棒有几种?

解:设符合条件的木棒的长为x cm,则4

类型3确定第三边或字母的取值范围

5.若三角形三条边长分别是3,1-2a,8,则a的取值范围是(B)

A.a>-5

B.-5

C.-5≤a≤-2

D.a>-2或a<-5

6.一个三角形有两边长为2和5,则第三边长x的取值范围是3

7.若它的周长是偶数,则第三边的长为5.

类型4确定等腰三角形的边长

7.已知有两边相等的三角形的两边长分别为6 cm,4 cm,则该三角形的周长是16 cm或14 cm.

8.在△ABC中,AB=AC,边AC上的中线BD把三角形的周长分为10 cm和18 cm两部分,求△ABC 各边的长.

解:设等腰三角形的腰长AB=AC=2x cm,BC=y cm,

∵BD是腰上的中线,∴AD=DC=x cm.

若AB+AD=10 cm,则解得

此时组不成三角形,应舍去.

若AB+AD=18 cm,则解得

∴AB=AC=12 cm,BC=4 cm,

即△ABC各边的长分别为12 cm,12 cm和4 cm.

类型5在代数中的应用

9.已知等腰△ABC的周长为10,求腰长x的取值范围.

解:设腰长为x,则底边长为10-2x,依题意得

解得

故腰长的取值范围为

10.已知a,b,c是△ABC的三边,a,b满足|a-4|+(b-2)2=0,c为奇数,求△ABC的周长.解:∵|a-4|+(b-2)2=0,

∴a-4=0且b-2=0,

∴a=4,b=2,∴2

∵c为奇数,∴c=3或5,

∴△ABC的周长为4+2+3=9或4+2+5=11.

11.已知a,b,c为△ABC的三边长,化简|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|.

解:∵a,b,c是△ABC的三边长,

∴a+b+c>0,a-b-c<0,a-b+c>0,a+b-c>0,

∴

|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|=(a+b+c)-[-(a-b-c)]-(a-b+c)-(a+b-c)=a+b+c+a-b-c-a+b-c-a-b+c=0.

类型6证明线段之间的不等关系

12.如图,点P是△ABC内任意一点.试说明:PB+PC

证明:延长BP交AC于点D,

在△ABD中,PB+PD

在△PCD中,PC

①+②得PB+PD+PC

即PB+PC

13.如图,P为△ABC中任意一点.证明:AB+BC+CA>PA+PB+PC>(AB+BC+CA).

证明:延长BP交AC于点D,

∵在△ABD中,AB+AD>PB+PD,

在△DPC中,DP+DC>PC,

∴AB+AD+DP+DC>PB+PD+PC,

∴AB+CA>PB+PC.

同理AC+BC>PA+PB,AB+BC>PA+PC,

∴2AB+2AC+2BC>2PA+2PB+2PC,

即AB+BC+CA>PA+PB+PC.

又∵PA+PB>AB,PB+PC>BC,PC+PA>CA,

∴2(PA+PB+PC)>AB+BC+CA,

∴PA+PB+PC>(AB+BC+CA),

∴AB+BC+CA>PA+PB+PC>(AB+BC+CA).