运筹学离线作业(必)备

浙江大学远程教育学院

《运筹学》课程作业

第2章

1、某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三

种原材料的消耗及所获的利润，如下表所示。问应如何

安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法

求解）

产品1产品2可用的材料数

原材料A 原材料B 原材料C 1

3

2

2

2

30

60

24

单位产品获利40万元50万元

解：一、建立模型：设产品1与产品2的产量分别为X1与X2，获利为Z，则建立模型如下：

1、目标函数max Z=40 X1+50 X2；

2、约束条件：X1+2X2≦30（原材料A的约束），3

X1+2X2≦60（原材料B的约束），2X2≦24（原材料C的约束）；非负约束：X1与X2≧0。

二、图解法：

1、寻找可行解，构造可行域。分别令X1+2X2=30，3X1+2X2=60，2X2=24，在坐标图上构造出可行域，如下图2-1所示（0Q1Q2Q3Q4所围成的区域）；

2、寻找最优解：目标函数Z=40 X1+50X2，可变换为X2=-4/5 X1+1/50 Z，它是以Z为参数，-4/5为斜率的一族平行线（图中虚线），从图中可以看出，右上方的线的Z值更大。当目标函数与可行域交于Q2时，函数值最大，即最优解为Q2（15，7.5），最优值

Z=40*15+50*7.5=975万元。

即产品1与产品2的产量应分别安排为15和7.5时，工厂获利最多。

附图：

2、某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的两

种原材料的消耗和人员需要及所获的利润，如下表所

示。问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模

型，并用图解法求解）

产品1产品2可用的材料数

原材料A 原材料B 人时1

3

2

2

4

12

24

单位产品获利300万元500万元

解：一、建立模型：设产品1与产品2的产量分别为X1与X2，获利为Z，则建立模型如下：

1、目标函数max Z=300X1+500X2；

2、约束条件：X1≦4（原材料A的约束），2X2≦12（原材料B的约束），3X1+2X2≦24（人时的约束）；非负约束：X1与X2≧0。

二、图解法：

1、寻找可行解，构造可行域。分别令X1=4，2X2=12，

3X1+2X2=24，在坐标图上构造出可行域，如图2-2所示（0Q1Q2Q3所围成的区域）；

2、寻找最优解：目标函数Z=300X1+500X2，可变换为X2= -3/5 X1+1/500 Z，它是以Z为参数，-3/5为斜率的一族平行线（图中虚线），从图中可以看出，右上方的Z值更大。当目标函数与可行域交于Q2时，函数值最大，即最优解为Q2（4，6），最优值Z=300*4+500*6=4200万元。

即产品X1与X2的产量分别安排为4和6时，工厂获利最多。

附图：

3、下表是一个线性规划模型的敏感性报告，根据其结果，回答下列问题：

1）工厂是否愿意付出11元的加班费，让工人加班1小时；

2）如果工人的劳动时间变为402小时，日利润怎样变化？

3）如果第二种家具的单位利润增加5元，生产计划如何变化？Microsoft Excel 9.0 敏

感性报告

工作表 [ex2-

6.xls]Sheet1

报告的建立: 2001-8-6

11:04:02

可变单元

格

终递减目标

公式

允许

的

允许

的

单元

格名字值成本系数增量减量

$B$15日产量

（件）10020601E+3020

$C$15日产量

（件）8002010 2.5

$D$15日产量

（件）4004020 5.0

$E$15日产量

（件）0-2.030 2.01E+30

约束

终阴影约束允许

的

允许

的

单元

格名字值价格限制

值增量减量

$G$6劳动时间

（小时/

件）400840025100

$G$7木材 （单

位/件）600460020050

$G$8玻璃 （单

位/件） 800010001E+30200

解：1、由敏感性报告可知，工人劳动时间的影子价格为8，其约束限制值为400，允许的增量为25，减量为100，变动范围为[300，425]，即在此范围内，每增减一个小时，利润增加或减少为8，因此现在让工人加班一小时，其在[300，425]变动范围内，只能带来8元的利润，而要付出11元，利润减少，因此工厂是不愿付出的。

2、如工人的劳动时间变为402小时，比400增加了2小时，其在[300，425]变动范围内，影子价格为8，则日利润=9200+2*8=9216元，比以前增加了16元。

3、由敏感性报告可知，第二种家具的公式系数为20，允许的增减变量为10和2.5，即允许变动范围为[17.5，30]，最优解不变，现在单位利润增加5元，即25，在允许变动范围内，则其最优解不变，即生产计划不变。

4、某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如下表所示。问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解法求解）（20分）

产品1产品2可用的材料数

原材料A 原材料B 原材料C 0.6

0.4

0.5

0.1

0.4

12000

4000

6000

单位产品获利25元10元