运筹学第二章作业的参考答案要点
运筹学习题参考答案
习题参考答案第二章 习 题1.线性规划模型为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≤++++0,,1800231200214002..453max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x 2. 标准形式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-++-=++=++---+-0,,,,,,1002333800120035.15.1..322min 87654328325473262543254x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x 3.（1）最优解为（2,2），最优值为8.（2）根据等式约束得：213--6x x x =代入规划等价于：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+++0,3-6..62max 21212121x x x x x x t s x x 先用图解法求线性规划⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++0,3-6..2max 21212121x x x x x x t s x x 得最优解为（0,6）代入原规划可得最优解为（0,6,0）最优值为18.4.（1）以21,x x 为基变量可得基可行解（3,1,0），对应的基阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛1101 以31,x x 为基变量可得基可行解（2,0,1），对应的基阵为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111 （2）规划转化为标准形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++--0,,,55623..34min 432142132121x x x x x x x x x x t s x x 以32,x x 为基变量可得基可行解（0,1,4,0），对应的基阵为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛0512 5. 以432,,x x x 为基变量可得基可行解（0,2,3,9），对应的典式为：32192231412=+=+=x x x x x 非基变量1x 的检验数为21-。
6. (1) a=0,b=3,c=1,d=0;(2) 基可行解为(0,0,1,6,2) （3）最优值为3.7.（1）最优解为（1.6,0,1.2），最优值为-4.4；（2）令11-=x y ，则0≥y ，11+=y x ，在规划中用1+y 替代1x ，并化标准形式。
运筹学习题答案(第二章)
0
-5/4
(j)
第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题 写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题；(3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优解。
最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。
01
由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
3
2
5
0
0
0
CB
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
2
X2
15-7/4
1/4
1
0
0
0
1/4
5
X3
30+
3/2
0
1
0
1/2
0
0
X4
3 /2-5
-1
0
0
1
-1/2
-1/2
Cj－Zj
-7
0
0
-1
-2
0
第二章习题解答
第二章习题解答
2.14 某厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见下表：
第二章习题解答
已知原问题最优解为X*=(2，2，4，0)，代入原问题，第4个约束不等式成立，故y4=0。有由于x1,x2,x3大于0，上面对偶问题前3个约束取等号，故得到最优解： y1=4/5, y2,=3/5, y3=1, y4=0
第二章习题解答
2.8 已知线性规划问题A和B如下：
01
01
02
2.6 已知线性规划问题
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
管理运筹学第二章课后答案
管理运筹学（谢家平）第二章课后答案1 解maxZ=200x1+240x260x1+50x2≤420030x1+40x2≤300060x1+50x2≤4500化成标准型为：maxZ=200x1+240x2+0x3+0x4+0x560x1+50x2+x3=420030x1+40x2+x4=300060x1+50x2+x5=4500**********************最优解如下*************************目标函数最优值为: 18400变量最优解相差值------- -------- --------x1 20 0x2 60 0约束松弛/剩余变量对偶价格------- ------------- --------1 0 .8892 0 4.8893 300 0目标函数系数范围:变量下限当前值上限------- -------- -------- --------x1 180 200 288x2 166.667 240266.667常数项数范围:约束下限当前值上限------- -------- -------- --------1 3750 4200 45002 2100 3000 33603 4200 4500 无上限最优生产方案是生产甲产品20，生产乙产品60。
x3=0，x4=0，x5=300说明：生产甲乙产品的材料为瓶颈材料增加材料会增加甲乙二设备D为富余设备。
因为甲产品上升100大于88所以甲需要调整，而乙产品下降的60小于73.33所以不需要调整。
由表可知非紧缺资源最多可以减少300，紧缺资源分别可以增加300,360。
2 设项目第一二三年年初投资为x1,x5x6;项目I第一年年初投资x2项目III第二年年初投资为x3项目IV第三年年初投资为x4MaxZ=0.2x1+0.5x2+0.6x3+0.4x4+0.2x5+0.2x6+30X1+X2≤30X2≤20X5+x3≤30—（x1+x2）+1.2x1X3≤15X6+x4≤30-（x1+x2）+1.2x1-x5-x3+1.5x2X4≤10X1,x2,x3,x4,x5,x6≥0**********************最优解如下*************************目标函数最优值为: 27.5变量最优解相差值------- -------- --------x1 12.5 0x2 17.5 0x3 15 0x4 10 0x5 0 .3x6 16.25 0约束松弛/剩余变量对偶价格------- ------------- --------1 0 .32 2.5 03 0 .34 0 .15 0 .26 0 .2目标函数系数范围:变量下限当前值上限------- -------- -------- --------x1 .08 .2 .56x2 .14 .5 .62x3 .5 .6 无上限x4 .2 .4 无上限x5 无下限.2 .5x6 0 .2 .28常数项数范围:约束下限当前值上限------- -------- -------- --------1 15 30 452 17.5 20 无上限3 9 30 334 12 15 285 13.75 30 无上限6 0 10 26.25项目一一二三年年初投资为12.5, 0，16.25项目二第一年初投资为17.5项目三第二年年初投资为15项目四年初投资为10 万元3设五种家具分别为x1，x2，x3，x4，x5。
运筹学作业2(清华版第二章部分习题)答案
运筹学作业2（第二章部分习题）答案2．1 题 （P . 77） 写出下列线性规划问题的对偶问题：（1）123123123123123m ax 224..34223343500,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++⎧⎪++≥⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥≥⎪⎩无约束，；解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：123123123123123m ax 235..223424334,0,0w y y y s t y y y y y y y y y y y y =++⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎨⎪++=⎪≥≤≤⎪⎩（2）1111m in ,1,,,1,,0,1,,;1,,m n ij ij i j n ij ij i j nij ij j j ij z c x c x a i m c x b j nx i m j n====⎧=⎪⎪⎪==⎪⎨⎪⎪==⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑∑ 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：11m ax 1,,;1,,m n i i j ji j i j ij i w a u b v u v c i m j n u ==⎧=+⎪⎪⎪+≤⎨⎪==⎪⎪⎩∑∑ j 无约束，v 无约束2．2判断下列说法是否正确，为什么？（1） 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； 答：错。
因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。
但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。
例如原问题1212212m ax 31..30,0z x x x x s t x x x =++≥⎧⎪≤⎨⎪≥≥⎩有可行解，但其对偶问题1211212m in 33..10,0w y y y s t y y y y =+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≥⎩无可行解。
（2） 如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；答：错，如（1）中的例子。
《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：设 表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则
s.t.
通过LINGO软件计算得： ．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
－10/3
－2/3
0
故最优解为 ，又由于 取整数，故四舍五入可得最优解为 , ．
（2）产品丙的利润 变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－20/3
－10/3
－2/3
0
要使原最优计划保持不变，只要 ，即 ．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；
运筹学(胡运权第二版)习题答案(第二章)
对偶问题: st34yy11
y2 4y3 2 3y2 3y3 4
y1 0, y2 0, y3无限制
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page 3 5/17/2021
第二章习题解答
maxZ 5x1 6x2 3x3
x1 2x2 2x3 5
(2)
st
4xx1175xx22
3x3 3x3
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第二章习题解答
page 2 5/17/2021
2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题。
min Z 2x1 2x2 4x3
x1 3x2 4x3 2
(1)
st
2x1x3
3 5
x1, x2 , 0, x3无约束
maxW 2y1 3y2 5y3
y1 2y2 y3 2
page 4 5/17/2021
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第二章习题解答
m
maxZ cjxj
j1
n
aijxj
bi
(i 1,,m1 m)
(4)
j1 st n aijxj bi
(i m1 1,m1 2,,m)
j1
xj 0 (j 1,,n1,n),xj无约束j（ n1 1,,n）
(4)
由于(1)和(4)是矛盾约束，故对偶问题无可行解。 所以原问题目标函数值无界。
page 16 5/17/2021
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第二章习题解答
2.7 给出线性规划问题
min Z 2 x1 4 x 2 x3 x 4
x1 3 x2 x4 8
st .
运筹学第二章答案.
2.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤+≤++=0,84821234..2max 2121212121x x x x x x x x t s x x z解：首先划出平面直角坐标系4 x 1 +3x 2X 1⎩⎨⎧=+=-1234842121x x x x 解：⎪⎩⎪⎨⎧=14921x x 所以：2111492max =+⨯=z 所以有唯一解(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤+≤+-+=0,414234223max 2121212121x x x x x x x x x x 解：2=41⎩⎨⎧=+=+-1423422121x x x x 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4132521x x 所以:144132253max =⨯+⨯=z 因为直线02321=+x x 与直线142321=+x x 平行， 所以有无穷多最优解，max z=14（3） ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-+=0,432..32max 21212121x x x x x x t s x x z 解：（4）⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≥-+=0,330..max 21212121x x x x x x t s x x z解：2.2将下列线性规划问题化为标准形式(1) s.t.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束321321321321,0,0624322min x x x x x x x x x x x x z (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥-=-+-≤+-≥--+=0,0232132..23min 3213213132321x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束， 解：（1）令011≥-=x x )0'','('''33333≥-=x x x x x则上述形式可化为：)'''(32'2m ax 3321x x x x z --+=⎪⎩⎪⎨⎧≥=+--+=-++0,'',',,'6)'''('24)'''('..43321433213321x x x x x x x x x x x x x x t s（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥-=-+-≤+-≥--+=0,0232132..23min 3213213132321x x x x x x x x x x t s x x x z 无约束， 解：令33'x x -= )0','','(322≥x x x 则上述形式可化为：')'''(23m ax 3221x x x x z ----=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=---=+--=+---0,,','',',2')'''(321')'''(3')'''(2..543221322153224322x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s 2.3. 在下列线性规划问题中，找出所有基解，指出哪些是基可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。
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第二章作业的参考答案73P 4、将下面的线性规划问题化成标准形式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤-+≥+-+-613032632..2max 21321321321x x x x x x x x t s x x x解：将max 化为 min ，3x 用54x x -代替，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤-≤≤≤--+≥-+---+-0,61303)(26)(32..)(2min 5421542154215421x x x x x x x x x x x x t s x x x x令122+='x x ，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≤'≤≤≤≤---'+≥-+-'----'+-0,70303)()1(26)(3)1(2..)(21min 5421542154215421x x x x x x x x x x x x t s x x x x将线性不等式化成线性等式，则可得原问题的标准形式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥'=+'=+=++-'+=--+'--+-'+-0,,,,,,,73424332..122min 98765421928175421654215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x73P 5、用图解法求解下列线性规划问题：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥++212620..3min212121x x x x t s x x解：图2.1的阴影部分为此问题的可行区域。
将目标函数的等值线c x x =+213（c 为常数）沿它的负法线方向T），（31--移动到可行区域的边界上。
于是交点T），（812就是该问题的最优解，其最优值为36。
74P 12、对于下面的线性规划问题，以),,(632A A A B =为基写出对应的典式。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=+++-=++-=++-+-6,,1,010 83412 427 23..2min 63215214321321 j x x x x x x x x x x x x t s x x x j 解：先将方程组中基变量632,,x x x 的系数向量化成单位向量⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥-=+---=++-=++++-6,,1,039 47 4 2253 41 21581 21 45..2min 65415215431321 j x x x x x x x x x x x x t s x x x j 利用线性方程组的典式，把32,x x 用541,,x x x 表示，再带入目标函数，则可得原问题相应于基),,(632A A A B =的典式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥-=+---=++-=++++---6,,1,039 47 4 2253 41 21581 21 45..8321451min 65415215431541 j x x x x x x x x x x x x t s x x x j75P 16、用单纯形法求解下列线性规划问题：(1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤-+≤+-≤+++--=3,2,1,020102603..2min 321321321321j x x x x x x x x x x t s x x x z j解：将此问题化成标准形式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=+-+=++-=++++--=6,5,4,3,2,1,020102603..2min 632153214321321j x x x x x x x x x x x x x t s x x x z j以654,,x x x 为基变量，可得第一张单纯形表为以1x 为以2x 为进基变量，6x 为离基变量旋转得 解为Tx )0,5,15(*=，最所以最优优值为-35。
注：用单纯形法求解线性规划问题的步骤 Ⅰ、将问题化成标准形式； Ⅱ、找出初始解；Ⅲ、写出第一张单纯形表，并化成典式； Ⅳ、判定和迭代。
① 判定：<1> 最优解（检验数向量0≤ξ）；<2> 问题无界（某个非基变量k x 的检验数0>k ξ，且k x 在典式中的系数向量0≤k A ）② 迭代步骤： <1> 确定进基变量k x （检验数向量T ζ中最大的正分量）；<2> 确定转轴元 rk a （进基变量所在的这一列中的正分量与右端向量中对应元素比值最小的）；1x 2x 3x4x 5x 6x RHSz 4x1x 2x<3> 确定离基变量r x （转轴元所在的这一行对应的基变量）；<4> 迭代计算（利用初等行变换，将转轴元变为1，转轴元所在的这一列其它元素全部变为0）；<5> 用进基变量k x 代替离基变量 r x 。
（3）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=-+=++-++-=7,6,5,4,3,2,1,06 0 10 2 6 3 ..min 7636143265365321j x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z j解：在第三个等式两端同乘以-1，并以7125,,,x x x x 为基变量可得其单纯形表为将第0行的元素化为检验数可得1x2x 3x 4x 5x 6x 7x RHS z 5x 2x1x7x由于4x 的检验数014>=ξ，并且4x 在典式中的系数向量0)0,0,1,0(4≤-=T A ，所以问题无界。
75P 17、用两阶段法求解下列线性规划问题：（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≥-+=0,3232..42min 21212121x x x x x x t s x x z解：将此问题化为标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+-=--+=0,,,3 2 32..42min 432142132121x x x x x x x x x x t s x x z 添加人工变量65,x x 得到辅助问题z5x 2x1x7x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+-+-=+--+=0,,,,,3 2 32..min 6543216421532165x x x x x x x x x x x x x x t s x x g 以65,x x 为基变量，可得辅助问题的单纯形表为把g所在的这一行的元素化成检验数以1x 为进基变量，5为离基变量旋转得1x 2x 3x 4x 5x6x RHS z g5x 6x所以，辅助问题的最优解为Tx )4,0,0,0,0,1(*=，其最优值为04*>=g 。
因此，原问题没有可行解。
（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++-=+-+-+-=0,,,14 322 8 24 ..6542max 4321432143214321x x x x x x x x x x x x t s x x x x z解：将此问题化成标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++-=+-++-+-=0,,,14 322 8 24 ..6542min 4321432143214321x x x x x x x x x x x x t s x x x x z添加人工变量65,x x 得到辅助问题1x2x3x4x 5x6x RHS zg1x6x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++++-=++-++=0,,,,,1 4 322 8 24 ..min 654321643215432165x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x g 以65,x x 为基变量，可得辅助问题的单纯形表为把g所在的这一行的元素化成检验数以4x 为进基变量，5x为离基变量旋转得1x2x 3x 4x 5x 6x RHS zg5x 6x以3x 为进基变量，6x 为离基变量旋转得所以，辅助问题的最优解为T x )0,0,41,0,0,0(='，其最优值为0='g 。
因此，原问题的初始解为T x )41,0,0,0(0=，其第一张单纯形表为以1x 为进基变量，4x 为离基变量旋转得1x2x 3x 4x 5x6x RHSzg4x3x问题的最优解为T x)0,3,0,8(*=，最优因此，原值为31。
76P 18、写出下列线性规划问题的对偶规划：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤++=++≥++++=为自由变量321321321321321,0,5533622432..42min x x x x x x x x x x x x t s x x x z解：先将此问题化成一般形式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥---=++≥++++=为自由变量321321321321321,0,5533622432..42min x x x x x x x x x x x x t s x x x z所以，其对偶规划为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=-+≤-+≤-+-+为自由变量231321321321321,0,4564233122..532max ωωωωωωωωωωωωωωωt s1x2x3x 4x RHSz1x 3x77P 20、给定线性规划问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=+≤++=0,,3215 2..min 321322131x x x x x x x t s x x z记为（P ）（1）用单纯形算法解P; （2）写出P 的对偶问题D;（3）写出P 的互补松紧条件,并利用它们解对偶D;解：(1) 把问题（P ）化为标准形式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=+=+++=0,,,32152..min 43213242131x x x x x x x x x t s x x z以31,x x 为基变量，可得到其单纯形表为:把第0行化成检验行，得1x2x 3x 4x RHS z 1x 3x以2x 为进基变量，1x为离基变量，旋转得根据最优化准则知，问题（P ）的最优解为T x )47,25,0(*=, 最优值为 47.(2) 将问题（P ）化为一般形式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥=+-≥--+=0,, 321 52.. min 32123212131x x x x x x x t s x x z ωω因此其对偶问题（D ）为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤+-≤-+-0102121..35max 1221121ωωωωωωωt s(3) 由问题（P ）的最优解为Tx )47,25,0(*=以及互补松紧性定律可得1x2x 3x 4x RHSz 2x3x⎪⎩⎪⎨⎧==+-1212221ωωω解得411=ω ，12=ω. 所以，对偶问题（D ）的最优解为T )1,41(*=ω，最优值为473521=+-ωω.77P 22、用对偶单纯形法解下列问题.（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≥+-≥++++=.3,2,1,043232..432min 321321321i x x x x x x x t s x x x z i解：引入剩余变量将原问题标准化⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=-+-=-++++=.5,4,3,2,1,043232..432min 53214321321i x x x x x x x x x t s x x x z i再将约束条件两边同时乘以1-得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥-=+-+--=+---++=.5,4,3,2,1,043232..432min 53214321321i x x x x x x x x x t s x x x z i以54,x x 为基变量，可得其单纯形表为以5x 为离基变量，1x为进基变量，旋转得为离基变量，2x 为进基变量，旋转以4x 得根据最优化准则知，原问题的最优解为T x )0,52,511(*=, 最优值为528.注：用对偶单纯形方法求解线性规划问题的步骤： Ⅰ、将问题化成标准形式； Ⅱ、找出初始解；Ⅲ、写出第一张单纯形表，并化成典式； Ⅳ、判定和迭代。