运筹学(胡运权第二版)习题答案(第二章)
《运筹学》胡运权清华版-2-01对偶问题
一、对偶问题的提出
二、原问题与对偶问题的数学模型
继续
三、原问题与对偶问题的对应关系
返回
一、对偶问题的提出
题对
偶 问
实例：某家电厂家利用现有资源生产两种
产品， 有关数据如下表：
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设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
a11x1 a12x2 ... a1n xn b1 .a..21x1 a22x2 ... a2n xn b2 am1x1 am2 x2 ... amn xn bm xi 0,i 1,2,..., n
题对 偶 问
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对偶问题
min w b1 y1 b2 y2 ... bm ym
y 调试工序 –––– 元／3时
付出的代价最小， 且对方能接受。
厂家觉得比
收
自己生产有利。
购
题对 偶 问
上页 下页 返回
厂家能接受的条件：
出 用同让等代6 y数价2量应的不y资低3 源于 2 5 y自1己生2产y的2 利润y3。 1
收购方的意愿：
单位产品Ⅰ出租 收入不低于2元
单位产品Ⅱ出租 收入不低于1元
y1 a11
a12...
a1n ≤ b1
偶 问
y2 a21 ... ...
a22... ...
a2n
≤
... b2
... ...
题
ym am1 am2 ... amn ≤ bm
≥ ≥ ≥
max c1 c2 ... cn
题对 偶 问
运筹学教程（第二版）（胡运权）课后答案（清华大学出版社）
运筹学教程（第⼆版）（胡运权）课后答案（清华⼤学出版社）运筹学教程（第⼆版）习题解答第⼀章习题解答运筹学教程1.1 ⽤图解法求解下列线性规划问题。
并指出问题具有惟⼀最优解、⽆穷多最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。
1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5 x 1 + 6 x 2≤ 82 5 ≤ x ? 1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3) 1 2 x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 21 2 ? ≥ 12 2 1 ? x , x ≥ 0 .? ?2 x 1 + x 2 ≤ 2st ?3x + 4 x (2) max Z = 3x 1 + 2 x 2x , x ≥ 0 1 2该问题⽆解≥ 12 2 1 ? ? 2 x 1 + x 2 ≤ 2st .?3 x +4 x ( 2 ) max Z = 3 x 1 + 2 x 2第⼀章习题解答3 2 1x = 1, x = 1, Z = 3是⼀个最优解⽆穷多最优解，1 2x , x ≥ 0 ? 2 1 ? ? ? 4 x 1 + 6 x 2 ≥ 6st .?2 x + 2 x ≥ 4 (1) min Z = 2 x 1 +3 x 2该问题有⽆界解1 2x , x ≥ 0 ? ≤ 2 2 1 ? .? 2 x 1 - x 2 ≥ 2st- 2 x + 3x (4) max Z = 5x 1 + 6 x 2第⼀章习题解答唯⼀最优解， x 1 = 10, x 2 = 6, Z = 16 ≤ 82 5 ≤ x ?1 ? 5 ≤ x ≤ 10 .?max Z = x 1 + x 26 x 1 + 10 x 2 ≤ 120st ?(3)第⼀章习题解答运筹学教程1.2 将下述线性规划问题化成标准形式。
《运筹学教程》第二章习题答案
《运筹学教程》第二章习题答案1、（1）解：引入松弛变量x4≥0,x5≥0,化不等式为等式为：minz=2X1 +3X2+4X3s.t. X1+3X2+2X3+X4=74X1+2X2+X5=9X1,X2,X4,X5≥0化自由变量为非负，令X3=X3′-X3〞，X3′，X3〞≥0 ：minz=2X1 +3X2+4X3′-4X3〞s.t. X1+3X2+2 X3′-2 X3〞+X4=74X1+2X2+X5=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 ≥0(2)解：引入松弛变量x5≥0,剩余变量X6≥0，化不等式为等式为：maxz=X1 -5X2+4X3- X4s.t. X1+2X3+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2，X4,X5 ，X6≥0化自由变量为非负，令X3=X3′-X3〞，X3′，X3〞≥0 ：maxz=X1 -5X2+4X3′-4X3〞- X4s.t. X1+2 X3′-2 X3〞+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 , X6≥0化极大的目标函数为极小的目标函数：minz=-X1+5X2-4X3′+4X3〞+X4s.t. X1+2 X3′-2 X3〞+X5=7X2-2X4-X6=9X1,X2, X3′，X3〞，X4,X5 , X6≥02、(1)是不等式表示下图阴影区域，过阴影部分任意两点的直线仍在该区域内。
(2)不是不等式表示下图阴影区域，过阴影部分且通过曲线上部的直线上的点不完全在该区域内。
(3)不是 不等式表示下图阴影区域，过阴影部分且通过圆内部的直线上的点不完全在该区域内。
3、在以下问题中，指出一组基础变量，求出所有基础可行解以及最优解。
（1）123123123123m ax 2..2644,,0z x x x s t x x x x x x x x x =+-⎫⎪++≤⎪⎬+-≤⎪⎪≥⎭解：将上式化成标准形式，如下：1231234123512345m in 2..2644,,,,0p x x x s t x x x x x x x x x x x x x =--+⎫⎪+++=⎪⎬+-+=⎪⎪≥⎭从上式中可以得出系数矩阵为[]12345112101411A P P P P P ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦， 取基础变量为45,x x ，令非基变量123,,x x x =0，解方程组123412352644x x x x x x x x +++=+-+=得基础可行解(1)(0,0,0,6,4)T x =同理得基础解：(2)(0,6,0,0,20)T x =-，(3)(0,0,3,0,7)T x =，(4)(0,0,4,24,0)T x =-，(5)(0,1,0,5,0)Tx =，(6)1420(0,,,0,0)99Tx =，(7)(6,0,0,0,2)T x =-，(8)(4,0,0,2,0)Tx=，(9)202(,,0,0,0)33Tx =-，(10)142(,0,,0,0)33Tx =。
运筹学清华大学出版社胡运权着课后答案
�12 x1 � 3 x2 � 6 x3 � 3 x4 � 9
(1)
st
��8 ��3
x1 x1
� �
x2 x6
� 4 x3 �0
�
2 x5
� 10
�� x j � 0�, j � 1,� ,6�
min Z � 5 x1 � 2 x2 � 3 x3 � 2 x4
� x1 � 2 x2 � 3 x3 � 4 x4 � 7
运筹学教程�第二版� 习题解答
运筹学教程
1.1 用图解法求解下列线性规划问题。并指出问 题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可 行解。
min Z � 2 x1 � 3 x2 � 4 x1 � 6 x2 � 6
(1) st .�� 2 x1 � 2 x2 � 4 �� x1 , x2 � 0
Z
0
0.5
2
0
5
0
0
1
1
5
2/5
0
11/5
0
43/5
page 10 6 January 2011
School of Management
运筹学教程
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划 问题�并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
max Z � 10 x1 � 5 x2 �3 x1 � 4 x2 � 9
max Z � x1 � x2 �6 x1 � 10 x2 � 120 (3) st.�� 5 � x1 � 10 �� 5 � x2 � 8
max Z � 3x1 � 2 x2 �2 x1 � x2 � 2
(2) st.��3x1 � 4 x2 � 12 �� x1, x2 � 0
运筹学 胡运权 第二章
第1页
第二章 线性规划的对偶理论
一、问题的提出: 设用两种原料（A、B）
生产三种产品的一个生产计划问题
m f ( x) = x1 + 2x2 + 4x3 ax x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 25 s.t. 2x1 + x2 + 2x4 ≤15 x1, x2 , x3 ≥ 0
华东师范大学
《运筹学》 运筹学》
第11页 11页
弱对偶性的推论： 对偶性的推论：
max问题的任何可行解目标函数值是其对偶min问 题目标函数值的下限； min问题的任何可行解目标 函数值是其对偶max问题目标函数值的上限。 如果原max(min)问题为无界解，则其对偶 min (max) max(min) 问题无可行解。 如果原max(min)问题有可行解，其对偶 min (max) 问题无可行解，则原问题为无界解。 存在原问题和对偶问题同时无可行解的情况。
华东师范大学
14 December 2010
《运筹学》 运筹学》
第10页 10页
1. 弱对偶性定理（P55） 对偶问题(min)的任何可行解Y0，其目 标函数值 bTY0 总是不小于原问题(max) 的任何可行解X0的目标函数值CTX0, 即 CTX0 ≤ bTY0
14 December 2010
14 December 2010
华东师范大学
《运筹学》 运筹学》
第8页
表2.1 对偶变换的规则
原问题(max,≤) ≤ 原问题 系数矩阵 A 目 标 系数 C 常数 项 b 第 i 行约束条件为 ≤ 型 第 i 行约束条件为 ≥ 型 第 i 行约束条件为 = 型 决策变量 xj ≥ 0 决策变量 xj ≤ 0 决策变量 xj ±不限 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 对偶问题(min,≥) ≥ 对偶问题 系数矩阵 AT 常数项 b 目 标 系数 C 对偶变量 yi ≥ 0 对偶变量 yi ≤ 0 对偶变量 yi ±不限 第 j 行约束条件为 ≥ 型 第 j 行约束条件为 ≤ 型 第 j 行约束条件为 = 型
运筹学胡运权第02章
•极大化问题的每个约束对应于极小化问题 的一个变量，其每个变量对应于对偶问题 的一个约束。
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题 的 定 义
a11 x1 a12 x 2 a1n x n (, )b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n (, )b2 a x a x a x (, )b m2 2 mn n m m1 1 x j 0( 0, 或符号不限) j 1 ~ n
c3 x3 c3 x3 max z c1 x1 c2 x2
对偶变量 y1 y2′
y2″
y3′
非 对 偶 形 式 的 原对 偶 问 题
例2-4
b2 y2 b3 y3 min w b1 y1 b2 y2
令各约束对应的对偶变量分别为y1、y2′、y2″、 -y3′
（2.4a） （2.4b） （2.4c）
（2.4d）
先转换成对称形式，如下：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a13 x3 b1 a x a x a x a x b 2 21 1 22 2 23 3 23 3 s.t. a21 x1 a22 x2 a23 x3 a23 x3 b 2 a x a x a x a x b3 31 1 32 2 33 3 33 3 x1 0，x2 0，x3 0，x3 0
a11 y1 a21 y2 a21 y2 a31 y3 c1 a y a y a y a y c 2 12 1 22 2 22 2 32 3 s.t. a13 y1 a23 y2 a23 y2 a33 y3 c 3 a y a y a y a y c 3 23 2 33 3 13 1 23 2 y1 0，y2 0，y2 0，y3 0
清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案
3 x1 x2 x5 3
st
4 x1 3 x2 x3 x6
x1
2 x2
x4
4
6
x j 0（, j 1,,4）
cj
CB
xB
b
-M x5 3
-M
x6
6
0
x4
4
cj zj
-4 x1 1
-M x6 2
0
x4
3
cj zj
-4
-1 0
x1
x2
x3
3
1
0
4
3 -1
1
20
7M-4 4M-1 -M
小于0 ,因此已经得到唯一最优解，最优解为：
X * 2 5 ,9 / 5,1,0T
max Z 10x1 15x2 12x3
5x1 3x2 x3 9
(4)
st
5x1 2x1
6x2 x2 x3
15x3 5
15
x j 0（, j 1,,3）
39
1.8 已知某线性规划问题的初始单纯形
表和用单纯形法迭代后得到下面表格,试求括
弧中未知数a∼l值。
项目
X1 X2 X3 X4 X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1 3 (e) 0 1
Cj－Zj
a -1 2 0 0
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj－Zj
0 -7 (j) (k) (l)
6 4
x1 , x2 0
无穷多最优解
(蓝 色 线 段 上 的 点 都 是 最优 解 ）
x1
6 5
,
x2
运筹学胡运权 部分课后习题答案
第一章P43-1.1（1）当取A （6/5,1/5）或B （3/2,0）时，z 取最小值3。
所以该问题有无穷多最优解，所有线段AB 上的点都是最优解。
P43-1.2(1)令''4'44x x x -=，z z -='''4'4321'55243max x x x x x z +-+-=,,,,,,232142222465''4'43216''4'43215''4'4321''4'4321≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xP43-1.4(1) 图解法：A(0,9/4)，Z 1=45/4；B(1,3/2)，Z 2=35/2；C(8/5,0)，Z 3=16。
单纯形法：10 5 0 0C b X b b x1x2x3x4θ0 x39 3 4 1 0 30 x48 5 2 0 1 8/5δ10 5 0 00 x321/5 0 14/5 1 -3/5 3/210 x18/5 1 2/5 0 1/5 4δ0 1 0 -25 x23/2 0 1 5/14 -3/1410 x1 1 1 0 -1/7 2/7δ0 0 -5/14 -25/14依次相当于：原点；C；B。
P44-1.7(1)2 -1 2 0 0 0 -M -M -MC b X b b x1x2x3x4x5x6x7x8x9θ无界解。
两阶段法：阶段二：P45-1.10证明：CX (0)>=CX*，C*X*>=C*X (0) CX (0)-CX*+C*X*-C*X (0)>=0，即(C*-C)(X*-X (0))>=0。
P45-1.13设饲料i 使用x i （kg ），则543218.03.04.07.02.0m in x x x x x z ++++=s.t. 7001862354321≥++++x x x x x 305.022.05.054321≥++++x x x x x1008.022.05.054321≥++++x x x x x0,,,,54321≥x x x x x第二章P74-2.1(1)321532m ax y y y w ++=22321≤++y y y 243321≤++y y y 4334321=++y y y 无约束321,0,0y y y ≤≥P75-2.4(1),06353322232max 212121212121≥≥≤-≤+≤-≤++=y y y y y y y y y y y y w(2) (8/5,1/5)(3) 无穷多最优解。
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第二章习题解答
2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题
。
min Z 2x1 2x2 4x3
x1 3x2 4x3 2
(1)
st
2x1x1 4
x2 x2
3x3 3x3
3 5
x1, x2 , 0, y3
y1 2 y2 y3 2
y1 2 y2 1 (1)
st
.
y1 y1
y2 y2
1 0
(2) (3)
y1, y2 0
(4)
由于(1)和(4)是矛盾约束，故对偶问 题无可行解。所以原问题目标函数值无界。
第二章习题解答
2.7 给出线性规划问题
min Z 2x1 4x2 x3 x4
第二章习题解答
2.5 给出线性规划问题
max Z x1 2x2 x3
x1 x2 x3 2
st 2x1x1x2x2x3x31 2
.
x1 0, x2 0, x3无约束
(1)写出其对偶问题；(2)利用对偶问题性质证明 原问题目标函数值z≤1。
第二章习题解答
min W 2 y1 y2 2 y3
解：
l=1, k=0 , h=-1/2, a=2,
c=3, b=10, e=5/4, f=-1/2, d=1/4, g=-3/4, i=-1/4, j=1/4
Cj→ CB 基 b
32 2 0 0 0 X1 X2 X3 X4 X5 X6
0 X1 (b) 1 1 1 1 0 0
0 X2 15 (a) 1 2 0 1 0
m
aij yi
cj
( j 1,2,, n1)
对偶问题：
st
i 1 m
aij
yi
cj
( j n1 1, n1 2,, n)
i1 yi 0
(i 1,, m1)
yi无约束（j m1 1,, m）
第二章习题解答
2.2 判断下列说法是否正确，为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行解，则 其对偶问题也一定存在可行解； 答：不对！如原问题是无界解，对偶问题 无可行解。 (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则 原问题也一定无可行解； 答：不对！道理同上。
max Z x1 x2 5x3 6x4
st
.
x1 x2 x3 2 2x1 x2 x3 1
x
j
0, (
j
1,,3)
试根据对偶问题性质证明上述线性规 划问题目标函数值无界。
第二章习题解答
解：x1=1,x2=x3=0是原问题的可行解。原问题的对 偶问题为：
min W 2 y1 y2
st
n
xij bj
( j 1,, n)
.
i1 xij 0
(i 1,, m, j 1,, n)
m
n
maxW ai yi bj y jm
对偶问题：
st.
yi yi无
i 1
y jm cij 限制，i
j 1
(i 1,, m,
1,, n m
j
1,, n)
第二章习题解答
第二章习题解答
(3)在互为对偶的一对原问题与对偶问
题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的 目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数 值；
反。
答：不对！如果原问题是求极小，结论相
题。
(4)任何线性规划问题具有惟一的对偶问
答：结论正确！
第二章习题解答
2.3 已知某求极大化线性规划问题 用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形 表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
第二章习题解答
min W 2 y1 3 y2
y1 2 y2 2
(1)对偶问
题： st
.32
y1 y1
y2 y2
3 5
y1
3y2
6
y1 0, y2 0
(2) 最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。 (3)由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约 束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令 x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
maxW 5 y1 3y2 8 y3
y1 y2 4 y3 5
对偶问题：
st
2 2
y1 y1
5 3
y2 y2
7 y3 3 y3
6 3
y1无约束, y2 0, y3 0
第二章习题解答
mn
min Z
cij xij
i1 j 1
n
xij ai
(i 1,, m)
(3) j1
第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题
min Z 2x1 3x2 5x3 6x4
st.
x1 2 x1
2
x2 x2
3x3 x4 x3 3x4
2 3
x j 0, ( j 1,,4)
(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题； (3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优 解。
y1 y2 y3 1
(1)对偶问题：st
y1y1
y2 y2
y3 y3
2
1
y1 0, y2无约束, y3 0
(2)y1=y3=0,y2=1 时 对 偶 问 题 的 一 个 可 行 解 ， 目 标 函数值为1，故原问题的目标函数值小于等于1。
第二章习题解答
2.6 已知线性规划问题
m
max Z c j x j
j 1
n
aij x j bi
(i 1,, m1 m)
(4)
j1
st
n
aij x j
bi
(i m1 1, m1 2,, m)
j1
x
j
0
( j 1,, n1, n), x j无约束（j n1 1,, n）
第二章习题解答
minW b1 y1 b2 y2 bm ym
对偶问题
:
st
3 4
y1 y1
y2 4 y3 2 3y2 3y3 4
y1 0, y2 0, y3无限制
第二章习题解答
max Z 5x1 6x2 3x3
x1 2x2 2x3 5
(2)
st
4 xx1175xx22
3x3 3x3
3 8
x1无约束, x2 , 0, x3 0
0 X3 20 2 (c) 1 0 0 1
Cj－Zj
32 2 0 0 0
┆ ┆ ┆ ┆┆ ┆ ┆ ┆ ┆
0 X4 5/4 0 0 (d) (l) -1/4 -1/4
3 X1 25/4 1 0 (e) 0 3/4 (i)
2 X2 5/2 0 1 (f) 0 (h) 1/2
Cj－Zj
0 (k) (g) 0 -5/4 (j)