一维变系数对流扩散方程的一个紧致差分格式
基于一维对流方程差分格式的哲学思考
ｄ
０
维问题的形式为 ：
旦 ＋ 一 Ｏ ｕ ０
：
条件稳定 的 （ ３ ） 对 未线性化 的一维对流方程 ， 常用的有 条件稳定差分格式——迎 风格式 为 ：
（ ４）
＋ ｕ Ｊ
＿ ０ （ ｕ ０ ） ＿ ｏ （ ｕ ｏ ） （ １ ２ ）
对流项线性化之后的形式为
（ ６ ）
（ ， ０ ） ： Ｆ （ ）
ｊ
在时间 与空间上可取 不同的差商来逼 近 而得到不 同的差分格
式。 在时间上取前 差商 ， 空间上取 中心差商 ， 可得差分格式 Ａ格式 ：
７
Ｌ
誊 考 ㈤ 密
出口开边界条件的处理方法
作者简介 ： 李 占松（ １ ９ ６ ５ ． ０ － ） ， 男， 汉族 ， 河南长葛人 ， 博士 ， 郑 州大学水利 与环境 学院， 副教授 ， 主要从事计算水力学及工程水力学等研 究。
Ｃ格式对时间差商 和空 间差商也都具有一阶精度 。 通过稳定性分析可知 ： Ａ格式对任意 ＝ 都是不稳定 的， 也是不收敛的。 不能用于计
算。 Ｂ格式的稳定性条件是 ：
一
１ ≤
＜ ｏ
（ １ ０ ）
ａ ｔ ａ ＊ 毒 ８ ｘ ＼ｄ 等卜 ｘ １ ａ ｘ …
Ｏ ｕ
＿
＿＋ ： ０ ｍ ａ
（ ５ ）
０
＝
Ｆ（ ） 式 中 是 不为零 的常数 。 该～维对流方程 （ 欧拉方程 ） 常作为研究对流项性质 的模化方程 。 ３ 水力学数值 计算 中的两例处理方法
２ 一维对流方程的差分格式罔
一
维对流方程 的初值问题为 ：
堕 Ｏ ｔ
科技・ 瓣 ・ 争． 乌
哈尔滨工业大学 计算传热学 第五章 对流-扩散方程的离散格式-2013
aPP aEE aWW
Fe Fw exp( Pw ) aE , aW exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1
(D)
aP aE aW (Fe Fw )
区别就在函数 aE和aW
aE De
Pe aE De exp( Pe ) 1
aE Pe De
该格式计算量比指数小，且指数格式的解差别很小。
§ 5-3
为了在讨论中引入 PE 记
通用表达式
x
i
J*
i+1 i+1/2
x
1 界面i+ 上的值可以用界面两侧节点值表示 2
J * Bi Ai 1 （y）
系数A和B的性质的讨论 (1)当 i i 1 时，扩散量=0， J *完全由对流造成，即
即
aPP aEE aW W
显然不论那种格式，仅仅是 A(| P |) 表达式的区别。
A( P )
A(|P |)
中心 1 0.5 | P | 迎风 1 混合 [| 0,1 0.5 | P | |] 指数 | P | [exp(| P |) 1]
1.0
迎风
指数 乘方
乘方 | 0, (1 0.1| P |)5 |
中心
混合
P
§ 5-4
原始的假扩散概念
关于假扩散的讨论
一维非稳态对流方程（纯对流,没有扩散）
u t x
显示迎风差分格式
in1 in
t
u
in in 1
x
, o(x, t )
将上式在（i，n）点做Taylar级数展开，保留二阶。
上述若对任何成立，必得
B( P ) A( P ) A( P ) B( P )
对流扩散方程
对流扩散方程ν22u u ua t x x抖 +=抖¶ 网格比λt a x D =D ， ν2t r xD =D 而它们的比值λνν2t a a x x r t x D D D ==D D 是一个无量纲量，称为网格雷诺数，也就是以网格尺寸 x D 为特征长度的雷诺数，通常记作 Re x D 。
（1） 显式中心差分格式ν11111222n nn nn n nj jj j j j j u u u u u u u atxx++-+----++=D D D即()()λ1111122n n nn n n nj jj j j j j u u u u r u u u ++-+-=--+-+ 精度：()O 2 , n j R t x =D D稳定性分析：设 jikx n nj k C eε= ，则()1j ik x xn n j k C e ε-D -= ，()ε1j ik x xn n j k C e+D += ，11jikx n n j k C eε++=代入差分格式()()()()λ122jj jj j j j ik x xik x xikx ikx n n n n kkk kik x x ik x x ikx n n n k k k Ce C eC e C er C e C e C e +D -D ++D -D 骣÷ç=--÷ç桫骣÷ç+-+÷ç桫令 k x α=D ，可求出增长因子()()()ααααλλαααααλ121221sin 2cos 114sin 2sin cos 222n k nk i i i i C G C e e r e e i r r i +--==--+-+=-+-骣骣鼢珑鼢=-+珑鼢珑鼢桫桫所以αααλααααλαααλ22222242222222214sin 2sin cos 22218sin16sin4sincos22221424sin cos sin 222G r r r r r 骣骣鼢珑鼢=-+珑鼢珑鼢桫桫=-++骣÷ç÷=---ç÷ç÷桫因此ααλ222221 124sin cos 022G G r r ［［--我们来考虑函数()αααλ222224sin cos 22f r r =--的极值。
求解变系数对流扩散反应方程的指数型高精度紧致差分方法
求解变系数对流扩散反应方程的指数型高精度紧致差分方法田芳;葛永斌【摘要】本文给出了一种数值求解变系数对流扩散反应方程的指数型高精度紧致差分方法.我们首先将模型方程变形,借助常系数对流扩散方程的指数型高精度紧致差分格式,采用残量修正法得到变系数对流扩散反应方程的指数型高精度紧致差分格式;并从理论上分析了当Pelect数很大时,本文格式达到四阶计算精度时网格步长的限制条件;离散得到的代数方程组可采用追赶法直接求解.数值实验结果与理论分析完全吻合,表明了本文格式对于边界层问题或大梯度变化的物理量求解问题具有的高精度和鲁棒性的优点.%An exponential high accuracy compact finite difference method is proposed to solve the one-dimension (1D) convection-diffusion-reaction equation with variable coefficients. Fir-stly, the equation is rewritten in the form of convection diffusion equation. Then the exponential high order compact finite difference scheme for the convection diffusion equation with constant coefficients and the remainder term modification approach are utilized to obtain an exponential high accuracy compact finite difference scheme for the 1D convection-diffusion-reaction equation with variable coefficients. Secondly, the necessary condition on grid step length is analyzed theoretically if the scheme in this paper has a fourth-order accuracy when the Peclet number is very high. Lastly, the Thomas approach is applied to deal with the algebraic equations. Numerical examples, mostly with the boundary layer where sharp gradients may appear due to high Peclet number, arepresented to demonstrate the accuracy and robustness of the proposed scheme.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2017(034)003【总页数】14页(P283-296)【关键词】对流扩散反应方程;指数型有限差分格式;高精度紧致差分格式;对流占优;边界层【作者】田芳;葛永斌【作者单位】宁夏大学数学统计学院,银川 750021;宁夏大学数学统计学院,银川750021【正文语种】中文【中图分类】O241.821 引言对流扩散反应方程是自然界和工程应用中的一类非常重要的方程，常常用来描述大气、海洋、河流等污染中污染物的扩散与分布、细菌的浓度分布、核工业中核反应堆的冷却及工业生产中的化学气相沉积等对流扩散反应现象．因此，对于此类方程的数值求解研究具有重要的理论意义和实际应用价值．目前，求解对流扩散反应方程的方法主要有有限元法、有限体积法、边界元法、特征线方法、有限差分法等[1-18]．文献[11]通过网格加密技术与变分多尺度法的耦合，消除了在对流扩散反应方程中由边界层效应和内部层效应引起的数值伪振荡．文献[12]利用微分方程的通解，提出了数值求解一维定常常系数对流扩散反应方程的一种指数型高精度差分方法；文献[13]分别针对对流扩散方程和对流扩散反应方程采用变量替换消去方程中的对流项，将方程转化为反应扩散方程组进行离散求解；文献[14,15]构造了非均匀网格上的对流扩散反应方程的多项式型的紧致差分格式，该格式较均匀网格系统下的计算无论在精度上还是分辨率上均有很明显的优势；文献[16]基于泰勒级数展开，结合原方程，发展了求解对流扩散方程的多项式型四阶精度的紧致差分格式；文献[17]发展了求解对流扩散反应方程的多项式型四阶精度的紧致差分格式，并将该格式外推得到多项式型六阶精度的紧致差分格式；文献[18]采用差分修正的思想构造了求解对流扩散方程的指数型差分格式，该格式对于对流占优问题在粗网格上能得到很高的计算精度．本文将针对对流扩散反应模型方程，将文献[18]的差分格式进行推广，发展了求解对流扩散反应方程的指数型高精度紧致差分格式．2 对流扩散反应方程的指数型高精度紧致差分格式考虑定常对流扩散反应方程其中a是扩散系数，一般是常数；c(x)和b(x)分别为对流项系数和反应项系数，可以是常数，亦可以是x的函数；f(x)是x的足够光滑的函数；u(x)是待求未知量；当b(x)=0时，模型方程(1)为对流扩散方程．将求解区间[X1,X2]等分为N个子区间在点xi处由泰勒级数展开得到其中2.1 常系数对流扩散反应方程的指数型高精度紧致差分格式考虑常系数对流扩散反应方程将方程(4)改写为对于常系数对流扩散方程文献[18]中给出了形如的O(h4)阶精度的指数型紧致差分格式，其中系数为下面推导常系数对流扩散反应方程(4)的四阶指数型紧致差分格式．对(5)式中的第一个方程，考虑其在点xi处的四阶指数型紧致有限差分格式由(5)式中的第二个方程直接求导得将(10)式代入(9)中，整理得将(2)式代入(11)式右端项，略去高阶项整理得常系数对流扩散反应方程(4)的四阶指数型高精度紧致差分格式其中2.2 变系数对流扩散反应方程的指数型高精度紧致差分格式考虑变系数对流扩散反应方程(1)在点xi处的形如(12)式的差分格式其中差分系数由(13)给出．由泰勒级数展开得差分格式(14)的修正方程为由(15)式知，差分格式(14)是方程(1)的O(h2)阶近似差分，要得到其O(h4)的差分格式，需要在原模型方程(1)的左端添加进行修正，从而得到模型方程(1)的修正微分方程其中然后，对修正微分方程(16)考虑在点xi处的形如(12)式的差分格式，有其中差分格式(18)和(19)即为对流扩散反应方程(1)的四阶指数型紧致差分格式．(17)和(18)式中的fx,fxx可以直接求导得到，或者采用二阶中心差分算子(3)离散得到，都能保证差分格式(18)的O(h4)精度．将差分算子(3)代入到(18)式中，整理得(20)式所对应的代数方程组可以采用追赶法直接求解．3 差分格式的性质当c̸=0时，记则由于当时，故当雷诺数很大时，在粗网格差分格式(7)收敛阶也能达到三阶．若要差分格式(7)达到四阶精度，则需要满足因此，对于差分格式(7)有如下结论：定理1 1) 如果ac>0，则当网格步长满足时，差分格式(7)具有四阶精度；2) 如果ac<0：(i) 当c>−16a时，则当对任意的网格步长h，差分格式(7)具有四阶精度；(ii) 当c<−16a时，则当网格步长满足时，差分格式(7)具有四阶精度．证明不妨假设a>0，则分c>0和c<0两种情况证明．由(22)式得1) 当c>0时，有2ch2+ch−2a<0，由于∆=c2+16ac>0，故2) 当c<0时，有−2ch2+ch+2a>0，由于∆ =c2+16ac>0，故：当c>−16a时，则对任意的网格步长h，(22)式均成立；当c<−16a时，得若要差分格式(12)能达到四阶精度，则除(22)式外还需要满足因此，对于差分格式(12)，我们有如下结论：定理2 假设a>0，那么：1) 如果bc>0，则：(i) 如果b>0,c>0，当网格步长满足时，差分格式(12)具有四阶精度；(ii) 如果b>0,c<0，则当网格步长满足时，差分格式(12)具有四阶精度；2) 如果bc<0，则当网格步长满足时，差分格式(12)具有四阶精度．证明假设a>0，由(24)式得1) 如果bc>0，则：(i) 当b>0,c>0时，有即4ch2+(b+1)ch−2a(b+1)<0，由于∆=(b+1)2c2+32a(b+1)c>0，故(ii) 当b<0,c<0时，有即(b−1)ch+2a(b−1)<0，从而得2) 如果bc<0，则：(i) 当b<0,c>0时，有即(1−b)ch+2a(b−1)<0，从而得(ii) 当b>0,c<0时，有即由于函数是(0,+∞)上关于b的单调递减函数，故有从而得综上(i)和(ii)所述，如果bc<0，则当网格步长满足时，差分格式(12)具有四阶精度．4 数值算例下面，我们将选取典型算例采用本文格式(12)(简称为EHOC)进行计算，并与精确解和文献[17]中的多项式型格式(简称为FOC)的计算结果进行比较，验证本文格式的精确性和可靠性．收敛阶通过公式计算得到，其中err(N1)和err(N2)分别为网格数为N1和N2时最大绝对误差．算例1 −εuxx+ux= επ2sin(πx)+ πcos(πx)精确解为当ε很小时，该精确解在x=1处有一边界层．此算例中，a=ε,c=1，则当时，计算收敛阶为四阶．表1比较了当ε取不同值时，采用EHOC格式和FOC格式计算的最大绝对误差．计算数值结果表明，ε=0.1时，FOC格式的计算误差和EHOC格式的计算误差达到同一个数量级，但当ε=0.01,0.001时，EHOC格式的计算精度明显优于FOC格式，即随着ε取值减小，EHOC格式较FOC格式在计算精度方面的优势明显增加．图1和图2比较了当ε=10−3,10−5时采用EHOC格式和FOC格式的计算结果．从图中明显的看到，在粗网格上(N=16)，EHOC格式的计算解和精确解在计算节点上吻合的很好．表1: 算例1最大绝对误差比较图1: 当ε=10−3，网格数=16,128时，采用EHOC、FOC格式的计算解和精确解的比较图2: 当ε=10−5，网格数=16,128,1024,8192时，采用EHOC、FOC格式的计算解和精确解的比较算例2 −εuxx+ux+(1+ε)u=0,0<x<1精确解为此算例中，a=ε,c=1,b=1+ε，满足bc>0且b>0,c>0，则当时，计算收敛阶为四阶．表2比较了当ε取不同值时，采用EHOC格式和FOC格式计算的最大绝对误差．从表格中数值结果我们可以看到，对任何的ε取值，EHOC格式的计算精度都高于FOC格式的计算精度．表2: 算例2最大绝对误差比较算例3 −εuxx−ux+εu=sinx精确解为其中此算例中，a=ε,c=−1,b=ε，满足bc<0，则当时，计算收敛阶为四阶．表3比较了当ε取不同值时，采用EHOC格式和FOC格式计算的最大绝对误差．从表格中数值结果我们可以看到，对任何的ε取值，EHOC格式的计算精度都高于FOC格式的计算精度．图3和图4给出了当ε=10−3,10−5时，采用EHOC格式和FOC格式的计算数值结果和精确解的比较．图3中，当ε=10−3时，EHOC格式在粗网格(N=16)上能够很好的逼近精确解(此时最大绝对误差为2.94×10−4)，而FOC格式若要获得相当量级的计算精度，则至少需要4200个网格点(此时最大绝对误差为3.18×10−4)．而当ε=10−5时，如图4(d)所示，当网格数增加到9000时，在靠近边界层的地方，FOC格式的计算解和精确解的误差(为1.42)很大，而此时EHOC格式的计算误差为5.76×10−10．表3: 算例3最大绝对误差比较εFOC[17]网格数收敛阶误差误差收敛阶89.58(−2)2.65(−3)16 0.11.22(−2)2.983.54(−4)2.90328.72(−4)3.802.58(−5)3.89 645.22(−5)4.061.56(−6)4.08 1282.91(−2)8.14(−6)0.012562.43(−3)3.587.15(−7)3.51 5121.43(−4)EHOC4.094.25(−8)4.07 10248.93(−6)4.002.68(−9)3.99 5122.92(−1)7.19(−7)0.00110245.78(−2)2.341.57(−7)2.1920485.81(−3)3.311.69(−8)3.22 40963.54(−4)4.041.05(−9)4.00图3: 当ε=10−3，网格数=16,128,4200时，采用EHOC、FOC格式的计算解和精确解的比较算例4精确解为当ε<<1时，该解在x=1处有一边界层．此算例中，满足bc>0且b>0,c>0，则当时，计算收敛阶为四阶．图4: 当ε=10−5，网格数=16,128,9000时，采用EHOC、FOC格式的计算解和精确解的比较表4比较了当ε取不同值时，采用EHOC格式和FOC格式计算的最大绝对误差．计算数值结果表明，EHOC格式较FOC格式在计算精度方面具有明显的优势．表4: 算例4最大绝对误差比较图5和图6给出了当ε=10−3,10−5时，采用EHOC格式和FOC格式的计算数值结果和精确解的比较．从图中明显的看到，在强对流和反应占优的情况下，即使在粗网格上(N=16)，EHOC格式都能很好的逼近精确解．当ε=10−3时，若要获得相当的计算精度，采用FOC格式计算需要在620个网格下的计算，计算量是EHOC格式计算的38.75倍(EHOC的最大误差为4.33×10−4，FOC的最大误差为4.48×10−4)．当ε=10−5时，如图6(c)所示，将网格点增加255倍，采用FOC格式计算在光滑区域能很好的和精确解吻合，但在边界处误差很大，而EHOC格式能够很好的逼近精确解：EHOC的最大误差为4.25×10−8，FOC的最大误差为7.45×10−1．图5: 当ε=10−3，网格数=16,620时，采用EHOC、FOC格式的计算解和精确解的比较图6: 当ε=10−5，网格数=16,4096时，采用EHOC、FOC格式的计算解和精确解的比较5 结论本文基于常系数对流扩散方程的四阶指数型高精度紧致差分格式，结合残量修正法发展了一种数值求解一维变系数对流扩散反应方程的指数型高精度紧致差分方法，并选取了四个典型算例与文献[18]中的四阶多项式型格式的计算结果进行了比较，所有算例计算结果与表5中的理论分析结论一致，对于对流(反应)占优问题、边界层问题和大梯度变化的物理量问题本文格式的计算精度要明显优于文献[17]的格式．表5: 当ε取不同值时，差分格式达到四阶精度的条件参考文献：[1]Radhakrishna Pillai A C.Fourth-order exponential finite difference methods for boundary value problems of convective diffusiontype[J].International Journal for Numerical Methods inFluids,2001,37(1):87-106[2]Chen G Q,Gao Z.A perturbational exponential finite difference schemefor the convection diffusion equation[J].Journal of Computational Physics,1993,104(1):128-138[3]Phongthanapanich S,Dechaumphai bined finite volume and finite element method for convectiondiffusion-reaction equation[J].Journal of Mechanical Science and Technology,2009,23(3):790-801[4]Bause M,Schwegler K.Higher order finite element approximation of systems of convection-diffusion-reaction equations with smalldiffusion[J].Journal of Computational and AppliedMathematics,2013,246:52-64[5]Ayuso B,Marini L D.Discontinuous Galerkin methods for advection-diffusion-reaction problems[J].SIAM Journal on NumericalAnalysis,2009,47(2):1391-1420[6]Shih Y,Kellogg R B,Tsai P.A tailored finite point method 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一类二维稳态对流——扩散方程的有限差分法
一类二维稳态对流——扩散方程的有限差分法一维稳态扩散方程描述了物质在一维空间中的扩散行为。
然而，在某些情况下，我们需要研究物质在二维平面中的扩散行为，例如热传导、流体传输等。
本文将介绍一类二维稳态对流-扩散方程的有限差分法。
二维稳态对流-扩散方程可以写作：∇·(D∇u) + ∇·(cu) + fu = 0 —— (1)其中，D是扩散系数，c是速度场，u是待求解的物理量，f是源项。
在这个方程中，第一项表示物质的扩散项，第二项表示对流项，第三项表示源项。
我们需要求解方程(1)，找到u的分布。
为了应用有限差分法来求解二维稳态对流-扩散方程，需要将二维空间离散化为一个网格。
假设我们将x方向离散为Nx个等距的节点，y方向离散为Ny个等距的节点，那么我们可以得到一个(Nx+1)×(Ny+1)的网格。
我们在网格节点上定义未知量u，然后将方程(1)对节点处的u进行离散化。
首先，我们对方程(1)的扩散项进行离散化。
我们使用五点差分格式来近似二维Laplace算符∇·(D∇u)。
对于网格节点(x,y)，我们可以得到以下差分格式：(Dij(xi+1,yj)ui+1,j + Dij(xi-1,yj)ui-1,j +Dij(xi,yj+1)ui,j+1 + Dij(xi,yj-1)ui,j-1 -4Dij(xi,yj)ui,j) / ∆x^2 + (Dij(xi,yj)ui,j) / ∆y^2其中，∆x和∆y是网格步长，Dij是扩散系数。
接下来，我们对方程(1)的对流项进行离散化。
我们使用中心差分格式来近似二维梯度算符∇·(cu)。
对于网格节点(x,y)，我们可以得到以下差分格式：(cxi+1/2,yj(ui+1,j - ui,j)) / ∆x + (cxi-1/2,yj(ui,j - ui-1,j)) / ∆x + (cyi,j+1/2(ui,j+1 - ui,j)) / ∆y + (cyi,j-1/2(ui,j - ui,j-1)) / ∆y其中，cxi+1/2,yj、cxi-1/2,yj、cyi,j+1/2和cyi,j-1/2是速度场在节点(x,y)处的中心点处的x和y分量。
一维对流扩散方程第三边值问题的紧有限体积格式
摘
要： 针对一维常 系数对流扩散 方程 第三边值 问题提 出一种 紧有 限体积格式 ， 该格式形成的线性代数方程组具有
三对角性质 ，可以使 用追赶 法求解． 用能量估计 法证 明 了格式按 照离散 Ｌ 范数 、Ｈ 半范数和最 大模 范数均 具有 ４
阶收敛精度． 数值算例验证 了理论分析 的正确性 ，并说 明了格式的有效性 ． 关键词 ： 对流扩散 方程 第三边值 问题 ；紧有 限体积格式 ； 误差估计 ； ４阶精度
第３ ３ 卷
第 ２期
天 津 师 范 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ０ ｆ Ｔ ｉ ａ ｎ ｊ ｉ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ｖｏ １ ． ３ ３ Ｎｏ ． ２
Ａｐ ｒ ． ２０１ ３
２ ０ １ ３年 ４月
文章 编号 ：１ ６ ７ １ — １ １ １ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ ０ １ ０ — １ ０
一
维对流扩散方 程第 三边值 问题 的紧有 限体 积格 式
陈宏 霞 ，王 同科
（ 天津师范大学 数学科学学院 ， 天津 ３ ０ ０ ３ ８ ７ ）
ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｙ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｗｉ ｔ ｈ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ａ ｎ ｔ ｃ ｏ ｅ ｆ ｆ ｉ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｓ ． Ｔ ｈ ｅ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ｉ ｃ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｄ ｅ ｒ ｉ ｖ ｅ ｄ ｂ ｙ ｔ ｈ ｉ ｓ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ｈ ａ ｓ ｔ ｒ ｉ ｄ ｉ ａ ｇ ｏ ｎ ａ ｌ ｐ ｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ ｃ ａ ｎ ｂ ｅ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｄ ｂ ｙ Ｔ ｈ ｏ ｍａ ｓ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ． Ｉ ｔ ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ｉ ｓ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｔ ｗｉ ｔ ｈ ｆ ｏ ｕ ｒ ｔ ｈ — ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ ｗｉ ｔ ｈ ｒ ｅ — ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｔ ｏ ｄ ｉ ｓ ｃ ｒ ｅ ｔ ｅ Ｌ ｎ ｏ ｒ ｎ １ ．Ｈ ｓ ｅ ｍｉ — ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｎ ｄ ｍａ ｘ ｉ ｍｕ ｍ ｎ ｏ ｒ ｍ ｂ ｙ ｅ ｎ ｅ ｒ ｇ ｙ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ． Ｎｕ ｍｅ ｉｃ ｒ ａ ｌ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ ｓ ｖ ｅ ｒ ｉ ｆ ｙ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｃ ｔ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ ａ ｌ ｓ ｏ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｉ ｆ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｉ ｒ ｄ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｙ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ；ｃ ｏ ｍｐ ａ ｃ ｔ ｉ ｆ ｎ ｉ ｔ ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｍｅ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ；ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｅ ； ｏｕ ｆ ｔｈ ｒ — ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ
3 对流扩散方程的离散化(讲义)
令
dφ dx ρu dφ J* = φ− Γ d ( xδ ) δ J = ρ uφ − Γ
15 第三章 对流扩散方程的离散化 16
if Fw < 0 φ w = φ P ( ρu ) w φw = ( ρ u ) wφ P else φ w = φW ( ρ u ) w φw = ( ρ u ) w φW
第三章 对流扩散方程的离散化
3.1 一维对流扩散问题
• 指数格式
dφ dJ ⇒ = 0 ⇒ Je − J w = 0 dx dx • 将上面的精确解应用于P点和E点之间，得到指数格式 J = ρ uφ − Γ
第三章 对流扩散方程的离散化 17
aP = aE + aW + Fe − Fw
3
3.1 一维对流扩散问题
• 混合格式 由指数格式可知
6
3.1 一维对流扩散问题
• 采用分段近似
− Pe aE = 1 − Pe / 2 De 0 0 aW = 1 + Pw / 2 Dw Pw Pe<-2 -2<Pe<2 Pe>2 Pw<-2 -2<Pw<2 Pw>2
第三章 对流扩散方程的离散化
用图形表示的精确解为
1 1
0.8
0.8
( φ -φ 0 )/(φ (Px/L)-φ 0 )
0.6
0.6 图例
(φL − φ0 ) exp(
ρ uL ) Γ )
0.4
0.4
0.2
0.2
P=1 P=2 P=4 P=10 P=-10 P=-4 P=-2 p=-1 P=0
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
• 为了获得关于P点的离散化方程，必须将控制面上的控制变量用 节点上的值来表示。算术平均是最直接的
对流扩散方程有限差分方法
对流扩散方程有限差分方法对流扩散方程有限差分方法求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隐式差分格式。
3.1中心差分格式时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了流扩散方程的显示格式。
处进行Taylor展开: 1)式的中心差分格式[6]n 1 n U j U jn nU j 1 U j 1 a2hnU j 1vn n2U j U j 1h2(3)若令a h，n 1 U jnU jVp，则h1 / n2(U 1(3)式可改写为n nU j 1) (U j 12u：n \U j 1)(4)从上式我们看到, 在新的时间层n 1上只包含了一个未知量nU j1，它可以由时间层n上的值U；1，U j n，U；1直接计算出来。
因此, 中心差分格式是求解对假定u(x,t)是定解问题的充分光滑的解，将n 1U j nU jU； 1 分别在(X j,t n)nUjU(X j,t n 1) U(X j,t n) 0( 2)nU j 1U(X j 1,t n) U(X j,t n)nU j 1 U(X j 1,t n) U(X j,t n) U n h2 2 U n X j 2 2 X jU n h22U nXj2 2 X j代入⑷式，有T (X j,t n)n 1UjnUjn nU j 1 U j 1 a2h2U nh2n0()n2a 0(h )2U2Xn2v 0(h )jhhnU j 10(h3)0(h3)nU j 1v ---20( h )显然，当0, h 0时，T （X j ,t n ） 0，即中心差分格式与定解问题是相容的。
由以上的讨论也可得知，对流扩散方程的中心差分格式的截断误差为2O( h )。
对于我们上面构造的差分格式，是否可以直接用于实际计算呢？也就是 说，如果初始值有误差，在计算过程中误差会不会扩大传播呢？这就是接下来 我们要讨论的是差分方程的稳定性问题。
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ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｃ ｏ ｅ ｆ ｆ ｉ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ；ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ － ｄ ｉ ｆ ｆ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ ；ｃ ｏ ｍｐ ａ ｃ ｔ ｆ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ；ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ；ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ
ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｃ ｏ ｅ ｆ ｆ ｉ ｃ ｉ ｅ ｎ ｔ ｓ ． Ｔｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｉ ｓ ０（ ｒ ＋ ｈ ） ．Ｔｈ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｒ ｅ ｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｂ ｙ Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ
３ ． 鲁 东 大 学 信 息 与 电气 工 程 学 院 ， 山东 烟 台 ２ ６ ４ ０ ０ ５ ）
摘 要 ：对 一 维 变 系 数 的 对 流 扩 散 方 程 提 出 了一 个 紧致 差 分 格 式 ， 从 而 将 格 式 的 收敛 阶提 高 为 Ｏ （ ｒ ＋＾ ） ， 通过 Ｆ ｏ ｕ — ｒ ｉ ｅ ｒ 级 数 的方 法 和 Ｌ ａ ｘ等 价 性 定 理 证 明 了差 分 格 式 的稳 定 性 和 收敛 性 ， 数 值 实 验 结 果 很 好 地 验 证 了理 论 的正 确 性 ． 关 键 词 ：变 系 数 ； 对 流扩 散 ； 紧致差分格式 ； 收敛性 ； 稳 定 性 中 图分 类 号 ： Ｏ ２ ４ １ ． ８ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文章编号 ： ２ ０ ９ ５ — ４ ２ ９ ８ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ０ ２ １ — ０ ４
Ａ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｃ ｔ ｆ ｉ ｎｉ ｔ ｅ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ｃ ｈｅ ｍｅ ｆ ｏ ｒ １ Ｄ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ 。 ｄｉ ｆ ｆ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ
ｗｉ ｔ ｈ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｃ ０ ｅ ｆ ｆ ｉ ｃ ｉ ｅ ｎｔ ｓ
０ 引言
对 流扩散 方程 是一 个 重 要 的 数 学 物 理 模 型 ， 它主要用于描 述如质量、 热、 能源 、 涡 度 等 对 流 扩 散 的 数 量Ⅲ． 这类 方程 被广 泛应 用 于流体 力学 、 化学 、 生物、 气 象 等领域 ， 而 且在 化学 反应 过程 、 液体 中生 物膜 两边 的
２ ． Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｓｃ ｉ ｅ ｎｃ ｅ ， Ａｎ ｈ ｕ ｉ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ＆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｆｅ ｎ ｇ ｙ ａ ｎｇ ２ ３ ３ １ ０ ０， Ａｎ ｈ ｕｉ ， Ｃｈ ｉ ｎ ａ ３ ． Ｃｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｉ ｎｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ＆ Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ， Ｌｕ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｙａ ｎ ｔ ａ ｉ ２ ６ ４ ０ ０ ５， Ｓ ｈａ ｎ ｄ ｏ ｎ ｇ， Ｃｈｉ ｎ ａ ） Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｉ ｎ ｔ ｈｉ ｓ ｐａ ｐ ｅ ｒ，ａ ｃ ｏｍ ｐ ａ ｃ ｔ ｆ ｉ ｎｉ ｔ ｅ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎｃ ｅ ｓ ｃ ｈｅ ｍｅ ｉ ｓ ｐｒ ｅ ｓ ｅ ｎｔ ｅ ｄ ｆ ｏｒ １ Ｄ ｃ ｏｎ ｖｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ － ｄ ｉ ｆ ｆ ｕ ｓ ｉ ｏｎ ｅ ｑ ｕａ ｔ ｉ ｏｎ ｓ ｗｉ ｔ ｈ
第３ １ 卷 第 ３期
２ ０ １ ３年 ９月
江 苏师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｓ ｕ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ｗａ ｎ ｇ Ｑｉ ａ ｎ ｑ ｉ ａ ｎ ， Ｌ ｉ Ｘ ｉ ｎ 。 ， Ｓ ｕ ｎ Ｑｉ ｈ ａ ｎ ｇ 。
（ １ ． Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｎａ ｎ ｊ ｉ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ａｅ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ｓ＆ Ａｓ ｔ ｒ ｏ ｎ ａ ｕ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｎａ ｎ ｊ ｉ ｎ ｇ ２ １ ０ ０ １ ６ ， Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｓ ｕ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ；
ｍｅ ｔ ｈ ｏｄ ａｎ ｄ Ｌａ ｘ ｅ ｑｕ ｉ ｖａ ｌ ｅ ｎｃ ｅ ｔ ｈｅ ｏｒ ｅ ｍ ． Ｔｈｅ ｎｕ ｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｕｌ ｔ ｓ ｈａ ｖ ｅ ｂｅ ｅ ｎ ｃ ａ ｒ ｒ ｉ ｅ ｄ ｏ ｕｔ ｔ Ｏ ｃ ｏ ｎｆ ｉ ｒ ｍ ｔ ｈｅ ｃ ｏｒ ｒ ｅ ｃ ｔ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏｆ ｔ ｈｅ
Ｖｏ ｌ ＿ ３ １ ， Ｎｏ ． ３
Ｓｅ 变 系数 对 流 扩 散 方 程 的 一 个 紧 致 差 分 格 式
王倩倩 ， 李 鑫 ， 孙启航。
（ １ ． 南京航空航天大学 理学 院， 江苏 南京 ２ １ ０ ０ １ ６ ；２ ． 安 徽 科技 学 院 理 学 院 ， 安徽 凤 阳 ２ ３ ３ １ ０ ０ ；