数理统计_考试复习

（1）你预期各系数的符号如何？ （2）如何解释系数B2，B3？
B B
（3）若B2 〉B3，你得出什么结论？
B B
七、不完全多重共线性的实际后果是什么？ 八、若在模型：Yt=B1+B2+ut中存在下列形式的异方差：Var(ut)=δ2Xt,你如何估计 参数B1,B2
七、x1,x2,…x100来自总体x~π(λ)的一个样本，试求参数λ的近似(1-α)置信区间，
(Ex=λ,Dx=λ)
八、在一元线性回归中，lyy=Q+U,F= 性的办法。
U /s ~F(s,t),试给出用F值来判定回归显著 Q/s
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应用数理统计（2001 年）
一、 填空（每空 3 分，共 30 分）
r2=0.22
式中，Y 表示零售私人汽车数量（千辆） ，X 表示真实的可支配收入（以 1972 年为标准，单位为亿美元） 。注：未给出 b1 的标准差 se。 （1）对 b2 建立一个 95%的置信区间。 （2）检验假设:该置信区间包括 b2=0。如果不包括，你将接受零假设吗？ （3）在 H0:b2=0 下，计算 t 值，在 5%的显著水平 α 下，使统计显著吗？
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应用数理统计参考试卷一
一、判断正误
1、给定显著性水平 α 及自由度，若计算得到的|t|值超过临界的 t 值，我们将
接受零假设。 （ ）
2、线性对数模型R2值可以与线性摸型的相比较，但不能与双对数模型或对数
线性模型的相比较。 （ ）
3、尽管存在着完全多重共线性，普通最小二乘估计量仍然是最优线性无偏估
__ ---
y=57.11，S12=3.25，S22=2.75，是否接受H0？
五（10 分）设y～N（Ae-Bx，σ2）,试由样本（x1,y1） （x2,y2）,……（xn,yn）估计 参数A及B（可利用已有的结论或公式些出相应的结果） 。
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六（10 分）今有正交试验结果列于下表（大者为好）
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应用数理统计（2000 年）
一、填空
1
、
设
x1,x2,…x10
来
自
总
体
N(0,1)
的
样 k2=
本
，
若
y=k1(x1+2x2+3x3)2+k2(x4+x5+…+x10)2~x2(2)，则k1=
m
2、设x1,x2,…x2m来自总体N(4,9)的样本，若y= ∑ ( x2i − 4) 2 ，且Z=
---
f(x)=(1+α)x2, 0<x<1 0
其它
而x1,x2,……，xn为来自X的样本，试求α的矩估计量和极大似然估计量。 三 （10 分） 设x1,x2,……， x61为来自总体N （0， 1） 的样本。 令y= ∑ xi2 ,且P （x61/y≤k）
i =1 60
＝0.95，试求k。 四（10 分）设X~N（µ1，σ2）,Y~N（µ2，σ2）令抽取A的样本x1,x2,……，x8，Y 的样本y1,y2,……， y8试推导假设H0：µ1＝µ2； H1 ： µ1＞µ2的拒绝域， 设若x＝54.03，
y的样本y1,y2,…y8；
2 2 计算得 x =54.03， y =57.11， sx =3.25， s y =2.75
1．试在水平α=0.01 下检验假设H0：µ1=µ2，H1：µ1>µ2 2．试求α=0.02 时，µ2-µ1的估计区间（t0.99(14)=2.6245）
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，试用极差分析法对结果进 9. 今有正交试验结果列于下表（试验结果大者为好） 行分析，并选出最优工艺条件，又知 A，B，C 的水平数皆为实际数据由小到 大排列，试指出进一步实验的方向。
因素 C 1 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ⅰ Ⅱ Ⅲ R 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 1 49 64 51 80 89 60 48 75 58 2 3 B 4
2 ˆ 中，已知 a ˆ ~ N (a, ( 1 + x )σ 2 ) ,且 Q/(n-2)为的无 ˆ=a ˆ + bx ˆ = y − bx 8. 若回归直线 y n lxx
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Q
偏估计，而
σ2
ˆ 与 Q 相互独立，试求 a 的置信区间。 ~ χ (n-2)，又知 a
＋x12）且Z＝cy~F分布，则c=__,Z~F(
)
3．若x1,x2,……，x20为来自总体N（µ，σ2）的样本,若 y=(x2-x1)2+(x4-x3)2+……＋（x20-x19）2，且Z=cy为σ2的无偏估计，则c=__,DZ=__ 4．若x1,x2,……，x100为来自总体N（10，σ2）的样本，若y= y =
1．设 x1,x2,…… ， x10 为 来 自 总 体 N （ 0 ， 1 ） 的 样 本 ， 若 y ＝ k1(2x1+x2-3x3)+k2(x4+x5+……＋x10)2,且y~x2(2).则k1=__,k2=__. x12为来自总体N （0， A） 的样本， 若y= （x12+x22+x32） ÷ （x12+x22+…… 2．设x1,x2,……，
B
(1) lnYt=B1+B2lnXt+ut (2) lnYt=B1+B2Xt+ut (3) Yt=B1+B2lnXt+ut
六、考虑下面的模型：Yt=B0+B1Xt+B2D2t+ B3D3t+ut
B
其中，Y——MBA 毕业生收入，X——工龄，所有毕业生均来自清华大学， 大连理工大学，沈阳工业大学
1 清华大学 MBA D2= 0 其他 D3= 0 其他 1 沈阳工业大学 MBA
⎧θ cθ xθ −1 , x > c 4. 设总体X的概率密度为f(x;θ)= ⎨ ,其中c>0 为常数，试用来自X的 ⎩0, x ≤ c
样本（X1, X2,…, Xn）构造的θ矩估计量。
5. 设总体X~N(μ,52)，其样本为（X1，X2，…，Xn） ，这时μ的置信区间为 1-α，
的置信区间为 ① 当 n 固定时，若要提高置信度，置信区间长度会＿ ② 当置信度固定时，增大 n，置信区间长度会＿
(4) 1
(5) 3
(6) 1 (7)
六、已知(x1, y1), (x2, y2),…, (x9, y9)为一组实验值，且计算得 x =8.67, y =16.2,
∑ xi2 =996,
i =1
9
∑ yi2 =3081.96,
i =1
9
∑x y
i =1 i
9
i
ˆ ˆٛ = a ˆ + bx =1743.6，试求线性回归方程 y
五、欲考察因子A,B,C,D及交互作用A×C，且知B也可能与其它因子存在交互作 用，试在L8(27)上完成下列表头设计。并说明理由。
B A D C B 1 2 3 4 5 6 7
用L8(27)的交互作用表
1
Baidu Nhomakorabea
2
3 2
4 5 6
5 4 7 6
6 7 4 5 2
7 6 5 4 3 2
(1) 3
(2) 1
(3) 7
2、对于一元线性回归证明b～N(b,σ2/lxx)
（比较简单，但要记住公式或自己能推导） 3、假设检验。
4、对L8(27)正交表进行极差分析和方差分析，判断最优的工艺条件。 5、已知某个、协差矩阵的特征根，求应该选几个主成分和第一主成分的特征向
量。 （第二问都是小数，4×4 矩阵，运算量大，要带计算器）
则Ey=__,Dy__
1 100 ( x1 − 10) 2 ， ∑ 99 i =1
5．若x1,x2,……，x16为来自总体N（µ，0.012）的样本,其样本平均值x=2.215,则µ
的 0.20 置信区间为（） （取三位小数） ， （已知Ф（1.645）＝0.95，Ф（1.282） ＝0.90） 二（10 分）设总体 X 的概率密度函数为
2
1 F1−α (n,1)
八、 （10 分）设 X 的概率密度函数为 ⎧1 ⎪ ,0 < x < β f ( x) = ⎨ β 试求 β 的极大似然估计量，并由此求一个 β 的无偏估计量 ⎪ 0, otherwise ⎩
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应用数理统计（2003 年）
1. 设X1, X2, … , X100为来自正态总体N(0,σ2)的样本， 若Y=
计量。 （ ）
（ ） 4、如果存在异方差，通常用的 t 检验和 F 检验是无效的。 二、 随即的总体回归函数与随机的样本回归函数有何区别？既然我们不能观测到 总体回归函数，为什么还要研究它？ 三、根据美国 1962-1977 年的数据，得到对汽车的需求函数如下：
ˆ =5807+3.24Xi Y i se= (1.63)
四、下表给出了三变量模型的回归结果： 方差来源 平方和 自由度（df） 平 方 和 的 均 值 （MMS） 来自回归（ESS） 来自残差（RSS） 总离差（TSS）
65.965
66.042
14
材北航计算机学院 中德联合软件研究所
（1）样本容量是多少？ （2）求 RSS？ （3）求R2? （4）检验假设：X2和X3对Y无影响，置信水平α=0.05，你用什么假设检验？为 什么？ （5）根据以上信息，你能否确定X2和X3各自对Y的贡献吗？ 五、解释下列模型中参数B2的含义：
10. 设（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的简单样本，且X~R[0，θ]，试求θ的最
大似然估计量，并验证是否具有无偏性，若否，请构造一个无偏估计量。
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应用数理统计考试提纲（2004 年）
1、正态N(μ,σ2),简单随机样本X1、X2……Xn,其中μ已知。
（1） 求σ2的一至最小方差无偏估计。 （2） 运用信息不等式得到σ2的方差下界。 （3） 判断得到的σ2的一致最小方差是否达到信息不等式的下界。 （4） 说明有效估计和一致最小方差关系。
6. 设（X1，X2，…，Xn）为来自正态总体N(0,σ2)的样本，若T= c
无偏估计量，求c。
∑ x 是σ的
i i =1
n
7. 设总体X的均值为μ， 方差为σ2>0， 今有来自X的两组样本 （X1， X2， …， Xn1） ，
（Y1，Y2，…，Yn2） ，其样本均值依次为 X 和 Y ，若T=a X +b Y 为μ的无偏估 计量，且方差D(T)达到了最小，试求a与b。
i =1
c( x1 − 4) ，服从 y
t分布，则c=
,z~t(
)
2 设x1,x2,…x2m来自总体N(µ,σ2)的样本， 已知y=( x2-x1)2+ （x3-x4） +…+(x2m-x2m-1)2， 3、
且Z=cy为σ2的无偏估计，则c=
4、上题中，Dz= 5、由总体F(x)与G(x)中依次抽得容量为 12 和 11 的样本，已计算的游程总个数 U=12，试在水平α=0.05 下检验假设H0：F(x)= G(x)，其结论为 11）=8）
二 、 设 x1,x2,…x61 来 自 总 体 N(0,1) 的 样 本 ， 令 y= （U0.05（12，
∑ xi2 ， 试 求 P{
i =1
61
x12 1 ≤ } y 15
(t0.975(60)=2)
三、设总体 x 的密度函数为
(1+ α )xα，0<x<1 f(x)= 0,
其他
而（x1,x2,…xn）为来自x的样本，试求 α 的极大似然估计量。 四、设x~N(µ1,σ2)，y~ N(µ2,σ2) 今抽取x的样本x1,x2,…x8；
因素 C 1 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ⅰ Ⅱ Ⅲ R 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 1 15 20 35 18 24 32 40 16 25 A 2 3 B 4
试用级差分析对结果进行分析判断，若 A、B、C 的水平数皆为实际条件数据由 小到大排列，试选出最优工艺条件并指出进一步试验的方向。 七、 （10 分）设t~t(n)，F~F(n, 1)且p{t≤tα(n)}=α，p{F≤Fα(n, 1)}=α 试证明： t1+α (n) =
∑x
i =1
100
i
2
， 求EY， EY 。
2
2. 设总体 X~N(μ,σ2) ， X1 ， X2 ， … ， Xn 为来自 X 的样本，记
1n X = ∑xi ， n i=1
1 n ( xi −x )2 ，求ES4。 ∑ S2= n −1 i=1
（q=1- p） 3. 已知随机变量X的分布律为：P{X=k}=qpk-1，k=1，2，…， 试求 X 的特征函数 ϕ (t)，并由此求 EX，DX。