机械原理第三章

第三章 平面机构运动分析

3.1 复数向量及其性质

图3-1

平面上的向量R

可以用复数表示，如图3-1所示

()ϕϕϕsin cos R j R Re j +==

(3-1)

式中

R ——向量R

的模

ϕ——向量R

的幅角

j ——虚数单位，1-=j

ϕj e ——单位向量，其模等于1，表示向量的方向。 单位向量有如下性质：

① ()θϕθϕ+=⋅j j j abe be ae (3-2)

② ⎪

⎭⎫ ⎝

⎛+=2πϕϕ

j j e je (3-3) ③ ()πϕϕϕ+=-=⋅j j j e e je j (3-4) ④ 1=⋅-ϕϕj j e e (3-5)

3.2 复数向量的微分与速度、加速度

设向量ϕj Re =R

表示点A 相对于固定参考坐标系原点的位置，其对时间的一

阶导数为

()

ϕϕϕϕj j j je R e R

Re dt

d dt d v +===R (3-6) 式中

ϕj e R

——径向速度，R 是其大小，ϕj e 为其方向 ϕϕ

j je R ——切向速度，ϕ R 是其大小，ϕj je 为其方向，如图3-2所示。

图3-2

将式(3-6)再次时间求导，有

ϕϕϕϕϕϕϕj j j j je R je R e R e R dt

v d dt d a

2R 22

2++-=== (3-7) 式中

ϕj e R

——径向加速度，大小R ，方向ϕj e ϕϕ

j e R 2 -——法向加速度，大小2ϕ R ，方向ϕj e - ϕϕ

j je R ——切向加速度，大小ϕ R ，方向ϕj je ϕϕj je R

2——哥氏加速度，大小ϕ R 2，方向ϕj je 上述加速度分量如图3-3所示。

图3-3

3.3 铰链四杆机构的运动分析

机构的运动分析需要解决三个问题，位移、速度和加速度，其中位移的求解是最困难的。这是因为机构的位置方程往往是非线性方程或方程组。在位移已知的情况下，速度和加速度方程是线性的。所以说，机构的位移分析是机构运动分

析的难点。

如图3-4所示，铰链四杆机构由一个双杆组和机架与原动件组成，是最简单的机构形式。对它的运动分析是研究可分解为一系列双杆组的机构运动分析的基础。

图3-4

3.3.1 位置分析

位置分析以向量约束方程为基础。对于机构的每一个闭环，向量多边形可以有两种形式：(1)一个连续的头尾相接的封闭链；(2)到达同一个点的两条不同路径所确立的两个分支。

如图3-4所示，铰链四杆机构OABC ，以O 点为原点，建立复数坐标系，x 轴为实轴，jy 为虚轴。向量杆长为1R ，幅角1ϕ；向量杆长为2R ，幅角2ϕ；向量杆长为3R ，幅角3ϕ；向量杆长为4R ，幅角4θ，其中，各向量幅角均为从x 轴指向该向量的角。则该四杆机构的四个向量可以表示为：

4

3

214321OC AB θϕϕϕj j j j e R e

R e R e R ====

对于铰链四杆机构OABC ，已知机构尺寸1R 、2R 、3R ，4R ，4θ，原动件运

动参数1ϕ，1ϕ

和1ϕ ，求解2ϕ、3ϕ以及速度、加速度。 以B 点为研究对象，可以建立向量方程为

43214321θϕϕϕj j j j e R e R e R e R +=+ (3-8) 该方程中含有两个未知量2ϕ和3ϕ，方程有唯一解。

将式(3-8)中第一项移至等号右侧，再将等号左右两边同时乘以各自的共轭复数有：（得复数的模的平方）

()()()()1431432214314322ϕθϕϕθϕϕϕj j j j j j j j e R e R e R e R e R e R e R e R -----+-+=

展开 ()()()()()()

41311434134341314134-13-4321242322-θϕϕϕϕθϕθϕϕθϕ-------++++=j j j j j j e R R e R R e R R e R R e R R e R R R R R R

展开成三角函数形式得 )cos(2)cos(2)-cos(241413131434321242322θϕϕϕθϕ----+++=R R R R R R R R R R 此方程中只含有一个未知数3ϕ，将含有未知数的项展开合并移到等式左边，已

知项移到等式右边得：

()[])cos(2sin sin sin cos )cos cos (24141212

4232231144311443θϕϕϕθϕϕθ-+---=-+-R R R R R R R R R R R 整理得

()[]

)cos(221sin sin sin cos )cos cos (4141212

423223

3114431144θϕϕϕθϕϕθ-+---=

-+-R R R R R R R R R R R 令

[]

)cos(221sin sin cos cos 4141212

423223

11441144θϕϕθϕθ-+---=

-=-=R R R R R R R C R R B R R A (3-9)

有

C B A =+33sin cos ϕϕ (3-10)

可以解得

)(tan 22

221

3C

A C A

B B +-+±=-ϕ (3-11)

式中的正负号应按机构运动的连续性来选择，一般根据机构的装配模式来确定。如图3-5中实线所示装配模式赢取正号，而虚线模式赢取负号，若根号内的数值小于零，则表示该机构的相应位置关系不能实现。

将3ϕ代入式(3-8)有

1133442211334422sin sin sin sin cos cos cos cos ϕϕθϕϕϕθϕR R R R R R R R -+=-+=

解得2ϕ

⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛-+-+=1133441133441-2cos cos cos sin sin sin tan ϕϕθϕϕθϕR R R R R R (3-12)

图3-5