高考数学(文科)习题 第二章 函数的概念及其基本性质2-9-2 Word版含答案

1．设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.
(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，
b，c)∈M所对应的f(x
)的零点的取值集合为________；

(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结
论的序号)
①∀x∈(－∞，1)，f(x)>0；
②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈(1,2)，使f(x)＝0.
答案 (1){x|0解析 (1)由已知条件(a，b，c)∈M，c>a>0，c>b>0，a，b，c不能构成一个三角形的

三条边长，且a＝b得2a≤c，即ca≥2.ax＋bx－cx＝0时，有2ax＝cx，cax＝2，解得x＝log
c
a

2，1x＝log2ca≥1，∴0(2)对于①，∵c>a>0，c>b>0，∴0此时函数y＝acx＋bcx在(－∞，1)上为减函数，得acx＋bcx>ac＋bc，又a，b，c是△
ABC的三条边长，∴a＋b>c，即ac＋bc>1，得acx＋bcx>1，∴ax＋bx>cx，∴∀x
∈(－∞，1)，

f(x)＝ax＋bx－c
x
>0，故①正确；

对于②，∵y＝acx，y＝bcx在x∈R上为减函数，∴当x→＋∞时，acx与bcx无限接

近于零，故∃x∈R，使acx＋bcx<1，即ax＋bx条边长，故②正确；
对于③，若△ABC为钝角三角形，c为最大边，则a＋b>c，a2＋b2

acx＋


b
c
x
－1.又g(1)＝ac＋bc－1＝a＋b－cc>0，

g(2)＝ac2＋bc2－1＝a2＋b2－c2c2<0，∴y＝g(x)在(1,2)上存在零点，即∃x
∈(1,2)，

使acx＋bcx－1＝0，即f(x)＝ax＋bx－cx＝0，故③正确．综上所述，结论正确的是①②③.
2．如图为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数v＝v(t)的图象，则该质点运动
的总路程为________cm.
答案 11

解析 总路程为(2＋4)×1×12＋4×1＋12×2×4＝11.
3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．
(1)试讨论f(x)的单调性；
(2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取

值范围恰好是(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞，求c的值．

点击观看解答视频
解 (1)f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－2a3.
当a＝0时，因为f′(x)＝3x2>0(x≠0)，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>0时，x∈－∞，－2a3∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，x∈－2a3，0时，f′(x)<0，

所以函数f(x)在－∞，－2a3，(0，＋∞)上单调递增，在－2a3，0上单调递减；
当a<0时，x∈(－∞，0)∪－2a3，＋∞时，f′(x)>0，x∈0，－2a3时，f′(x)<0，
所以函数f(x)在(－∞，0)，－2a3，＋∞上单调递增，在0，－2a3上单调递减．
(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b，f－2a3＝427a3＋b，则函数f(x)有三个
不同的零点等价于
f(0)·f－2a3＝b




4

27
a3＋b
<0，

从而 a>0，－427a3又b＝c－a，所以当a>0时，427a3－a＋c>0或当a<0时，427a3－a＋c<0.
设g(a)＝427a3－a＋c，因为函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(－∞，
－3)∪1，32∪32，＋∞，
则在(－∞，－3)上g(a)<0，
且在1，32∪32，＋∞上g(a)>0均恒成立，
从而g(－3)＝c－1≤0，
且g32＝c－1≥0，
因此c＝1.
此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)，
因函数有三个不同的零点，则x2＋(a－1)x＋1－a＝0有两个异于－1的不等实根，
所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3>0，且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0，

解得a∈(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞.综上c＝1.