二维不可压N-S方程二次四边形单元有限元解
N-S方程相关知识课件
一、流体力学简介
流体力学研究内容
流体是气体和液体的总称。在人们的生活和生产活动中随时随地都 可遇到流体，所以流体力学是与人类日常生活和生产事业密切相关的。 大气和水是最常见的两种流体，大气包围着整个地球，地球表面的70%是 水面。大气运动、海水运动(包括波浪、潮汐、中尺度涡旋、环流等)乃 至地球深处熔浆的流动都是流体力学的研究内容。
N-S方程相关知识
李晓艳
一、流体力学简介 二、N-S方程的命名及应用 三、 N-S方程的基本内容 四、 N-S方程的求解
一、流体力学简介
流体
流体是液体和气体的总称。 流体是由大量的、不断地作热运动而且无固定平衡位置的分子构成的， 它的基本特征是没有一定的形状和具有流动性。流体都有一定的可压 缩性，液体可压缩性很小，而气体的可压缩性较大，在流体的形状改 变时，流体各层之间也存在一定的运动阻力（即粘滞性）。当流体的 粘滞性和可压缩性很小时，可近似看作是理想流体，它是人们为研究 流体的运动和状态而引入的一个理想模型。
②非线性位流方程：假设气体无粘性，对含有弱激波的跨音速绕流问 题，即使在小扰动假定下，也不能将方程线性化，但仍可假设存在速 度位，这时采用的方程为非线性位流方程。
③非线性欧拉方程：由L.欧拉建立的只假设气体无粘性的方程。它比上 面两种方程更为精确。对于具有较强激波或有分离涡面的流动和其他 一些复杂的问题，在求气动力时常采用这种方程。
三、N-S方程基本内容
N-S方程表示
在直角坐标系中，其表示形式为：
方程(1)为不可压缩流体的动量方程保证动量守恒，方程(2)为连续方 程确保质量守恒。u为速度，p为压力，ρ为流体的密度，v是流体运动 粘度系数，f为外力，“.”为矢量点积，微分算子（哈密顿算子） ∇= / x, / y, / z ∇2为拉普拉斯算子。
二维不可压缩navier-stokes-landau-lifshitz方程组的整体强解
二维不可压缩navier-stokes-landau-lifshitz方程组的整体强解Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组是用来描述二维不可压缩流体运动的普遍方程。
它是对流体在动力、热力、物质等多种物理效应作用下进行多尺度模拟的有效工具，是研究复杂流体问题的关键。
1.Naviar-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的基本形式Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的基本形式包含了方程的结构定义、空间变量、时间变量和输入变量，组成如下：（1）流场方程：对密度，速度和压力的描述；（2）能量方程：描述传热过程；（3）物质守恒方程：将粒子的变量连同流量和能量一起涵盖；（4）边界条件：将流体运动于受定义空间或介质内，并约束方程组的解。
2. Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的解Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的整体强解是对流体运动过程的完整描述，它包括流体的结构、动力学、热力学等理论模型。
该方程组可以使用多种空间和时间分解技术解决，比如：（1）特征定积分分解技术：特征定积分计算方法，通过积分可以得到流体的历史数据，从而求出解；（2）Galerkin有限元分解技术：通过Galerkin有限元分解方法可以得到很小的解，这也是一种将初值和边界条件一起求解的方法；（3）局部分解技术：通过局部分解计算方法可以得到相对准确的解，这是计算复杂性处理较低的一种解法；（4）关联循环求解器：通过关联循环求解器就可以得到Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的解，同时也可以求解空间多尺度的复杂流体问题。
3. Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的应用Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的本质就是对二维不可压缩流体运动过程作出数学描述，应用适用于众多流体科学领域，主要包括：（1）宇宙飞行器：在设计宇宙飞行器时，舱壁的低速、高压、非定常流体流动一直是设计中重要的一环；（2）津浦发电厂：津浦发电厂是典型的斜坡发电厂，通过模拟流体在津浦斜坡水轮发电机间的流动，可以有效提升发电效率；（3）空心叶轮压气机：空心叶轮压气机的设计要求考虑到流体的动力学特性，流场方程则可以作为压气机设计的主要辅助工具；（4）船舶航行模拟：船舶在水域的航行特别是汽轮船的航行模拟，都可以使用Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组进行研究。
二维不可压缩Navier-Stokes方程的并行谱有限元法求解
二维不可压缩Navier-Stokes方程的并行谱有限元法求解胡园园;谢江;张武【摘要】针对不可压缩Navier-Stokes (N-S)方程求解过程中的有限元法存在计算网格量大、收敛速度慢的缺点,提出了基于面积坐标的三角网格剖分谱有限元法(TSFEM)并进一步给出了利用OpenMP对其并行化的方法.该算法结合谱方法和有限元法思想,选取具有无限光滑特性的指数函数取代传统有限元法中的多项式函数作为基函数,能够有效减少计算网格数量,提高算法的精度和收敛速度;利用面积坐标便于三角形单元计算的特点,选取三角单元作为计算单元,增强了适用性;在顶盖方腔驱动流问题上对该算法进行验证.实验结果表明,TSFEM较传统有限元法(FEM)无论是收敛速度还是计算效率都有了显著提高.【期刊名称】《计算机应用》【年(卷),期】2017(037)001【总页数】6页(P42-47)【关键词】不可压缩N-S方程;OpenMP;方腔驱动流;高精度;无穷收敛性【作者】胡园园;谢江;张武【作者单位】上海大学计算机工程与科学学院,上海200444;上海大学计算机工程与科学学院,上海200444;上海大学高性能计算中心,上海200444【正文语种】中文【中图分类】TP301.6Navier-Stokes (N-S)方程是流体力学中最重要的方程之一。
数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过求解N-S方程来进行解释和预言，因此研究N-S方程具有广泛的应用价值。
对N-S方程的研究距今已有200多年的历史，其弱解又称为Leray-Hopf弱解。
关于N-S方程强解的局部适定性、存在性与光滑性被列为21世纪7个价值100万美元的数学难题之一。
数学家断言，如果没有新的分析工具和数学思想，这个难题将很难得到解决。
但是,到目前为止,证明弱解的唯一性和正则性,即强解的整体存在性,仍是一个极具挑战性的问题。
只有极少数非常简单的流动问题才能求得其精确解，大多数还是要用离散的方法求得数值解。
二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析
二维定常不可压缩N-S 方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S（Navier-Strokes）方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。
当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S 方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。
本文旨在对二维定常不可压缩N-S 方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。
量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。
流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。
流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。
相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。
根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。
在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。
例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。
雷诺数是用来判断流体流动特性的无量量，共有18个应力分量X 轴的运动微分方程：(2.1)最后导出沿x 轴的(2.2) (2.3)(2.4)纲量，对于封闭环境内的流动， 当雷诺数小于 2300时的流动为层流， 能用N-S方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用 N-S 方程表示。
二维有限元推导
二维有限元推导引言有限元分析是一种工程计算方法，用于求解连续介质的力学问题。
它的基本思想是将一个复杂的物体或结构划分为许多简单的有限元，通过求解每个有限元上的微分方程来近似求解整个问题。
在三维空间中，有限元分析可以非常复杂，而在二维空间中，有限元分析相对简单且易于理解。
本文将详细介绍二维有限元推导的过程。
步骤1：建立有限元模型首先，我们需要将要分析的物体或结构以及加载条件转化为数学模型。
在二维有限元分析中，我们将结构或物体简化为连续介质，使用节点和单元来刻画结构的几何形状和材料特性。
节点表示物体的离散点，单元表示由节点组成的一小部分。
我们需要在结构上选择合适的节点位置，并将节点连接起来形成单元。
不同类型的单元可以用于表示不同的结构特性，如杆元、均匀应力元、板元等。
步骤2：建立微分方程接下来，我们将问题转化为微分方程。
在弹性力学中，常见的微分方程是平衡方程和弹性本构方程。
平衡方程用来描述物体在力的作用下的平衡条件，弹性本构方程用来描述物体的应力和应变之间的关系。
二维弹性力学问题通常涉及平面应力和平面应变。
平面应力指的是物体内部的应力只在一个平面上存在，而平面应变指的是物体的应变只在一个平面上存在。
根据所选择的问题类型，我们可以得到适用于该问题的平面应力或平面应变的微分方程。
步骤3：离散化将连续介质划分为有限元后，我们需要对微分方程进行离散化处理。
这意味着我们将微分方程转化为离散形式的方程，通过求解这些离散方程来近似得到问题的解。
离散化的过程主要包括节点编号、单元编号、单元加权积分等步骤。
一般来说，我们可以使用高斯积分或中点积分等方法来进行单元加权积分。
步骤4：建立有限元方程在离散化的基础上，我们可以建立有限元方程。
有限元方程是由节点和单元的位移与应力之间的关系建立起来的。
基本思想是通过位移的插值函数来近似表示位移场，利用插值函数的性质，将位移从整个结构内部的微分方程变为局部的代数方程。
有限元方程由平衡方程、边界条件和连续性条件等组成。
n—s方程supg有限元解法
N-S方程（即Navier-Stokes方程）是流体力学中最基本的描述流体运动的方程，由法国数学家威廉·纳维尔和英国数学家马克斯·斯托克斯在1822年提出，经过多年的发展，N-S方程已成为流体力学领域的基本方程。
N-S方程可以用来描述流体的运动规律，是流体力学的基础，也被广泛应用于工程中，比如气动、液动、热传导等。
N-S方程的有限元解法是一种常用的解决N-S方程的数值计算方法，它将N-S方程空间中的复杂运动场模拟成多个离散的有限元（即多边形），用有限元的方法来求解N-S方程，从而实现对流体运动的数值模拟。
有限元解法的最大优点在于它可以更准确地模拟流体运动，它不仅可以模拟出流体的瞬态运动，更可以模拟出流体的湍流和湍流的演变过程，从而更好地模拟出流体的真实运动状态。
另外，有限元解法还可以解决复杂的边界条件，使得流体运动更加精确。
有限元解法的应用非常广泛，如气动学中，有限元解法可以用来模拟飞机、喷气机等航空器的气动特性，并可用来计算飞机的推力、抗力和阻力等。
在船舶技术中，有限元解法可以被用来计算船舶的抗力、推进力和阻力等，从而更好地优化船舶的设计。
此外，有限元解法还可以用来模拟水力机械的运动、水力发电机组的水力特性等。
“每个人都应该把自己的智慧用于推动科学发展，并用科学的手段解决实际问题。
”——爱因斯坦。
N-S方程有限元解法提供了一种有效的方法，使我们能够更加准确地模拟流体运动，从而解决实际问题。
有限元解法的发展还在不断深入，随着计算机技术的发展，它的应用也越来越广泛。
未来，有限元解法将会发挥更大的作用，为我们提供更多的科学研究和实际应用的支持。
“科学的进步给我们带来的，不仅仅是更多的知识，更重要的是它给我们带来的生活的乐趣。
”——爱因斯坦。
N-S方程有限元解法是科学进步的一个重要成果，它为我们提供了更多的科学研究和实际应用的可能性，也让我们能够更好地理解流体运动，更好地改善人们的生活。
二维不可压Navier—Stokes方程的特征混合有限元算法
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收 稿 日期 ： ０ １ ０ — ８ ２０ —２２
基 金 项 目 ； 家 自然 科 学 基 金 项 目（ ９ ７ ０ ９ 国 １９ ２３ ） 作 者简 介 ： 同科 （９ ５ ， ， 士研究 生 ， 要从事 微分方 程数值算 法研究 ． 工作 单位 ： 南 师范大 学数学 系 ， 教授． 王 １ ６ 一） 男 博 主 现 河 副
不可压缩流体n-s方程
不可压缩流体n-s方程不可压缩流体N-S方程是描述流体运动的基本方程之一。
在流体力学中，不可压缩流体是指其密度在空间和时间上保持恒定的流体。
N-S方程是由物理学家Navier和Stokes在19世纪提出的，它是描述流体的运动和变形的方程组。
不可压缩流体的N-S方程可以分为连续性方程和动量方程两部分。
连续性方程描述了流体的质量守恒，它表达了流体的质量在空间和时间上的连续性。
在不可压缩流体中，质量守恒方程可以简化为速度场的散度为零，即流体的速度场是无散的。
这意味着流体在任何一个点的流入和流出速度是相等的，从而保证了质量的守恒。
动量方程描述了流体中的力学运动，它是通过牛顿第二定律和黏性力的作用来推导的。
动量方程可以分为三部分：惯性项、压力梯度项和黏性力项。
惯性项描述了流体质点在单位时间内由于速度变化引起的动量变化，压力梯度项描述了流体由于压力差产生的力，而黏性力项描述了流体由于黏性作用而产生的力。
在不可压缩流体中，由于密度恒定，惯性项可以简化为流体质点的加速度乘以密度。
压力梯度项可以表示为压力场的梯度。
而黏性力项则是由流体的黏性特性决定的。
黏性力的大小与流体的黏度成正比，黏度越大，黏性力越大。
不可压缩流体的N-S方程可以进一步简化，当黏度较小、流动速度较小以及流体的粘滞性较低时，黏性力可以忽略不计。
这时，N-S 方程可以简化为欧拉方程，它是描述理想流体运动的方程。
欧拉方程只考虑了流体的惯性和压力梯度，忽略了黏性力的作用。
不可压缩流体的N-S方程在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。
在天文学中，N-S方程可以用来研究行星和恒星的运动；在气象学中，N-S方程可以用来研究大气运动和气候变化；在航空航天工程中，N-S方程可以用来研究飞机和火箭的飞行性能。
不可压缩流体的N-S方程是描述流体运动的基本方程之一。
它通过连续性方程和动量方程来描述流体的质量守恒和力学运动。
N-S方程在科学研究和工程应用中有着广泛的应用，对于理解和预测流体运动具有重要意义。
二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析
.二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S(Navier-Strokes)方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。
当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。
本文旨在对二维定常不可压缩N-S方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。
量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。
流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。
流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。
相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。
根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。
在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。
例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。
雷诺数是用来判断流体流动特性的无量1 / 6.纲量，对于封闭环境内的流动，当雷诺数小于2300时的流动为层流，能用N-S 方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用N-S方程表示。
二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析(优质参考)
二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析一、引言计算流体力学的控制方程通常认为是N-S(Navier-Strokes)方程组，包含了能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。
当考虑流体的黏性时，作用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有与作用面相切的切向力，N-S方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团上的惯性力，压力以及粘性剪切力之间的关系，反映了黏性流体运动的基本规律，对计算流体力学有着十分重要的意义。
本文旨在对二维定常不可压缩N-S方程进行无量纲化，方便简化计算和分析相似实验。
量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合，实现参数和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：（1）方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，进而提高实际计算速度；（2）通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，将这些常数转化为某个特征参数，这样可以降低计算难度；（3）防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失；（4）将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。
流体力学中的相似通常可以分为几何相似、运动相似和动力相似。
流动相似的概念来源于几何相似的概念，两个流动如果相似，例如模型流动与实际流动相似，则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系，也即可将模型实验的成果应用于实际流动中。
相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动相似、动力相似，这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。
根据相似原理，两个流动现象只要同时满足上面的相似条件，它们之间就存在相似关系，其对应物理量都成一定的比例关系。
在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找出影响流动问题的作用力，我们只需要满足一个主要作用力相似，而不必计较其它作用力是否达到相似。
例如对于一些流动现象，只要流动的雷诺数不是很大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。
雷诺数是用来判断流体流动特性的无量纲量，对于封闭环境内的流动，当雷诺数小于2300时的流动为层流，能用N-S 方程表示；当雷诺数大于4000时的流动为湍流，不能用N-S方程表示。
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南华大学学报（自然科学版 ）
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Ｏ 引 言
粘性 不可压 流 体 问题 在 航 天 航 空 、 油化 工 石 和核 反应 堆结 构 等 工程 中是 很 重 要 的力 学 问题 ，
２ 流 函数 Ｎ Ｓ方 程 的有 限元 解 —
式 （ ） 应 的 Ｇａｅｋｎ积 分 表 达 式 为 ： １相 ｌｒ ｉ
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３ 二次 四边形单元有 限元数值模拟
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ｔ・ ， ＝０ （） １
ｉ＝ ｌ
Ｎ ， 为 节点 流 函数值 ， 为形 函数 ， ｉ 其值 为
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第 ２ 卷第 ４期 ５
陶干强 等 ： 二维不可压 Ｎ Ｓ方程二次 四边形单元有限元解 —
４ ７
Ｂａ ｅ ｎ ｉ ，ｈｅ Ｆ ｎ ｔ ｅ ｎ ｒｇ ａ ｏ ｕ ｄ ａ ｉ ｕ ｄ ｌｔｒ ｌｕ ｉ ｗｉ ｏ ｅ ｓｄ — ｓ ｄ ｏ ｔ ｔ ｉ ｉｅ Ｅｌ ｍｅ ｔｐ ｏ ｒ ｍ ｆｑ ａ ｒ ｔ ｑ ａ ｒ ａｅ ａ ｎ ｔ ｔ ８ ｎ ｄ ｓｉ ｅ ｃ ｉ ｈ