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重庆市一中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末监测试题【含解析】
重庆市一中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末监测试题题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图,BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP =50°,则∠A =().A ．60°B ．80°C ．70°D ．50°2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是()A ．24814(2)1x x x x +-=+-B ．2(3)(3)9x x x +-=-C ．221(1)x x x -+=-D ．256(1)(6)x x x x --=+-3．下列变形，是因式分解的是（）A ．2(1)x x x x -=-B ．21(1)1x x x x -+=-+C ．2(1)x x x x -=-D ．2()22a b c ab ac+=+4．如图，在△ABC 中，AB ＝AD ＝DC ，∠BAD ＝26°，则∠C 的度数是（）A ．36°B ．77°C ．64°D ．38.5°5．下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（）A ．a 2﹣1B ．a 2+4C ．a 2+2a +1D ．a 2﹣4a ﹣46．已知点()14,y -，()22,y 都在直线2y x b =-+上，则1y 、2y 大小关系是（）A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能比较7．下列命题的逆命题为假命题的是()A ．如果一元二次方程()200a bx c a ++=≠没有实数根，那么240b ac -<．B ．线段垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等．C ．如果两个数相等，那么它们的平方相等．D ．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．8．已知40MON ∠=︒，P 为MON ∠内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当PAB ∆的周长取最小值时，APB ∠的度数是()A ．40︒B ．50︒C ．100︒D ．140︒9．下面汉字的书写中，可以看做轴对称图形的是()A ．B ．C ．D ．10．下列各式运算正确的是()A 42=±B ．3553-=C 1232=D 11222=11．下列二次根式中，最简二次根式是()A 21a +B 4.3C abD 9a 12．如果0a b -<，且0ab <，那么点(),a b 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题（每题4分，共24分）13．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC 为含有45°角的三角板，直线AD 是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D 为另一块三角板DMN 的直角顶点，DM 、DN 分别交AB 、AC 于点E 、F ．则下列四个结论：①BD ＝AD ＝CD ；②△AED ≌△CFD ；③BE +CF ＝EF ；④S 四边形AEDF ＝14BC 1．其中正确结论是_____（填序号）．14．正七边形的内角和是_____．15．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB,AC边翻折180°形成的，若∠BAC=140°，则∠a的度数是________=的图像经过点(2-，6)，那么y随x的增大而______．16．如果正比例函数y kx17．如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3=_____________=-中，自变量x的取值范围是.18．函数y x3三、解答题（共78分）19．（8分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“官兵分布”问题：“一千官军一千布，一官四疋无零数，四军才分布一疋，请问官军多少数．”其大意为：今有1000官兵分1000匹布，1官分4匹，4兵分1匹．问官和兵各几人？20．（8分）阅读以下内容解答下列问题．七年级我们学习了数学运算里第三级第六种开方运算中的平方根、立方根，也知道了开方运算是乘方的逆运算，实际上乘方运算可以看做是“升次”，而开方运算也可以看做是“降次”，也就是说要“升次”可以用乘方，要“降次”可以用开方，即要根据实际需要采取有效手段“升”或者“降”某字母的次数．本学期我们又学习了整式乘法和因式分解，请回顾学习过程中的法则、公式以及计算，解答下列问题：（1）对照乘方与开方的关系和作用，你认为因式分解的作用也可以看做是．（2）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x ＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x 3﹣5x 2+x+10＝（x ﹣2）（x 2+mx+n ），分别求出m 、n 后再代入x 3﹣5x 2+x+10＝（x ﹣2）（x 2+mx+n ），就可以把多项式x 3﹣5x 2+x+10因式分解，这种因式分解的方法叫“试根法”．①求式子中m 、n 的值；②用“试根法”分解多项式x 3+5x 2+8x+1．21．（8分）（1）解方程组73228x y x y -=⎧⎨+=⎩；（2）已知|x +y ﹣6|=0，求xy 的平方根．22．（10分）某市举行知识大赛，A 校、B 校各派出5名选手组成代表队参加决赛，两校派出选手的决赛成绩如图所示．()1根据图示填写下表：平均数/分中位数/分众数/分A 校______85______B 校85______100()2结合两校成绩的平均数和中位数，分析哪个学校的决赛成绩较好；()3计算两校决赛成绩的方差，并判断哪个学校代表队选手成绩较为稳定．23．（10分）先化简，再求值：22211a a a a a a --⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭，a 取满足条件﹣2＜a ＜3的整数．24．（10分）已知：如图，在长方形ABCD 中，3,5AB CD cm AD BC cm ====，动点P 从点B 出发，以每秒1cm 的速度沿BC 方向向点C 运动，动点Q 从点C 出发，以每秒2cm 的速度沿CD DA AB --向点B 运动，,P Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，设点P 运动的时间为t 秒．请回答下列问题：（1）请用含t 的式子表达CPQ ∆的面积S ，并直接写出t 的取值范围．（2）是否存在某个t 值，使得ABP ∆和CDQ ∆全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．25．（12分）如图，在四边形ABCD 中，//DC AB ，连接BD ，90ADB ∠︒＝，60A ∠︒＝，且BD 平分ABC ∠，4CD ＝.（1）求CBD ∠的度数；（2）求AB 的长.26．已知1-y 与2+x 成正比例，且1=-x 时，3=y ．()1求y 与x 之间的函数关系式；()2若点()21,3+m 是该函数图象上的一点，求m 的值．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A 的度数【详解】解：∵BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°故选A.【点睛】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角，难度适中．2、D【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解，逐一判断即可．【详解】A 选项化成的不是乘积的形式，故本选项不符合题意；B 选项是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；C ．221(1)x x x -+≠-，故本选项不符合题意；D ．256(1)(6)x x x x --=+-，是因式分解，故本选项符合题意．故选D ．【点睛】此题考查的是因式分解的判断，掌握因式分解的定义是解决此题的关键．3、C【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．【详解】A 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C 、是符合因式分解的定义，故本选项正确；D 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选C ．4、D【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠B ＝∠ADB ，根据等边对等角可得∠C ＝∠CAD ，然后利用三角形内角和定理列式进行计算即可解答．【详解】∵AB ＝AD ，∠BAD ＝26°，∴∠B=12（180°－∠BAD ）＝12（180°－26°）＝77°，∵AD ＝DC ，∴∠C ＝∠CAD ，在△ABC 中，∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝180°，即26°＋∠C ＋∠C ＋77°＝180°，解得：∠C ＝38.5°，故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等、等边对等角，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．5、C【解析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A.21a -不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；B.24a +不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误；C.22 2a 1a 1a ++=+（），符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故正确；D.2 4a 4a --，不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故错误.故选C .【点睛】本题考查因式分解-运用公式法.6、A【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-4＜1即可得出结论．【详解】解：∵一次函数2y x b =-+中，k =-1＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵-4＜1，∴y 1＞y 1．故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的性质，对于一次函数y =kx +b ，当k >0时，y 随x 的增大而增大，当k <0时，y 随x 的增大而减小；熟练掌握一次函数的性质是解题关键．7、C【分析】分别写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．【详解】A 、逆命题为：如果一元一次方程20ax bx c ++=()0a ≠中240b ac -<，那么没有实数根，正确，是真命题；B 、逆命题为：到线段距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，是真命题；C 、逆命题为：如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，错误，因为这两个数也可能是互为相反数，是假命题；D 、逆命题为：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，是真命题．故选：C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．8、C【分析】设点P 关于OM 、ON 对称点分别为P '、P ''，当点A 、B 在P P '''上时，PAB ∆周长为PA AB BP P P ++='''，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出APB ∠的度数．【详解】分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，P P '''交OM 、ON 于点A 、B ，连接PA 、PB ，此时PAB ∆周长的最小值等于P P '''．由轴对称性质可得，OP OP OP '=''=，P OA POA ∠'=∠，P OB POB ∠''=∠，224080P OP MON ∴∠'''=∠=⨯︒=︒，(18080)250OP P OP P ∴∠'''=∠'''=︒-︒÷=︒，又50BPO OP B ∠=∠''=︒Q ，50APO AP O ∠=∠'=︒，100APB APO BPO ∴∠=∠+∠=︒．故选：C ．【点睛】此题考查轴对称作图，最短路径问题，将三角形周长最小转化为最短路径问题，根据轴对称作图是解题的关键.9、D【解析】根据轴对称图形的概念判断即可．【详解】鹏、程、万都不是轴对称图形，里是轴对称图形，故选D ．【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．10、D【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，然后对照即可得到哪个选项是正确的．2=，故选项A 错误；∵-=，故选项B 错误；=C 错误；=D 正确；故选D.【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．11、A【解析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可.【详解】A.不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，是最简二次根式，故符合题意；B.C.D.被开方式含能开的尽方的因式9，不最简二次根式，故不符合题意；故选A.【点睛】本题考查了最简二次根式的识别,如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.12、B【分析】根据0a b -<，且0ab <可确定出a 、b 的正负情况，再判断出点(),a b 的横坐标与纵坐标的正负性，然后根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：∵0a b -<，且0ab <，∴a 0,0b <>∴点(),a b 在第二象限故选：B【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．二、填空题（每题4分，共24分）13、①②【解析】分析：根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，∠CAD=∠B=45°，故①正确；根据同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE，然后利用“ASA”证明△ADE≌△CDF，判断出②，根据全等三角形的对应边相等，可得DE=DF=AF=AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得BE+CF＞EF，判断出③，根据全等三角形的面积相等，可得S △ADF =S △BDE ，从而求出四边形AEDF 的面积，判断出④.详解：∵∠B=45°，AB=AC∴点D 为BC 的中点，∴AD=CD=BD故①正确；由AD⊥BC，∠BAD=45°可得∠EAD=∠C∵∠MDN 是直角∴∠ADF+∠ADE=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°∴∠ADE=∠CDF∴△ADE ≌△CDF （ASA ）故②正确；∴DE=DF ，AE=CF ，∴AF=BE∴BE+AE=AF+AE∴AE+AF ＞EF故③不正确；由△ADE≌△CDF可得S△ADF=S△BDE∴S四边形AEDF=S△ACD=12×AD×CD=12×12BC×12BC=18BC1，故④不正确.故答案为①②.点睛：此题主要查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系，关键是灵活利用等腰直角三角形的边角关系和三线合一的性质.14、900°【分析】由n边形的内角和是：180°（n-2），将n=7代入即可求得答案．【详解】解：七边形的内角和是：180°×（7-2）=900°．故答案为：900°．【点睛】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式：n边形的内角和为180°（n-2）是解此题的关键．15、80°【分析】先根据三角形内角和与翻折变换的特点求得∠EBC+∠DCB=80°，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得∠a=80°．【详解】解：∵∠BAC=140°，∴∠ABC+∠ACB=40°，由翻折的性质可知：∠EBA=∠ABC，∠DCA=∠ACB，∴∠EBA+∠ABC+∠DCA+∠ACB=2(∠ABC+∠ACB)=80°，即∠EBC+∠DCB=80°，∴∠a=∠EBC+∠DCB=80°.故答案为：80°.【点睛】本题考查了折叠的性质，掌握折叠前后图形是全等的是解题的关键．16、减小【分析】求出k的值，根据k的符号确定正比例函数的增减性．=的图像经过点(2-，6)，【详解】解：∵正比例函数y kx∴-2k=6，∴k =-3，∴y 随x 的增大而减小．故答案为：减小【点睛】本题考查了求正比例函数和正比例函数的性质，求出正比例系数k 的值是解题关键．17、135°【分析】先证明△ABC ≌△AEF ，然后证明∠1+∠3=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠2=45°，进而可得答案．【详解】解：如下图∵在△ABC 和△AEF 中，AB AE B E BC FE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABC ≌△AEF （SAS ），∴∠BAC ＝∠4，∵∠BAC ＝∠1，∴∠4=∠1，∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∵AG=DG ，∠AGD=90°，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135°，故答案为：135°【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键．18、x 3≥．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．【详解】依题意，得x-1≥0，解得：x≥1．【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．三、解答题（共78分）19、官有200人，兵有800人【分析】设官有x 人，兵有y 人，根据1000官兵正好分1000匹布，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设官有x 人，兵有y 人，依题意，得：10001410004x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：200800x y =⎧⎨=⎩．答：官有200人，兵有800人．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键.20、（1）降次；（2）①m ＝﹣3，n ＝﹣5；②（x+1）（x+2）2．【分析】（1）根据材料回答即可；（2）①分别令x=0和x=1即可得到关于m 和n 的方程，即可求出m 和n 的值；②把x ＝﹣1代入x 3+5x 2+8x+1，得出多项式含有因式（x+1），再利用①中方法解出a 和b ，即可代入原式进行分解.【详解】解：（1）根据因式分解的定义可知：因式分解的作用也可以看做是降次，故答案为：降次；（2）①在等式x 3﹣5x 2+x+10＝（x ﹣2）（x 2+mx+n ）中，令x ＝0，可得：102n =-，解得：n=-5，令x=1，可得：()15110=1m n -++-++，解得：m=﹣3，故答案为：m ＝﹣3，n ＝﹣5；②把x ＝﹣1代入x 3+5x 2+8x+1，得x 3+5x 2+8x+1=0，则多项式x3+5x2+8x+1可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，同①方法可得：a＝1，b＝1，所以x3+5x2+8x+1＝（x+1）（x2+1x+1），＝（x+1）（x+2）2．【点睛】本题考查了因式分解，二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂材料中的意思，利用所学知识进行解答.21、（1）24xy=⎧⎨=⎩；（2）±．【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可（2）利用绝对值和算数平方根的非负性，得出关于x、y的方程组，解出x、y的值代入xy中，再求其平方根即可【详解】（1）73228x yx y-=⎧⎨+=⎩①②，①+②×3得：13x=26，解得：x=2，把x=2代入②得：y=4，则方程组的解为24 xy=⎧⎨=⎩；（2）∵|x+y﹣6|=0，∴620x yx y+=⎧⎨-=⎩，解得：24 xy=⎧⎨=⎩，则==．【点睛】本题考查了解二元一次方程组、绝对值和算数平方根的非负性，以及平方根的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键22、()185；85；1．（2）A校成绩好些．()3A校的方差70，B校的方差160．A校代表队选手成绩较为稳定．【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的意见，并结合图表即可得出答案（2）根据平均数和中位数的意见，进行对比即可得出结论（3）根据方差的公式，代入数进行运算即可得出结论【详解】解：()185；85；1．A 校平均数=75808585100=855++++分A 校的成绩：75.1.85.85.100，众数为85分B 校的成绩：70.75.1.100.100，中位数为1分()2A 校成绩好些．因为两个队的平均数都相同，A 校的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的A 校成绩好些．()3A 校的方差(22222211[(7585)(8085)(8585)(8585)10085)705s ⎤=⨯-+-+-+-+-=⎦，B 校的方差(22222221[(7085)(10085)(10085)(7585)8085)1605s ⎤=⨯-+-+-+-+-=⎦．2212s s ∴<，因此，A 校代表队选手成绩较为稳定．【点睛】本题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的意义，要注意找中位数要把数据从小到大进行排序，位于最中间的数或者两个数的平均数为中位数，以及注意众数可能不止一个是解题的关键23、-1【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，求出后代入，即可求出答案．【详解】解:22211a a a a a a--⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭=221(1)(1)(1)a a a a a a a -++∙-+-=2(1)(1)(1)(1)a a a a a a -+-∙+-=(1)a --=1a -；∵a 取满足条件﹣2＜a ＜3的整数，∴a 只能取2（当a 为﹣1、0、1时，原分式无意义），当a ＝2时，原式＝1﹣2＝﹣1．【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值和一元一次不等式组的整数解，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．24、（1）2 5CPQ S t t ∆=-（0<t ≤1.5），7.5.5 1CPQ S t ∆=-（1.5<t ≤4），22155 +22CPQ S t t ∆=-（4<t <5）；（2）当t =3时，△ABP 和△CDQ 全等．【分析】（1）分别讨论①当Q 在CD 上时，②当Q 在DA 上时，③当Q 在AB 上时，表示出CQ ，BP 求出面积即可；（2）分别讨论①当Q 在CD 上时，②当Q 在AD 上时，③当Q 在AB 上时，求出△ABP 和△CDQ 全等时的t 值.【详解】解：（1）①当Q 在CD 上时，如图，由题意得CQ=2t ，BP=t∴CP=5-t （0<t≤1.5）25CPQ S t t∆=-②当Q 在DA 上时，（1.5<t≤4）12CPQ S CP CD ∆∴=⋅1(5)32t =-⨯7.5 1.5t=-③当Q 在AB 上时，由题意得BQ=11-2t （4<t<5）12CPQ S CP BQ ∆∴=⋅2215522t t =-+（2）①当Q 在CD 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等②当Q 在AD 上时，如图，由题意得DQ=2t -3要使△ABP ≌△CDQ ，则需BP=DQ∵DQ=2t -3，BP=t∴t=2t -3，t=3即当t=3时，△ABP ≌△CDQ ．③当Q 在AB 上时，不存在t 使△ABP 和△CDQ 全等综上所述，当t=3时，△ABP 和△CDQ 全等．【点睛】本题是对矩形动点问题的考查，熟练掌握矩形的性质是解决本题的关键，难度较大.25、（1）30°；（2）8【分析】（1）利用三角形内角和公式求出30ABD ∠=︒,再由BD 平分ABC ∠,得出CBD ∠.（2）在AB 上截取BE BC =,连接DE ,可证()DBC DEB SAS ∆∆≌,根据数量关系证得ADE ∆为等边三角形,得到4AE DE ==,从而求得AB .【详解】.解：（1）在Rt ADB ∆中,∵60A ∠=︒,90ADB ∠=︒,∴30ABD ∠=︒.∵BD 平分ABC ∠,∴30CBD ABD ∠=∠=︒.（2）如图,在AB 上截取BE BC =,连接DE ,∵BE BC =,CBD ABD ∠=∠,BD BD =,∴()DBC DEB SAS ∆∆≌.∴4DE DC ==,EDB CDB ∠=∠,∵//AB CD ,∴30CDB ABD EDB ∠=∠=∠=︒∴60AED ∠=︒,4DE BE ==,∴60ADE ∠=︒,∵60A AED ADE ∠=∠=∠=︒,∴ADE ∆为等边三角形.∴4AE DE ==,∴8AB AE BE =+=.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键.26、（1）2=k ；（2）1=-m 【分析】(1)根据y-1与x+2成正比例，设y-1=k(x+2)，把x 与y 的值代入求出k 的值，即可确定出关系式；(2)把点(2m+1,3)代入一次函数解析式，求出m 的值即可．【详解】()1根据题意：设()y 1k x 2-=+，把x 1=-，y 3=代入得：()31k 12-=-+，解得：k 2=．y ∴与x 函数关系式为()y 2x 212x 5=++=+；()2把点()2m 1,3+代入y 2x 5=+得：()322m 15=++解得m 1=-．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。
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（新课标）苏教版2017-2018学年七年级下册9.5 多项式的因式分解一．选择题1．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣42．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1 3．已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（）A．8是a的因子，8是b的因子B．8是a的因子，8不是b的因子C．8不是a的因子，8是c的因子D．8不是a的因子，8不是c的因子4．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣45．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a （2a+1）26．分解因式a2b﹣b3结果正确的是（）A．b（a+b）（a﹣b）B．b（a﹣b）2C．b（a2﹣b2） D．b（a+b）27．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．228．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：州、爱、我、苏、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．苏州游C．爱我苏州D．美我苏州9．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b，，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a10．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y11．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b2=3ab•2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4）D．12．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．x2+y2=（x+y）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+6x+9=（x+3）213．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个14．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形15．10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；...；第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+ (x102)N=y12+y22+…+y102，则（）A．M＜N B．M＞NC．M=N D．M、N的大小关系不确定二．填空题16．分解因式：a3﹣4a2b+4ab2= ．17．若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于．18．分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= ．19．分解因式：4x2﹣4xy+y2= ．20．分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= ．21．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= ．22．将m3（x﹣2）+m（2﹣x）分解因式的结果是．三．解答题23．分解因式（1）x3﹣6x2+9x；（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．24．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x﹣18=启发应用（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8=0；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是．25．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．解：如图1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①6x2﹣17xy+12y2=②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．26．通过对《因式分解》的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解．如图1中1、2、3号卡片各若干张，如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，你能通过拼图2形象说明a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）的分解结果吗？请在画出图形．27．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．28．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如=213时，则：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）．数字111经过三次“F”运算得，经过四次“F”运算得，经过五次“F”运算得，经过2016次“F”运算得．（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．29．生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=29时，x﹣1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．30．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．参考答案与试题解析一．选择题1．（2017•静安区一模）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可．【解答】解：A、原式不能分解；B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+）（x+y﹣）；C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2），故选A【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．（2016•潍坊）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．【解答】解：∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，∴结果中不含有因式a+1的是选项C；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．3．（2016•台湾）已知a、b、c 为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18．若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？（）A．8是a的因子，8是b的因子B．8是a的因子，8不是b的因子C．8不是a的因子，8是c的因子D．8不是a的因子，8不是c的因子【分析】根据a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18，得到a为12与18的公倍数，再由a的范围确定出a的值，进而表示出b，即可作出判断．【解答】解：∵（a，b）=12，（a，c）=18，∴a为12与18的公倍数，又[12，18]=36，且a介于50与100之间，∴a=36×2=72，即8是a的因子，∵（a，b）=12，∴设b=12×m，其中m为正整数，又a=72=12×6，∴m和6互质，即8不是b的因子．故选B【点评】此题考查了公因式，弄清公因式与公倍数的定义是解本题的关键．4．（2016•自贡）把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣4【分析】直接提取公因式a即可．【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4），故选：A．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．5．（2016•聊城）把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a （2a+1）2【分析】首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：8a3﹣8a2+2a=2a（4a2﹣4a+1）=2a（2a﹣1）2．故选：C．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．6．（2016•梅州）分解因式a2b﹣b3结果正确的是（）A．b（a+b）（a﹣b）B．b（a﹣b）2C．b（a2﹣b2） D．b （a+b）2【分析】直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：a2b﹣b3=b（a2﹣b2）=b（a+b）（a﹣b）．故选：A．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．7．（2016•台湾）多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．22【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，继而求得a，b，c的值．【解答】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．∴a=﹣5，b=11，c=6，则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．故选C．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c （a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．8．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：州、爱、我、苏、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．苏州游C．爱我苏州D．美我苏州【分析】对（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，即可得到结论．【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，苏，州，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我苏州”，故选C．【点评】本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9．（2016•厦门）设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b，，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【分析】根据乘法分配律可求a，将b变形为2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差公式和算术平方根可求c，再比较大小即可求解．【解答】解：∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，c=====＜681，∴b＜c＜a．故选：A．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟记乘法分配律、平方差公式的结构特点是解题的关键．注意整体思想的运用．10．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：2x2﹣xy﹣15y2=（2x+5y）（x﹣3y）．故选：B．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，熟练应用十字相乘法分解因式是解题关键．11．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b2=3ab•2ab B．2x2+8x﹣1=2x（x+4）﹣1C．a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4）D．【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【解答】解：A、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意；B、右边结果不是积的形式，不符合题意；C、a2﹣3a﹣4=（a+1）（a﹣4），符合题意；D、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意．故选C．【点评】本题考查了因式分解的意义．这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．12．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．x2+y2=（x+y）2 C．x2+xy=x （x+y）D．x2+6x+9=（x+3）2【分析】分别利用平方差公式以及完全平方公式和提取公因式法分别分解因式进而判断即可．【解答】解：A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），正确，不合题意；B、x2+y2，无法分解因式，故此选项正确；C、x2+xy=x（x+y），正确，不合题意；D、x2+6x+9=（x+3）2，正确，不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用公式分解因式是解题关键．13．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：①x2﹣10x+25=（x﹣5）2，不符合题意；②4a2+4a﹣1不能用完全平方公式分解；③x2﹣2x﹣1不能用完全平方公式分解；④=﹣（m2﹣m+）=﹣（m﹣）2，不符合题意；⑤不能用完全平方公式分解．故选：C．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．14．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，判断△ABC的形状（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．【解答】解：由a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，得a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）=（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，∵a+b＞0，∴a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0，即a=b或a2+b2=c2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15．10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜x1局，负y1局；第二名胜x2局，负y2局；...；第十名胜x10局，负y10局，若记M=x12+x22+ (x102)N=y12+y22+…+y102，则（）A．M＜N B．M＞NC．M=N D．M、N的大小关系不确定【分析】根据题意，对M和N作差，然后与零比较大小即可解答本题．【解答】解：由题意可得，x n+y n=9，∴y n=（9﹣x n），∴M﹣N=x12+x22+…+x102﹣（y12+y22+…+y102）=x12+x22+…+x102﹣，=﹣810+18（x1+x2+…+x10），∵10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，x1+x2+…+x10=45，∴﹣810+18（x1+x2+…+x10）=﹣810+18×45=﹣810+810=0，∴M=N，故选C．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．二．填空题16．分解因式：a3﹣4a2b+4ab2= a（a﹣2b）2．【分析】首先提公因式a，然后利用完全平方公式即可分解．【解答】解：原式=a（a2﹣4ab+4b2）=a（a﹣2b）2．故答案是：a（a﹣2b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．17．（2016•黔南州）若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于﹣2 ．【分析】首先提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵ab=2，a﹣b=﹣1，∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．18．（2016•南京）分解因式：2a（b+c）﹣3（b+c）= （b+c）（2a﹣3）．【分析】直接提取公因式b+c即可．【解答】解：原式=（b+c）（2a﹣3），故答案为：（b+c）（2a﹣3）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．19．（2016•赤峰）分解因式：4x2﹣4xy+y2= （2x﹣y）2．【分析】符合完全平方公式的特点：两项平方项，另一项为两底数积的2倍，直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：4x2﹣4xy+y2，=（2x）2﹣2×2x•y+y2，=（2x﹣y）2．【点评】本题考查运用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构特点是解题的关键．20．（2016•荆门）分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m= （m+3）（m﹣3）．【分析】先利用多项式的乘法运算法则展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（m+1）（m﹣9）+8m，=m2﹣9m+m﹣9+8m，=m2﹣9，=（m+3）（m﹣3）．故答案为：（m+3）（m﹣3）．【点评】本题考查了利用公式法分解因式，先利用多项式的乘法运算法则展开整理成一般多项式是解题的关键．21．（2016•威海）分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2= 3（a+b）（a﹣b）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）=3（a+b）（a﹣b）．故答案为：3（a+b）（a﹣b）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．22．（2016•贺州）将m3（x﹣2）+m（2﹣x）分解因式的结果是m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：原式=m（x﹣2）（m2﹣1）=m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．故答案为：m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．三．解答题23．分解因式（1）x3﹣6x2+9x；（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．【分析】（1）原式提取x，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x（x2﹣6x+9）=x（x﹣3）2；（2）原式=a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）=（x﹣y）（a2﹣4）=（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．24．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x﹣18= （x﹣2）（x+9）启发应用（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8=0；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是7或﹣7或2或﹣2 ．【分析】（1）原式利用题中的方法分解即可；（2）方程利用因式分解法求出解即可；（3）找出所求满足题意p的值即可．【解答】解：（1）原式=（x﹣2）（x+9）；（2）方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）=0，可得x﹣2=0或x﹣4=0，解得：x=2或x=4；（3）﹣8=﹣1×8；﹣8=﹣8×1；﹣8=﹣2×4；﹣8=﹣4×2，则p的可能值为﹣1+8=7；﹣8+1=﹣7；﹣2+4=2；﹣4+2=﹣2．故答案为：（1）（x﹣2）（x+9）；（3）7或﹣7或2或﹣2．【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键．25．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的关于x，y的二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）．例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2．解：如图1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）．∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2；而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①6x2﹣17xy+12y2= （3x﹣4y）（2x﹣3y）②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12= （x﹣2y+3）（2x+3y﹣4）③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y= （x﹣3y）（x+2y+2）（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；③同②的方法分解；（2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．【解答】解：（1）①6x2﹣17xy+12y2=（3x﹣4y）（2x﹣3y），②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4），③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（x﹣3y）（x+2y+2），故答案为：①（3x﹣4y）（2x﹣3y），②（x﹣2y+3）（2x+3y ﹣4），③（x﹣3y）（x+2y+2），（2）如图，m=3×9+（﹣8）×（﹣2）=43或m=9×（﹣8）+3×（﹣2）=﹣78．【点评】此题是因式分解﹣十字相乘法，主要考查了二元二次多项式的分解因式的方法，解本题的关键是选好那个字母当做常数对待，再用十字相乘法分解．26．通过对《因式分解》的学习，我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解．如图1中1、2、3号卡片各若干张，如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，你能通过拼图2形象说明a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）的分解结果吗？请在画出图形．【分析】根据题意可知：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b），可以看作长为a+2b，宽为a+b的长方形面积，由此画出图形．【解答】解：如图所示：∵大长方形的面积=a2+3ab+2b2，大长方形的面积=（a+b）（a+2b），∴a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）．【点评】此题主要考查因式分解的运用，注意利用已知的等式转化为图形解决问题，这是数形结合思想的运用．27．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：32→32+22=13→12+32=10→12+02=1，70→72+02=49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”．【分析】（1）根据“快乐数”的定义计算即可；（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，根据“快乐数”的定义计算．【解答】解：（1）∵12+02=1，∴最小的两位“快乐数”10，∵19→12+92=82→82+22=68→62+82=100→12+02+02=1，∴19是快乐数；证明：∵4→37→58=68→89→125→30→9→81→65→61→37，37出现两次，所以后面将重复出现，永远不会出现1，所以任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4．（2）设三位“快乐数”为100a+10b+c，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，则a2+b2+c2=10或100，∵a、b、c为整数，且a≠0，∴当a2+b2+c2=10时，12+32+02=10，①当a=1，b=3或0，c=0或3时，三位“快乐数”为130，103，②当a=2时，无解；③当a=3，b=1或0，c=0或1时，三位“快乐数”为310，301，同理当a2+b2+c2=100时，62+82+02=100，所以三位“快乐数”有680，608，806，860．综上一共有130，103，310，301，680，608，806，860八个，又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，所以只有310和860满足已知条件．【点评】本题考查的是因式分解的定义、“快乐数”的定义，正确理解“快乐数”的定义、掌握分情况讨论思想是解题的关键．28．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数的“F”运算：把的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．例如=213时，则：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）．数字111经过三次“F”运算得351 ，经过四次“F”运算得153 ，经过五次“F”运算得153 ，经过2016次“F”运算得153 ．（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．【分析】（1）根据“F运算”的定义得到111经过三次“F运算”的结果，经过四次“F运算”的结果，经过五次“F运算”的结果，经过2016次“F运算”的结果即可；（2）首先根据题意可设a+b+c+d=3e，则此四位数1000a+100b+10c+d可表示为999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得这个四位数就可以被3整除．【解答】（1）解：1113（13+13+13=3）27（33=27）351（23+73=351）153（33+53+13=153）153（13+53+33=153）153（33+53+13=153）．故数字111经过三次“F”运算得351，经过四次“F”运算得153，经过五次“F”运算得 153，经过2016次“F”运算得 153．（2）证明：设a+b+c+d=3e（e为整数），这个四位数可以写为：1000a+100b+10c+d，∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e，∴=333a+33b+3c+e，∵333a+33b+3c+e是整数，∴1000a+100b+10c+d可以被3整除．故答案为：351，153，153，153．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．同时考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用．29．生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2可以因式分解为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=29时，x﹣1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．（1）根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．【分析】（1）先分解因式得到x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码；（2）利用勾股定理和周长得到x+y=13，x2+y2=121，再利用完全平方公式可计算出xy=24，然后与（1）小题的解决方法一样．【解答】解：（1）x3﹣xy2=x（x﹣y）（x+y），当x=15，y=5时，x﹣y=10，x+y=20，可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015；（2）由题意得：解得xy=24，而x3y+xy3=xy（x2+y2），所以可得数字密码为24121．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题；考查了用类比的方法解决问题；（2）小题中计算出xy的值为解决问题的关键．30．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x﹣2）4．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；故答案为：不彻底，（x﹣2）4。
第四章整环里的因子分解
第四章整环里的因子分解第四章整环里的因子分解§4.1 不可约、素元、最大公因子1. 证明:0不是任何元的真因子.注这里的0是指整环I 的零元,“任何元”是指整环I 中的任何元. 证明由于0不能整除整环I 中的非零元,因此0不是整环I 中的非零元的真因子.虽然0整除0,但0与0相伴,因此0不是0的真因子.所以0不是整环I 中任何元的真因子.2.找出Gauss 整数环},|{][Z Z ∈+==n m ni m i I 的所有单位.解假设Z ∈b a ,,使得bi a +是I 中的单位,则存在Z ∈d c ,,使得1))((=++di c bi a ,从而,1))((2222=++d c b a .由此可见,i bi a ±±=+,1.所以i ±±,1就是I 中的所有单位.3.证明:在Gauss 整数环][i I Z =中,3是不可约元,5是可约元.证明显然,3和5既不是零元,也不是单位.设Z ∈d c b a ,,,,使得3))((=++di c bi a .于是9))((2222=++d c b a .显然322≠+b a .因此122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.所以3是不可约元.由5)2)(2(=-+i i 可知,i +2和i -2都是5的真因子.所以5是可约元.4.设I 是整环,I b a ∈,,直接证明:a b a ?=)()(～b .证明由于I 是有单位元的交换环,根据定理3.16的推论1(3),aI a =)(,bI b =)(. 因此=)()(b a 存在R s r ∈,,使得rb a =,sa b =a ?～b .5.设p 是整环I 的素元,m a a a p 21|(2≥m ),证明:至少存在一个ia (m i ≤≤1),使i a p |.证明我们用数学归纳法来证明.当2=m 时,根据素元的定义,我们的断言成立.假设当n m =(2≥n )时,结论成立.当1+=n m 时,根据素元的定义,n a a a p 21|或1|+n a p .若p 不整除1+n a ,则n a a a p 21|.于是,根据归纳假设,至少存在一个i a (n i ≤≤1),使i a p |.所以当1+=n m 时,我们的断言成立.6.设整环I 中任意两个元的最大公因子都存在,m a a a ,,,21 是I 中m 个不全为零的元,若m m db a db a db a ===,,,2211 ,证明:d 是m a a a ,,,21 的最大公因子m b b b ,,,21 ?互素.证明假定m m db a db a db a ===,,,2211 .m b b b ,,,21 不互素I 中存在元素',,','21m b b b 和非零、非单位的元素c ,使得',,','2211m m cb b cb b cb b ===I 中存在元素',,','21m b b b 和非零、非单位的元素c ,使得',,','2211m m dcb a dcb a dcb a ===d ?不是m a a a ,,,21 的最大公因子.所以d 是m a a a ,,,21 的最大公因子m b b b ,,,21 ?互素.§4.2 惟一分解环1.证明:整环},|10{]10[Z Z ∈+==n m n m I 不是惟一分解环.证明显然,I ∈10,10,5,2,10,5,2都不是单位,也都不是零元,2和5都不是10的相伴元,但是10105210?=?=.所以I 不是惟一分解环.2.证明:Gauss 整数环][i I Z =中,5是唯一分解元.证明首先,由§1习题第2题知,在I 中只有1±和i ±是单位.其次,显然i ±2都不是零元和单位元.事实上,i ±2是I 中的不可约元.为了阐明这一事实,考察任意的Z ∈d c b a ,,,.若i di c bi a ±=++2))((,则5))((2222=++d c b a ,由此可见,122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.因此i ±2没有非平凡的因子.所以i ±2是I 中的不可约元.当然,它们的相伴元)2(i ±-,)2(i i ±,)2(i i ±-也都是不可约元.现在设Z ∈d c b a ,,,,使得5))((=++di c bi a . (*) 于是,25))((2222=++d c b a .由此可见,122=+b a 或522=+b a .当122=+b a ,i bi a ±±=+,1是I 中的单位,从而,di c +是5的相伴元.这时(*)式不是5的不可约元分解式.当522=+b a 时,bi a +的值只能是如下八个数之一:i ±2,)2(i ±-,)2(i i ±,)2(i i ±-.显然,这八个数都是5的真因子.这样一来,根据(*)式可以断言,)2)(2(5i i -+=是5的不可约元分解式,并且:对于5的任意一个不可约元分解式n p p p 215=,必有2=n ;必要时,交换1p 和2p 的下标和次序后,1p 与i +2相伴且2p 与i -2相伴.所以5是唯一分解元.2.按惟一分解环定义直接证明定理4.11.注定理4.11的内容如下:在一个惟一分解环I 中,每一个不可约元都是素元.证明设I p ∈是一个不可约元.任意给定I b a ∈,,并假设ab p |.于是,存在I c ∈,使得pc ab =.当0=a 或0=b 时,显然a p |或b p |.当a 为单位时,有pc a b 1-=,从而,b p |.同理,当b 为单位时,有a p |.现在假定a 和b 都不是零元和单位.显然,c 不是零元,也不是单位.由于I 是惟一分解环,不妨设m p p p a 21=,n q q q b 21=,u r r r c 21=.其中,j p (m j ≤≤1),k q (n k ≤≤1)和l r (u l ≤≤1)都是不可约元.于是, n m u q q q p p p r r pr 212121=. (*) 由于I 是惟一分解环,可以断言:或者存在j (m j ≤≤1),使得p 与j p 相伴,从而,a p |; 或者存在k (n k ≤≤1),使得p 与k q 相伴,从而,b p |.总而言之,a p |或b p |.这样一来,由于I b a ∈,的任意性,我们断言p 是素元.4.设I 是惟一分解环,m a a a ,,,21 是I 中m (2≥m )个元,证明:在I 中m a a a ,,,21 的最大公因子存在,且任意两个最大公因子互为相伴元.证明首先,我们用数学归纳法来证明m a a a ,,,21 有最大公因子.事实上,定理4.10告诉我们,当2=m 时,结论成立.假设当n m =2(≥n )时结论成立.现在考察1+=n m 的情形:根据归纳假设,不妨设a 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子.根据定理4.10,可设d 是a 与1+n a 的最大公因子.显然,d 是121,,,,+n n a a a a 的一个公因子.假设'd 是121,,,,+n n a a a a 的一个公因子.则'd 是n a a a ,,,21 一个公因子.由于a 是n a a a ,,,21 的一个最大公因子,因此a d |'.由于1|'+n a d ,因此'd 是a 与1+n a 的公因子.这样一来,由于d 是a 与1+n a 的最大公因子,因此d d |'.所以d 是121,,,,+n n a a a a 的一个最大公因子.所以当1+=n m 时m a a a ,,,21 有最大公因子.§4.3 主理想环1.设I 是主理想环,d 是I b a ∈,的一个最大公因子,证明:I t s ∈?,,使bt as d +=. 证明根据定理3.16的推论2,),()()(b a b a =+,其中),(b a 表示},{b a 生成的理想.根据定理 4.15,),()(b a d =.因此)()()(d b a =+.由)()(b a d +∈可知,存在I t s ∈,,使bt as d +=.2.设I 是主理想环,I b a ∈,,证明:b a ,互素I t s ∈??,,使1=+bt as .证明根据定义4.8、第1题、定理3.16的推论2以及定理4.15,我们有b a ,互素?1是a 与b 的一个最大公因子存在I t s ∈,,使1=+bt as)()(1b a +∈?),()()()1(b a b a =+=?1是a 与b 的一个最大公因子.所以b a ,互素I t s ∈??,,使1=+bt as .3.设I 是主理想环,I b a ∈,,证明:(1)若b a ,互素,且bc a |,则c a |;(2)若b a ,互素,且c a |,c b |,则c ab |.证明 (1) 当0=a 时,由bc a |可知,0=bc ;由a 与b 互素可知,b 是单位.因此0=c .所以c a |.当a 是单位时,显然c a |.假设a 既不是0,也不是单位.由于bc a |,因此bc 既不是0,也不是单位;从而,b 和c 都不是0.若b 是单位,则由bc a |可知c a |.现在假定b 不是单位.由于I 是主理想环,根据定理4.14,I 是惟一分解整环.不妨设m p p p a 21=,n q q q b 21=,其中m p p p ,,,21 和n q q q ,,,21 都是R 中的既约元.于是存在I k ∈,使得c q q q p p kp n m 2121=.由于a 与b 互素,因此i p (),,2,1m i =与j q (),,2,1n j =不相伴.这样一来,由上式可知,c 可以表示成如下形式:m p p p k c 21'=.所以c a |.(2)显然,当0=a 或0=b 时,0=c ,从而,c ab |;当a 是单位或b 是单位时,c ab |.现在假设a 和b 既不是0,也不是单位.由于I 是主理想环,根据定理4.14,I 是惟一分解整环.不妨设m p p p a 21=,n q q q b 21=,其中m p p p ,,,21 和n q q q ,,,21 都是I 中的既约元.于是,n m q q q p p p ab 2121=,n m q q q k p p kp c 2121'==.如果a 与b 互素,那么,i p (),,2,1m i =与j q (),,2,1n j =不相伴.这样一来,因为I 是唯一分解整环,c 可以表示成如下形式:ab k q q q p p p k c n m ''''2121== .所以c ab |.4.在整数环Z 中,求出包含)6(的所有极大理想.证明我们知道,整数环Z 是主理想环.设)(a 是包含)6(的一个极大理想.根据定理4.4,a 是6的真因子.因此2±=a 或3±=a .所以)2()2(-=和)3()3(-=就是包含)6(的所有极大理想.5.在有理数域Q 上的一元多项式环][x Q 中,理想)23,1(23+++x x x 等于怎样一个主理想?解显然,1+x 是13+x 与232++x x 的一个最大公因子.根据定理3.16的推论2和定理4.15, )1()23,1(23+=+++x x x x .6.证明:)3/(][2+x x Q 是一个域.证明首先, 由于Q 是域,根据§3.7中的例1,][x Q 是主理想环.其次,显然32+x 是][x Q 中的不可约元.这样一来,根据定理4.16和定理3.23,)3/(][2+x x Q 是一个域.§4.4 欧氏环1.证明:域F 是欧氏环.证明定义}0{\F 到到}0{ N 的映射φ如下:1)(=a φ,}0{\F a ∈?.显然,对于任意的}0{\F a ∈和F b ∈,存在F q ∈,使得0+=aq b .所以F 是欧氏环.2.证明:整环},|2{]2[Z Z ∈-+=-n m n m 关于*-]2[Z 到}0{ N 的映射222)2(n m n m φ+=-+是一个欧氏环.证明考察任意的*-∈]2[Z α和]2[-∈Z β:设2-+=b a α,,2-+=d c β其中Z ∈d c b a ,,,.于是,222222)(2(22222222-+-+++=+---+=-+-+=ba bc adb a bd ac b a b ad c b a d c αβ. 根据带余除法,存在Z ∈v u q q ,,,21,使得u q b a bd ac ++=+122)2(2,)2(21||022b a u +≤≤; v q b a bcd ad ++=-222)2(,)2(21||022b a v +≤≤. 令221-+=q q q .则222222222222b a v u q b a bc ad b a bd ac αβ+-++=-+-+++=, 从而222)2(ba αv u q αβ+-++=.注意到]2[,,-∈Z q βα,由上式可知,]2[2)2(22-∈+-+Z b a αv u .令222)2(b a αv u r +-+=,则]2[-∈Z r ,并且r q αβ+=.当0≠r 时,222222||)2(|)2(|||)(αb a v u r r φ?+-+== )(2||22||222222αφb a v b a u ????? ?+?+??? ??+= )()(2141αφαφ+≤. 所以整环]2[-Z 关于*-]2[Z 到}0{ N 的映射φ是一个欧氏环.3．证明:整环},|2{]2[Z Z ∈+=n m n m 关于*]2[Z 到}0[ N 的映射|2|)2(22n m n m φ-=+是一个欧氏环.证明令},|2{]2[Q Q ∈+=b a b a .定义*]2[Q 到Q 的映射ψ如下: |2|)2(22b a b a ψ-=+,*∈+?]2[2Q b a ,其中Q ∈b a ,.于是,对于任意的*∈++]2[2,2Q d c b a (其中Q ∈d c b a ,,,),我们有)2()2(d c ψb a ψ+?+|)2)(2(|2222d c b a --=|)2)(2)(2)(2(|d c d c b a b a -+-+=|)2)(2)(2)(2(|d c b a d c b a --++=|)2)()2)((2)()2((|bc ad bd ac bc ad bd ac +-++++=|)(2)2(|22bc ad bd ac +-+=)2)()2(bc ad bd ac ψ+++=))2)(2((d c b a ψ++=.此外,显然]2[]2[Q Z ?,并且ψ在*]2[Z 上的限制就是φ.任意给定]2[2,]2[2Z Z ∈+=∈+=*d c βb a α,其中Z ∈d c b a ,,,.为了证明]2[Z 是欧氏环,现在只需阐明存在]2[,Z ∈r q ,使得r q αβ+=,其中,0=r 或)()(αφr φ<.事实上,我们有222222)()2(2)2)(2(b a bc ad bd ac b a d c b a αβ--+-=-+-=.根据带余除法,存在Z ∈v u q q ,,,21,使得u b a q bd ac +-=-)2(2221,|2|21||022b a u -≤≤; v b a q bc ad +-=-)2(222,|2|21||022b a v -≤≤. 令221q q q +=.于是,2222222b a v b a u q αβ-+-+=, 从而,αbc v b a u q αβ)222(2222-+-+= 22222222b c bu av b a bv au q α-++-++=. 注意到]2[,,Z ∈q βα,由上式可知,2222b a bv au -+和222b a bu av -+都是整数.令 22222222ba bu avb a bv au r -++-+=. 于是,]2[Z ∈r ,并且r q αβ+=.当0≠r 时,)()(r ψr φ=)()222(2222αψb a v b a u ψ?-+-= )(222222222αφb a v b a u ???? ??--??? ??-=)(22222222αφb a v b a u ????? ?-+??? ??-≤ )()(2141αφαφ+≤.§4.5 惟一分解环上的一元多项式环1.证明:设)(),(21x f x f 是][x I 中两个本原多项式,若它们在][x Q 中相伴(Q 为I 的商域),则在][x I 中也相伴.证明假设)(),(21x f x f 在][x Q 中相伴,则存在][x Q 中的单位u ,使得)()(21x uf x f =.由于][x Q 中的单位就是Q 中的非零元,且Q 为I 的商域,因此可设ab u =,其中b a ,是I 中的非零元.于是,)()(21x bf x af =.这样一来,根据引理1可以断言,)(),(21x f x f 在][x I 中相伴.2.设I 是惟一分解环,][)(),(x I x g x f ∈,且)()(1x af x f =,)()(1x bg x g =,I b a ∈,,)(),(11x g x f 是本原多项式,证明:若)(|)(x f x g ,则a b |.证明不妨设)()()(x q x g x f =.于是,)()()(11x g x bq x af =.由于)(),(11x g x f 是本原多项式,根据上式和引理1可以断言,a ～)(x bq .由此可见,I x q ∈)(,从而,a b |.3.设)(x f 是][x Z 中首项系数为1的多项式,证明:若)(x f 有有理根a ,则a 是整数. 证明假定)(x f 有有理根a .则))(()(a x x q x f -=,其中][)(x x q Q ∈.根据引理1,存在Q ∈21,r r 和本原多项式)(),(21x f x f ,使得)()(11x f r x q =,)(22x f r a x =-.于是,)()()(2121x f x f r r x f =.根据Gauss 引理,)()(21x f x f 是本原多项式.由于)(x f 的首项系数为1,由上式可知121=r r ,从而,)()()(21x f x f x f =.由此可见,)(2x f 的首项系数为1或1-.这样一来,由)(22x f r a x =-可知,a x x f -=)(2或a x x f +-=)(2.因为)(2x f 是本原多项式,所以a 是整数.4.域F 上的二元多项式环],[y x F 是惟一分解环,但不是主理想环.证明 ]][[],[y x F y x F =.由于F 是域,根据定理4.17可以断言,][x F 是欧氏环.根据定理4.18又可以断言,][x F 是惟一分解环.由于]][[],[y x F y x F =,根据定理4.21,可以断言,],[y x F 是惟一分解环.令A 表示],[y x F 中次数大于或等于1的所有多项式和零多项式组成的集合.显而易见,A 是],[y x F 的一个理想.考察任意的A y x f ∈),(:显然,或者)),((y x f x ?,或者)),((y x f y ?,但是A y x ∈,.因此)),((y x f A ≠.由此可见,A 不是],[y x F 的主理想.所以],[y x F 不是主理想环.5.证明:1053532),(22---+-=y x y xy x y x f 是],[y x Z 中不可约多项式. 证明令][x I Z =.则][],[y I y x =Z .由于整数环Z 是惟一分解整环(参看§4.2),根据定理4.22,],[][y x y I Z =也是惟一分解整环.由于][5)53()1032(),(22y I y y x x x y x f ∈++---=,53+x 是I 中的不可约元,53+x ?5,)53(|53+-+x x ,53+x ?10322--x x ,根据定理4.23(Eisenstein 判别法),),(y x f 是],[y x Z 中不可约多项式.§4.6 因子分解与多项式的根1.问:][16x Z 中多项式2)(x x f =在16Z 中有多少个根?答由直接演算知,][16x Z 中2)(x x f =在16Z 中有如下四个根:]0[,]4[,]8[,]12[.2.证明:][6x Z 中多项式x x x f -=3)(在6Z 中有6个根.证明由直接演算知,6Z 中的]4[],3[],2[],1[],0[和]5[都是][6x Z 中多项式x x x f -=3)(的根.所以][6x Z 中多项式x x x f -=3)(在6Z 中有6个根.3.试求][5x Z 中多项式1)(5-=x x f 在5Z 中的根.解由于5Z 是特征为5的域,因此55)1(1)(-=-=x x x f .由于5Z 无零因子,因此只有当]1[=x 时)(x f 的值为]0[,从而,)(x f 只有]0[=x 这个根.显然它是5重根.4.判断:(1)][3x Z 中多项式1)(2+=x x f 是否可约?(2)][5x Z 中多项式1)(2+=x x f 是否可约?解 (1)显然1)(2+=x x f 在3Z 中没有根,所以)(x f 是][3x Z 中的不可约多项式.(2)显然,5Z 中的]2[是)(x f 的根,所以)(x f 是][5x Z 中的可约多项式.5.设0ch =I ,][)(x I x f ∈,I a ∈，1≥k ,证明:a 是)(x f 的k 重根?a 是)(x f 的根,且a 是)('x f 的1-k 重根.证明我们有a 是)(x f 的k 重根存在][)(x I x g ∈,使k a x x g x f ))(()(-=,且a 不是)(x g 的根存在][)(x I x g ∈,使1)))()((')(()('---+=k a x a x x g x kg x f .由于0ch =I ,0)(≠a g ,因此0)())((')(≠=-+a kg a a a g a kg ,从而,a 是)('x f 的1-k 重根.所以a 是)(x f 的k 重根?a 是)(x f 的根,且a 是)('x f 的1-k 重根.复习题四1.设整环?∈∈=}0{,2 N Z n m m I n ,找出I 中的所有单位与不可约元. 解假设n m 2(其中Z ∈m ,}0{ N ∈n )是单位.于是,存在Z ∈k 和}0{ N ∈s ,使得122=?s n k m .由此可见,存在Z ∈j ,使得j nm 22±=.反过来,显然,对于任意的Z ∈j ,有I j ∈±2.显然I j ∈±2 1并且是j 2±的逆元.所以I 中的所有单位为:j 2±,Z ∈j . 假设n m 2(其中Z ∈m ,}0{ N ∈n )是不可约元.于是,0≠m 且s m 2±≠,Z ∈?s .不妨设r s p p p m 212±=,其中1≥r ,Z ∈s ,r p p p ,,,21 为奇素数.若1>r ,则0212222r n s n p p p m ?±=.由于n j p 221和022r p p 都不是单位,这与n m 2是不可约元矛盾.所以1=r ,从而,n s n p m 2221±=,即存在Z ∈j 和奇素数p ,使得p m j n 22±=.反过来,设Z ∈j ,p 是奇素数,考察p j 2:显然,I p j ∈2并且既不是零元,也不是单位.假设I k m s n ∈2,2(其中Z ∈k m ,,}0{, N ∈s n ),并且|2p j s n k m 22?,即存在I l t ∈2(其中Z ∈j ,}0{ N ∈t ),使得s n t j k m l p 2222?=?.于是, m p |或k p |.当m p |时,我们有)2(22)(j n j n pm p m +-??=, 其中I pm j n ∈?+-)(2,从而,n j m p 2|2.同理,当k p |时,s j k p 2|2.由此可见,p j 2是素元.因此p j 2±是不可约元.所以I 中的所有不可约元为:p j 2±,Z ∈j ,p 为奇素数. 2.求模8剩余类环8Z 的所有非零理想,以及它们的交.解8Z 的非零理想有:8Z ,]}6[],4[],2[],0{[,]}4[],0{[;它们的交是]}4[],0{[.3.证明:在惟一分解环I 中,任意两个元b a ,都有一个最小公倍元,即I m ∈?,使m b m a |,|,并且若n b n a |,|,则n m |.(用],[b a 表示a 与b 的任意一个最小公倍元.)证明设b a ,是惟一分解环I 中任意两个元.根据定理 4.10,b a ,有最大公因子.令),(b a 表示a 与b 的任意一个最大公因子,p b a a ),(=,'),(p b a b =. 由§4.1习题第6题知,p 与'p 互素.令'],[ap b a =.现在我们来阐明],[b a 就是a 与b 的一个最小公倍元.事实上,首先,由],[b a 的定义知],[|b a a .其次,我们有bp p p b a pp b a ap b a ===='),('),('],[,从而,],[|b a b .最后,假设I c ∈,使得c a |且c b |,则存在I q q ∈',,使得'bq aq c ==.于是,我们有''),(),(q p b a pq b a c ==.当0),(=b a 时,由pq b a aq c ),(==可知0=c ,从而,c b a |],[.当0),(≠b a 时,由等式''),(),(q p b a pq b a c ==可知''q p pq =.由于p 与'p 互素,根据等式''q p pq =和§4.3习题第3题可以断言q p |'.设t p q '=.于是,t b a t ap t pp b a pq b a c ],[''),(),(====,从而,c b a |],[.所以],[b a 是a 与b 的一个最小公倍元.4.证明:在一个惟一分解环I 中,ab ～),](,[b a b a .证明设),(b a 是a 与b 的任意一个最大公因子,],[b a 是a 与b 的任意一个最小公倍元,p b a a ),(=,'),(p b a b =,'ap m =.由上题知,bp m =,并且m 是a 与b 的一个最小公倍元.此外,我们我们还有),(),(b a m pb b a ab ==.此外,由最小公倍元的定义可知,m ～],[b a .因此),(b a m ～),](,[b a b a ,即ab ～),](,[b a b a .5.设I 是惟一分解环, ),(,),(),(21x f x f x f n 是][x I 中本原多项式的序列,并且)(|)(1x f x f i i +, ,,,2,1n i =.证明:这个序列只有有限个互不相伴的项.证明由于I 是惟一分解环,根据定理4.21,][x I 也是惟一分解环.由惟一分解环的定义可知,][x I 中每个非零元至多有有限个互不相伴的因子.假设序列 ),(,),(),(21x f x f x f n 中有无限个互不相伴的项.不失一般性,假定其各项互不相伴.由于)(|)(1x f x f i i +, ,,,2,1n i =,因此)(|)(1x f x f i ,N ∈?i .这样一来,)(1x f 有无限个互不相伴的因子.因此0)(1=x f .这与)(1x f 为本原多项式的事实矛盾.所以 ),(,),(),(21x f x f x f n 中只有有限个互不相伴的项.6.设I 是惟一分解环,][)(),(x I x g x f ∈,且1))(),((=x g x f .证明:1))()(),()((=+x g x f x g x f .证明由于I 是惟一分解环,根据定理4.21,][x I 是惟一分解环.令d x g x f x g x f =+))()(),()((.由1))(),((=x g x f 可知,0≠d .假设d 不是单位.则存在素元][)(x I x p ∈,使得d x p |)(,从而,)()(|)(x g x f x p 且)()(|)(x g x f x p +.因为)(x p 是素元,由)()(|)(x g x f x p 可知, )(|)(x f x p 或)(|)(x g x p .又因)()(|)(x g x f x p +,故)(|)(x f x p 且)(|)(x g x p ,这与1))(),((=x g x f 矛盾.所以d 不是单位,从而,1))()(),()((=+x g x f x g x f .7.设0I 是一个主理想环,I 是整环,且0I ≤I .证明:假若d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子,那么d 也是I 中的a 和b 的一个最大公因子.证明设由于d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子.由于0I ≤I ,因此d 也是I 中的a 和b 的一个公因子.设'd 是I 中的a 和b 的任意一个公因子.则存在I b a ∈',',使得''a d a =,''b d b =.其次,由于d 是0I 中的a 和b 的一个最大公因子,根据§4.3习题第2题,存在0,I t s ∈,使得bt as d +=,从而,)''('''''t b s a d t b d s a d d +=+=.因此d d |'.所以d 也是I 中的a 和b 的一个最大公因子.8.设一元多项式环][x I 是主理想环,][)(),(x I x g x f ∈,)(x m 是)(x f 与)(x g 的一个最小公倍元,证明:))(())((())((x g x f x m =.注这里假定I 是整环.证明由于][x I 是主理想环,根据定理4.14,][x I 是唯一分解环.由于)(x m 是)(x f 与)(x g 的一个最小公倍元,不妨设)()()()()(x g x q x f x p x m ==.显而易见,1))(),((=x q x p .这样一来,对于任意的][)(x I x h ∈,我们有))(()(x m x h ∈?存在][)(x I x r ∈,使得)()()(x m x r x h =存在][)(x I x r ∈,使得)()()()()()()(x g x q x r x f x p x r x h ==))(())(()(x g x f x h ∈?存在][)(),(21x I x r x r ∈,使得)()()()()(21x g x r x f x r x h == )(|)(x h x m ?))(()(x m x h ∈?.所以))(())((())((x g x f x m =.9.证明:(1)1)(3++=x x x p 是][2x Z 中不可约多项式;(2))1/(][32++x x x Z 是域.证明 (1)显然,1)1()0(==p p .因此x 和11+=-x x 都不是)(x p 的因子.由此可见,)(x p 是][2x Z 中不可约多项式.(2)首先,由于2Z 是域,根据§3.7中的例1,][2x Z 是主理想环.其次,根据(1),13++x x 是][2x Z 中的不可约元.这样一来,根据定理 4.16和定理3.23,)1/(][32++x x x Z 是一个域.10.设I 是一个主理想环,I a ∈≠0.证明:当a 是不可约元时,)/(a I 是一个域;当a 是可约元时,)/(a I 不是整环.证明当a 是不可约元时,根据定理4.16和定理3.23,)/(a I 是一个域.当a 是可约元时,存在a 的真因子c b ,,使得bc a =.于是,)()(a a b ≠+,)()(a a c ≠+.但是)()()()()())())(((a a a a bc a c a b =+=+=++.这就是说,)(a b +和)(a c +是)/(a I 中的零因子.所以)/(a I 不是整环.。
一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)
一元二次方程拓展提高题1、已知x25x20000，则x2 3xx 1 21的值是.22、已知a22004a10，则 2a 24007 a2004_________ .a 213、若ab1，且5a 22005a70 ，7b 22005b 5 0 ，则a_________ . b4、已知方程2x 22ax3a40没有实数根，则代数式a28a16 2 a_____.5、已知y 2 x6x ，则 y 的最大值为.6、已知a b c0， abc2， c0 ，则（）A、 ab 0B、 a b 2C、 a b3D、 a b47、已知a b8 ， ab c2160，则 a b c________ .8、已知m2m10 ，则m3 2 m22006________ .9、已知a b4， ab c 240 ，则 a b________ .10、若方程x 2px q0 的二根为 x1， x2，且 x1 1 ， p q30，则 x2 ()A、小于 1B、等于 1C、大于 1 D 、不能确定是方程 x 213 1 的值为11、已知x0 的一个根，则3.412、若3x2x 1 ，则 9 x 412x 32x 27x2008（）A、 2011B、 2010C、 2009 D 、 200813、方程3x23x2 2 的解为.14、已知x2x y 20 ，则x2y 22x的最大值是（）26A、 14B、 15C、 16 D 、18、方程x 22 | x |2m恰有 3 个实根，则m（）15A、 1B、 1.5C、2 D 、2.516、方程x23xx2379 的全体实数根之积为（）3 xA、 60B、60C、 10D、 1017、关于x的一元二次方程2x 25x a 0x1: x2 2 : 3，则x2x1（ a 为常数）的两根之比（）A、 1B、 2C、1D、3 2218、已知是、方程 x2x10 的两个实根，则43_______ .19、若关于x的方程2ax2xax 1 只有一解，求a 的值。
密码学的数学基础
素数
如何判断一个数是否为素数？
本章授课提纲
（1）整除
（2）素数
（3）最大公约数 （4）欧几里德算法
最大公约数
最大公约数的定义 a和b的最大公约数（Greatest Common Divisor ） 是能够同时整除a和b的最大正整数，记为gcd(a,b) 或者(a,b)。 例如：gcd(6,4)=2，gcd(5,7)=1，gcd(24,60)=12 互素的定义 如果gcd(a,b)=1，就称a和b互素
证明：记a-b=nk，b-c=nl，那么两式相减得ac=n(k-l)，所以a≡c(mod n)。
模运算和同余
模运算和同余的性质 性质五：如果m|(a-b)，则a≡b(mod m) 证明：由已知条件可得a-b=km，k为某一整数； 进而可得a=b+km，故a(mod m)=(b+km)除以m的余 数=b除以m的余数=b(mod m)，由同余的第二个定 义可以得证。
[11(mod 8)-15(mod 8)](mod 8)=(3-7)(mod 8)=4
=(11-15)(mod 8)=-4(mod 8)=4
模运算和同余
模运算的乘法的结合律 [a(mod n)〓b(mod n)](mod n)=(a〓b)(mod n) 举例： [11(mod 8)〓15(mod 8)](mod 8)=(3〓7)(mod 8)=21(mod 8)=5 =(11〓15)(mod 8)=165(mod 8)=5
欧几里德算法
欧几里德算法的精确描述 两个整数用a,b表示，商用q表示，余数用r表示 Step1 取a,b较大者为a，较小者为b Step2 做除法，计算并保留余数r=mod(a,b) Step3 将原来的除数改做被除数，余数作为除数 a=b,b=r 重复Step1和Step2直到r=0，返回b
第4讲 分解质因数
33=3×11 35=5×7 30=2×3×5 75=3×5×5 39=3×13 143=11×13 169=13×13 通过观察各式可知，八个数中，质因数 2、7、11 各有两个，质因数 3、5、13 各有四个，所以每组中应该是 2、 7、11 各有一个，3、5、13 各有两个。 解答 首先将 14=2×7 分在第一组，另外两个含有质因数 2 和 7 的数 30=2×3×5 和 35=5×7 就应分在第二组。这样， 在第二组中不仅有 2 与 7，还有两个 5，所以另外两个质因数 5 就应分在第一组，即 75=3×5×5 归在第一组中。 其次，将 169=13×13 分在第一组，含有 13 的另外两个数 39=3×13 和 143=11×13 就应分在第二组。由于质因 数 11 只有两个，因而含有 11 的另一个数 33=3×11 就应分在第一组。 在上述分组过程中没有考虑过质因数 3，所以，应核对一下两组中的质因数 3，结果是各含有两个，所以分组结 果是正确的，即 第一组有 14，75，169，33；第二组有 35，30，39，143。 利用八个数分解质因数的式子，容易验证两组数的乘积相等。 说明：在上述分组过程中，当然也可以将 169 分在第二组，那么 39、143 在第一组，33 在第二组，因此，还可 得到另外的一种分组方法： 第一组：14，75，39，143；第二组：35，30，169，33。 [例 2]在射箭运动中，运动员每射一箭的环数只能是下列数之一：0、l、2、3、4、5、6、7、8、9、10，其中 0 环表示脱靶。现在甲、乙两名运动员各射了 5 箭，每人 5 箭得到的环数的积都是 1764。但是，甲的总环数比乙少 4 环，求甲、乙的总环数各是多少？ 思路剖析 两人 5 箭得到的环数的积都是 1764。显然，每箭的环数都不是 0 和 10，每箭的环数都是 1764 的约数，将 1764 分解质因数： 1764=2×2×3×3×7×7 因为 7×2=14，7×3=21 都大于 10，而每箭的环数都是小于 10 的自然数，所以甲、乙二人 5 箭中必有两箭射中 的环数是 7 环，其他 3 箭射中的环数必定是 2×2×3×3 的约数，且这些约数应小于 10。将 2×2×3×3 写成 3 个小 于 10 的自然数之积，只有下面五种可能： 2×2×3×3=1×4×9=1×6×6 =2×2×9=2×3×6 =3×3×4 即这 3 箭射中的环数有五种可能：l，4，9；l，6，6；2，2，9；2，3，6；3，3，4。 解答 对应这五种情况，5 箭射中的环数有下面五种情况： 7，7，1，4，9，总环数=28 7，7，1，6，6，总环数=27 7，7，2，2，9，总环数=27 7，7，2，3，6，总环数=25 7，7，3，3，4，总环数=24 总环数中只有 24 与 28 之差是 4，根据题意，甲的总环数是 24，乙的总环数是 28。
(小学奥数)分解质因数(一)
....1. 能夠利用短除法分解2. 整數唯一分解定理：讓學生自己初步領悟“任何一個數字都可以表示為...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的結構，而且表達形式唯一”一、質因數與分解質因數 （1）.質因數：如果一個質數是某個數的約數，那麼就說這個質數是這個數的質因數.（2）.互質數：公約數只有1的兩個自然數，叫做互質數.（3）.分解質因數：把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的質因數.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的質因數，其中後一個式子叫做分解質因數的標準式，在求一個數約數的個數和約數的和的時候都要用到這個標準式.分解質因數往往是解數論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數字的特徵.（4）.分解質因數的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符號） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一個大於1的自然數n 都可以寫成質數的連乘積，即：知識點撥教學目標5-3-4.分解質因數（一）.... 312123k a a a a kn p p p p =⨯⨯⨯⨯其中為質數，12k a a a <<<為自然數，並且這種表示是唯一的.該式稱為n 的質因數分解式.例如：三個連續自然數的乘積是210，求這三個數.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知這三個數是5、6和7. 三、部分特殊數的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模組一、分解質因數【例 1】 分解質因數20034= 。
【考點】分解質因數 【難度】1星 【題型】填空【關鍵字】走美杯，決賽，5年級，決賽，第2題，10分【解析】 原式323753=⨯⨯⨯【答案】323753⨯⨯⨯【例 2】 三個連續自然數的乘積是210，求這三個數是多少？【考點】分解質因數 【難度】1星 【題型】填空【解析】 210分解質因數：2102357=⨯⨯⨯，可知這三個數是5、6和7。
2021年新初三数学北师大新版专题复习《因式分解》.docx
2021年新初三数学北师大新版专题复习《因式分解》选择题（共10小题）1.（2021春•沙坪坝区校级月考）多项式x i+6^y+9xy2与- 9^3的公因式是（）A.x（x+3y）2B. x（x+3y）C. xy（x+3y）D. x（x - 3y）2.（2021 春•高州市月考）已知：a=2020x+2019, Z?=2020x+2020, c=2020x+2021,则代数式a2+Z?2+c2- ab - ac - be的值为（）A.0B. 1C. 2D. 33.（2020 秋•梁平区期末）已知o=2018x+2018M=2018x+2019, c=2018x+2020,则a2+b2+c2-ab - ac - be的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 34.（2018秋•浦东新区期末）下列关于x的二次三项式中（加表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（）A. x2 - 2x+2B. 2X2 - mx+1C. x2 - 2x+mD. x2- mx - 15.（2018秋•海珠区校级期中）巳知a, b, c是△A3C的三条边长，且（a+b+c）（a - b）=0,则△ABC一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.以上均不对6.（2021春•西湖区校级期中）多项式??+ax+12分解因式为（x+〃z）（x+n）»其中a, m, n为整数，则a的取值有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个7.（2020秋•澄海区期末）已知长方形的周长为16%它两邻边长分别为yem,且满足（x - y）2 - 2x+2y+l=0,则该长方形的面积为（）cm2.A.鱼B. 21C. 15D. 164 28.对任意一个两位数"，如果"满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数:把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F"例如〃=23.互换十位与个位上的数字得到32,所得的新两位数与原两位数的和为23+32=55, 55：11 =5,所以F（23） =5.若s,f 都是“相异数”，其中s=10x+3, f=50+y （1W X W9, 1x, y都是正整数），当F（s）+F（/） =15时，则盘_的最大值为（）F（t）A.2B.旦2C.旦4D. 49.设。
第一章整除
它可以重作是整除的推广。同时也可以用带余除法定理来定义整除性，（即当余数r=0时）。带余除法可以将全体整数进行分类，从而可将无限的问题转化为有限的问题。这是一种很重要的思想方法，它为我们解决整除问题提供了又一条常用的方法。同时也为我们建立同余理论建立了基础。读者应熟知常用的分类方法，例如把整数可分成奇数和偶数，特别对素数的分类方法。例全体奇素数可以分成4k+1，4k+3；或6k+1，6k+5等类型。
（ ）=
设 则有[ ]=
素数是数论研究的核心，许多中外闻名的题目都与素数有关。除1外任何正整数不是质数即为合数。判断一个已知的正整数是否为质数可用判别定理去实现。判别定理又是证明素数无穷的关键。实际上，对于任何正整数n>1，由判别定理一定知存在素数p，使得p∣n。即任何大于1的整数一定存在一个素因数p。素数有几个属于内在本身的性质，这些性质是在独有的，读者可以用反例来证明：素数这一条件必不可少。以加深对它们的理解。其中p∣ab p∣a或
近几十年来，数论在计算机科学、组合数学，代数编码，信号的数字处理等领域内得到广泛的应用，而且许多较深刻的结果(包括一些近代的结果)都得到了应用．比如RSA密码系数已在美国大多数保密体系中使用，产生了深远的影响。
由于研究数论的方法不同，数论包括初等数论，代数数论，解析数论，乘法数论，超越数论，组合数论，计算数论，堆垒数论，数的几何及模形式理论等等。这些领域不仅可以丰富数学的理论宝库，而且推动整个基础数学研究的发展！
最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。
八年级数学上册《因式分解》教学设计反思
八年级数学上册《因式分解》教学设计反思第一篇：八年级数学上册《因式分解》教学设计反思一、教学设计及课堂实施情况の分析：本课の教学目の是：1、正确理解因式分解の概念，它与整式乘法の区别和联系.2、了解公因式概念和提公因式の方法。
3通过学生の自主探索，发现因式分解の基本方法，会用提公因式法把多项式进行因式分解.4、在探索提公因式法分解因式の过程中学会逆向思维，渗透化归の思想方法。
教学重点是：因式分解の概念，用提公因式分解因式.教学难点是：找出多项式中の公因式和公因式提出后另一个因式の确定.这是一节数学常规课，没有游戏和丰富の活动，在进行新课改の今天，这节课如何体现新课改の精神，就成了我思考の重点，这节课我是这样上の：在引入“因式分解”这一概念时是通过复习小学知识“因数分解”，因为因数分解学生已经掌握，由此提出因式分解の概念，一方面突出了多项式因式分解本质特征是一种式の恒等变形，另一方面也说明了它可以与因数分解进行类比，从而对因式分解の概念和方法有一个一整体の认识，也渗透着数学中の类比思想，此处の设计意图是类比方法の渗透。
接着让学生进行练习，进一步巩固因式分解の概念。
使学生进一步认识到因式分解与整式乘法の区别则通过把等号两边の式子互相转换位置而直观得出。
从上面几个式子中の练习中，让学生观察属于因式分解の那几个式子の共同特点，得出公因式の概念。
然后让学生通过小组讨论得到公因式の结构组成，进而总结出找公因式の方法，并且引导学生得出提取公因式法这一因式分解の方法其实就是将被分解の多项式除以公因式得到余下の因式の计算过程。
此处の意图是充分让学生自主探索，合作学习。
而实际上，学生の学习情绪还是调动起来了の。
通过小组讨论学习，尽管语言の组织方面不够完善，但是均可以得出结论。
接着通过例题讲解，使学生进一步认识到多项式可以有不同形式の表示，例题讲解の重点一是公因式の概念，如何去找公因式，二是公因式提出后，另一个因式是如何确定の。