洛必达法则巧解高考压轴题好东西PPT课件
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高数第三章第二节洛必达法则31页PPT
0
例8. 求 limxnlnx(n0).
x 0
解: 原式
lim
x0
ln x xn
1
lim
x0
n
x
xn1
lim ( xn) 0 x0 n
0型
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00
通分
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取倒数
取对数
0
转化
转化
转化
1
0
例9. 求 lim (sexctaxn).
原式
lim
x
nxn1
ex
xlimn(n21e)xxn2
xl imnne!x 0
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例6. 求xl im exnx (n0,0).
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
xk x n xk1
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习题解答 P139 1题(7)、（6）
2 用洛必达法则求下列极限 :
lntan7x (1) lim
x0 lntan2x
(2) lx iamxxmnaam(a0)
解 (1)式 x l i0m 7tsae2 77 x n cx2tsae2 22 x n cx
0型 0
解 原式 lx i0m taxxn3xlxim0se3c2xx21 xlimlx0i tm 0a32nxs22ex2c6xxtanxse213xc lxi m01t axtnxa2n x13 .
1 3
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时 ,
ln x,
高等数学PPT教学课件2_7洛必达法则
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
13
例7.
求 lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
xk xn xk1
从而 由(1)
f (x)
0型
0
F
1 2 ( x)
F
(
x)
lim
xa
f
1 2 ( x)
f
( x)
lim
xa
f (x) 2
F (x)
F ( x) f (x)
lim xa
f (x) 2 F (x)
lim
xa
F ( x) f (x)
1 lim f (x) lim F(x) xa F (x) xa f (x)
xk ex
xn ex
xk 1 ex
lim
x
xk ex
lim
x
xk 1 ex
0
lim
x
xn ex
0
用夹逼准则
14
说明:
1) 例6 , 例7 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
例6.
lim
ln x xn
从而
lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F(x)
12
例6. 求
型
《洛必达法则》课件
简化求导后的表达式，得出所 求的极限值。Байду номын сангаас
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
洛必达法则的证明过程
01 利用导数的定义和性质，证明洛必达法则在一定 条件下成立。
02
通过反证法，证明洛必达法则的正确性。
03 利用数学归纳法，证明洛必达法则在更广泛的情 况下成立。
03
洛必达法则的实例解析
洛必达法则在极限计算中的应用
总结词
洛必达法则是计算极限的重要工具，尤其在处理复杂函数或不定式时，通过求导简化计 算过程，得到极限值。
洛必达法则与其他方法的比较
01
02
03
与其他求极限的方法相 比，洛必达法则是比较
直接和简便的。
对于一些特殊问题，其 他方法可能更加适用， 例如泰勒级数、等价无
穷小等。
在使用洛必达法则时， 需要注意与其他方法的 结合使用，以便更好地
解决问题。
05
洛必达法则的习题与解 析
基础题目解析
总结词
掌握洛必达法则的基本应用
洛必达法则的推导过程
导数的定义和性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可加性、可乘性和 链式法则等性质。
洛必达法则的推导步骤
确定函数在所求点处的导数是 否存在。
对函数进行变形，使其满足洛 必达法则的形式。
利用导数的性质和极限的运算 法则，对分子和分母分别求导 。
详细描述
通过解析基础题目，了解洛必达法则的基本形式和适用条件，掌握如何利用洛 必达法则求解简单函数的极限。
进阶题目解析
总结词
提升对复杂函数极限的求解能力
详细描述
解析进阶题目，学会处理含有参数、复合函数、幂指函数等复杂情况的极限问题，进一步掌握洛必达法则的应用 技巧。
洛必达法则巧解高考压轴题(好东西)
许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问 题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的 题型.这类题目容易让学生想到用分离参数的方 法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在 高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决， 高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论 和假设反证的方法.
3.洛必达法则
虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方 法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂， 学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数
①当
x
0
时，
a
R
；②当
x
0
时，
ex
1
x
ax2
等价于
a
ex
1 x2
x
.
记
g(x)
ex
1 x2
x
x
(0，+)
，则
g
'( x)
(x
2)ex x3
x
2
.
记 h(x) (x 2)ex x 2 x (0，+) ，则 h '(x) (x 1)ex 1，当 x (0，+) 时， h ''(x) xex 0 ，
理
当 x 0 ，且 x 1时， f (x) ln x k ，即 ln x 1 ln x k ， x 1 x x 1 x x 1 x
也即 k
x ln x x 1
1 x
x ln x x 1
2x ln x 1 x2
1，记
g(x)
2x ln x 1 x2
1，
x
0 ，且
x
1
则
g
'( x)
2( x 2
1 x
（Ⅰ）设 a 0 ，讨论 y f x 的单调性；
3.洛必达法则
虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方 法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂， 学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数
①当
x
0
时，
a
R
；②当
x
0
时，
ex
1
x
ax2
等价于
a
ex
1 x2
x
.
记
g(x)
ex
1 x2
x
x
(0，+)
，则
g
'( x)
(x
2)ex x3
x
2
.
记 h(x) (x 2)ex x 2 x (0，+) ，则 h '(x) (x 1)ex 1，当 x (0，+) 时， h ''(x) xex 0 ，
理
当 x 0 ，且 x 1时， f (x) ln x k ，即 ln x 1 ln x k ， x 1 x x 1 x x 1 x
也即 k
x ln x x 1
1 x
x ln x x 1
2x ln x 1 x2
1，记
g(x)
2x ln x 1 x2
1，
x
0 ，且
x
1
则
g
'( x)
2( x 2
1 x
（Ⅰ）设 a 0 ，讨论 y f x 的单调性；
【优质文档】用洛必达定理来解决高考压轴题
x0
e
2x
lim
x0
e
2
1
，
2
故a 1 2
综上，知 a 的取值范围为
1 ,
。
2
2 ．（ 20XX 年全国新课标理）已知函数，曲线
y f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为
x 2y 3 0。 （Ⅰ）求 a 、 b 的值； （Ⅱ）如果当 x 0 ，且 x 1 时， f ( x) ln x k ，求 k 的取值范围。 x1 x
原解：（Ⅰ） f '( x)
( x 1 ln x) x
b
( x 1)2
x2
由于直线 x 2 y 3 0 的斜率为
1
，且过点
(1,1)，故
2
f (1) 1,
f '(1)
1即 ,
2
b 1,
a
1
b
,
2
2
解得 a 1， b 1。
ln x 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f ( x)
，所以
x1 x
ln x k 1
(k 1)(x2 1)
,1
2
原解在处理第（ II ）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解 :（ II ）当 x 0 时， f (x) 0，对任意实数 a,均在 f (x) 0 ；
x
e 当 x 0时， f (x) 0等价于 a
x1
2
x
x
令
gx
e x1 2
(x>0),
则
x
g ( x)
x
x
xe 2e x 2
3
x
，令
x
x
h x xe 2e x
e
2x
lim
x0
e
2
1
，
2
故a 1 2
综上，知 a 的取值范围为
1 ,
。
2
2 ．（ 20XX 年全国新课标理）已知函数，曲线
y f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为
x 2y 3 0。 （Ⅰ）求 a 、 b 的值； （Ⅱ）如果当 x 0 ，且 x 1 时， f ( x) ln x k ，求 k 的取值范围。 x1 x
原解：（Ⅰ） f '( x)
( x 1 ln x) x
b
( x 1)2
x2
由于直线 x 2 y 3 0 的斜率为
1
，且过点
(1,1)，故
2
f (1) 1,
f '(1)
1即 ,
2
b 1,
a
1
b
,
2
2
解得 a 1， b 1。
ln x 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f ( x)
，所以
x1 x
ln x k 1
(k 1)(x2 1)
,1
2
原解在处理第（ II ）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解 :（ II ）当 x 0 时， f (x) 0，对任意实数 a,均在 f (x) 0 ；
x
e 当 x 0时， f (x) 0等价于 a
x1
2
x
x
令
gx
e x1 2
(x>0),
则
x
g ( x)
x
x
xe 2e x 2
3
x
，令
x
x
h x xe 2e x
第4章6洛必达法则 ppt课件
e
1 x2
lim
x0
x100
lxim0 x1100 ex2
lim
x0
100
2 x3
x 101
1
e x2
Байду номын сангаас
lim
x0
50
x 98
1
50次
lx im0501! 0
e x2
ex2
利用倒数法或取对数法将其它 的不定型转化为可以运用罗必 达法则计算.
例9 求limxlnx. 0 用另一种形式
x0
颠倒行不行 ?
2lx im 0xxs3inx2lx im 013cx2oxs
1 x2
2
lim
x0
2 3x2
1 3
1cosx~1x2 2
例7
求 xl im exanx,a0,nZ.
解
xl imexanx xl imnaxenax1
如果 n 不是 正整数 , 怎 么办？
k n k 1 kZ
夹逼定理
xl imn(na2e1)axxn2
0 0
lim xlnx
0
x1xlnxx1 0
limlnx1 1 x 1lnx11 2
例11 求xl im 2arctxaln 1nx.
00
解 运用取对数法 ：
xl im 2arctxanl1nx
lim ex {p 1ln (arcx)} ta0n x ln x 2
{ } ln(arctxa) n
解
( )( ) n l i 1 m 1 n n 1 2n x l i 1 m 1 x x 1 2x
expxlimln(111x
1 x2
)
《洛必达法则》课件
夹逼准则是另一种常用的求极限的方法，它通过比较两个函数的极限来求解所 求函数的极限。相比之下，洛必达法则更适用于处理导数存在的情况。
05
洛必达法则的习题和练习
基础习题
总结词
考察基本概念和简单应用
详细描述
包括选择题、填空题等，主要测试学 生对洛必达法则的基本概念和简单应 用的掌握程度。
进阶习题
总结词
。
判断函数f(x)=x^3的单调性 。根据洛必达法则，对f(x)求 导得到f'(x)=3x^2，在实数范 围内恒大于0，因此函数f(x)
在实数范围内单调增加。
通过求导并利用洛必达法则 ，我们可以判断函数的单调 性，这对于理解函数的性质 和解决相关问题非常重要。
洛必达法则在求曲线的切线中的应用
01 总结词
《洛必达法则》ppt 课件
目录
• 洛必达法则简介 • 洛必达法则的推导过程 • 洛必达法则的实例解析 • 洛必达法则的注意事项 • 洛必达法则的习题和练习
01
洛必达法则简介
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则由法国数学家洛必达 在17世纪末发现。
该法则在微积分学中占有重要地 位，为解决一些极限问题提供了
洛必达法则的推导步骤
总结词：过程
详细描述：洛必达法则是通过一系列的推导步骤得出的，包括对函数极限的求解、导数的计算、以及利用导数性质进行变换 等。
洛必达法则的证明过程
总结词：严谨
详细描述：洛必达法则的证明过程需要严谨的数学推理和证明，包括对导数定义和性质的运用、对极 限存在性的证明等。
03
洛必达法则的实例解析
简便的方法。
经过后续数学家的不断发展和完 善，该法则逐渐成为微积分学中
的基本定理之一。
05
洛必达法则的习题和练习
基础习题
总结词
考察基本概念和简单应用
详细描述
包括选择题、填空题等，主要测试学 生对洛必达法则的基本概念和简单应 用的掌握程度。
进阶习题
总结词
。
判断函数f(x)=x^3的单调性 。根据洛必达法则，对f(x)求 导得到f'(x)=3x^2，在实数范 围内恒大于0，因此函数f(x)
在实数范围内单调增加。
通过求导并利用洛必达法则 ，我们可以判断函数的单调 性，这对于理解函数的性质 和解决相关问题非常重要。
洛必达法则在求曲线的切线中的应用
01 总结词
《洛必达法则》ppt 课件
目录
• 洛必达法则简介 • 洛必达法则的推导过程 • 洛必达法则的实例解析 • 洛必达法则的注意事项 • 洛必达法则的习题和练习
01
洛必达法则简介
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则由法国数学家洛必达 在17世纪末发现。
该法则在微积分学中占有重要地 位，为解决一些极限问题提供了
洛必达法则的推导步骤
总结词：过程
详细描述：洛必达法则是通过一系列的推导步骤得出的，包括对函数极限的求解、导数的计算、以及利用导数性质进行变换 等。
洛必达法则的证明过程
总结词：严谨
详细描述：洛必达法则的证明过程需要严谨的数学推理和证明，包括对导数定义和性质的运用、对极 限存在性的证明等。
03
洛必达法则的实例解析
简便的方法。
经过后续数学家的不断发展和完 善，该法则逐渐成为微积分学中
的基本定理之一。
洛必达法则 (2)ppt课件
9
洛必达法则
f 1 lim z z0 F 1
lim
x
f ( x) F ( x)
A
z
注 对x (), 定理2成立;
例
求
lim
x
2
arctan x sin 1
.
(
0 0
)
x
1
解
原式
lim
x
1 1
x2
1
1
x2 cos x
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
(1)只有 0 或 的未定式, 才可能用法则, 只要是
练习
求
lim(
x1
2 x2
1
1 ). x 1
()
解
原式
lim
x1
2 x 1 x2 1
(
0 0
)
lim
x1
1 2x
1. 2
21
洛必达法则
三、00 ,1 ,0型未定式
步骤: 00 e0ln0 0
1 eln1 0
0 e0ln 0
例 求 lim x x . ( 00 ) x0
解
x x3
1
x
.
(
0 0
)
sin x 1
解 原式 lim x0
2 3x2
1 x
.
8
洛必达法则
定理2 设(1) lim f ( x) 0(或),lim F( x) 0(或);
x
x
(2)当 x N时, f ( x)和F( x)可导,且F( x) 0;
(3) lim f ( x) A (或为); x F ( x)
原式
lim
新高考数学二轮复习洛必达法则专项复习课件
解 当x＝0时，f(x)＝0，对任意实数a都有f(x)≥0； 当 x>0 时，由 f(x)≥0 得，a≤ex－x12－x， 设 g(x)＝ex－x12－x(x>0)，则 g′(x)＝xex－2exx3＋x＋2， 令h(x)＝xex－2ex＋x＋2(x>0)，
则h′(x)＝xex－ex＋1，
记φ(x)＝h′(x)，则φ′(x)＝xex>0， ∴h′(x)在(0，＋∞)上为增函数，且当x→0时，h′(x)→0， ∴h′(x)>0，
索引
连续两次使用洛必达法则，得 g(x)＝ xex＋xeexx－1＝
故
1 g(x)>2(x>0).
故当 0≤a≤12，x≥0 时，1－e－x≤axx＋1恒成立，
综上，a 的取值范围是0，21.
xxeexx＋＋2eexx＝12，
索引
训练 2 若不等式 sin x＞x－ax3 对于 x∈0，π2恒成立，求 a 的取值范围.
索引
∞ (2)∞型 若函数 f(x)和 g(x)满足下列条件： ① f(x)＝∞及 g(x)＝∞；②在点 a 的某去心邻域内，f(x)与 g(x)可导且 g′(x)≠0；③ gf′′（（xx））＝A，那么 gf（（xx））＝ gf′′（（xx））＝A. 注意：高中阶段能使用洛必达法则的题目一般都能使用分类讨论，但分类讨论难 度较大，所以可采用分参求最值的方式，一般大题中对使用洛必达法则的赋分可 能因标准不同而不同.
微专题44 洛必达法则
题型聚焦 分类突破 高分训练 对接高考
洛必达法则 (1)00型 若函数 f(x)和 g(x)满足下列条件： ① f(x)＝0 及 g(x)＝0；②在点 a 的某去心邻域内，f(x)与 g(x)可导且 g′(x)≠0； ③ gf′′（（xx））＝A，那么 gf（（xx））＝ gf′′（（xx））＝A.
则h′(x)＝xex－ex＋1，
记φ(x)＝h′(x)，则φ′(x)＝xex>0， ∴h′(x)在(0，＋∞)上为增函数，且当x→0时，h′(x)→0， ∴h′(x)>0，
索引
连续两次使用洛必达法则，得 g(x)＝ xex＋xeexx－1＝
故
1 g(x)>2(x>0).
故当 0≤a≤12，x≥0 时，1－e－x≤axx＋1恒成立，
综上，a 的取值范围是0，21.
xxeexx＋＋2eexx＝12，
索引
训练 2 若不等式 sin x＞x－ax3 对于 x∈0，π2恒成立，求 a 的取值范围.
索引
∞ (2)∞型 若函数 f(x)和 g(x)满足下列条件： ① f(x)＝∞及 g(x)＝∞；②在点 a 的某去心邻域内，f(x)与 g(x)可导且 g′(x)≠0；③ gf′′（（xx））＝A，那么 gf（（xx））＝ gf′′（（xx））＝A. 注意：高中阶段能使用洛必达法则的题目一般都能使用分类讨论，但分类讨论难 度较大，所以可采用分参求最值的方式，一般大题中对使用洛必达法则的赋分可 能因标准不同而不同.
微专题44 洛必达法则
题型聚焦 分类突破 高分训练 对接高考
洛必达法则 (1)00型 若函数 f(x)和 g(x)满足下列条件： ① f(x)＝0 及 g(x)＝0；②在点 a 的某去心邻域内，f(x)与 g(x)可导且 g′(x)≠0； ③ gf′′（（xx））＝A，那么 gf（（xx））＝ gf′′（（xx））＝A.