重庆市巴蜀中学高二数学下学期期中试题文(含解析)

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高二数学下学期期中试题文含解析 15

一中2021--2021学年度高二年级第二学期期中考试数学〔文〕试题一、选择题：在每一小题列出的四个选项里面，只有一项最符合要求的.{|24}A x x =-<<，{|2}B x x =≥，那么()R A C B =〔〕A. (2,4)B. (2,4)-C. (2,2)-D. (2,2]-【答案】C 【解析】集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，R C B {}|2x x =< 那么()()2,2R A C B ⋂=-. 故答案为：C. z 满足1zi i=-，其中i 为虚数单位，那么一共轭复数z =〔〕 A. 1i + B. 1i -C. 1i --D. 1i -+【答案】B 【解析】()2i,i 1i i i 1i,1izz =∴=-=-=+-1i z ∴=-，应选B.3.小敏翻开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，那么小敏输入一次密码可以成功开机的概率是 A.815B.18C.115D.130【答案】C 【解析】试题分析：开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I ，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N ，一共15种可能，所以小敏输入一次密码可以成功开机的概率是115，应选C ．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的根本领件只有有限个；②每个根本领件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式()mP A n=〔其中n 是根本领件的总数，m 是事件A 包含的根本领件的个数〕得出的结果才是正确的．ABC ∆中，假设2,45BC AC B ===︒，那么角A 等于〔〕A. 30︒B. 60C. 120D. 150【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可求A 的大小.注意用“大边对大角〞来判断角的大小关系.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=，所以sin A =所以1sin 2A =，因BC AC <，所以45A B <=︒，故A 为锐角，所以30A =︒，应选A.【点睛】三角形中一共有七个几何量〔三边三角以及外接圆的半径〕，一般地，知道其中的三个量〔除三个角外〕，可以求得其余的四个量.〔1〕假如知道三边或者两边及其夹角，用余弦定理；〔2〕假如知道两边即一边所对的角，用正弦定理〔也可以用余弦定理求第三条边〕；〔3〕假如知道两角及一边，用正弦定理.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为10，点(2,1)P 在C 的一条渐近线上，那么C 的方程为〔〕A. 221205x y -=B. 221520x y -=C. 2218020x y -=D. 2212080x y -=【答案】A 【解析】【分析】先求出渐近线的方程为by x a=±，代入P 后可得,a b 关系，结合5c =可得,a b 的值，从而得到双曲线的方程.【详解】双曲线的渐近线的方程为by x a=±，代入()2,1P 可得2a b =，又5c =且222c b a =+，所以a b ==，故双曲线的方程为221205x y -=，选A.【点睛】求双曲线的方程，关键是根本量,,a b c 确实定，方法有待定系数法、定义法等.前者可根据题设条件得到关于根本量的方程组，解方程组后可得双曲线的方程，后者可利用定义〔第一定义、第二定义等〕得到根本量的大小，然后直接得到双曲线的方程.0ω>，函数cos()3y x πω=+的图像向右平移3π个单位长度后关于原点对称，那么ω的最小值为〔〕 A.112B.52C.12D.32【答案】B 【解析】【分析】求出平移后的图像对应的解析式，再利用其关于原点对称得到ω满足的等式，从而可求其最小值.【详解】函数cos()3y x πω=+的图像向右平移3π个单位长度后，对应图像的解析式为()cos()33g x x πωπω=+-，因为()g x 的图像关于原点对称，所以,332k k Z πωπππ-=+∈，故13,2k k Z ω=--∈，因0ω>，故ω的最小值为52，应选B. 【点睛】一般地，假如()()cos (0)f x A x A ωϕ=+≠为奇函数，那么,2k k Z πϕπ=+∈，假如()f x 为偶函数，那么,k k Z ϕπ=∈.7.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A. 44B. 32C. 10617+D.22617+【答案】D 【解析】【分析】复原出对应的几何体后根据三视图中的数据可得其外表积.【详解】三视图对应的几何体为四棱锥，其底面为矩形，顶点在底面上的投影为矩形对角线的交点〔如下图〕，且6AB =，2BC =，高4PO =，故,PAD PBC ∆∆1695+=，,PAB PDC ∆∆底边上的高为16117+=，四棱锥的外表积为112252617622261722⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，应选D.【点睛】此题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系及相应的数量关系．8.132a -=，21211log ,log 33b c ==，那么〔〕 A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. c b a >>【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的单调性比拟大小.【详解】因为0<a ＝132-<1，b ＝log 213<0，c ＝121log 3>121log 2＝1，所以c >a >b . 【点睛】此题考察指数式、对数式的大小的比拟，是根底题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用()f x =12cos 12xxx ⎛⎫- ⎪+⎝⎭的图象大致为〔〕 A. B.C. D.【答案】C 【解析】由函数的解析式，当2x π=时,是函数的一个零点,属于排除A,B,当x∈(0,1)时，cosx>0，12012xx-<+,函数f(x) <0，函数的图象在x 轴下方，排除D. 此题选择C 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、挑选选项．{}n a 满足111,2n n n a a a +==+，那么10a =〔〕A. 1024B. 1023C. 2048D. 2047【答案】B 【解析】a n +1=a n +2n ；∴a n +1−a n =2n ；∴(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+…+(a 10−a 9)=2+22+…+29=()921212--=1022；∴a 10−a 1=a 10−1=1022； ∴a 10=1023. 此题选择B 选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜测出数列的一个通项公式；②将递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或者用累加法、累乘法、迭代法求通项．11.如图，12,F F 是椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，线段2PF 与圆相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，那么椭圆的离心率为〔〕A.53B.355 D.25【答案】A 【解析】【分析】利用Q 为2PF 的中点及2PF OQ ⊥可得12PF b =且12PF F ∆为直角三角形，故可得,,a b c 的等式关系，从这个等式关系进一步得到32b a =，消去b 后可得离心率. 【详解】连接1,PF OQ ，因为线段2PF 与圆相切于点Q ，故2PF OQ ⊥，因12F O OF =，点Q 为线段2PF 的中点，故1PF OQ 且122PF OQ b ==，故222PF a b =-，又12PF PF ⊥，故()2222244444b a b c a b +-==-，整理得到32b a =，所以()22294a c a-=，所以5c e a ==，应选A.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，那么需要利用坐标的范围、几何量的范围或者点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或者不等式组．()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为'()f x ，假设对任意的正实数x ，都有'()2()0xf x f x +>恒成立，且2)1f =，那么使2()2x f x <成立的实数x 的集合为〔〕A. (,2)(2,)-∞+∞B. (2,2)C. (2)-∞D. 2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】构建新函数()()2g x x f x =，可证它是偶函数且为()0,∞+上的增函数，故可得实数x 满足的不等式组，从而得到原不等式的解集.【详解】令()()2g x x f x =，那么()()()()()()2''2'2g x x f x xf x x xf x f x =+=+，故当0x >时，有()'0g x >，所以()g x 在()0,∞+上的增函数，又()()()()22g x x f x x f x g x -=-==，故()g x 为R 上的偶函数.且()g x 在(),0-∞上的减函数，又2()2x f x <等价于()(2g x g<，所以0x =或者0x x ⎧<⎪⎨≠⎪⎩，综上，实数x的集合(，应选B.【点睛】假如题设中有关于函数()f x 及其导数()'f x 的不等式，我们应详细该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规那么.二、填空题.()3,4a =-，()2,4b m =，假设向量23a b -与b 一共线，那么实数m = _________．【答案】32- 【解析】【分析】先求出23a b -的坐标，利用向量一共线的坐标形式可得m 的值.【详解】因为()2366,4a b m -=---，所以()()66424m m --⨯=⨯-，故32m =-，填32-. 【点睛】假如()()1122,,,a x y b x y ==，那么：〔1〕假设//a b ，那么1221x y x y =；〔2〕假设a b ⊥，那么12120x x y y +=.,x y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，那么2z x y =-+的最大值是_________．【答案】1 【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，平挪动直线20x y z -+=可得z 的最大值. 【详解】不等式组对应的可行域如图阴影部分所示：当动直线20x y z -+=过A 时，z 有最大值，由1y y x =-⎧⎨=⎩可得()1,1A --，故max 1z =，填1.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比方34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍，而21y x +-那么表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率．15.,a b 为正实数且1ab =，假设不等式()()a bx y M x y++>对任意正实数,x y 恒成立，那么M 的取值范围是_________．【答案】(,4)-∞ 【解析】【分析】两次用根本不等式可求得4M <. 【详解】原不等式等价于ay bx a b M x y+++>恒成立，由根本不等式可知ay bxa b a b x y+++≥++=时等号成立，故M a b <++，又4a b ++≥==，当且仅当1a b ==时等号成立，故4M <，填(,4)-∞.【点睛】应用根本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等〞，假如原代数式中没有积为定值或者和为定值，那么需要对给定的代数变形以产生和为定值或者积为定值的部分构造.求最值时要关注取等条件的验证.16.21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，那么方程[]()3f f x =的根的个数是_________．【答案】5 【解析】【分析】令()t f x =，先求出()3f t =的解为3t e -= 或者3t e =，再分别考虑()3f x e-=和()3f x e =的解，从而得到原方程解的个数.【详解】令()t f x =，先考虑()3f t =的解，它等价于2130t t +=⎧⎨≤⎩或者ln 30t t ⎧=⎨>⎩，解得3t e -= 或者3t e =，再考虑()3f x e -=，它等价于3210x e x -⎧+=⎨≤⎩或者3ln 0x e x -⎧=⎨>⎩，前者有1个解，后者有两个解；再考虑()3f x e =的解，它等价于3210x e x ⎧+=⎨≤⎩或者3ln 0x e x ⎧=⎨>⎩，前者无解，后者有两个不同的解且与()3f x e -=的解不重复，综上原方程有5个不同的实数解.【点睛】求复合方程()g f x m =⎡⎤⎣⎦的解的个数问题，其本质就是方程组()()g t mt f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩的解的个数问题，先利用导数或者初等函数的性质等工具刻画g t 的图像特征并考虑()g t m =的解12,,t t t = ，再利用导数或者初等函数的性质等工具刻画()f x 的图像特征并考虑()12,f x t t =的解情况，诸方程解的个数的总和即为原方程解的个数.三．解答题.17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos 2a cA b+=．〔1〕求B ；〔2〕假设2b a ==，求c 及ABC ∆的面积S ．【答案】〔1〕2π3B =〔2〕2【解析】【分析】〔1〕方法一：利用正弦定理将边化角，利用三角形内角和及和角的正弦公式求出。

重庆市巴蜀中学2019_2020学年高二数学下学期月考试题含解析

重庆市巴蜀中学2019-2020学年高二数学下学期月考试题（含解析）一、选择题.（共12题，每题5分，共60分.每题只有一个正确选项） 1.甲、乙两人比赛下中国象棋，若甲获胜的概率是13，下成和棋的概率是12，则乙获胜的概率是（） A.56B.23C. 13D.16【答案】D 【解析】【分析】根据概率性质可知所有可能的概率和为1，即可得解.【详解】甲、乙两人比赛下中国象棋，结果有三种：甲胜，和局，乙胜. 由概率性质可知，三种情况的概率和为1，所以乙获胜的概率为1111236--=，故选：D.【点睛】本题考查了概率性质的简单应用，属于基础题.2.设随机变量X 服从两点分布，若()()100.2P X P X =-==，则成功概率()1P X ==（） A. 0.2 B. 0.4C. 0.6D. 0.8【答案】C 【解析】【分析】根据两点分布概率性质可得解.【详解】随机变量X 服从两点分布，()()100.2P X P X =-==，根据两点分布概率性质可知：()()()()100.2101P X P X P X P X ⎧=-==⎪⎨=+==⎪⎩，解得()10.6P X ==，故选：C.【点睛】本题考查了两点分布概率性质的简单应用，属于基础题.3.甲、乙两位同学将最近10次物理考试的成绩（满分100分）绘制成如图所示的茎叶图进行比较，下列说法正确的是（）①甲同学平均成绩低于乙同学 ②甲同学平均成绩高于乙同学 ③甲同学成绩更稳定 ④乙同学成绩更稳定 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④【答案】A 【解析】【分析】根据茎叶图中数据分布特征，即可做出判断.【详解】由茎叶图可知，甲组数据整体值偏小，乙组的数据整体值偏大，因而甲同学平均成绩低于乙同学，所以①正确；而甲组数据分布更为集中，乙组数据分布较为分散，因而甲同学成绩更稳定，所以③正确；综上可知，正确的为①③；故选：A.【点睛】本题考查了茎叶图的性质及简单应用，数据分析处理能力，属于基础题.4.记5250125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则12345a a a a a ++++=（）A. 64B. 63C. 32D. 31【答案】D 【解析】【分析】利用赋值法即可得解.【详解】5250125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，令0x =，代入可得01a =，令1x =，代入可得5012345232a a a a a a +++++==，所以5123450231a a a a a a ++++=-=，故选：D.【点睛】本题考查了二项展开式中项的系数和求法，赋值法的应用，属于基础题. 5.某校高一、高二、高三年级人数比为7:8:10，现按分层抽样的方法从三个年级一共抽取150人来进行某项问卷调查，若每人被抽取的概率是0.04，则该校高二年级人数为（） A. 1050 B. 1200C. 1350D. 1500【答案】B 【解析】【分析】根据分层抽样的抽样比，可得高二年级抽取的人数，即可由没人被抽到的概率得高二年级人数.【详解】高一、高二、高三年级人数比为7:8:10，现按分层抽样的方法从三个年级一共抽取150人来进行某项问卷调查，则高二年级抽取的人数为8150=487+8+10⨯ 人，设高二年级人数为x ，则480.04x= ，解得1200x = ，所以高二年级人数1200 人，故选：B.【点睛】本题考查了分层抽样的简单应用，属于基础题.6.演讲社团里现有水平相当的4名男生和5名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加“最美逆行者”的演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（） A. 140种 B. 80种C. 70种D. 35种【答案】C 【解析】【分析】分类讨论，选出3名同学分别为1男2女，2男1女两种情况，即可得解. 【详解】选出3名同学既有男生又有女生有2种情况： 1男2女，则1245544402C C ⨯=⨯=;2男1女，则214543530 2C C⨯=⨯=；所以共有403070+=种不同选法.故选：C.【点睛】本题考查了组合问题的简单应用，属于基础题.7.同时抛掷4枚质地均匀的硬币400次，记4枚硬币中恰好2枚正面向上的次数为X，则X 的数学期望是（）A. 25B. 100C. 150D. 200【答案】C【解析】【分析】根据独立重复试验，先求得4枚硬币中恰好2枚正面向上的概率，即可求得抛掷硬币400次恰好2枚正面向上的数学期望.【详解】由独立重复试验可知，同时抛掷4枚质地均匀的硬币，4枚硬币中恰好2枚正面向上的概率为222411113622448 C⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二项分布的期望求法可知抛掷硬币400次恰好2枚正面向上的数学期望为3 4001508⨯=，故选：C.【点睛】本题考查了独立重复试验概率求法，二项分布数学期望的求法，属于基础题.8.某高校需安排5位应届毕业生到3家企业实习，每家企业至少有1位实习生，并且实习生甲和乙必须去同一家企业实习，则不同实习安排方式共有（）A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】D【解析】【分析】根据题意将甲乙捆绑看作一个整体，再与剩余3人一起分成三组，即可由排列组合的应用求解.【详解】因为甲和乙必须去同一家企业实习，则将甲乙捆绑作为一个整体，则共有4组人需要安排到3家企业实习，将四组人分为3组，则为1,1,2，因为出现重复的一组，所以总的安排方法数为1134332243321362C C A A ⨯⨯⨯⨯== 种，故选：D.【点睛】本题考查了排列组合问题在实际问题中的应用，注意分组时出现重复的情况，属于中档题. 9.设(5nx 的展开式中各项系数之和为a ，二项式系数之和为b ，且3132a b -=，则展开式中有理项共有（） A. 2项 B. 3项C. 4项D. 5项【答案】B 【解析】【分析】利用赋值法可求得各项系数之和a ，由二项定理展开式性质可得二项式系数之和b ，结合3132a b -=即可求得n 的值，进而由二项定理展开式的通项求得有理项个数.【详解】二项式为(5nx ，展开式中各项系数之和为a ，令1x =，代入可得4n a =，二项式系数之和为b ，则2n b =，因为3132a b -=，所以431232nn-⨯=，即()22312320n n -⨯-=，所以()()232210n n-+=，解得5n =，所以(55x ，由二项定理展开式的通项为()(5155r r r r T C x -+= ()()1552515r r r r C x--=-⋅⋅，当0,2,4r =时为有理项，所以共有3项有理项，故选：B.【点睛】本题考查了二项定理展开式的系数与二项式系数的概念，二项展开通项式的应用，有理项的求法，属于中档题.10.6支钢笔中有4支为正品，2支为次品，现需要通过检测将其进行区分，每次随机抽出一支钢笔进行检测，检测后不放回，直到完全将正品和次品区分开，用X表示直到检测结束时检测进行的次数，则()4P X==（）A.415B.715C.2881D.1027【答案】A【解析】【分析】完全将正品和次品区分开且4x=，有2种情况：前四次检测均为正品；前三次检测有1次次品，第四次检测为次品，即可根据概率求解.【详解】为将正品和次品区分开且4x=，有2种情况：前四次检测均为正品；前三次检测有1次次品，第四次检测为次品，概率分别为：前四次检测均为正品：43211 654315⨯⨯⨯=；第一次检测为次品，第四次检测为次品，则24311 654315⨯⨯⨯=；第二次检测为次品，第四次检测为次品，则42311 654315⨯⨯⨯=；第三次检测为次品，第四次检测为次品，则43211 654315⨯⨯⨯=；所以用X表示直到检测结束时检测进行的次数，则()14441515P X==⨯=，故选：A.【点睛】本题考查了分类、分步计数原理的应用，概率的求法，属于基础题.11.已知A学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，B学校有10位数学老师，其中3位男老师，7位女老师，为了实现师资均衡，现从A学校任意抽取一位数学老师到B学校，然后从B学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课，则在A学校抽到B学校的老师是男老师的情况下，从B学校抽取到市里上公开课的也是男老师的概率是（）A. 23B.47C.411D.311【答案】A 【解析】【分析】当在A 学校抽到B 学校的老师是男老师时，B 学校男老师和总老师的数量可知，进而可求得从B 学校抽取到市里上公开课的也是男老师的概率【详解】设A 学校抽到B 学校的老师是男老师事件为M ，B 学校抽取到市里上公开课的是男老师事件为N ，A 学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，因而A 学校抽到B 学校的老师是男老师的概率为()93155P M ==；从B 学校抽取到市里上公开课的也是男老师的概率为()31410111P N +==+，因而由条件概率公式可得()()()411P M N P N M P M ⋅==, 故选：C.【点睛】本题考查了条件概率的简单应用，条件概率的求法，属于基础题.12.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下：数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示. （如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（）A. 87B. 95C. 100D. 103【答案】D 【解析】【分析】将6根火柴能表示数字的搭配列举出来，再根据数的排列特征即可得解. 【详解】用6根火柴表示数字，所有搭配情况如下：1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的数为1；5根火柴可表示的数为8，和0一起，能表示的数共有4个（108,180,801,810）.2根火柴和4根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数有1248C ⨯= 个.3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数分为2类：除0外的两个数字相同，可表示的数有1248C ⨯=个；除0外的两个数字不同，则有24424C ⨯=个，所以共有82432+= 个.1根火柴、1根火柴和4根火柴：即有1、1、7组成的数，共有3个（117,171,711）. 1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1,2或5中的一个，3、4、6、9中的一个数字组成的三位数，共有113243243248C C A =⨯⨯⨯= 个.2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5组成的三位数，分为两类：三个数字都相同，共有2个（222,555）；三个数字中的两个数字相同，则有1236C ⨯=个，共有268+= 个. 综上可知，可组成的三位数共有48323488103+++++= 个. 故选：D.【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，分类、分步计数原理的应用，注意分类时要做到“不重不漏”，属于难题.二、填空题.（共4题，每题5分，共20分） 13.已知()1D X =，21Y X =-，则()D Y =______. 【答案】4 【解析】【分析】根据随机变量方差性质及公式即可得解. 【详解】()1D X =，21Y X =-，则()21D X -，所以()()22124D X D X -==，故答案为：4.【点睛】本题考查了随机变量方差性质及公式的简单应用，属于基础题. 14.()()5121x x ++的展开式中3x 的系数为______.【答案】30 【解析】【分析】将多项式展开，结合二项定理展开式的通项即可求解. 【详解】()()()()555121121x x x x x ++=+++，则()51x +展开式中3x 的系数为2554102C ⨯==， ()521x x +展开式中3x 的系数即为()51x +展开式中2x 的系数乘以2，所以355422202C ⨯⨯=⨯=，所以()()5121x x ++的展开式中3x 的系数为102030+=，故答案为：30.【点睛】本题考查了多项式乘积系数的求法，二项定理展开式通项的应用，属于基础题. 15.有7人站成一排照相，要求A ，B 两人相邻，C ，D ，E 三人互不相邻，则不同的排法种数为______. 【答案】288 【解析】【分析】将A 、B 捆绑作为一个整体排列，再与剩余2人全排列，C 、D 、E 三人插空排列即可. 【详解】将A 、B 捆绑作为一个整体排列为22A ，将A 、B 整体与剩余2人全排列则33A ，再将C 、D 、E 三人插入4个空位排列，则34A ，所以总的排列方法有233234232432288A A A =⨯⨯⨯⨯⨯= 种，故答案为：288.【点睛】本题考查了排列中相邻、不相邻问题的解法，属于中档题.16.对于数列{}n x ，若123n x x x x ≤≤≤⋅⋅⋅≤，则称数列{}n x 为“广义递增数列”，若123n x x x x ≥≥≥≥，则称数列{}n x 为“广义递减数列”，否则称数列{}n x 为“摆动数列”.已知数列{}n a 共4项，且{}()1,2,3,41,2,3,4i a i ==，则数列{}n a 是摆动数列的概率为______. 【答案】95128【解析】【分析】根据数列的元素，先根据数列中数字的组成求得所有的数列，再将符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数分类求得，即可求得“摆动数列”的个数，进而求得数列{}n a 是摆动数列的概率.【详解】根据题意可知，{}()1,2,3,41,2,3,4i a i ==，则四位数字组成的数列有以下四类：（1）由单个数字组成：共有4个数列；（2）由2个数字组成：则共有246C =种数字搭配，每种数字搭配又分为两种情况：由1个数字和3个相同数字组成4个数的数列（如1222,2111等），则有1248C ⨯=个数列；分别由2个相同数字组成的4个数的数列（如1122等）共有6个数列，因而此种情况共有()248684C +=种；（3）由3个数字组成：共有344C =种数字搭配（如1123等），相同数字有3种可能，则共有4312144⨯⨯=个数列；（4）由4个数字组成：共有44432124A =⨯⨯⨯=个数列. 因而组成数列的个数为48414424256+++=个数列.其中，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数分别为：（1）由单个数字组成：4个数列均符合“广义递增数列”或“广义递减数列”，因而有4个数列；（2）由2个数字组成：满足“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为()2422236C ⨯++= 个；（3）由3个数字组成：1143224C C ⨯=个；（4）由4个数字组成：则有2个数列符合“广义递增数列”或“广义递减数列”，综上可知，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为66个. 所以“摆动数列”的个数为25666190-=个，因而数列{}n a 是摆动数列的概率为19095256128=，故答案为：95128. 【点睛】本题考查了数列新定义的综合应用，数字排列的综合应用，概率的求法，分类过程较为繁琐，属于难题.三、解答题.（共6小题，共70分，请在答题卡上写出必要的解答过程）17.小蔡参加高二1班“美淘街”举办的幸运抽奖活动，活动规则如下：盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，小蔡需从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序分别作为一个三位数的百位、十位与个位. （1）一共能组成多少个不同的三位数？（2）若组成的三位数是大于500的偶数，则可以获奖，求小蔡获奖的概率. 【答案】（1）120（2）16【解析】【分析】（1）由抽取的三位数各不相同，可由排列数公式求得组成不同三位数的个数.（2）分别求得百位为5和百位为6的偶数个数，结合（1）即可求得可以获奖的概率. 【详解】（1）因为抽取的三位数各不同，因而组成三位数的总数为36654120A .（2）若百位为5，则个位可以为2、4、6中一个，十位可以是剩余4个数字中的一个，则有113412C C ⨯=个；若百位为6，则个位可以为2、4中的一个，十位可以是剩余4个数字中的一个，则有11248C C ⨯=个，∴大于500的偶数的概率为12811206P +==. 【点睛】本题考查了排列组合问题的简单应用，数字排列的特征及应用，属于基础题.18.某校高二年级共有1000 名学生，为了了解学生返校上课前口罩准备的情况，学校统计了所有学生口罩准备的数量，并绘制了如下频率分布直方图.（1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法，从口罩准备数量在[)10,20和[]50,60的学生中选10人参加视频会议，则两组各选多少人？（3）在（2）的条件下，从参加视频会议的10人中随机抽取3人，参与学校组织的复学演练.记X 为这3人中口罩准备数量在[)10,20的学生人数，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）0.02x =（2）6人，4人（3）95【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质可知小矩形面积和为1，可求得x 的值；（2）根据分层抽样的特征，可分别求得两组各抽取的人数.（3）由题意可知，0,1,2,3X =；分别求得各自对应的概率，即可得频率分布列及数学期望. 【详解】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积和为1，可得(0.0150.0350.012)101x +++⨯=，解得0.02x =.（2）口罩准备数量在[)10,20的人数为0.0151060.0150.01⨯=+人，在[]50,60的人数为0.011040.0150.01⨯=+人.（3）由题0,1,2,3X =.343104(0)120C P X C ===，126431036(1)120C C P X C ===，216431060(2)120C C P X C ===，3631020(3)120C P X C ===，故分布列为：期望3660202169()1231201201201205E X =⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及简单应用，分层抽样特征，离散型随机变量分布列及数学期望的求法，属于基础题.19.已知从境外回国的8位同胞中有1位被新冠肺炎病毒感染，需要通过核酸检测是否呈阳性来确定是否被感染.下面是两种检测方案：方案一：逐个检测，直到能确定被感染者为止.方案二：将8位同胞平均分为2组，将每组成员的核酸混合在一起后随机抽取一组进行检测，若检测呈阳性，则表明被感染者在这4位当中，然后逐个检测，直到确定被感染者为止；若检测呈阴性，则在另外一组中逐个进行检测，直到确定被感染者为止. （1）根据方案一，求检测次数不多于两次的概率；（2）若每次核酸检测费用都是100元，设方案二所需检测费用为X ，求X 的分布列与数学期望()E X . 【答案】（1）14（2）见解析，325 【解析】【分析】（1）检测次数不多于两次即检测次数为1次或2次，即可求得其对应的概率，进而得检测次数不多于两次的概率；（2）根据题意可知X 可以取200,300,400，分别求得各情况下的概率，即可求得其分布列及数学期望.【详解】（1）P （一次）18=， P （两次）711878=⨯=， ∴P （不多于两次）111884=+=.（2）由题意可知，X 可以取200,300,400，则11111(200)24244P X ==⨯+⨯=， 1311311(300)2432434P X ==⨯⨯+⨯⨯=，1(400)1(200)(300)2P X P X P X ==-=-==，故分布列为：X 200 300 400P14 1412均值111()200300400325442E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了离散型随机变量概率、分布列及数学期望的求法，属于基础题. 20.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，PA PD ⊥，PA PD =，2AD =，AC CD =.（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）若直线PA 与平面PDC 265CD 长. 【答案】（1）见解析（2）13CD =【解析】【分析】（1）根据线面垂直性质可得PD AB ⊥，再根据题中PD PA ⊥，即可由线面垂直的判定定理证明PD ⊥平面PAB ；（2）先证明ACD 为等腰三角形，然后以AD 中点O 为原点，OC ，OA ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设OC m =，写出各个点的坐标，并求得平面PDC 的法向量，再根据直线PA 与平面PDC 所成的线面角的正弦值求得m 的值，即可求得CD 长. 【详解】（1）证明：∵AB ⊥平面PAD ，PD ⊆平面PAD ， ∴PD AB ⊥，∵PD PA ⊥，,PA AB ⊆平面PAB ，PA AB A =，∴PD ⊥平面PAB .（2）∵PA PD ⊥，PA AD =， ∴PAD △为等腰直角三角形， ∵AC CD =，∴ACD 为等腰三角形.以AD 中点O 为原点，OC ，OA ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：设OC m =，则()0,1,0A ，()0,0,1P ，(),0,0C m ，()0,1,0D -，∴()0,1,1PA =-.设平面PDC 的法向量为(),,n x y z =，∵(),1,0DC m =，()0,1,1DP =，∴0mx y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则y m =-，z m =，∴()1,,n m m =-.∴22sin cos ,65221PA n m θ===⨯+，解得23m =. ∴2213CD OC OD =+=.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，由空间向量法依据线面夹角求参数值，属于中档题. 21.如图，在矩形ABCD 中，23AB =，12BC =，以A ，B 为焦点的椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>恰好过C ，D 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知O 为原点，直线l ：()0y kx m m =+≠与y 轴交于点P ，与椭圆Γ相交于E 、F 两点，且E 、F 在y 轴异侧，若4OEF POE S S =△△，求m 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）112m -<<-或112m <<.【解析】【分析】（1）根据矩形的边长，结合椭圆的性质即可求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程. （2）联立直线与椭圆方程，化简方程并由韦达定理可得12x x +，12x x ，由直线与圆相交可得>0∆，并由题意可设()11,E x y ，()22,F x y 及120x x <<，再由212244014m x x k -=<+求得m 的范围；由4OEF POE S S =△△，分别求得面积后代入，结合韦达定理即可求得2114m <<，综合即可得m 的取值范围.【详解】（1）∵AB =12BC =，∴2c =212b a =，222a bc =+，解得2a =，1b =，∴椭圆的方程为2214x y +=.（2）联立直线与椭圆方程，2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，化简可得()222148440k x kmx m +++-=，∵直线与椭圆相交，∴()()222264414440k m k m∆=-+->，化简变形可得22410k m -+>①，∵设()11,E x y ，()22,F x y ，不妨设120x x <<，122814km x x k -+=+②，21224414m x x k -=+③.由212244014m x x k-=<+，得21m <， ∵1212OEF S OP x x =-△，112OPE S OP x =△，且4OEF POE S S =△△，则1214x x x -=，去掉绝对值，则213x x =-④ 联立②④，得12414km x k =+，221214kmx k -=+，代入③得222212444141414km km m k k k --⋅=+++，化简可得2221164m k m -=-，代入①式有22211041m m m --+>-，化简可得2114m <<，所以m 的范围为112m -<<-或112m <<. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，椭圆中三角形面积的应用，根据直线与椭圆位置关系求参数的取值范围，计算量较大，属于中档题.22.已知()()321ln 12f x x x ax a x =-+-，()2312g x x x =-+. （1）当1a =时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）当0a <时，若对任意的[]11,2x ∈，都存在21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12120x x f x g x +=成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12y x =-（2）[)2,0a ∈- 【解析】【分析】（1）将1a =代入，可得函数解析式，再代入1x =可得切点坐标；求得导函数，并由导数的几何意义求得切线斜率，进而得切线方程.（2）将所给方程变形可得()()1212f x x x g x =-；可得()g x x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的单调性，进而求得值域，即可求得()x g x -的值域；构造函数2()1()ln (1)2f x h x x ax a x x ==-+-，求得()h x '，由定义域及0a <分类讨论()h x 的单调情况，并求得最值即可求得符合题意的a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，31()ln 2f x x x x =-， 1(1)2f =-；所以切点坐标为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，而23()ln 12f x x x '=+-，所以31(1)122f '=-=-；∴切线方程为11(1)22y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭. 化简可得12y x =-. （2）()()12120x x f x g x +=，所以()()1212f x xx g x =-，对于()312g x x x x =-+，在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，()1,2x ∈上单调递增， ∴1x =时，()12g x x =，12x =或2时，()1g x x=， ∴当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，()[]2,1x g x -∈--. 令2()1()ln (1)2f x h x x ax a x x ==-+-，对任意的[]11,2x ∈，都存在21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()1212f x x x g x =-成立，所以()h x 的值域是[2,1]--的子集，21(1)1()1ax a x h x ax a x x ---'=-+-=-1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， ①(],1a ∈-∞-时，()h x 在()1,2x ∈上单调递增， ∴(1)122ah =-≥-，(2)ln 221h =-≤-，解得[]2,1a ∈--. ②11,2a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()h x 在11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递减，1,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增， ∵(1)112ah =-≤-，(2)ln 221h =-≤-恒成立，下面证明11ln()122h a a a ⎛⎫-=--+-≥- ⎪⎝⎭恒成立. 令1()ln()12p a a a=--+-，211()02p a a a '=-->，解得12a <-.∴()p a 在11,2a ⎛⎫∈--⎪⎝⎭上单调递增， min 3()(1)22p a p =-=->-恒成立， ∴11,2a ⎛⎫∈--⎪⎝⎭.③1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()h x 在()1,2x ∈单调递减， ∴(1)112ah =-≤-，(2)ln 222h =-≥-，解得1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 综上所述[)2,0a ∈-.【点睛】本题考查了导数几何意义的简单应用，根据导函数判断函数的单调性与值域，构造函数法分析函数的单调性与值域，分类讨论思想的综合应用，是高考的常考点和重点，属于难题.。

重庆市巴蜀中学2019-2020学年高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(含答案解析)

重庆市巴蜀中学2019-2020学年高二(下)第一次月考数学试卷(理科)一、单项选择题（本大题共11小题，共55.0分）1.小明、小红、小泽、小丹去电影院看《红海行动》，四人座位是同一排且相邻的，若小明、小红不坐一起，则不同的坐法种数为()A. 24B. 10C. 8D. 122.已知复数z=(a2−1)+(a−2)i(a∈R)，则“a=1”是“z为纯虚数”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3.已知随机变量ξ服从二项分布，且Eξ=2.4，Dξ=1.44，则二项分布的参数n，p的值为()A. n=4，p=0.6B. n=6，p=0.4C. n=8，p=0.3D. n=24，p=0.14.已知直线a，b和平面α，则下列命题正确的是()A. 若a//b，b//α，则a//αB. 若a⊥b，b⊥α，则a//αC. 若a//b，b⊥α，则a⊥αD. 若a⊥b，b//α，则a⊥α5.已知(3x+1)2(2−x)7=a0+a1x+...+a8x8+a9x9，则a0+a1+a2+...+a8的值为()A. 24B. 25C. 26D. 276.三名学生与两名老师并排站成一排．如果老师甲必须排在老师乙的左边，且两名老师必须相邻，那么不同的排法共有()种．A. 60B. 48C. 36D. 247.如图，A，F分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是()A. √2B. √3C. 1+√134D. 1+√1748.将1，2，3，4四个数字排成一排，其中两个奇数不相邻的概率为()A. 12B. 13C. 14D. 159.已知球O的表面上有A，B，C，D四点，且AB=2，BC=2√2，∠ABC=π4.若三棱锥B−ACD的体积为4√23，且AD经过球心O，则球O的表面积为()A. 8πB. 12πC. 16πD. 18π10.五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有()A. 60种B. 48种C. 36种D. 24种11.已知函数f(x)=e x|x|，关于x的方程f2(x)+(m+1)f(x)+m+4=0(m∈R)有四个相异的实数根，则m的取值范围是()A. (−4,−e−4e+1) B. (−4,−3)C. (−e−4e+1,−3) D. (−e−4e+1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）12.在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图(如图)设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为______．13.(2x−1x)4展开式中的常数项是______．14. 碗里有花生馅汤圆2个、豆沙馅汤圆3个、芝麻馅汤圆4个，从中随机舀取一个品尝，不是豆沙馅的概率为______．15. 已知M ，N 是过抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线C 的交点，O 是坐标原点，且满足MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，S △OMN =√3|MN|，则p 的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．17. 一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球，3个黄球，2个蓝球，从中任取3个小球．(1)求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率；(2)设X 表示取到的蓝色小球的个数，求X 的分布列和数学期望．18.如图四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥BC，BC⊥CD，AB=4，BC=CD=2，AD=BD．(1)求证：平面PBD⊥平面PAD；(2)若AB与平面PBD所成的角的正弦值为2√25，求二面角C−PB−D的余弦值．19.假定某人每次射击命中目标的概率均为12，现在连续射击3次．(１)求此人至少命中目标2次的概率；(２)若此人前3次射击都没有命中目标，再补射一次后结束射击，否则，射击结束.记此人射击结束时命中目标的次数为X，求X的数学期望．20.已知A，B为椭圆T：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，|AB|=4，且离心率为√22．(1)求椭圆T的方程；(2)若点P(x0,y0)(y0≠0)为直线x=4上任意一点，PA，PB交椭圆T于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值．21.已知f(x)=−x2−3，g(x)=2xlnx−ax且函数f(x)与g(x)在x=1处的切线平行．(Ⅰ)求函数g(x)在(1,g(1))处的切线方程；(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时，g(x)−f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查排列、组合的实际应用，不能相邻问题用插空法．根据题意，分2步进行分析：①，将小泽、小丹排好，考虑2人的顺序，②，2人排好后，有3个空位可选，在3个空位中任选2个，安排小明、小红，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将小泽、小丹排好，考虑2人的顺序，有A22种情况，②，2人排好后，有3个空位可选，在3个空位中任选2个，安排小明、小红，有A32=6种情况，则小明、小红不坐一起的排法有2×6=12种；故选：D．2.答案：A解析：解：当a=1时，复数z=(a2−1)+(a−2)i=−i，是一个纯虚数．当复数z=(a2−1)+(a−2)i=−i是一个纯虚数时，a2−1=0且a−2≠0，a=±1，故不能推出a=1．故选：A．当a=1时，复数z=(a2−1)+(a−2)i=−i，是一个纯虚数；当z为纯虚数时，a=±1，不能推出a=1．本题考查复数的基本概念，充分条件、必要条件的定义，是一道基础题．3.答案：B解析：解：∵ξ服从二项分布B～(n,p)由Eξ=2.4=np，Dξ=1.44=np(1−p)，=0.6，可得1−p=1.442.4=6．∴p=0.4，n=2.40.4故选：B．根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于n和p的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．4.答案：C解析：本题考查空间中直线与平面的位置关系，利用空间线面平行与线面垂直的判定以及性质即可判断出正误．解：A，a//b，b//α，则a//α或a⊂α，因此不正确；B，a⊥b，b⊥α，则a//α或a⊂α，因此不正确；C，a//b，b⊥α，则a⊥α，正确；D，a⊥b，b//α，则a⊥α，a//α，或a⊂α，因此不正确．故选C．5.答案：B解析：本题考查二项式定理的应用，求得a9的值是关键，考查赋值法的应用，属于中档题．利用二项式定理可知，对已知关系式中的x赋值1即可求得a0+a1+a2+⋯+a9 的值，再根据通项求出a9即可解：∵(3x+1)2(2−x)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，∴a9=32×(−1)7=−9，令x=1得：(3+1)2×(2−1)7=a0+a1+⋯+a8+a9=16，∴a0+a1+a2+⋯+a8=16−a9=16−(−9)=25．故选B．6.答案：D解析：解：由于两名老师必须相邻，老师甲必须排在老师乙的左边，且两名老师必须相邻，故利用捆绑法，再与三名学生并排站成一排．所以不同的排法共有A 44=24种．故选D ．由于两名老师必须相邻，老师甲必须排在老师乙的左边，且两名老师必须相邻，故利用捆绑法，再与三名学生并排站成一排．本题考查排列知识的运用，相邻问题，利用捆绑法．7.答案：D解析：本题考查双曲线的离心率的求法，计算量较大，解题时要仔细解答，要熟练掌握双曲线的性质，是中档题．由已知条件求出直线l 的方程为：y =−ab x +acb，直线l ：y =−a b x +acb与y =−ba x 联立，能求出P 点坐标，将x =0带入直线l ，能求出Q 点坐标，由AP ⊥AQ ，知k AP ⋅k AQ ，由此入手能求出双曲线的离心率．解：∵A ，F 分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左顶点、右焦点，∴A(−a,0)F(c,0)，∵过F 的直线l 与C 的一条渐近线垂直，且与另一条渐近线和y 轴分别交于P ，Q 两点， ∴直线l 的方程为：y =−ab x +ac b ，直线l ：y =−ab x +acb与y =−b a x 联立： {y =−abx +ac b y =−b a x，解得P 点(a 2c a 2−b 2,abcb 2−a 2)将x =0带入直线l ：y =−ab x +acb ，得Q(0,acb )， ∵AP ⊥AQ ，∴k AP ⋅k AQ =abc b 2−a 2a 2ca 2−b 2+a ×acba=−1，化简得b 2−ac −a 2=−c 2，把b 2=c 2−a 2代入，得2c 2−2a 2−ac =0 同除a 2得2e 2−2−e =0， ∴e =1+√174，或e =1−√174(舍)．故选：D．8.答案：A解析：本题主要考查古典概型的概率计算，根据条件分别求出基本事件的个数是解决本题的关键，属于基础题．根据古典概型的概率公式分别进行计算即可得到结论．解：由题可知将1，2，3，4四个数字排成一排的所有排法有A44=4×3×2×1=24种，其中两个奇数不相邻的排法有A22A32=12种，所以P=1224=12．故选A．9.答案：C解析：本题考查三棱锥外接球问题，球的表面积，属于中档题．由题意知，△ABC满足AB=2，BC=2√2，∠ABC=π4，根据余弦定理可得AC=2，又根据条件知球心O是侧棱AD的中点，故O到平面ABC的距离为ℎ2=√2即可．解：由题意知，△ABC满足AB=2，BC=2√2，∠ABC=π4，根据余弦定理可得AC=2，所以△ABC 为直角三角形，即△ABC外接圆半径为√2．设点D到平面ABC的距离为h，则13×12×2×2×ℎ=4√23，解得ℎ=2√2，又根据条件知球心O是侧棱AD的中点，故O到平面ABC的距离为ℎ2=√2.设球O半径为R，又由球的性质，得R2=(√2)2+(√2)2=4，所以R=2，所以这个球的表面积S=4πR2=16π，故选C．10.答案：C解析：本题主要考查两个计数原理的综合应用以及排列、组合的综合应用，属于中档题．站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用分步计数原理得到结果．由题意知本题可以采用间接法来解，首先做出五个人全排列的排列数A55不合条件的排列是甲和乙相邻，甲和丙相邻，甲和乙相邻，可以把甲和乙看做一个元素，与其他三个元素进行全排列，甲和丙也是这样，最后加上重复去掉的数字，得到结果．解：由题意知本题可以采用间接法来解，首先做出五个人全排列的排列数A55不合条件的排列是甲和乙相邻，甲和丙相邻，甲和乙相邻有A22A44,甲和丙相邻有A22A44,注意这两组数中有一部分重复计数要减去，即得甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法数是A55−2A22A44+A22A33=36．故选C．11.答案：A解析：解：f(x)=e x|x|={−e xx,x<0e xx,x>0，由x>0时，f(x)=e xx 的导数为f′(x)=ex(x−1)x2，可得x>1，f(x)递增，0<x<1时f(x)递减，x=1处取得极小值e；当x<0时，f(x)=−e xx 的导数为f′(x)=−ex(x−1)x2，可得x<0时f(x)递增，作出函数f(x)对应的图象如图：设t=f(x)，方程f2(x)+(m+1)f(x)+m+4=0等价为t2+(m+1)t+m+4=0，由题意结合图象可得△>0，且0<t1<e且t2>e，即有(m+1)2−4(m+4)>0，解得m>5或m<−3，①由f(t)=t2+(m+1)t+m+4，可得f(0)>0，f(e)<0，即为m>−4，m<−e−4e+1，②由①②可得−4<m<−e−4e+1．故选：A．求函数的导数，判断函数的取值情况，利用换元法，设t=f(x)，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．12.答案：2425解析：由已知直角三角形的面积分别求出两个正方形的面积，由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型，求出两正方形的面积与直角三角形边长的关系是关键，是基础题．解：∵直角三角形的直角边的边长分别是3和4，∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为4−3=1．大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，由测度比为面积比，可得在绘图内随机取一点，则此点取自内部小正方形部分的概率为125．∴此点取自直角三角形部分的概率为P=1−125=2425．故答案为：2425．13.答案：24解析：解：(2x −1x )4展开式的通项公式为T r+1=C 4r ⋅24−r ⋅(−1)r ⋅x 4−2r ，令4−2r =0，求得r =2，可得常数项是24，故答案为：24．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.答案：23解析：本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n =9，不是豆沙馅包含的基本事件个数n =6，由此能求出不是豆沙馅的概率．解：碗里有花生馅汤圆2个、豆沙馅汤圆3个、芝麻馅汤圆4个，从中随机舀取一个品尝，基本事件总数n =9，不是豆沙馅包含的基本事件个数n =6，∴不是豆沙馅的概率为p =69=23．故答案为：23． 15.答案：8解析：本题考查抛物线的性质与几何意义，考查计算能力，属于中档题．过M ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为G ，H ，由MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得|NK|=√38p|MN|，再结合S △OMN =√3|MN|，即可求得p 的值．解：不妨设直线MN 的斜率k >0，过M ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为G ，H ，过N 作NK ⊥MG 于K ，由MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得|MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴|MG|=3|NH|，∴|MK|=2|NH|=2|NF|=12|MN|，∴|NK|=√|MN|2−|MK|2=√32|MN|，由S △OMN =S △OMF +S △ONF =12|NK|⋅|OF|=√38p|MN|，又S △OMN =√3|MN|， ∴√38p|MN|=√3|MN|，得p =8．故答案为：8．16.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ，即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)．即：F(0,1)，所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ．得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0．所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0，且|AF|=3|FB|，故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π，故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．17.答案：解：(1)设A 表示“红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个”，则P(A)=C 21C 31C 21C 73=1235．(2)X 可能取0，1，2，P (X =0)=C 53C 20C 73=1035=27，P (X =1)=C 52C 21C 73=47，P (X =2)=C 51C 22C 73=17， X 的分布列：X 0 1 2P 27 47 17E (X )=0×27+1×47+2×17=67．解析：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望的求法，是基础题．(1)利用P(A)=C 21C 31C 21C 73即可得出；(2)X 可能取0，1，2．P (X =k )=C 2k C 53−k C 73，k =0，1，2，即可得出分布列与数学期望．18.答案：证明：(1)∵BC ⊥CD ，AB =4，BC =CD =2，AD =BD ．∴AD =BD =√4+4=2√2，∴BD 2+AD 2=AB 2，∴AD ⊥BD ，∵在四棱锥P −ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，，BD ⊥AD ，，∴BD ⊥平面PAD ，又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAD ．解：(2)以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设AP =a ，则A(0,4，0)，B(0,0，0)，P(0,4，a)，D(2,2，0)，C(2,0，0)．BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，a)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，设平面PBD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +az =0,n ⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0,取x =1，得n ⃗ =(1,−1,4a )， ∵AB 与平面PBD 所成的角的正弦值为2√25， ∴|cos <n ⃗ ,BA⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2+16a 2⋅√16=2√25，解得a =8√23，∴n ⃗ =(1,−1,3√24)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，8√23)，设平面PBC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +8√23z =0,m⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0. 取z =3，得m ⃗⃗⃗ =(0,−2√2,3)，设二面角C −PB −D 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=17√24√5016⋅√17=√175．所以二面角C −PB −D 的余弦值为√175．解析：(1)推导出AD ⊥BD ，从而推出BD ⊥平面PAD ，又BD ⊂平面PBD ，则平面PBD ⊥平面PAD ，得证．(2)以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C −PB −D 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：⑴设此人至少命中目标2次的事件为A ，则P (A )=C 32·(12)2·(12)+C 33(12)3=12，即此人至少命中目标2次的概率为12;⑴由题设知X 的可能取值为0，1，2，3，且P (X =0)=[C 30·(12)3]·(12)=116， P (X =1)=C 31·(12)1·(12)2+[C 30·(12)3]·(12)=716，P (X =2)=C 32·(12)2·(12)=38， P (X =3)=C 33·(12)3=18，从而E (X )=116×0+716×1+38×2+18×3=2516．解析：本题考查离散型随机变量的概率与期望，属于基础题．(1)此人至少命中目标2次包括命中目标2次与3次，分别计算概率，利用互斥事件概率公式，可得结论;(2)求得X 的可能取值，求出相应概率，可得分布列，从而可求出X 的数学期望．20.答案：解：(1)依题意|AB|=2a =4，则a =2，又e =√22,c =√2，b =√2， ∴椭圆方程为：x 24+y 22=1；(2)设P(4,t)，(不妨设t >0，t <0的情况与之对称所以不单独讨论)，则直线PA 方程：y =t 6(x +2)，直线PB 方程y =t 2(x −2)．设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，由{y =t 6(x +2)x 24+y 22=1得(18+t 2)x 2+4t 2x +4t 2−72=0，则−2x 1=4t 2−7218+t 2，则x 1=36−2t 218+t 2，于是y 1=t 6(x 1+2)=12t 18+t 2，由{y =t 2(x −2)x 24+y 22=1得(2+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−8=0，则2x 2=4t 2−82+t 2，则x 2=2t 2−42+t 2，于是y 2=t 2(x 2−2)=−4t 2+t 2， S ACBD =S ΔACB +S ΔADB=12×4×(12t18+t2+4t2+t2)=32×t+6 t(t+6t )2+8，设u=t+6t，则u∈[2√6,+∞)，S ABCD=32u+8u=g(u)，g(u)在[2√6,+∞)递减，故四边形ACBD面积的最大值为g(2√6)=2√6．解析：本题考查椭圆方程的求法及圆锥曲线中的最值问题，考查了学生的分析与计算能力，题目较难．(1)依题意|AB|=2a=4，则a=2，又e=√22,c=√2，从而求得椭圆方程；(2)设P(4,t)，(不妨设t>0)，则直线PA方程：y=t6(x+2)，直线PB方程y=t2(x−2)．分别与椭圆方程联立得S ABCD=32×t+6t(t+6t)2+8，设u=t+6t，则u∈[2√6,+∞)，S ABCD=32u+8u=g(u)，g(u)在[2√6,+∞)递减，即可求得面积最大值．21.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=−2x，故k=f′(1)=−2，而g′(x)=2(lnx+1)−a，故g′(1)=2−a，故2−a=−2，解得：a=4，故g(1)=−a=−4，故g(x)的切线方程是：y+4=−2(x−1)，即2x+y+2=0；(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时，g(x)−f(x)≥0恒成立，等价于a≤x+2lnx+3x，令g(x)=x+2lnx+3x，x∈(0,+∞)，g′(x)=1+2x −3x2=(x+3)(x−1)x2，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调减，当x=1时，g′(x)=0，当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调增，∴g(x)min=g(1)=4，∴a≤4．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，求出a的值，从而求出切线方程即可；(Ⅱ)先把已知等式转化为a≤x+2lnx+3x ，设g(x)=x+2lnx+3x，x∈(0,+∞)，对函数进行求导，利用导函数的单调性求得函数的最小值，只要a小于或等于最小值即可．本题主要考查了利用导函数求最值的问题．考查了学生对函数基础知识的理解和灵活运用．。

重庆市重点高中高二下学期期中数学试题(解析版)

一、单选题1．已知，则m 等于（）2188C C m m -=A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．1或4【答案】C【分析】根据组合数的性质即可求解.【详解】由可知:或者,解得:或2188C =C m m -21m m =-2-18m m +=1m =3m =故选：C2．函数在上的图像大致为（） ()3sin xf x x x=-[]π,π-A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答. 【详解】函数定义域为， 3sin ()xf x x x=-(,0)(0,)-∞+∞ 而，且， 33sin()sin ()()()x xf x x x f x x x--=--=--≠-()()f x f x -≠-即函数既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD ； ()f x 而当时，，排除选项A ，选项B 符合要求. πx =()(π)πf x f ==故选：B3．在中国地图上，西部五省（甘肃、四川、青海、新疆、西藏）如图所示，有四种颜色供选择，要求每省涂一色，相邻省不同色，则不同的涂色方法有（）种.A ．48B ．72C ．96D ．120【答案】B【分析】结合分步、分类计数原理求得正确答案.【详解】先进行编号：新疆、甘肃、青海、西藏、四川， A B C D E 按的顺序进行涂色，其中颜色可以相同或不相同， A B C D E →→→→,B D 所以不同的涂色方法数有种. ()432121172⨯⨯⨯⨯+⨯=故选：B4．已知函数在上单调递增，则实数a 的取值范围为（） ()212ln 22g x x a x x =--()0,∞+A ．B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【分析】首先求出函数的导函数，参变分离，可将原问题转化为在上恒成立，再2(2)a x x -…(0,)+∞由配方法，即可得解．【详解】解：因为在上单调递增， 21()2ln 22g x x a x x =--(0,)+∞所以在上恒成立，即在上恒成立， 2()20ag x x x'=--…(0,)+∞2(2)a x x -…(0,)+∞而，当且仅当时，等号成立， 2(2)(1)11y x x x =-=---…1x =所以，即，21a - (1)2-a …所以实数的取值范围为．a 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦故选：D ．5．3个0和2个1随机排成一行，则2个1相邻的概率为（）A ．B ．C ．D ．15253545【答案】B【分析】先求出将3个0和2个1随机排成一行的排法，再求出2个1相邻的排法，由古典概型求解即可.【详解】将3个0和2个1随机排成一行，只需要在5个位子中选2个放1即可，有种排25C 10=法；其中2个1相邻，只需要将2个1捆绑，在4个位子中选1个放1即可，有种排法；14C 4=则2个1相邻的概率为. 42105=故选：B.6．已知椭圆：（）的左右焦点分别为、，为椭圆上一点，C 22221x y a b+=0a b >>1F 2F P，若坐标原点到，则椭圆离心率为（） 1260F PF ∠=︒O 1PFA B C D 【答案】D【分析】设，，通过椭圆的定义，以及三角形的解法求出直角三角形的1PF m =2PF n =2m n a +=边长关系，利用勾股定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．【详解】设，， 1PF m =2PF n =作，，1ON PF ⊥21F M PF ⊥，，， 2F 1260F PF ∠=︒即有，，由，13PM a =223PF a =2m n a +=可得，1MF a =因为，在直角三角形中，由勾股定理得， 122FF c =12F MF 2224a c ⎫+=⎪⎪⎭可得 c e a ==故选：D ．7．有2男2女共4名大学毕业生被分配到三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂,,A B C 至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（） A A ．12 B ．14 C ．36 D ．72【答案】B【分析】根据题意，分厂只接受1个女生和厂接受2个女生两类情况，结合厂的分派方A A ,B C 案，利用分类、分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，可分为两种情况：①若厂只接受1个女生，有种分派方案，A 12C 2=则厂分派人数可以为或，则有种分派方案，,B C 1,22,11233C C 6+=由分步计数原理可得，共有种不同的分派方案； 2612⨯=②若厂接受2个女生，只有1种分派方案，A 则厂分派人数为，则有种分派方案，,B C 1,112C 2=此时共有种不同的分派方案，122⨯=综上，由分类计数原理可得，共有种不同的分派方案. 12214+=故选：B.8．已知函数，关于的方程恰有两个不等实根，则()232,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩x ()f x a =()1212,x x x x <的最大值为（）212x x ⋅A ． B ．C ．D ．e 2e 22e 2e 【答案】B【分析】作出函数的图像，数形结合可得出实数a 的取值范围，将用a 表示，可得()y f x =12,x x 表示为以a 为自变量的函数，利用导数可求函数的单调性，进而求出最大值.212x x ⋅【详解】解：作出函数的图像如下图所示：()y f x =由图像可知，当时，直线与函数的图像有两个交点，，3a ≤y a =()y f x =()1,x a ()2,x a ，则，可得， 12x x < 21232ln x a x a ⎧-=⎨=⎩21232e a ax x -⎧=⎪⎨⎪=⎩， ()21213e 2a a x x =⋅⋅-∴构造函数，， ()()13e 2x g x x =⋅-3x ≤则，()()111e 3e 1e 222x xx g x x x ⎛⎫'-+⋅-=- ⎪⎝⎭=当，，此时函数单调递增， 2x <()0g x '>()y f x =当，，此时函数单调递减，23x <≤()0g x '<()y f x =，()()()22max1e 32e 222g g x =-==⋅故选：B.二、多选题9．下列导数运算正确的有（） A ．B ． 211'x x⎛⎫= ⎪⎝⎭()2ln 2'x x=⎡⎤⎣⎦C ．D ．()22'2xxee=()()'1x xxe x e =+【答案】CD【分析】根据导数的运算法则依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，，故错误；211'x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于B 选项，，故错误；()1ln 2'x x =⎡⎤⎣⎦对于C 选项，，故正确；()22'2xxee=对于D 选项，，故正确.()()'1x x x xxe e xe x e =+=+故选：CD10．已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（） {}n a n S n 78S S =A ． B ．0d ＞80a =C ． D ．、均为的最大值150S >7S 8S n S 【答案】BD【分析】根据等差数列的性质以及其前项和的性质，逐个选项进行判断即可求解 n 【详解】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A 错误； {}n a 10n n a a +-<0d <因为，所以，故B 正确； 78S S =8870a S S =-=因为，故C 错误； ()115158151502a a S a +===因为由题意得，，所以，，故D 正确；789000a a a >⎛ = <⎝*78()n S S S n N =≥∈故选：BD11．带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（） A ．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法54B ．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法34C C ．将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法 4154C C D ．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 2454C A 【答案】ACD【分析】对A ：根据分步乘法计数原理运算求解；对B ：分类讨论一共用了几个球，再结合捆绑法运算求解；对C ：根据分步乘法计数原理运算求解；对D ：利用捆绑法运算求解.【详解】对于A ：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种放法，A 正确； 5444444⨯⨯⨯⨯=对于B ：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，B 错误；2454C A 240=对于C ：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种放法，C 正确；45C 14C 4154C C对于D ：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，D 正确；2454C A 240=故选：ACD.12．已知函数的定义域为，则下列说法正确是（） ()cos f x ax x =+[]0,πA ．若函数无极值，则()f x 1a ≥B ．若，为函数的两个不同极值点，则 1x 2x ()f x ()()12πf x f x a +=C ．存在，使得函数有两个零点 R a ∈()f x D ．当时，对任意，不等式恒成立 1a =[]0,πx ∈()21e 2xf x x ≤+【答案】BCD【分析】函数无极值，则或，求解即可判断A ；若，为函数的()f x ()0f x '≥()0f x '≤1x 2x ()f x 两个不同极值点可得，即，代入可求出的值，可判断()()120f x f x ''==12πx x +=()()12f x f x +B ；要使得函数有两个零点，即与有两个交点，画出图象即可判断C ；当()f x cos y x =y ax =-时，对任意，不等式恒成立即证明在1a =[]0,πx ∈()21e 2x f x x ≤+()21cos e 02x g x x x x =+--≤上恒成立即可判断D.[]0,πx ∈【详解】对于A ，若函数无极值，，， ()f x ()sin f x a x =-'[]0,πx ∈则或恒成立，则或， ()0f x '≥()0f x '≤()max sin a x ≥()min sin a x ≤当，则，解得：或，故A 不正确；[]0,πx ∈[]sin 0,1∈x 1a ≥0a ≤对于B ，若，为函数的两个不同极值点，，所以1x 2x ()f x ()()1212sin sin 0'==--'==f x f x a x a x ，12sin sin x x =因为，则，∴，故B 正确； []0,πx ∈12πx x +=()()121122cos cos πf x f x ax x ax x a +=+++=对于C ，存在，使得函数有两个零点，与有两个交点，R a ∈()f x cos cos =-⇒=x ax y x y ax =-在处的切线平行于轴，过原点的切线在的左侧稍微旋转后可得两个交点，cos y x =()π,1-x ()π,1-故C 正确；对于D ，当时，对任意，不等式恒成立 1a =[]0,πx ∈()21e 2xf x x ≤+， ()2211cos e cos e 022x x x x x g x x x x +≤+⇒=+--≤，()20100cos00e 02g =+-⨯-=，，()1sin e x g x x x =--'-()001sin00e 0g =---='令，()1sin e xh x x x =---对任意恒成立，()cos 1e 0x h x x --'=-≤[]0,πx ∈在上单减，， ()1sin e x h x x x =---[]0,π()001sin00e 0h =---=对任意恒成立，所以，()1sin e 0x h x x x =---≤[]0,πx ∈()0g x '≤在上单减，()21cos e 2x g x x x x =+--[]0,π()20100cos00e 02g =+-⨯-=对任意恒成立，故D 正确. ()21cos e 02xg x x x x =+--≤[]0,πx ∈故选：BCD.【点睛】方法点睛：函数零点和方程根的问题往往利用数形结合转化成函数图象交点的问题，导数恒成立、极值问题通常构造函数并利用导数研究其单调性即可得出结论.三、填空题13．甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有__________种.（填数字）【答案】144【分析】根据相邻问题捆绑，不相邻问题插空，结合分步乘法计数原理即可求解.【详解】第一步：现将除甲乙丙之外的三个人全排列，有种方法，33A 6=第二步；将甲乙捆绑看成一个整体，然后连同丙看成两个个体，插空共有种方法，24A 12=第三步：甲乙两个人之间全排列，22A 2=由分步乘法计数原理可得总的排法有， 6122144⨯⨯=故答案为：14414．已知的展开式中含项的系数为，则______. ()()52x a x +-3x 60-=a 【答案】/ 120.5【分析】求出的展开式通项，然后利用含项的系数为列方程求解. ()52x -3x 60-【详解】，()()()()555222x a x x x a x +-=-+-又的展开式通项为， ()52x x -()()56155C 22C r rr r r r r xT x x x --+=-=-的展开式通项为， ()52a x -()()55155C 22C r rr r r r r aT a x a x --+=-=-，解得. ()()3232552C 2C 60a ∴-+-=-12a =故答案为：. 1215．如图，直三棱柱中，，为线段上的一个动111ABC A B C -122BC AA ==AB AC ==P 1A B 点，则的最小值是_______.PA PC +【分析】根据已知条件及直棱柱的性质，结合直角三角形的性质及勾股定理即可求解. 【详解】将图中的和放置于同一平面内，如图所示，11AA B A 1A BC A 2则.PA PC AC +≥因为直三棱柱中，，，111ABC A B C -122BC AA ==AB AC =所以中，.1Rt A AB △1130,2ABA A B ∠==同理，在中，, 1A AC △12AC =所以160,A BC ∠=所以在图中，, 21190ABC ABA A BC ∠=∠+∠=所以,即2227AC AB BC =+=AC =所以. PA PC +.16．已知函数有三个零点，且有，则()()2e 820e x x x xf x x m m -=-+≠123,,x x x 123x x x <<的值为________. 11e 2x x ⎛- ⎝【答案】12【分析】由得出，令，得出()0f x =2e e 2(4)2120x xm x x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e 2x t x =-2(4)120t m t ++-=，利用导数得出的图象，由零点的个数，结合图象求解即可.e ()2xg x x=-【详解】若，则，即()0f x =2e 820e x x x x x m --+=22e 8e e 20x x x mx mx -⋅-+=当时，可得，不成立，故0x =0e 0=0x ≠等式两边同除以，得∴2x 22e 8e e 20x x xm m x x x--+=即 2e e 2(4)2120x xm x x ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，则e 2xt x=-2(4)120t m t ++-= 22Δ(4)41(12)(4)480m m ⎡=+-⨯⨯-=++>⎣方程有两个不等的实根，，∴12,t t 12120t t ⋅=-<令，则，令， 10t >20t >e ()2x g x x =-()21()x e x g x x '-=当时，，当或时，(1,)x ∈+∞()0g x '<(0,1)x ∈(,0)x ∈-∞()0g x '>即函数在上单调递减，在，上单调递增， ()g x (1,)+∞(0,1)(,0)-∞(1)2e 0g =-<如下图所示函数有三个零点，()f x 123,,x x x 123x x x <<31212123e e e 2,22x x x t t x x x ∴=-=-=-由图可知，121e 212x t t x ⎛-=-⋅ =⎝故答案为：12【点睛】方法点睛：已知零点的个数求参数的范围一般思路：利用导数得出函数的简图，由交点的个数结合图象得出参数的范围.四、解答题17．已知()*(31),n f x x n N =-∈(1)若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数；()f x 2x (2)苦，且，求. 2023n =()2023220230122023(31)f x x a a x a x a x =-=++++ 012023a a a +++ 【答案】(1)594 (2) 20234【分析】（1）根据二项式系数的性质可求出，然后可求的系数；n 2x （2）根据展开式系数特点判定系数正负去掉绝对值，然后给赋值就可求出和.x 【详解】（1）由于的二项展开式中第7项的二项式系数为且最大，可得，则()f x 6C n 12n =，所以当时，故展开式中的系数为594； 12112C (3)(1)r r r r T x -+=-10r =1021021112C (3)(1)594T x x =-=2x （2）若，由可知当为奇数时，即的奇次项2023n =20232023120232023C (3)(1)(1)3C r r r r r r rr T x x --+=-=-⋅r x系数为正，当为偶数时，即的偶次项系数为负，所以r x ，又01202301232023a a a a a a a a +++=-+-++⋅⋅⋅+ ，故. ()202301232022033241(31)f a a a a a -=--=-+=--- 20230120234a a a +++= 18．已知函数是的极大值点. ()()()235ln 23,R ,2f x x x a x a a =+-+∈()f x (1)求的值； a (2)求函数的极值. ()f x 【答案】(1)1 (2)极大值，极小值 132-5555ln 36-【分析】（1）由极值点的定义可得，解方程求，验证所得结果是否满足要求； ()0f a ¢=a （2）由（1）可得，结合极值的定义可求函数的极值. 1a =【详解】（1）函数的定义域为， ()()235ln 232f x x x a x =+-+()0,∞+导函数为 ()()()232355323x a x f x x a x x-++'=+-+=∵是函数的极大值点，a ()f x ，即，()()232350f a a a a ∴=++'-=2650a a -+=解得或，1a =5a =当时，，1a =()2385x x f x x-+='当时，，函数在上单调递增， 01x <<()0f x ¢>()f x ()0,1当时，，函数在上单调递减， 513x <<()0f x '<()f x 51,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增， 53x >()0f x ¢>()f x 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，函数取得极大值，符合题意；∴1x =()f x 当时，，5a =()23165x x f x x-+'=当时，，函数在上单调递增， 103x <<()0f x ¢>()f x 10,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递減， 153x <<()0f x '<()f x 1,53⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增，5x >()0f x ¢>()f x ()5,+∞当时，函数取得极小值，不符合题意；∴5x =()f x 综上，，1a =（2）当a =1时，， ()235ln 82f x x x x =+-由（1）可得当时，，函数在上单调递增， 01x <<()0f x ¢>()f x ()0,1当时，，函数在上单调递减， 513x <<()0f x '<()f x 51,3⎛⎫⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增，53x >()0f x ¢>()f x 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以当时，函数取得极大值， 1x =()f x 132-当时，函数取得极小值.53x =()f x 5555ln 36-19．已知数列的前n 项和为Sn ，满足． {}n a 2n n a S n +=(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；{}2n a -{}n a (2)若不等式2对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．2(23)(2)n n a λλ->--【答案】(1)证明见详解； *1122n n a n N -=-∈，(2) 1322λ<<【分析】（1）利用得，变形得，则可证明等比数列，根据等1n n n a S S -=-122n n a a -=+11222n n a a -=--比数列的通项公式可得答案；（3）令，通过计算的正负，求出的最大值，将题目转()()()232n f n n a =--()()1f n f n +-()f n 化为，解不等式即可.()2max 2f n λλ->【详解】（1）①2n n a S n += ②1122,2n n a S n n --∴+=-≥①-②得，即， 12n n n a a a -+=-122n n a a -=+变形可得，11222n n a a -=--又，得112a S +=11a =故数列是以-1为首项，为公比的等比数列，{}2n a -12由等比数列的通项公式可得， 1122n n a --=-. *1122n n a n N -∴=-∈，（2）令，则 ()()()232n f n n a =--()1232n n f n --=()()12123521222n n nn n nf n f n ----∴+-=-=当或时，， 1n =2n =()()10f n f n +->当时， 3,n n N ≥∈()()10f n f n +-<又，， ()334f =()max 34f n ∴=因为不等式对任意的正整数恒成立，()()22232n n a λλ->--n ，解得. 2324λλ∴->1322λ<<20．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AD BD ，AB ＝2AD ，且PD ⊥底面⊥ABCD ．(1)证明：平面PBD ⊥平面PBC ； (2)若二面角P －BC －D 为，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值． π6【答案】(1)见解析【分析】（1）根据平行线的性质以及线面垂直的判定定理，结合线面垂直性质定理以及面面垂直性质定理，可得答案；（2）由题意，建立空间直角坐标系，利用二面角的定义以及勾股定理，求得棱长，写出点的坐标，求得平面的法向量，根据计算公式，可得答案.【详解】（1）在平行四边形中，，，，ABCD //AD BC AD BD ⊥ BC BD ∴⊥平面，平面，，PD ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PD BC ∴⊥，平面，平面，PD BD D ⋂= ,PD BD ⊂PDB BC ∴⊥PDB 平面，平面平面. BC ⊂ PBC ∴PBD ⊥PBC （2）由题意，建立空间直角坐标系，如下图所示：设，则，在中，，1AD =2AB =Rt △ABD BD ==平面，平面，，CB ⊥ PDB PB ⊂PDB CB PB ∴⊥，平面，平面，BD CB ⊥ PB ⊂PBC BD ⊂ABCD 在二面角的平面角，即， PBD ∴∠P BC D --π6PBD ∠=在中，， Rt PDB A sin 1PD BD PBD =÷∠=在平行四边形中，，ABCD 1AD BC ==则，，，，()1,0,0A()B ()C -()0,0,1P ，，，()1,0,1AP =-()0,BP = ()1,CP = 设平面的法向量为，PBC (),,n x y z =则，即，化简可得，00n BP n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00z x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩0x z =⎧⎪⎨=⎪⎩令，的一个法向量，1y=z =PBC (n =设与平面的夹角为，AP PBC θsin θ21．已知点,,动点,满足直线与直线的斜率之积为,记动点的轨迹()2,0A -()2,0B (),S x y AS BS 14-S 为曲线.C (1)求曲线的方程.C (2)设经过点且不经过点的直线与曲线相交于M ,N 两点,求证:为定值.()1,1--()0,1P l C PM PN k k +【答案】(1)()221,24x y x +=≠±(2)证明见解析【分析】(1)根据题意,由各个点的坐标,根据斜率公式代入上式,进行化简即可得曲线方14AS BS k k ⋅=-程;(2)先考虑直线斜率不存在的情况,写出直线方程,求出M ,N 两点坐标,求出,计算,在l ,PM PN k k PM PN k k +考虑斜率存在的情况,设出直线方程及M ,N 两点坐标,联立方程组,判别式大于零,韦达定理,写出,化简并计算即可得出结果,证明结论.,PM PN k k PM PN k k +【详解】（1）解:因为,直线与直线的斜率之积为,(),S x y AS BS 14-所以,即,, 14AS BS k k ⋅=-1224y y x x ⋅=-+-2x ≠±化简可得:,()221,24x y x +=≠±故曲线的方程为:;C ()221,24x y x +=≠±（2）证明:①当直线的斜率不存在时,直线,l :1l x =-与曲线联立可得:, C ,1,M N ⎛⎛--⎝⎝此时11PM PN k k ==+所以;2PM PN k k +=②当直线的斜率存在时,设直线, l :l y kx m =+因为直线经过点且不经过点, l ()1,1--()0,1P 所以,设,1,1k m m =+≠()()1122,,,M x y N x y 联立可得:, 2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222418440k x kmx m +++-=所以,解得:,()()222264441440k m k m ∆=-+->2241k m +>由韦达定理可得:, 2121222844,4141km m x x x x k k --+=⋅=++因为, 121211,PM PN y y k k x x --==所以 ()12212121211211PM PN x y x y x x y y k k x x x x +-+--+=+=()()()12212112x kx m x kx m x x x x +++-+=()()12211221kx x m x x x x +-+=()222224482141414441m km k m k k m k --⋅+-⋅++=-+()()222448144k m km m m ⋅---=- 222888844km k km kmm --+=-,()()()21222111k m k km m m k-====-++综上:为定值2.PM PN k k +【点睛】思路点睛:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,关于定值问题的思路有: (1)根据题意分情况讨论直线斜率是否存在; (2) 设直线方程,联立方程组; (3) 判别式大于零,韦达定理;(4) 根据题意建立关于的等式,化简即可. 1212,x x x x +⋅22．已知函数． ()()1ln 1f x ax x=-+(1)若函数的最小值为0，求实数的值； ()f x a (2)证明：对任意的，，恒成立．*n ∈N ()0,x ∈+∞()11e ln x nxx n--≥【答案】(1) 1a =(2)证明见解析【分析】（1）由题，，按和分类讨论，求函数的最小值，解得a 的值；0a ≠0a >a<0（2）由（1）得，即，对命题进行放缩，证明，构1ln 1x x ≥-ln 1≤-x x ()111e e 1ln 0xn x x n ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭造函数，求导数，证明最小值大于或等于零，即原不等式成立.()()e 1ln mg m x m =--【详解】（1）当时，函数的定义域为，， 0a >()0,∞+()22111x f x x x x-'=-=当，，单调递减， ()0,1x ∈()0f x '<()f x 当，，单调递增， ()1,x ∈+∞()0f x ¢>()f x 所以，可得； ()()min 1ln 0f x f a ===1a =当时，函数的定义域为，， a<0(),0∞-()221110x f x x x x-'=-=<在上单调递减，无最小值，不合题意． ()f x (),0∞-综上，.1a =（2）证明：由（1）可得不等式恒成立，用替代可得， 1ln 1x x≥-1xx ln 1≤-x x ，由，()()1111e ln 1e ln ln x x nn x x x x n n---≥⇔--≥1ln x x -≥即证，即证，()111e ln 1x n x x n ---≥-()111e e 1ln 0xn x x n ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭令，构造函数，，(]10,1m n =∈()()e 1ln mg m x m =--()1e 1ln m g m m x m ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭由，，1ln 1m m≥-11ln 0m m --≤所以，在上单调递减，，()0g m '≤()g m (]0,1()()()1e 1g m g x ≥=-所以，()()()()()111e e 1ln 1e e 11e e xx xnx x x x x n ⎛⎫-+--≥-+-=-- ⎪⎝⎭由于，在，上同号，在时两式相等，1x -e e x -()0,1()1,+∞1x =所以，()()1e e 0xx --≥所以对任意的，，恒成立．*n ∈N ()0,x ∈+∞()11eln x nxx n--≥【点睛】要证对任意恒成立，变换主元，构造函数()111e e 1ln 0xnx x n ⎛⎫-+--≥ ⎪⎝⎭()0,x ∈+∞，求出m 取不同值时函数的变化规律，得函数的最小值，可得只要证()()e 1ln m g m x m =--()g m 对任意恒成立.()()1e e 0x x --≥()0,x ∈+∞。

重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

重庆市巴蜀中学校高2025届高二（下）期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.

3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存，满分150分，考试用时120分钟.一､单选题1.已知集合1,2,3,2,3,4,3,4,5ABC，则ABC（）

A.3B.1,2,3,4C.1,2,3,5D.1,2,3,4,5

2.已知函数1yfx的定义域为1,5，则函数2yfx

的定义域为（）

A.2,0B.0,2C.2,2D.2,00,2

3.已知函数yfx在区间D上连续可导，则“0fx󰆆在区间D上恒成立”是“fx在区间D上单调递

增”的（）条件.

A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要4.对某个班级学生的平均身高进行估算，这个班级有30位男生，20位女生，从男生中抽取5人，测得他们的平均身高为175cm，从女生中抽取3人，测得她们的平均身高为165cm，则这个班级的平均身高估计为（）cm.

A.168.75B.169C.171D.171.255.甲､乙是同班同学，他们的家之间的距离很近，放学之后经常结伴回家，有时也单独回家；如果第一天他俩结伴回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.5；如果第一天他俩单独回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.6；已知第二天他俩单班回家的概率为0.46，则第一天他俩结伴回家的概率为（）A.0.4B.0.5C.0.54D.0.6

6.已知12

FF､分别是椭圆22:16xCyy的左､右焦点，点P是椭圆C上的任意一点，动点M满足

22(1)FMFP，且1

PMPF，则动点M的轨迹方程为（）

重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列直线中，倾斜角为钝角的直线是( ) A. x −3y +4=0B. x +3y +4=0C. x −3=0D. y +4=02.若圆C 1：x 2+y 2=9与圆C 2：(x −4)2+(y −3)2=m 外切，则m 的值是( ) A. 16B. 8C. 4D. 13.已知在等差数列{a n }中，a 2+a 5=a 4+11且a 2+a 4=a 6+2，则数列{a n }的通项公式为( ) A. a n =3n +2B. a n =3n −1C. a n =3n +5D. a n =2n +34.已知点P 在圆(x −2)2+y 2=1上运动，O 为坐标原点，则线段OP 的中点的轨迹方程为( ) A. (x −1)2+y 2=14 B. (x −1)2+y 2=12 C. (x −1)2+y 2=1 D. (x −2)2+y 2=145.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >b >0)的两条渐近线之间的夹角小于π3，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. (1,√ 2)B. (1,2√ 33) C. (2,+∞)D. (1,2√ 33)∪(2,+∞) 6.已知动点P 在椭圆C ：y 24+x 23=1上，F(0,1)，A(−3,3)，则|PF|−|PA|的最大值为( )A. −√ 13B. √ 13C. −3D. −17.已知双曲线C ：x 2a 2−y 24=1(a >0)，过左焦点F 的直线l 与双曲线交于A ，B 两点.若存在4条直线l 满足|AB|=8，则实数a 的取值范围是( ) A. (1,16)B. (1,8)C. (1,4)D. (1,2)8.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线x 2=4y 中，一平行于y 轴的光线l 1射向抛物线上的点M ，反射后反射光线经过抛物线的焦点F 射向抛物线上的点N ，再反射后又沿平行y 轴方向的直线l 2射出.则直线l 1与l 2之间的最小距离为( ) A. 4B. 2C. 8D. 16二、多选题：本题共3小题，共18分。

高二下学期期中数学文试题(解析版)

3.在极坐标系中，方程表示的曲线是（）
A 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线
【答案】B
【解析】
方程，可化简为：，即 .
整理得，表示圆心为(0, ，半径为的圆.
故选B.
4.双曲线的焦距为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由双曲线方程得即焦距为，答案为D
考点：双曲线的应用.
直线：即，化为直角坐标方程为．
由点到直线的距离公式得，
故选．
【点睛】本题考查极坐标与直角坐标之间的互化,属于基本题型,解题中关键是运算的准确性.
12.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析：由联想到构造函数，此函数是奇函数，在时，，从而具有单调性，再结合已知可求得不等式解集．
【答案】B
【解析】
【分析】
由的范围可得的取值范围，然后对其分类可得方程所表示的曲线．
【详解】解：是任意实数，
，
当时，方程所表示的曲线是圆；
当且不等于1时，方程所表示的曲线是椭圆；
当时，方程所表示的曲线是双曲线；
当时，方程所表示的曲线是两条直线．
方程所表示的曲线一定不是抛物线．
A. 2个B. 1个C. 0个D.由确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，，所以，令，得，，在x=－1附近，导函数值不变号，所以，关于的函数的极值点的个数为0，选C．
考点：导数计算．
点评：简单题，应用，熟记导数公式．先确定“驻点”的个数．
9.无论为何值，方程所示的曲线必不是（）

重庆市高二下学期数学期中考试考试试卷

重庆市高二下学期数学期中考试考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高一上·定州期中) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2015·合肥模拟) 已知复数（i为虚数单位），那么z的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一上·包头期中) 下列幂函数在（﹣∞，0）上为减函数的是（）A .B .C . y=x3D . y=x24. （2分） (2019高一上·都匀期中) ，，，则，，的大小关系是（）A .B .C .D .5. （2分）记f（x）=|log2（ax）|在x∈[， 8]时的最大值为g（a），则g（a）的最小值为（）A .B . 2C .D . 46. （2分） (2020高二下·吉林月考) 的展开式中的系数为（）A . -84B . 84C . -280D . 2807. （2分）已知函数在处可导，则等于（）A .B .C .D . ０8. （2分） (2019高二下·舒兰期中) 10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法（）A . 种B . －种C . 种D . 种9. （2分） (2017高二下·广州期中) 若函数在区间（1，+∞）上单调递增，且在区间（1，2）上有零点，则实数a的取值范围是（）A . （，3）B . （，）C . （，3]D . （﹣∞，3]10. （2分）设,定义符号函数,则（）A .B .C .D .二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2019高一上·兰考月考) 设函数则的值为________．12. （1分）的各项系数和是1024，则由曲线y=x2和y=xa围成的封闭图形的面积为________．13. （1分） (2016高二下·咸阳期末) 若随机变量X的分布列为P（X=i）= （i=1，2，3，4），则P（X ＞2）=________．14. （1分） (2017高二下·启东期末) 函数f（x）=x+2cosx，x∈（0，π）的单调减区间是________．三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分） (2016高二下·张家港期中) 观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为________．16. （1分） (2019高三上·蚌埠月考) 已知，若方程恰有两个实根，，则的最大值是________.17. （1分） (2017高三上·宿迁期中) 已知函数f（x）与g（x）的图象关于原点对称，且它们的图象拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD，不含A（0，1），B（1，1），O（0，0），C（﹣1，﹣1），D（0，﹣1）五个点．则满足题意的函数f（x）的一个解析式为________．四、解答题 (共5题；共25分)18. （5分） (2019高一上·宁波期中) 已知二次函数满足，且．（1）求函数的解析式；（2）求在区间上的最大值；（3）用定义法证明函数在上是增函数．19. （5分）(2017·黄石模拟) 已知函数的定义域为R．（1）求实数m的范围；（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．20. （5分）设数列{an}的前n项和为Sn ，且满足：．（1）求a1 ， a2 ， a3；（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）若bn= （n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn ．21. （5分） (2015高二下·思南期中) 设函数f（x）=lnx﹣ax+ ﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a= 时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．22. （5分） (2019高三上·承德月考) 已知函数，其中（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共3分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共25分)18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、。

巴蜀中学2025届高二下期末考试数学试题参考答案

高2025届高二（下）期末考试参考答案一、单选题1 2 3 4 5 6 7 8 BDACDDCB1．【答案】B 【解析】{}3,4B C = ，故{}()1,2,3,4A B C = ；故选：B ．2．【答案】D 【解析】函数(1)y f x =−的定义域为(1,5)，故函数()y f x =的定义域为(0,4)；故2(0,4)x ∈，解得(2,0)(0,2)x ∈− ；故选：D ．3．【答案】A 【解析】()0f x ′≥在区间D 上单调递增()0f x ′⇔≥在区间D 上恒成立且()0f x ′=的解不连续；故选：A ．4．【答案】C 【解析】这个班级学生的平均身高估计为30201751651715050cm ×+×=；故选：C ． 5．【答案】D 【解析】第一天他俩结伴回家的概率为p ，则0.50.6(1)10.460.54p p +−=−=，即0.10.60.54p −+=，解得0.6p =，故选：D ．6．【答案】D 【详解】由椭圆221:6x C y +=得1,ab c ==，故12(F F ；由题意：动点M 在射线2F P 的延长线上，且1PM PF =；故22212F M F P PM F P F P a =+=+==M 的轨迹是以2)F 为圆心、以2a =22(24x y −+=；故选：D ．7．【答案】C 【解析】由对数函数性质知0.20260.2026log 0.2025log 0.20261c =>=；20262026202520251,log 2025log 2026log 2024log 20215a b =<==<=；()()()22222lg 2024lg 2026lg 20242026lg 2025lg 2024lg 2026lg 2025lg 202522+⋅−⋅>−=−()222lg 2025lg 202502 >−=；故()2lg 2025lg 2024lg 2026lg 2025lg 20240lg2026lg 2025lg 2025lg 2026a b −⋅−=−=>⋅，故a b >；综上所述：b a c <<；故选：C ．8．【答案】B 【解析】选择前往北京或上海研学的学生人数1(30,)4X B ；故当131(301)744k=+×==时，()P X k =取得最大值，故有7位学生选择前往北京或上海研学的概率最大；故选：B ．ADACDABD9．【答案】AD 【解析】220.0250.010105(10302045)3366.109(5.024,6.635)(,)5550307555x x χ××−×==≈∈=×××；A ．根据小概率值0.025α=的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025，A 正确；B ．根据小概率值0.01α=的独立性检验，认为服用药物是无效的，B 错误；C ．该药物的预防有效率45997.5%5511=<，C 错误； D ．若所得数据都扩大到原来的10倍，220.0051061.0917.879x χχ′=≈>=，则根据小概率值0.005α=的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005，D 正确；故选：AD ．10．【答案】ACD 【解析】2()223(3)b x x f x x x b ′=++=，故(2)1402b f +′==，解得3b =−； 323()5f x x x −=+，26()3)3(2f x x x x x ′=−−=，2x =是极小值点，A 正确；极小值(2)1f =，因此函数()f x 只有一个零点， B 错误；22()333(61)f x x x x −′=−−=的对称轴为1x =，故()f x 的对称中心为(1,(1))(1,3)f =，C 正确；设过点(1,1)−的直线与()y f x =的图象相切于点32000(,35)A x x x −+；由3232230000000000035134()362640(1)1x x x x f x x x x x x x −+−−+′=−==⇒−−=−−+，即2002(1)(2)0x x +−=，解得01x =−或02x =，即切点为(1,1)−或(2,1)，故过(1,1)−可以作两条直线与()y f x =的图象相切，D 正确（事实上：三次函数()f x 满足(1)1f −=且极小值(2)1f =，故数形结合知选项D 显然是正确的）；故选：ACD ．11．【答案】ABD【解析】2222772742y x y x y xy ++= + +=⇒；令2yx y θθ−=，即sin ,2sin x y θθθ−；则1sin)x yθθθϕ+=+=+≤，A 正确；2sin )(2sin )2cos 21)11xy θθθθθθϕ=−⋅=+−=+−≤−，B 正确；222237cos 5sin cos 62cos 26)6x y θθθθθθθϕ+=+−=+=++≥−， C 错误；2222427cos 9sin cos 82cos 28)8x y θθθθθθθϕ+=+−=−−=++≥−，D 正确；故选：ABD ．【注】选项A 、C 用圆的参数方程处理更简洁，选项B 、D 由基本不等式处理也比较容易．12．【答案】15,4 −+∞ 【解析】函数()3f x x =在其定义域5,4−+∞上单调递增，51544f −=− ，故()3f x x =的值域为15,4−+∞．13．【答案】(,2)(1,)−∞−−+∞ 【解析】当2x ≤−时，()(2)(2)222f x f x x x x ++=−−+=−−>，解得2x <−；当20x −<<时，2()(2)(2)2f x f x x x ++=−++>，即2320x x ++>，解得10x −<<；当0x ≥时，222()(2)(2)24f x f x x x ++=++≥=恒成立；综上所述：不等式()(2)2f x f x ++>的解集为(,2)(1,)−∞−−+∞ ． 14．【答案】35 1825【解析】游戏1：125P =；游戏2：隔板法：考虑方程2,3,4,5,6x y +=的正整数解的个数（此时所有正整数解必然都满足,5x y ≤）；1111112345221535255C C C C C P ++++===；游戏3：隔板法+排异法：考虑方程3,4,5,6,7,8,9,10x y z ++=且,,5x y z ≤的正整数解的个数； 2222111111234911212333()3()()5C C C C C C C C C C P ++++−+++++=3222333491033()303090185512525C C C C C ++++−−=== ．四、解答题15．【解析】（1）*1()n n n a a a n N +∆=−∈为常数列，故数列{}n a 是等差数列；……………………（4分）由245,24S a ==知1145624d a d a +=+= ，解得132a d == ，故32(1)21n a n n =+−=+．………………（6分）（2）111111(21)(23)22123nn n a a n n b n n +===− ++++，…………………………………………（9分）故1111111111112355721232323646n n n T n n =−+−++−=−=−++++ ．…………………（13分）16．【解析】（1）由题意：45,8µσ==，故612,693µσµσ=+=+；……………………………（2分）[]1(6169)(23)(33)(22)2P X P X P X P X µσµσµσµσµσµσ<≤=+<≤+=−≤≤+−−≤≤+ 0.99730.95450.02142−≈=，所以估计该地区新能源汽车车主共有52340.0214≈万人．…………（4分）（2）由题意：123456762x+++++=，所以22222262177777735()1234562222222i i x x = −=−+−+−+−+−+−= ∑；由已知条件：r………………………（7分）所以61()()35i i i x x y y =−−==∑，所以61621()()35252()3iii i i x x y y b x x ==−−===−∑∑ ；……（10分）所以 7302232y x ab =−=−×= ，所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ223y x =+；………………（13分） 2025年对应年份代码8x =：当8x =时，ˆ282339y=×+=；估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量约为39万辆．……………………………………………（15分） 17．【解析】（1）设0000(,)(0,0)M x y x y >>，则220022001335y x x y −=+= ，解得0012x y = = ，即(1,2)M ；…（3分）将(1,2)M 代入抛物线2(:20)y px p C =>解得2p =，故抛物线C 的标准方程为：24y x =．…（5分）（2）由题意：直线MA MB 、的斜率存在、非零且互为相反数；设直线MA 的方程为(1)2(0)y k x k =−+≠，则直线MB 的方程为(1)2y k x =−−+；设1221(,),(,)A x y B x y ；联立2(1)24y k x y x =−+=，消元得2222(244)(2)0k x k k x k −−++−=；…（7分）由韦达定理：1221(2)M x k x k x −==，即22122(2)44k k k x k k −−+==，同理：22244k k x k ++=；故21212222888,k k x x x x k k k+−−+=−==，………………………………………………………………（11分）故2121212288[(1)2][(1)2]()22k y y k x k x k x x k k k k +−=−+−−−+=+−=−=，故12121l y y k x x −==−−；综上所述：直线l 的斜率为1−．…………………………………………………………………………（15分）【注】本题（2）问也可以设直线:l y kx m =+，并与抛物线联立，代入0MA MB k k +=解得1k =− （通分过程中整理得到20k m +−=的情况对应直线l 恒过定点(1,2)M ，不合题意，须舍去）．18．【解析】（1）1222227,133339P P ==×+−= ．……………………………………………………（4分）（2）121(1)133n n n n P P P P +=+−=−+，故1313434n n P P + −=−− ；…………………………………（7分） 131412P −=−，故13114123n n P − −=−⋅− ，故13114123n n P −=−⋅−．………………………………（9分）（3）定义随机变量(1,2,,)i X i n = ：若甲参加第i 场比赛，则记1i X =；若甲不参加第i 场比赛，则记0i X =；依题意：(1,)i i X B P ，且1ni i X X ==∑；……………………………………………………（12分）故1111111311311()()41234123i i n nn n n i i ii i i i i E X E X E X P n −−===== ====−⋅−=−−∑∑∑∑∑ 113131113141241616313nnn n−− =−⋅=−+⋅− −−．………………………………………………………（17分）19．【解析】（1）设()ln(1)g x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德逼近函数0101()1a a xR x b x+=+；1110023211211(),(),(),()(1)(1)1(1)a a b R x R x g x g x b x b x x x −′′′′′′====−++++ ，………………………（2分）由题意：000(0)(0),(0)(0),(0)(0)g R g R g R ′′′′′′===，011101,21a a a b = ∴= −=−解得01110,1,2a a b ===；所以02()1212xx R x x x ==++．……………………………………………………………………………（4分）（2）因为()(1)f x g x =−，故102(1)()(1)1x R x R x x −=−=+．…………………………………………（7分）【注】题目中只给了函数()f x 在0x =处的[,]m n 阶帕德逼近定义，并没有给函数()f x 在1x =处的[,]m n 阶帕德逼近定义（虽然类推易得）；故只能通过()(1)f x g x =−的方式计算其帕德近似．设函数12(1)()()()ln 1x h x f x R x x x −=−=−+，则2(1)()0(1)x h x x x −′=≥+恒成立，当且仅当1x =时()0h x ′=，故()h x 在(0,)+∞上单调递增；又2(11)(1)ln1011h −=−=+，故当01x <<时，1()()f x R x <；当1x =时，1()()f x R x =；当1x >时，1()()f x R x >．………（9分）（3）证明：当(0,)x ∈+∞时，要证23xx >，两边取对数：即证2ln ln 3x x >；…………………（11分）构造函数()ln x x x ϕ=，则()1ln x x ϕ′=+，所以()x ϕ在1(0,)e上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，故min 11()()x e e ϕϕ==−，故即证123ln ln 32e −>=−，即证31ln 2e>；……………………………（13分）由（2）知：当1x >时，1()()f x R x >，即2(1)ln 1x x x −>+，所以32(1)32112ln 325 2.512e −>==>+成立，所以原不等式得证．………………………………………………………………………………………（17分）。

2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二(下)第一次月考复习数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二(下)第一次月考复习数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，对应的城市数分别为8，16，24.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则中型组中应抽取的城市数为( )A. 3B. 4C. 5D. 62.在复平面内，复数z =1−2i 2009i−2对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若双曲线m 2x 2−y 2+m 2=0(m ≠0)的一条渐近线经过点(√2,2)，则该双曲线的离心率为( )A. √2B. 3C. √62D. √34.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1530石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得253粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A. 169石B. 144石C. 338石D. 1365石5.已知(x +√x 3)n 的展开式中没有常数项，则n 不能是( )A. 5B. 6C. 7D. 86.设z =3i−12−i 2021，i 为虚数单位，则z =( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i7.抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF|=2p ，则双曲线的离心率为( )A. √102B. 2C. √5D. √528. 高三年级有8个班级，分派4位数学老师任教，每个教师教两个班，则不同的分派方法有( )A. P 82P 62P 42P 22B. C 82C 62C 42C 22C. C 82C 62C 42C 22P 44D. C 82C 62C 42C 224!二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.下列说法正确的是( )A. 当m =−1时，复数z =m +1+(m −1)i 是纯虚数B. 复数z =(1+i)(1−i)对应的点在第一象限C. 复数z =1+i1−i ，则|z|=1D. 复数6+5i 与−3+4i 分别表示向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则表示向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的复数为9+i 10. 对于(√x +3x )n (1x +x 3)n (n ∈N ∗)，以下判断正确的有( )A. 存在n ∈N ∗，展开式中有常数项B. 对任意n ∈N ∗，展开式中没有常数项C. 对任意n ∈N ∗，展开式中没有x 的一次项D. 存在n ∈N ∗，展开式中有x 的一次项11. 在三棱锥M −ABC 中，下列命题正确的是( )A. 若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 若G 为△ABC 的重心，则MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 若MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D. 若三棱锥M −ABC 的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=212. 已知函数f(x)=2lnx +1x ，数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=2，a n+1=f(a n )(n ∈N ∗)，则下列有关数列{a n }的叙述正确的是( )A. a 2<a 1B. a n >1C. S 100<100D. a n ⋅a n+1+1<2a n三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若复数z 满足(1−2i)z =−12(2+i)，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为______．14. 解方程C 13x+1=C 132x−3，则x =______． 15. 已知函数g(x)={1x+1−3,−1<x ≤0x 2−3x +2,0<x ≤1，若方程g(x)−mx −m =0有且仅有两个不等的实根，则实数m 的取值范围是______ ．16. 如图，若正四棱锥P −ABCD 的底面边长为2，斜高为√5，则该正四棱锥的体积为______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知点P(x,y)满足条件√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2=4． (Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)直线l 与圆O ：x 2+y 2=1相切，与曲线C 相较于A ，B 两点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−43，求直线l 的斜率．18. 若C 322n+6=C 32n+2(n ∈N +)，且f(x)=(2x −3)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ．(1)求a 1+a 2+a 3+⋯+a n 的值． (2)求f(20)−20除以6的余数．19. 已知函数f(x)=e x−1−mx −2． (1)当m =1时，求函数f(x)的极值；(2)设m ∈R ，求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值g(m)．20. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90°，且AB =AA 1=1，E ，F 分别是CC 1，BC 的中点． (Ⅰ)求证：B 1F ⊥平面AEF ； (Ⅱ)求三棱锥E −AB 1F 的体积．21. 已知点A(−3,0)，B(3,0)，动点P 满足|PA|=2|PB|．(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．22.已知函数f(x)=xlnx．(Ⅰ)设g(x)=f(x)−ax，若不等式g(x)≥−1对一切x∈(0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)设0<x1<x2，若实数x0满足，f(x0)=f(x2)−f(x1)，证明：x1<x0<x2．x2−x1参考答案及解析1.答案：B解析：本题主要考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．用样本容量乘以中型组城市数所占的比例，即得中型组中应抽取的城市数．解：中型组城市数所占的比例为1648=13，样本容量为12，故中型组中应抽取的城市数为12×13=4，故选B．2.答案：B解析：解：z=1−2i 2009i−2=1−2i−2+i=(1−2i)(−2−i)(−2+i)(−2−i)=−45+35i，在复平面内对应的点是(−45,35)，位于第二象限．故选B．先将z化成代数形式，再根据复数与复平面内对点的对应关系确定选项．本题考查复数的基本运算、复数的几何意义，属于基础题．3.答案：C解析：解：由双曲线的m2x2−y2+m2=0，整理得：y2m2−x2=1，由渐近线过(√2,2)，∴4m2=(√2)2，即m2=2，∴双曲线方程为：x22−y2=1，∴a=√2，b=1，c=√2+1∴e=ca =√62，故选：C．将双曲线方程转化成标准方程：y2m2−x2=1，将(√2,2)，代入渐近线方程，即可求得m的值，根据离心率公式即可求得双曲线的离心率．本题主要考查双曲线的定义、渐近线和离心率的综合应用，考计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：本题考查简单随机抽样，属于基础题．解：由题意，这批米内夹谷约为1530×28253≈169石，故选A ．5.答案：D解析：本题考查二项式定理的运用，注意运用通项公式和指数的运算性质，考查化简整理的运算能力，属于基础题．求出通项公式，并化简，运用指数的运算性质，令指数幂为0，即可求出结果．解：(x +√x3)n的通项公式为T r+1=C n r x n−r (√x3)r=C nr x n−43r 由展开式中没有常数项，可得n −43r =0不成立，当n =5,6,7时，方程无正整数解； n =8时，r =6方程有解．故选D ．6.答案：B解析：解：∵i 2021=i ⋅i 2020=i ⋅(i 2)1010=i ⋅(−1)1010=i ， ∴z =3i−12−i 2021=3i−12−i=(3i−1)(2+i)(2−i)(2+i)=5i−55=−1+i ，故选：B ．利用复数的四则运算求解．本题主要考查了复数的四则运算，考查了学生的计算能力，是基础题．7.答案：A解析：解：抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F(p 2,0)，其准线方程为x =−p2 ∵准线经过双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点∴a =p2∵点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF|=2p ， ∴M 的横坐标为32p。

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重庆市巴蜀中学高二数学下学期期中试题文（含解析）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项）
1.2(1)1ii（）
A. 1i B. 1i C. 1i D. 1i
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合复数的运算法则计算其值即可.
【详解】由复数的运算法则有：


2
2121(1)21111112iiiiiiiiiiiii






.

故选：C.
【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的乘法运算等知识，意在考查学生的转化能力
和计算求解能力.

2.三个正整数x，y，z满足条件: xy，yz，3xz，若5z，则y的最大值是（）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合不等式的性质和不等式的传递性即可确定y的最大值.
【详解】由不等式的性质结合题意有：,5,53xxyy，
即,5,15.15xyyxyx，
由于,,xyz都是正整数，故y的最大值是13.
故选：B.
【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，不等式的传递性等知识，意在考查学生的转
化能力和计算求解能力.
3.圆形铜钱中间有一个边长为4毫米的正方形小孔，已知铜钱的直径为16毫米，现向该铜钱
上随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），那么该粒米落入小孔内的概率为（）

A. 14 B. 116 C. 4 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】
算出正方形小孔的面积和铜钱的面积，利用几何概型的概率公式可得所求的概率.
【详解】设A为“该粒米落入小孔内”，因为正方形小孔的面积为16平方毫米，铜钱的面积
为64平方毫米，故161644PA，故选A.
【点睛】几何概型的概率计算关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面
积、几何体的体积等．

4.设n个数据1x，2x，，nx的平均数为x，则其方差

222
2

121n
Sxxxxxxn


.若数据1a，2a，3a，4a，的方差为3，则数

据121a，221a，321a，421a的方差是（）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合方差的性质求解数据121a，221a，321a，421a的方差即可.
【详解】由题意结合方差的性质可得数据121a，221a，321a，421a的方差为：
2
2312
.

故选：D.
【点睛】本题主要考查方差的性质及其应用，属于基础题.
5.正方体1111ABCDABCD中，E是棱CD的中点，若2AB，则点B到平面1AAE的距
离是（）

A. 5 B. 455 C. 355 D. 255
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合几何体的结构特征利用等体积法求解点面距离即可.
【详解】设点B到平面1AAE的距离为h，由等体积法可知：11BAAEAABEVV，

即111133AAEABESSAAh△△，1111252223232h,
解得：4h55.
【点睛】本题主要考查点面距离的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.

6.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有北乡8758人，西乡有7236人，南乡
有8356人，现要按人数多少从三个乡共征集487人，问从各乡征集多少人”.在上述问题中，
需从南乡征集的人数大约是（）
A. 112 B. 128 C. 145 D. 167
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意利用分层抽样的方法结合抽样比即可确定需从南乡征集的人数.
【详解】由题意结合分层抽样的方法可知，需从南乡征集的人数为：
83564178
487167.1216787587236835625


.

故选：D.
【点睛】本题主要考查分层抽样的方法及其应用，属于基础题.
7.某四棱锥的三视图如图所示，在四棱锥的四个侧面中，面积的最大值是（）
A. 2 B. 22 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】
首先确定几何体的空间结构特征，然后求解其几个侧面积中的最大值即可.
【详解】如图所示，三视图对应的几何体为图中的四棱锥1AABDM，

其中正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点M为棱BC的中点，
很明显112ABAADASS△△，1112222MBAS△，
由于119,5,22AMMDAD，
故19585cos5235MAD，125sin5MAD，
1
12
355325AMDS
△
，

则四棱锥的四个侧面中，面积的最大值是3.
故选：D.
【点睛】本题主要考查三视图还原几何体的方法，三角形面积公式及其应用等知识，意在考
查学生的转化能力和计算求解能力.

8.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）

A. 45 B. 56 C. 76 D. 78
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意确定流程图的功能，然后计算其输出值即可.
【详解】由题意可知，流程图的功能为计算111112233445S的值，

裂项求和可得：11111114122334455S.
故选：A.
【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．

9.函数()(cos)xfxaxe，若曲线()yfx在点,33f处的切线垂直于y轴，则实
数a（）
A. 312 B. 132 C. 312 D. 312
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求得导函数的解析式，然后利用导数与函数切线的关系得到关于a的方程，解方程即可
确定a的值.
【详解】由函数的解析式可得：()(cossin)xfxaxxe，

曲线()yfx在点,33f处的切线垂直于y轴，则：
3
13
0322fae








，解得：312a.

故选：A.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导函数与函数切线的关系等知识，意在考查学生的
转化能力和计算求解能力.

10.将十进制数47化为二进制数，根据二进制数“满二进一”的原则，采用“除二取余法”，
得如下过程：472231，232111，11251，5221，2210，
1201
，把以上各步所得余数从后面到前面依次排列，从而得到47的二进制数为101111，

记作: (2)47101111.类比上述方法，根据三进制数“满三进一”的原则，则(3)47（）
A. 202 B. 1202 C. 1021 D. 2021
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用所给的信息计算47除以3的余数和商，并辗转相除可得其三进制表示.
【详解】注意到：
473152,15350,5312
，1301，

结合题意可得：3(47)1202.
故选：B.
【点睛】本题主要考查新知识的应用，数制之间的转化方法等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.

11.不等式|2||21|2||xaax对一切Rx都成立，则实数a的取值范围是（）
A. )1,3( B. (1,3) C. 1,13 D.
1
1,3




【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合绝对值三角不等式得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实数a的取值范围.

【详解】题中所给的不等式即：1||22axax，

则：1||2222aaaaxxxx，
据此得绝对值不等式：122aa，
故22122aa，整理可得：1(31)(1)0,13aaa.