高考总复习全套完整资料------第63课时 空间距离
利用空间向量求空间角与距离
【反思·感悟】空间距离包括两点间的距离、点到线的距离、 点到面的距离等.其中点到点、点到线的距离可以用空间向量的 模来求解，而点到面的距离则借助平面的法向量求解，也可借 助于几何体的体积求解.
用空间向量解决探索性问题 【方法点睛】
探索性问题的类型及解题策略 探索性问题分为存在判断型和位置判断型两种： (1)存在判断型 存在判断型问题的解题策略是：先假设存在，并在假设的前提 下进行推理，若不出现矛盾则肯定存在，若出现矛盾则否定假 设.
t2 t2 4 t 2 2t2 2
即
4
5
解得t= 或t=4(舍去，因为AD=4-t>0)，
所以AB=4 .……………………………………………………8分
5
②假设在线段AD上存在一个点G(如图)，使得点G到点P、B、 C、D的距离都相等，
设G(0,m,0)(其中0≤m≤4-t)，则
GC 1,3 t m,0,GD 0,4 …t …m,…0…,G9P分 (0, m, t)
【例1】(1)(2012•合肥模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则直线 BC1与平面A1BD夹角的余弦值是( )
(A) 2
4
(C) 3
3
(B) 2
3
(D) 3
2
(2)(2012·天津模拟)如图，在五面 体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD,
AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点， AF=AB=BC=FE= 1 AD.
点容易造成失分，在备考时要高度关注：
(1)建系前缺少证明垂直关系而使步骤不完整.
备 考 (2)建系不恰当，导致点的坐标不易确定或求解时繁琐.
建 议
(3)不会利用直线的方向向量及平面法向量解决相应问题.
高考数学真题求距离公式
高考数学真题求距离公式高考数学中，求距离是一个常见的考点，通过解答求距离相关的问题可以检验学生对距离公式的掌握程度。
在高考数学考试中，求距离的题目通常涉及到空间几何知识，涵盖的内容比较广泛，需要考生熟练掌握相关的公式和思考方法。
本文将从高考数学真题的角度出发，介绍一些常见的求距离公式及解题技巧，帮助考生在考试中更好地应对这类题目。
一、二维平面坐标系中的求距离公式在二维平面坐标系中，已知两点的坐标为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，求这两点之间的距离常用的公式是：AB的长度 = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)。
这个公式实际上就是两点之间的距离公式，通过计算两点的横纵坐标之差的平方和再开根号，可以得到这两点之间的距离。
例如，已知A(-1, 2)和B(3, -4)两点的坐标，求这两点之间的距离。
按照上面的公式，AB的长度= √((3-(-1))² + (-4-2)²) = √(4²+(-6)²) =√(16+36) = √52，即AB的长度为√52。
二、三维空间坐标系中的求距离公式在三维空间坐标系中，求两点之间的距离的方法与二维平面坐标系类似，只是需要考虑三个坐标轴的坐标。
当已知A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)两点的坐标时，求这两点之间的距离的公式是：AB的长度= √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)。
这个公式也是根据两点的坐标差的平方和再开根号来计算的。
举个例子，已知A(1, 2, 3)和B(4, -1, 2)两点的坐标，求这两点之间的距离。
按照上述公式，AB的长度= √((4-1)² + (-1-2)² + (2-3)²) = √(3² + (-3)² + (-1)²) = √(9 + 9 + 1) =√19，即AB的长度为√19。
高三数学高考一本通立体几何第一轮复习课件 第6课时 空间距离
知识整合
• 1、距离的基本概念 • （1）点到面的距离：从平面外一点引一个平面的 垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这 个平面的距离。 • （2）直线到它平行平面的距离：一条直线上的任 一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到 平面的距离。 • （3）两个平行平面间的距离：两平行平面的公垂 线段的长度叫做两平行平面的距离。 • （4）两条异面直线间的距离是指两条异面直线的 公垂线夹在两异面直线间的公垂线段的长度。
例题精析
例题精析
例5：如图已知正方体ABCD－ A1B1C1D1的棱长为a，求异 面直线BD与B1C的距离。
例题精析
• 评析：异面直线距离转化为线面距离再转 化为点面间距离；或者异面直线距离转化 为两平行面间距离再转化点面距离。这是 大的思路，其中直接用定义求出要求的距 离除外。
• 1、两点间的距离求法：可以利用空间两点距离公式。 • 2、有关点到直线、点到平面的距离的求法。 （1）点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线段。 （2）点到平面的距离是有关距离问题的重点，它主要由 三种方法求得：①用定义，直接能作出这段距离，经论 证再计算。②用二面角的平面角性质：平面角的一边上 任意一点到另一边的距离都垂直于第二边所在的平面， 先作“点”所在平面与另一“平面”组成的二面角的平 面角，过“点”向平面角另一边作垂线，这垂线段长即 为此“点”到“平面”的距离。③转化为锥体的高，用 三棱锥体积公式求点到平面的距离。 • 3、直线和平面的距离与两平行平面的距离可转化为点 到平面的距离来求。
高中数学立体几何空间距离问题
立体几何空间距离问题空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.●难点磁场(★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离.P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图)(1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角（2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离●案例探究［例1］把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求：(1)EF 的长；(2)折起后∠EOF 的大小.命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目.知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直.技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单.解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－42a , a ),F (42a , 42a ,0) 21||||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420)0,42,42(),42,42,0()2(23,43)420()4242()042(||)1(22222-=>=<==-=⋅+-+⨯=⋅=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF∴∠EOF =120°［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.错解分析：本题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.解法一：如图，连结AC 1，在正方体AC 1中，∵A 1C 1∥AC ,∴A 1C 1∥平面AB 1C ，∴A 1C 1与平面AB 1C 间的距离等于异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.连结B 1D 1、BD ，设B 1D 1∩A 1C 1=O 1,BD ∩AC =O ∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，∴AC ⊥平面BB 1D 1D∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D 1D ，连结B 1O ，则平面AB 1C ∩平面BB 1D 1D =B 1O 作O 1G ⊥B 1O 于G ，则O 1G ⊥平面AB 1C∴O 1G 为直线A 1C 1与平面AB 1C 间的距离，即为异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.在Rt △OO 1B 1中，∵O 1B 1=22，OO 1=1，∴OB 1=21121B O OO += 26∴O 1G =331111=⋅OB B O O O ，即异面直线A 1C 1与AB 1间距离为33.解法二：如图，在A 1C 上任取一点M ，作MN ⊥AB 1于N ，作MR ⊥A 1B 1于R ，连结RN ，∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，∴MR ⊥平面A 1ABB 1，MR ⊥AB 1 ∵AB 1⊥RN ，设A 1R =x ,则RB 1=1－x ∵∠C 1A 1B 1=∠AB 1A 1=45°，∴MR =x ,RN =NB 1=)1(22x - 31)31(23)1(2122222+-=-+=+=x x x RN MR MN (0＜x ＜1)∴当x =31时，MN 有最小值33即异面直线A 1C 1与AB 1距离为33.●锦囊妙计空间中的距离主要指以下七种： (1)两点之间的距离. (2)点到直线的距离. (3)点到平面的距离. (4)两条平行线间的距离. (5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离. (7)两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角(如图)，M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为( )21 D. 23C. B.1 22A.2.(★★★★)三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=1，AB =4，BC =3，∠ABC =90°,设平面A 1BC 1与平面ABC 的交线为l ，则A 1C 1与l 的距离为( )A.10B.11C.2.6D.2.4二、填空题3.(★★★★)如左下图，空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为_________.4.(★★★★)如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C 的度数为30°，那么EF与平面ABCD的距离为_________.三、解答题5.(★★★★★)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：(1)求证：平面A1BC1∥平面ACD1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离；(3)求点B1到平面A1BC1的距离.6.(★★★★★)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a,求：(1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(3)三棱锥B1—EAC的体积.7.(★★★★)如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.(1)求点A到平面B1BCC1的距离；(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.8.(★★★★★)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =2π,AB = 31AD =a ,∠ADC =arccos552,P A ⊥面ABCD 且P A =a .(1)求异面直线AD 与PC 间的距离；(2)在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF 的距离为36.参考答案 难点磁场解：(1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足 连结QE ，∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b , ∴AE =22ba ab +在Rt △QAE 中，QA =21P A =c∴QE =22222ba b a c ++∴Q 到BD 距离为22222ba b a c ++.(2)解法一：∵平面BQD 经过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离.在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =22ba ab +∴AH =22222)(ba cb a abc ++∴P 到平面BD 的距离为22222)(ba cb a abc ++解法二：设点A 到平面QBD 的距离为h ，由 V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =31S △ABD ·AQ h =22222)(ba cb a abc S AQS BQDABD ++==⋅∆∆歼灭难点训练一、1.解析：过点M 作MM ′⊥EF ,则MM ′⊥平面BCF ∵∠MBE =∠MBC∴BM ′为∠EBC 为角平分线， ∴∠EBM ′=45°,BM ′=2,从而MN =22 答案：A2.解析：交线l 过B 与AC 平行，作CD ⊥l 于D ，连C 1D ，则C 1D 为A 1C 1与l 的距离，而CD 等于AC 上的高，即CD =512,Rt △C 1CD 中易求得C 1D =513=2.6 答案：C二、3.解析：以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =22a ,∴PQ ⊥AB ,同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的长为P 、Q 两点间的最短距离，在Rt △APQ 中，PQ =22)2()23(2222=-=-a a AP AQ a 答案：22a4.解析：显然∠F AD 是二面角E —AB —C 的平面角，∠F AD =30°,过F 作FG ⊥平面ABCD 于G ，则G 必在AD 上，由EF ∥平面ABCD .∴FG 为EF 与平面ABCD 的距离，即FG =2a . 答案：2a三、5.(1)证明：由于BC 1∥AD 1，则BC 1∥平面ACD 1 同理，A 1B ∥平面ACD 1，则平面A 1BC 1∥平面ACD 1(2)解：设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d ，则d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离.易求A 1C 1=5，A 1B =25，BC 1=13，则cos A 1BC 1=652,则sin A 1BC 1=6561,则S 111C B A ∆=61,由于111111D C A B BC A D V V --=，则31S 11BC A ∆·d =)21(31111D C AD ⋅·BB 1,代入求得d =616112,即两平行平面间的距离为616112. (3)解：由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分，则B 1、D 1到平面A 1BC 1的距离相等，则由(2)知点B 1到平面A 1BC 1的距离等于616112. 6.解：(1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ， ∵底面ABCD 是正方形 ∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45° 又DO =22a ，AC =2a ，EO =︒45cos DO =a ，∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a ∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =23a32422322311a a a V EAC B =⋅⋅=-7.解：(1)∵BB 1⊥A 1E ，CC 1⊥A 1F ，BB 1∥CC 1 ∴BB 1⊥平面A 1EF 即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C 在Rt △A 1EB 1中， ∵∠A 1B 1E =45°，A 1B 1=a∴A 1E =22a ,同理A 1F =22a ,又EF =a ，∴A 1E =22a 同理A 1F =22a ,又EF =a∴△EA 1F 为等腰直角三角形，∠EA 1F =90°过A 1作A 1N ⊥EF ，则N 为EF 中点，且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离 ∴A 1N =221a =又∵AA 1∥面BCC 1B ，A 到平面BCC 1B 1的距离为2a ∴a =2，∴所求距离为2(2)设BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，则DD 1必过点N ，易证ADD 1A 1为平行四边形.∵B 1C 1⊥D 1D ,B 1C 1⊥A 1N ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ， 若A 1M =A 1N ，又∠A 1AM =∠A 1D 1N ，∠AMA 1=∠A 1ND 1=90° ∴△AMA 1≌△A 1ND 1,∴AA 1=A 1D 1=3,即当AA 1=3时满足条件. 8.解：(1)∵BC ∥AD ,BC ⊂面PBC ,∴AD ∥面PBC从而AD 与PC 间的距离就是直线AD 与平面PBC 间的距离. 过A 作AE ⊥PB ，又AE ⊥BC ∴AE ⊥平面PBC ，AE 为所求. 在等腰直角三角形P AB 中，P A =AB =a ∴AE =22a(2)作CM ∥AB ，由已知cos ADC =552 ∴tan ADC =21,即CM =21DM ∴ABCM 为正方形，AC =2a ,PC =3a过A 作AH ⊥PC ,在Rt △P AC 中，得AH =36 下面在AD 上找一点F ，使PC ⊥CF取MD 中点F ，△ACM 、△FCM 均为等腰直角三角形∴∠ACM +∠FCM =45°+45°=90°∴FC ⊥AC ,即FC ⊥PC ∴在AD 上存在满足条件的点F .［学法指导］立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养.题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地.大题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系.因此，高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方法.一、领悟解题的基本策略思想高考改革稳中有变.运用基本数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在基本数学思想指导下，归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的经验，解决一般基本数学问题就会自然流畅.二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来.在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面.这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了.三、重视模型在解题中的应用学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、线、面的关系，从而培养空间想象能力.而数学问题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系.它引导我们以模型为依据，找出起关键作用的一些关系或数量，对比数学问题中题设条件，突出特性，设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型，利用其特征规律获取优解.。
高中数学苏教版选择性必修第二册6.3.4空间距离的计算(课件)
所以 cos〈M→C1，M→N〉＝193，sin〈M→C1，M→N〉＝21322，
所以点C1到MN的距离
d＝|M→C1|sin〈M→C1，M→N〉＝
13×2 1322＝2
286 13 .
反思感悟 用向量法求点到直线距离的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求所求点 P 与直线上某一点 A 所构成的向量|A→P|；
设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d，
n·G→E＝0，
－2x＋y＋z＝0，
则n·G→F＝0， 所以－x－y＋2z＝0，
x＝z， 所以y＝z.
令z＝1，此时n＝(1,1,1)，
→
所以
d＝|AG|n·| n|＝
1＝ 3
33，
即点 A 到平面 EFG 的距离为 33.
反思感悟 求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法：d＝|n·|nM→|A|(n 为平面的法向量，A 为平面上一点，MA 为过 点 A 的斜线段)
→ ∴d＝|n·|nA|B|＝83.
课堂小结
1.知识清单： (1)点到直线的距离. (2)点到平面的距离. (3)直线(平面)到平面的距离. 2.方法归纳：数形结合、转化法. 3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导 过程的理解是应用的基础.
随堂演练
1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为
跟踪训练3 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F 分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的 距离.
陕西省西安市昆仑中学高考数学一轮复习讲义 第63课时
课题：变量的相关性与统计案例考纲要求：①会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. ③独立性检验 了解独立性检验（只要求22⨯列联表）的基本思想、方法及其简单应用. ④回归分析 了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.⑤了解上述常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题. 教材复习1.两类变量关系类型：函数关系和相关关系.2.正相关与负相关：如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也由小变大,这种相关称为正相关； 如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值却由大变小这种相关称为负相关. 利用散点图判断正、负相关：①如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关; ②如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关3.回归直线： 设x 和y 是具有相关关系的两个变量，且对应于n 个观测值的n 个点大致分布在一条直线的附近，若所求的直线方程为y bx a =+,其中b 是回归方程的斜率，a 是截距，其中1122211()()()n ni i i i ini nii ii x x y y x y nx yb x x xnxa y ax====⎧--⎪-⎪=⎪=⎨-⎪-⎪=-⎪⎩∑∑∑∑（1）求回归直线方程的一般步骤：①作散点图，判断散点是否在一条直线附近.②如果散点在一条直线附近，利用公式计算a , b ，并写出回归直线方程， ③利用回归方程,由一个变量的值，预测或控制另一个变量的取值.4.⑴对于变量x 与y 随机抽取到的n 对数据1122(,),(,)(,)n n x y x y x y L 样本相关系数r =⑵r 具有以下性质：①当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关； ②当|r|≤1,并且|r|越接近1时，两个变量的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，两个变量的线性相关程度越弱; ⑶相关性检验的步骤：① 作统计假设 ② 根据小概率0.05与2n -在附表中找出r 的一个临界值0.05r ③ 根据样本相关系数计算公式算出r 值 ④ 用统计判断，5.独立性检验()122⨯1Y 2Y 合计1X a b a b + 2Xcd c d +合计a c +b d +n a b c d =+++统计中有一个有用的（读做“卡方”）统计量，它的表达式是= 经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：2.706,3.841与6.635. 当根据具体的数据算出的26.635χ>时，有99%的把握说事件A 与B 有关； 当23.841χ>时，有95%的把握说事件A 与B 有关；当2 2.706χ>时，有90%的把握说事件A 与B 有关. 基本知识方法1.通过散点图只能大致判断两个变量是否具有相关关系,相关程度的大小取决于相关系数的大小.2.求回归直线是一种有固定的程序的“算法”， 在解题中要严格按步骤完成. 3.回归方程的作用在于预测或控制另一个变量的取值，有很强的应用价值.4.回归和相关都是研究两个变量相互关系的分析方法。
高考数学一轮专项复习ppt课件-空间角与距离(通用版)
高考一轮总复习•数学
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2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角
|e·n| 为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 sin φ＝|cos θ|＝ |e||n| ，φ 的取值范围是0，π2.
高考一轮总复习•数学
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3．求二面角的大小 (1)如图 1，AB，CD 是二面角 α-l-β 的两个半平面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝ 〈A→B，C→D〉．
高考一轮总复习•数学
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(2)如图 2、图 3，n1，n2 分别是二面角 α-l-β 的两个半平面 α，β 的法向量，则二面角的 大小 θ 满足 cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉，取值范围是[0，π]．
中，由余弦定理得
CD＝ CE2＋DE2－2CE·DEcos∠CED
＝
1＋3－2×1×
3×－
23＝
7，
由正弦定理得sin∠DEDCE＝sin∠CDCED，
即 sin∠DCE＝
3sin 150°＝ 3 ， 7 27
显然∠DCE 是锐角，所以 cos∠DCE＝ 1－sin2∠DCE＝
1－2
372＝2
5
， 7
第25页
因为 D，F 分别是 AB，OB 的中点，所以 DF＝12OA＝ 3，DF∥OA，易知 OA⊥平面
OFE，所以 DF⊥平面 OFE，所以 DF⊥EF，则 DE＝ DF2＋EF2＝ 10.因为 D，O 分别是 AB，BC 的中点，所以 OD∥AC，OD＝2，所以∠ODE 或其
异面直线所成的角，平移后相交来实现． 补角是异面直线 DE 与 AC 所成的角，则 cos∠ODE＝OD22＋ODDE·D2－EOE2＝ 4＋10－4 ＝
2022届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：9.8空间的距离
• 5.异面直线间的距离——两条异面直线的公 垂线夹在这两条异面直线间的__线_段__的长度.
• 6.直线与平面间的距离——如果一条直线和 一个平面平行，从直线上任意一点向平面引 垂线，__点__与__垂_足__的_连__线__段____的长度.
• 7.两平行平面间的距离——夹在两个平面之 间的___________的长度.
公垂线段
5
第五页，编辑于星期二：二十点 四十五分。
• 8. 假设线段AB∥平面α，那么两端点A、 B到平面α的距离__相__等__；假设线段AB 的中点在平面α内，那么两端点A、B到 平面α的距相离等______.
• 9. 设PA为平面α的一条斜线段，A为斜 足，n为平面α的一个法向量，点P到平 面α的距离为d，那么d=________.
n PA
n
6
第六页，编辑于星期二：二十点 四十五分。
• 10. 如图，AB为异面直线a、b的公垂
• 线,AC=m,BD=n,CD=l,a、b所成的角为
• θ,那么AB= __l_2 _ __m __2 _ __n _2 ___2 _m __n _c .o sθ
7
第七页，编辑于星期二：二十点 四十五分。
• 1.ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折
成直二面角A-BD-C，E是CD的中点，那么异面
直线AE、BC的距离为( ) D
• •
A解.：易证2 CBE.是异面3 直线CA. E与2 3BC的D公. 1垂线段，
其长为所求.易得CE=1，所以选D.
8
第八页，编辑于星期二：二十点 四十五分。
• 2.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，假设
d n DD1 2 3
高三数学高考复习必备精品教案空间中的夹角和距离
芯衣州星海市涌泉学校空间中的夹角和间隔一．【课标要求】1．掌握两条直线所成的角和间隔的概念及等角定理；〔对于异面直线的间隔，只要求会计算已给出公垂线时的间隔〕。
2．掌握点、直线到平面的间隔，直线和平面所成的角；3．掌握平行平面间的间隔，会求二面角及其平面角；二．【命题走向】高考立体几何试题一般一一共有4道(选择、填空题3道,解答题1道),一一共计总分27分左右,考察的知识点在20个以内。
随着新的课程改革的进一步施行,立体几何考题正朝着“多一点考虑,少一点计算〞的开展，从历年的考题变化看,以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与间隔的探求是常考常新的热门话题。
预测2021年高考试题：〔1〕单独求夹角和间隔的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、间隔的问题，分值为6分左右；〔2〕选择、填空题考核立几中的计算型问题,而解答题着重考察立几中的逻辑推理型问题,当然,二者均应以正确的空间想象为前提三．【要点精讲】1．间隔空间中的间隔是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。
其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的间隔．因此，掌握点、线、面之间间隔的概念，理解间隔的垂直性和最近性，理解间隔都指相应线段的长度，懂得几种间隔之间的转化关系，所有这些都是非常重要的求间隔的重点在点到平面的间隔，直线到平面的间隔和两个平面的间隔可以转化成点到平面的间隔，一个点到平面的间隔也可以转化成另外一个点到这个平面的间隔。
〔1〕两条异面直线的间隔两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的间隔；求法：假设知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度〔2〕点到平面的间隔平面外一点P 在该平面上的射影为P′，那么线段PP′的长度就是点到平面的间隔；求法：“一找二证三求〞，三步都必需要清楚地写出来。
等体积法。
高考数学复习第十一讲立体几何之空间距离
第^一讲立体几何之空间距离一、空间距离包括:点与点、点与线、点与面、线与线（异面直线）、线与面（线面平行）、面与面（面面平行）的距离。
要理解各个距离的概念。
二、空间距离的求法重点掌握：线线距离、点面距离、尤其点面距离（1）线线距离：找公垂线段（2）点面距离①直接法（过点向面作作垂线段，即求公垂线段长度）②等体积法（三棱锥）③向量法：设平面的法向量为n , P为平面外一点，Q是平面内任一点,一n PQ 则点P到平面的距离为d等于PQ在法向量n上的投影绝对值。
d --------------------n三、例题讲解1、下列命题中：①PA 矩形ABCD所在的平面，则P、B间的距离等于P到BC的距离；②若a//b,a ,b ,则a与b的距离等于a与的距离；③直线a、b是异面直线，a ,b// ,则a、b之间的距离等于b与的距离④直线a 、b 是异面直线，a ,b ,且// ,则a 、b 之间的距离等于 、 间的距离其中正确的命题个数有（ C ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个1，C 、D 为两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点 M 到截面ABCD 的距离是 ________________解析：取AB 、CD 中点P 、Q ,易证 MPQ 中，PQ 边长的高 MH 为所求，PM丄PQ 口MH2243A-BCDE 中，AE 底面 BCDE 且 AE=CD=a, G 、H 是 BE 、ED 的中点，贝U GH 到面ABD 的距离是解析：连结EC ,交BD 于0,且交GH 于0，则有平面 AEO 面ABD 。
2、如图所示，正方形的棱长为3、在底面是正方形的四棱锥1 i AE EO :"3过E作EK AO于K，则所求距离等于—EK a2 2 AO 64、如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点, G为上底面A1B1C1D1的中心，则点D到平面B1EF的距离_______________ _解：方法1 :建立如图直角坐标系，a a a a则Aa,0,0,B a,a,0,C 0,a,0,E a,2,0 , F2,a,0 ,B1a,a,a ,G 2,2,a设平面B1FE的法向量为n1 x,y,zEFa a —2,2,0 ,EB10,|,an1EF 0, n1 EB, 0a—x2ayaz 0取y 2,则x 2,z可取n12,2, 1DB1ri| 又DB1 a, a, a D到平面B1 EF的距离d —厂l n12a 2a aa3方法2 :等体积法3h a即D到平面B1EF的距离为a 。
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453 课题：空间距离 （一） 主要知识及主要方法： 1.七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的
直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离. 2.点与点的距离：1解三角形及多边形；2向量法：空间任意两点A、B间的距离即线段
AB的长度：设111,,Axyz、222,,Bxyz，则222121212ABxxyyzz
3.两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度.
说明：两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离 求法：1直接法：求两异面直线的公垂线段的长度； 2转化法：转化为线面距离或面面距离；3向量法：
法一、找平面使b且a∥，则异面直线a、b的距离 就转化为直线a到平面的距离，又转化为点A到平面的距离．
法二、在a上取一点A, 在b上取一点B, 设a、b分别 为异面直线a、b的方向向量,求n（na， nb），
则异面直线a、b的距离cosABndABn （此方法移植于点面距离的求法）． 4.点到平面的距离：已知点P是平面外的任意一点，
过点P作PA，垂足为A，则PA唯一，则PA是 点P到平面的距离.即 一点到它在一个平面内的正射影 的距离叫做这一点到这个平面的距离. 结论：连结平面外一点P与内一点所得的线段中，垂线段PA最短. 求法：1直接法：过点P作一平面与平面垂直，再过点P作两平面的交线的垂线即可
2等体积法：3线面平行法：若过点P有一直线l∥平面，则直线l上的任一点到平
面的距离等于到点P到平面的距离.4线段比例转化法：平面的统一斜线上的两点到该平面的距离与这两点到斜足的距离成比例，运用此结论可转化为另一点到该平面的距离. 5向量法：法一、设n是平面的法向量，在内取一点B,
则A到的距离cosABndABn
法二、设AO于O,利用AO和点O在内的向量表示，可确定点O的位置，从而求出AO，即直接求垂线段的长度. 5.直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直
线到平面的距离(转化为点面距离).
A B n
a A b
a n
b
A
B 454
6.距离的共性：这其中距离中，虽然定义不同，但总具有下列几个特征：
1某距离是指相应线段的长度；2此线段是相关线段中最短的；3除两点间的距离外，
其余总与垂直相联系，由此求距离的方法就有几何法和代数等方法. 7.求距离的一般步骤：1找出或作出相关的距离；2证明它符合定义；3归到某三角形
或多边形中计算;4作答. （二）典例分析： 问题1．如图，在长方体
1111ABCDABCD中，1
1ADAA，2AB，
点E在棱AD上移动.1略；2当E为AB的中点时，求点E到面1ACD的距离；3略 (请用多种方法，至少要用向量法)
问题2．如图，在直三棱柱
111
ABCABC中，90ACB，ACBCa，DE,分
别为棱ABBC，的中点，M为棱1AA上的点，二面角MDEA为30． 1证明：111ABCD(此小题略去不写)；
2求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．
(请用多种方法，至少要用向量法)
A B
E
C D
1A 1B
1C 1
D
A C 1A 1B 1C
M 455
问题3．在棱长为1的正方体
1111ABCDABCD中，EF,分别为棱11AABB,的中点，G为棱
11AB上的一点，且1AG（0≤≤1）．则点G到平面1DEF的距离为
.A3 .B22 .C23 .D55
A B
C D
1A 1B
1C 1D
E F G 456
问题4．如图，在三棱柱
111ABCABC中，AB侧面11BBCC，E为棱1
CC上异于C、
1C的一点，1EAEB，已知2AB，12BB，1BC，
13
BCC，求：1异面直线AB与1EB的距离；2略.
问题5．棱长均为a的正三棱柱中，D为AB的中点，
连结1AD，DC，1AC.1求证：1BC∥平面1ADC (略去不写)；2求1BC到平面1ADC的距离.
（三）课后作业： 1.A平面，,ABAC是平面的两条斜线，O是A在平面内的射影，4AO，
3OC，BOOC，30OBA，则点C到直线AB的距离为
A B C
1A 1B 1C E
A B C 1A 1B
1C
D 457 P
B E
D
C A
2.在长方体1111ABCDABCD中，4ABBC，13AA，则直线11BC与平面11ABCD的
距离是 .A125 .B4 .C3 .D135
3.如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，2PAAB，
4BC．E是PD的中点．
1求证：平面PDC平面PAD（略去不写）；
2求二面角EACD所成平面角的余弦值（略去不写）；
3求B点到平面EAC的距离．
4.如图，在长方体1111ABCDABCD中，4AB，
3BC，12CC.
1求证：平面11ABC∥平面1ACD（略去不写）；
2求平面11ABC与平面1ACD间的距离.
A B
C D 1A 1B
1C 1
D 458
（四）走向高考： 5.如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长
为2的正方形，AEEB，F为CE上的点，且BF平面ACE. 1求证：AE平面BCE（略去不写）；
2求二面角BACE的大小（略去不写）；
3求点D到平面ACE的距离.
6.如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，
A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是
7.如图，在正三棱柱111ABCABC中，1.AB 若二面角1CABC的大小为60， 则点C到直线AB的距离为
A B
C D
E F A B C 1A 1B 1C A B M C D 459 8.如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，O是底面
1111ABCD的中心，则O到平面11ABCD的距离为
.A21 .B42 .C22 .D2
3
9.如图，已知正三棱柱111ABCABC的侧棱长
和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱
1CC上的点，且12CNCN.
1求二面角1BAMN的平面角的余弦值（略去不写）；
2求点1B到平面AMN的距离(请用多种方法，至少要用向量法)
A
B C M
1B N
1A
1C
A B C D 1C 1
D
1A 1B
O 460 A B C M
1B N
1A
1C