中考数学一轮复习课件：反比例函数
2023年中考数学第一轮复习之模块三 函数—专题3 反比例函数(含解析)
2023年中考数学第一轮复习模块三 函数题型梳理题型一、反比例函数概念及其解析式 1．（2022·海南）若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，则它的图象也一定经过的点是（ ）A ．(2,3)--B ．(3,2)--C ．(1,6)-D ．(6,1)2．（2022·贵州遵义）反比例函数()0ky k x=≠与一次函数1y x =-交于点()3,A n ，则k 的值为__________．3（2022·黑龙江哈尔滨）已知反比例函数6y x=-的图象经过点()4,a ，则a 的值为___________．题型二、反比例函数的图像与性质1．（2022·北京）在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）2.（2022·广东）点()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x=图象上，则1y ，2y ，3y ，4y 中最小的是（ ） A ．1y B ．2yC ．3yD ．4y3．（2022·广西贺州）己知一次函数y kx b =+的图象如图所示，则y kx b =-+与by x=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2022·湖南）在同一平面直角坐标系中，函数1(0)y kx k =+≠和(0)ky k x=≠的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．题型三、反比例函数k 的几何意义1．（2022·湖南郴州）如图，在函数()20=>y x x 的图像上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数()80y x x=-<的图像于点B ，连接OA ，OB ，则AOB 的面积是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．102．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数3yx=的图象上，顶点A在反比例函数kyx=的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（）A．2B．1C．1-D．2-3．（2022·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数8yx=和kyx=的图象交于P、Q两点．若S∥POQ＝15，则k的值为（）A．38B．22C．﹣7D．﹣224．（2022·广西桂林）如图，点A在反比例函数y＝kx的图像上，且点A的横坐标为a（a＜0），AB∥y轴于点B，若AOB的面积是3，则k的值是_____．5．（2022·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，∥AOB 的边OB 在y 轴上，边AB 与x 轴交于点D ，且BD =AD ，反比例函数y =kx(x >0)的图像经过点A ，若S ∥OAB =1，则k 的值为___________．6．（2022·山东烟台）如图，A ，B 是双曲线y ＝kx（x ＞0）上的两点，连接OA ，O B ．过点A 作AC ∥x 轴于点C ，交OB 于点D ．若D 为AC 的中点，∥AOD 的面积为3，点B 的坐标为（m ，2），则m 的值为 _____．7．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，点A 是反比例函数(0)ky x x=<图象上一点，过点A 作AB ∥y 轴于点D ，且点D 为线段AB 的中点．若点C 为x 轴上任意一点，且∥ABC 的面积为4，则k =______________．8．（2022·贵州铜仁）如图，点A 、B 在反比例函数ky x=的图象上，AC y ⊥轴，垂足为D ，BC AC ⊥．若四边形AOBC 间面积为6，12AD AC =，则k 的值为_______．题型四、反比例函数的不等式问题1．（2022·湖北荆州）如图是同一直角坐标系中函数12y x =和22y x =的图象．观察图象可得不等式22x x>的解集为（ ）A ．11x -<<B ．1x <-或1x >C ．1x <-或01x <<D ．10x -<<或1x >2．（2022·内蒙古呼和浩特）点()121,-a y 、()2,a y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，若120y y <<，则a 的取值范围是______．3．（2022·广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2my x=的图象交于点()()2,2,,1A B n --．当12y y <时，x 的取值范围是_________．题型五、反比例函数的实际问题1．（2022·江苏常州）某城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为（ ） A ．50y x =+ B ．50y x =C ．50y x=D ．50=x y2．（2022·河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的1R ），1R 的阻值随呼气酒精浓度K 的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M 与呼气酒精浓度K 的关系见图3．下列说法不正确．．．的是（ ）A ．呼气酒精浓度K 越大，1R 的阻值越小B ．当K ＝0时，1R 的阻值为100C ．当K ＝10时，该驾驶员为非酒驾状态D ．当120=R 时，该驾驶员为醉驾状态3．（2022·山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强()Pa p 是它的受力面积2()m S 的反比例函数，其函数图象如图所示，当20.25m S =时，该物体承受的压强p 的值为_________ Pa ．4．（2022·吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V （单位：3m ）变化时，气体的密度ρ（单位：3kg/m ）随之变化．已知密度ρ与体积V 是反比例函数关系，它的图像如图所示．(1)求密度ρ关于体积V 的函数解析式； (2)当3m 10V =时，求该气体的密度ρ．题型六、反比例函数的综合题1．（2022·内蒙古通辽）如图，点D 是OABC 内一点，AD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，BD =，120BDC ∠=︒，BCD S =△()0ky x x =<的图像经过C ，D 两点，则k 的值是（ ）A ．-B ．6-C ．-D ．12-2．（2022·湖北十堰）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数()110k y k x =>和()220ky k x=>的图象上．若BD y ∥轴，点D 的横坐标为3，则12k k +=（ ）A ．36B ．18C ．12D ．93．（2022·贵州毕节）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，对角线交于点E ，反比例函数(0,0)ky x k x=>>的图像经过点C ，E ．若点(3,0)A ，则k 的值是_________．4．（2022·贵州黔东南）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC x ⊥轴于点B ，直角顶点A 在y 轴上，双曲线()0ky k x=≠经过AC 边的中点D ，若BC =k =______．5．（2022·山东威海）正方形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，4）．若反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象经过点C ，则k 的值为 _____．6．（2022·四川宜宾）如图，∥OMN 是边长为10的等边三角形，反比例函数y =kx(x >0)的图象与边MN 、OM分别交于点A 、B （点B 不与点M 重合）．若AB ∥OM 于点B ，则k 的值为______．题型七、反比例函数与一次函数综合1．（2022·山东聊城）如图，直线()30y px p =+≠与反比例函数()0ky k x=>在第一象限内的图象交于点()2,A q ，与y 轴交于点B ，过双曲线上的一点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线3y px =+于点E ，且:3:4AOB COD S S =△△．(1)求k ，p 的值；(2)若OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，求点C 的坐标．2．（2022·黑龙江大庆）已知反比例函数k y x =和一次函数1y x =-，其中一次函数图象过(3,)a b ，31,3k a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭两点．(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数1,33y x y x ==的图象分别与函数(0)ky x x =>图象交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使得ABP △周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．3．（2022·黑龙江绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫⎪⎝⎭两点，且与反比例函数22ky x =的图象在第一象限内交于P ，K 两点，连接OP ，OAP △的面积为54．(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)当21y y >时，求x 的取值范围；(3)若C 为线段OA 上的一个动点，当PC KC +最小时，求PKC 的面积．4．（2022·湖南岳阳）如图，反比例函数()0ky k x=≠与正比例函数()0y mx m =≠的图象交于点()1,2A -和点B ，点C 是点A 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ．(1)求该反比例函数的解析式； (2)求ABC 的面积；(3)请结合函数图象，直接写出不等式kmx x<的解集．5．（2022·四川宜宾）如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴交于点()40A ，，与y 轴交于点B ，与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点C 、D ．若tan 2BAO ∠=，3BC AC =．(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求OCD 的面积．6．（2022·湖北恩施）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知∥ACB =90°，A (0，2)，C (6，2)．D 为等腰直角三角形ABC 的边BC 上一点，且S △ABC =3S △ADC ．反比例函数y 1=kx(k ≠0)的图象经过点D ．(1)求反比例函数的解析式；(2)若AB 所在直线解析式为()20y ax b a =+≠，当12y y >时，求x 的取值范围．7．（2022·山东青岛）如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴正半轴相交于点C ，与反比例函数2y x=-的图象在第二象限相交于点(1,)A m -，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，AD CD =．(1)求一次函数的表达式；(2)已知点(,0)E a 满足CE CA =，求a 的值．8．（2022·辽宁营口）如图，在平面直角坐标系中，OAC 的边OC 在y 轴上，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A 和点()2,6B ，且点B 为AC 的中点．(1)求k 的值和点C 的坐标； (2)求OAC 的周长．9．（2022·内蒙古呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2my x=的图象交于A 、B 两点，且A 点的横坐标为1，过点B 作BE x ∥轴，AD BE ⊥于点D ，点71,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C 是直线BE上一点，且AC =．(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，请直接写出不等式0mkx b x+-<的解集．10．（2022·四川达州）如图，一次函数1y x=+与反比例函数kyx=的图象相交于(,2)A m，B两点，分别连接OA，OB．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求AOB的面积；(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2023年中考数学第一轮复习模块三 函数题型梳理题型一、反比例函数概念及其解析式 1．（2022·海南）若反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，则它的图象也一定经过的点是（ ）A ．(2,3)--B ．(3,2)--C ．(1,6)-D ．(6,1) 【答案】C【分析】先利用反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，求出k 的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∥反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点(2,3)-，∥k ＝2×（﹣3）＝﹣6，∥（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6， （﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6， 1×（﹣6）＝﹣6， ,6×1＝6≠﹣6，则它一定还经过（1，﹣6），故选：C ．2．（2022·贵州遵义）反比例函数()0ky k x=≠与一次函数1y x =-交于点()3,A n ，则k 的值为__________． 【答案】6【分析】将点()3,A n ，代入1y x =-，求得n ，进而即可求解． 【详解】解：将点()3,A n ，代入1y x =-， 即312n =-=， ()3,2A ∴，326k ∴=⨯=， 故答案为：6．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，求得点A 的坐标是解题的关键．3（2022·黑龙江哈尔滨）已知反比例函数6y x =-的图象经过点()4,a ，则a 的值为___________．【答案】32-【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a 的值即可． 【详解】解：把点()4,a 代入6y x =-得：6342a =-=-． 故答案为：32-．题型二、反比例函数的图像与性质1．（2022·北京）在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）【答案】＞【分析】根据反比例函数的性质，k >0，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∥k >0，∥在每个象限内，y 随x 的增大而减小， 25＜， ∥1y >2y ． 故答案为：>．2.（2022·广东）点()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x=图象上，则1y ，2y ，3y ，4y 中最小的是（ ） A ．1yB ．2yC ．3yD ．4y【答案】D【分析】根据反比例函数的性质可直接进行求解． 【详解】解：由反比例函数解析式4y x=可知：40>，∥在每个象限内，y 随x 的增大而减小，∥点()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x=图象上， ∥1234y y y y >>>，故选D ．3．（2022·广西贺州）己知一次函数y kx b =+的图象如图所示，则y kx b =-+与by x=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题意可得0,0k b >>，从而得到一次函数y kx b =-+的图象经过第一、二、四象限，反比函数by x=的图象位于第一、三象限内，即可求解． 【详解】解：根据题意得：0,0k b >>， ∥0k -<，∥一次函数y kx b =-+的图象经过第一、二、四象限，反比函数by x=的图象位于第一、三象限内．故选：A 4．（2022·湖南）在同一平面直角坐标系中，函数1(0)y kx k =+≠和(0)ky k x=≠的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】分0k >或0k <，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：当0k >时，一次函数1y kx =+经过第一、二、三象限，反比例函数ky x=位于第一、三象限；当0k <时，一次函数1y kx =+经过第一、二、四象限，反比例函数ky x=位于第二、四象限； 故选：D ．题型三、反比例函数k 的几何意义1．（2022·湖南郴州）如图，在函数()20=>y x x 的图像上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数()80y x x=-<的图像于点B ，连接OA ，OB ，则AOB 的面积是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．10【答案】B【分析】作AD ∥x 轴，BC ∥x 轴，由1122OBE OCBE AOE ADOE S S S S ∆∆==，即可求解； 【详解】解：如图，作AD ∥x 轴，BC ∥x 轴，∥8OCBE S BC BE =⋅=，2ADOE S AD AE =⋅=∥10OCBE ADOE S S += ∥1122OBE OCBE AOE ADOE S S S S ∆∆==，∥()152AOB OBE AOE OCBE ADOE S S S S S ∆∆∆=+=+=故选：B ． 2．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数3y x=的图象上，顶点A 在反比例函数ky x=的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是5，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【分析】连接OA ，设AB 交y 轴于点C ，根据平行四边形的性质可得1522AOBOBADS S ==，AB ∥OD ，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．【详解】解：如图，连接OA ，设AB 交y 轴于点C ，∥四边形OBAD 是平行四边形，平行四边形OBAD 的面积是5， ∥1522AOBOBADSS ==，AB ∥OD ，∥AB ∥y 轴， ∥点B 在反比例函数3y x=的图象上，顶点A 在反比例函数ky x=的图象上， ∥3,22COBCOAkSS ==-，∥35222AOBCOBCOAk SSS=+=-=，解得：2k =-．故选：D ．3．（2022·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数8y x =和ky x=的图象交于P 、Q 两点．若S ∥POQ ＝15，则k 的值为（ ）A ．38B ．22C ．﹣7D ．﹣22【答案】D【分析】设点P （a ，b ），Q （a ，k a ），则OM ＝a ，PM ＝b ，MQ ＝k a-，则PQ ＝PM +MQ ＝kb a -，再根据ab ＝8，S △POQ ＝15，列出式子求解即可．【详解】解：设点P （a ，b ），Q （a ，k a ），则OM ＝a ，PM ＝b ，MQ ＝ka-，∥PQ ＝PM +MQ ＝kb a-． ∥点P 在反比例函数y ＝8x的图象上，∥ab ＝8．∥S △POQ ＝15，∥12PQ •OM ＝15，∥12a （b ﹣k a）＝15．∥ab ﹣k ＝30． ∥8﹣k ＝30， 解得：k ＝﹣22． 故选：D ．4．（2022·广西桂林）如图，点A 在反比例函数y ＝kx的图像上，且点A 的横坐标为a （a ＜0），AB ∥y 轴于点B ，若AOB 的面积是3，则k 的值是 _____．【答案】﹣6【分析】根据题意和反比例函数的性质，可以得到k 的值． 【详解】解：设点A 的坐标为（a ，ka），由图可知点A 在第二象限，∥a ＜0，0ka>， ∥k ＜0，∥∥AOB 的面积是3， ∥32k a a⋅=，解得k ＝-6， 故答案为：-6． 5．（2022·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，∥AOB 的边OB 在y 轴上，边AB 与x 轴交于点D ，且BD =AD ，反比例函数y =kx(x >0)的图像经过点A ，若S ∥OAB =1，则k 的值为___________．【答案】2【分析】作A 过x 轴的垂线与x 轴交于C ，证明∥ADC ∥∥BDO ，推出S ∥OAC = S ∥OAB =1，由此即可求得答案．【详解】解：设A (a ，b ) ，如图，作A 过x 轴的垂线与x 轴交于C ，则：AC =b ，OC =a ，AC ∥OB ，∥∥ACD =∥BOD =90°，∥ADC =∥BDO ，∥∥ADC ∥∥BDO ，∥S ∥ADC =S ∥BDO ，∥S ∥OAC =S ∥AOD + S ∥ADC =S ∥AOD + S ∥BDO = S ∥OAB =1， ∥12×OC ×AC =12ab =1， ∥ab =2，∥A (a ，b ) 在y =k x上， ∥k =ab =2 ．故答案为：2 ．6．（2022·山东烟台）如图，A ，B 是双曲线y ＝k x（x ＞0）上的两点，连接OA ，O B ．过点A 作AC ∥x 轴于点C ，交OB 于点D ．若D 为AC 的中点，∥AOD 的面积为3，点B 的坐标为（m ，2），则m 的值为 _____．【答案】6【分析】应用k 的几何意义及中线的性质求解． 【详解】解：D 为AC 的中点，AOD ∆的面积为3，∴AOC ∆的面积为6，所以122k m ==，解得：m ＝6．故答案为：6．7．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，点A 是反比例函数(0)k y x x=<图象上一点，过点A 作AB ∥y 轴于点D ，且点D 为线段AB 的中点．若点C 为x 轴上任意一点，且∥ABC 的面积为4，则k =______________．【答案】4- 【分析】设点,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用()1242=⨯-⨯=ABC k S a a △即可求出k 的值． 【详解】解：设点,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∥点D 为线段AB 的中点．AB ∥y 轴∥22AB AD a ==-，又∥()1242=⨯-⨯=ABC k S a a△， ∥4k =-．故答案为：4-8．（2022·贵州铜仁）如图，点A 、B 在反比例函数k y x =的图象上，AC y ⊥轴，垂足为D ，BC AC ⊥．若四边形AOBC 间面积为6，12AD AC =，则k 的值为_______．【答案】3 【分析】设点,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得AD a =，k OD a =，从而得到CD =3a ，再由BC AC ⊥．可得点B 3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭k a a ，从而得到23k BC a=，然后根据AOD AOBC OBCD S S S =+四边形梯形，即可求解． 【详解】解∥设点,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∥AC y ⊥轴，∥AD a =，k OD a=，∥12AD AC =， ∥AC 2a =，∥CD =3a ，∥BC AC ⊥．AC y ⊥轴，∥BC ∥y 轴，∥点B 3,3⎛⎫ ⎪⎝⎭k a a ， ∥233k k k BC a a a=-=， ∥AOD AOBC OBCD S S S =+四边形梯形，四边形AOBC 间面积为6， ∥12136232k k a k a a ⎛⎫+⨯=+ ⎪⎝⎭， 解得：3k =．故答案为：3．题型四、反比例函数的不等式问题1．（2022·湖北荆州）如图是同一直角坐标系中函数12y x =和22y x =的图象．观察图象可得不等式22x x>的解集为（ ）A ．11x -<<B ．1x <-或1x >C ．1x <-或01x <<D ．10x -<<或1x >【答案】D 【分析】根据图象进行分析即可得结果；【详解】解：∥22x x >∥12y y >由图象可知，函数12y x =和22y x=分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为11x x ==-，， 由图象可以看出当10x -<<或1x >时，函数12y x =在22y x =上方，即12y y >，故选：D ．2．（2022·内蒙古呼和浩特）点()121,-a y 、()2,a y 在反比例函数(0)k y k x=>的图象上，若120y y <<，则a 的取值范围是______．【答案】1a > 【分析】反比例函数中k ＞0，则同一象限内y 随x 的增大而减小，由于120y y <<，得到021a a <-<，从而得到a 的取值范围．【详解】解：∥在反比例函数y =k x中，k ＞0， ∥在同一象限内y 随x 的增大而减小，∥120y y <<，∥这两个点在同一象限，∥021a a <<-，解得：1a >，故答案为：1a >．3．（2022·广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2m y x=的图象交于点()()2,2,,1A B n --．当12y y <时，x 的取值范围是_________．【答案】-2＜x ＜0或x ＞4【分析】先求出n 的值，再观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方时对应的自变量的取值范围即可．【详解】解：∥反比例函数2m y x=的图象经过A （-2，2）， ∥m =-2×2=-4， ∥4y x=-， 又反比例函数4y x=-的图象经过B （n ，-1）， ∥n =4，∥B （4，-1）， 观察图象可知：当12y y <时，图中一次函数的函数值小于反比例函数的函数值，则x 的取值范围为：-2＜x ＜0或x ＞4．故答案为：-2＜x ＜0或x ＞4．题型五、反比例函数的实际问题1．（2022·江苏常州）某城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）A ．50y x =+B ．50y x =C ．50y x =D ．50=x y 【答案】C【分析】根据：平均每人拥有绿地y =总面积总人数，列式求解． 【详解】解：依题意，得：平均每人拥有绿地50y x=． 故选：C2．（2022·河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的1R ），1R 的阻值随呼气酒精浓度K 的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M 与呼气酒精浓度K 的关系见图3．下列说法不正确．．．的是（ ）A ．呼气酒精浓度K 越大，1R 的阻值越小B ．当K ＝0时，1R 的阻值为100C ．当K ＝10时，该驾驶员为非酒驾状态D ．当120=R 时，该驾驶员为醉驾状态【答案】C【分析】根据函数图象分析即可判断A ，B ，根据图3公式计算即可判定C ，D ．【详解】解：根据函数图象可得，A.R 随K 的增大而减小，则呼气酒精浓度K 越大，1R 的阻值越小，故正确，不符合题意；B. 当K ＝0时，1R 的阻值为100，故正确，不符合题意；C. 当K ＝10时，则332200102200101022mg/100ml M K --=⨯⨯=⨯⨯=，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意；D. 当120=R 时，40K =，则332200102200401088mg/100ml M K --=⨯⨯=⨯⨯=，该驾驶员为醉驾状态，故该选项正确，不符合题意；故选:C.3．（2022·山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强()Pa p 是它的受力面积2()m S 的反比例函数，其函数图象如图所示，当20.25m S =时，该物体承受的压强p 的值为_________ Pa ．【答案】400【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S =0.25代入，问题得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为()0k p k S=≠， 由图象得反比例函数经过点（0.1,1000），∥0.11000100k =⨯=，∥反比例函数的解析式为100p S =， 当S =0.25时，1004000.25p ==．故答案为：400 4．（2022·吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V （单位：3m ）变化时，气体的密度ρ（单位：3kg/m ）随之变化．已知密度ρ与体积V 是反比例函数关系，它的图像如图所示．(1)求密度ρ关于体积V 的函数解析式；(2)当3m 10V =时，求该气体的密度ρ．【答案】(1)()100V Vρ=> (2)13kg/m【分析】（1）用待定系数法即可完成；（2）把V =10值代入（1）所求得的解析式中，即可求得该气体的密度．(1)设密度ρ关于体积V 的函数解析式为()0,0k V k V ρ=>≠， 把点A 的坐标代入上式中得：2.54k =， 解得：k =10， ∥()100V V ρ=>． (2)当3m 10V =时，10110ρ==（3kg/m ）． 即此时该气体的密度为13kg/m ．题型六、反比例函数的综合题1．（2022·内蒙古通辽）如图，点D 是OABC 内一点，AD 与x 轴平行，BD 与y 轴平行，BD =，120BDC ∠=︒，BCD S =△()0k y x x =<的图像经过C ，D 两点，则k 的值是（ ）A ．-B ．6-C ．-D ．12-【答案】C【分析】过点C 作CE ∥y 轴于点E ，延长BD 交CE 于点F ，可证明∥COE ∥∥ABE （AAS ），则OE =BD由S ∥BDC =12•BD •CF CF =9，由∥BDC =120°，可知∥CDF =60°，所以DF D 的纵坐标为C （m ，D （m +9，，则k m +9），求出m 的值即可求出k 的值．【详解】解：过点C 作CE ∥y 轴于点E ，延长BD 交CE 于点F ，∥四边形OABC 为平行四边形，∥AB ∥OC ，AB =OC ，∥∥COE =∥ABD ，∥BD ∥y 轴，∥∥ADB =90°，∥∥COE ∥∥ABD （AAS ），∥OE =BD∥S ∥BDC =12•BD •CF ∥CF =9，∥∥BDC =120°，∥∥CDF =60°，∥DF∥点D 的纵坐标为设C （m，D （m +9，，∥反比例函数y =k x（x ＜0）的图像经过C 、D 两点， ∥km +9），∥m =-12，∥k =-故选：C ．2．（2022·湖北十堰）如图，正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数()110k y k x =>和()220k y k x=>的图象上．若BD y ∥轴，点D 的横坐标为3，则12k k +=（ ）A ．36B ．18C ．12D ．9【答案】B 【分析】设P A =PB =PC =PD =t （t ≠0），先确定出D （3，23k ），C （3-t ，23k +t ），由点C 在反比例函数y =2k x 的图象上，推出t =3-23k ，进而求出点B 的坐标（3，6-23k ），再点C 在反比例函数y =1k x的图象上，整理后，即可得出结论．【详解】解：连接AC ，与BD 相交于点P ，设P A =PB =PC =PD =t （t ≠0）．∥点D 的坐标为（3，23k ）， ∥点C 的坐标为（3-t ，23k +t ）． ∥点C 在反比例函数y =2k x 的图象上， ∥（3-t ）（23k +t ）=k2，化简得：t =3-23k ， ∥点B 的纵坐标为23k +2t =23k +2（3-23k ）=6-23k ， ∥点B 的坐标为（3，6-23k ），∥3×（6-23k ）=1k ，整理，得：1k +2k =18． 故选：B ．3．（2022·贵州毕节）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，对角线交于点E ，反比例函数(0,0)k y x k x=>>的图像经过点C ，E ．若点(3,0)A ，则k 的值是_________．【答案】4【分析】作CF 垂直y 轴， 设点B 的坐标为(0，a )，可证明AOB BFC ≌（AAS ），得到CF =OB =a ，BF =AO =3，可得C 点坐标，因为E 为正方形对称线交点，所以E 为AC 中点，可得E 点坐标，将点C 、E 的坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k 的值．【详解】作CF 垂直y 轴于点F ，如图，设点B 的坐标为(0，a )，∥四边形ABCD 是正方形，∥AB =BC ，∥ABC =90°，∥∥OBA +∥OAB =∥OBA +∥FBC =90°∥∥OAB =∥FBC在∥BFC 和∥AOB 中90OAB FBC AOB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∥AOB BFC ≌∥BF =AO =3，CF =OB =a∥OF =OB +BF =3+a∥点C 的坐标为(a ，3+a )∥点E 是正方形对角线交点，∥点E 是AC 中点，∥点E 的坐标为33,22+a +a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∥反比例函数(0,0)k y x k x=>>的图象经过点C ，E ∥()()133/223k a a k a a⎧==+⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得：k =4故答案为：44．（2022·贵州黔东南）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的斜边BC x ⊥轴于点B ，直角顶点A 在y 轴上，双曲线()0k y k x=≠经过AC 边的中点D，若BC =k =______． 【答案】32- 【分析】根据ABC 是等腰直角三角形，BC x ⊥轴，得到AOB是等腰直角三角形，再根据BC = A 点，C 点坐标，根据中点公式求出D 点坐标，将D 点坐标代入反比例函数解析式即可求得k△【详解】∥ABC 是等腰直角三角形，BC x ⊥轴．∥90904545ABO ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒；2AB ==． ∥AOB 是等腰直角三角形．∥BO AO ===故：A，(C ．(D ． 将D 点坐标代入反比例函数解析式．32D D k x y =⋅==-． 故答案为：32-． 5．（2022·山东威海）正方形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，4）．若反比例函数y ＝k x（k ≠0）的图象经过点C ，则k 的值为 _____．【答案】24【分析】过点C作CE∥y轴，由正方形的性质得出∥CBA=90°，AB=BC，再利用各角之间的关系得出∥CBE=∥BAO，根据全等三角形的判定和性质得出OA=BE=2，OB=CE=4，确定点C的坐标，然后代入函数解析式求解即可．【详解】解：如图所示，过点C作CE∥y轴，∥点B（0，4），A（2，0），∥OB=4，OA=2，∥四边形ABCD为正方形，∥∥CBA=90°，AB=BC，∥∥CBE+∥ABO=90°，∥∥BAO+∥ABO=90°，∥∥CBE=∥BAO，∥∥CEB=∥BOA=90°，∥ABO BCE，∥OA=BE=2，OB=CE=4，∥OE=OB+BE=6，∥C（4，6），将点C代入反比例函数解析式可得：k=24，故答案为：24．6．（2022·四川宜宾）如图，∥OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y=kx(x>0)的图象与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB∥OM于点B，则k的值为______．【答案】【分析】过点B 作BC ∥x 轴于点C ，过点A 作AD ∥x 轴于点D ，设OC =x ，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得点B (x )，点A (15-2x ，-，再利用反比例函数的性质列方程，解方程即可求解．【详解】解：过点B 作BC ∥x 轴于点C ，过点A 作AD ∥x 轴于点D ，如图：∥∥OMN 是边长为10的等边三角形，∥OM =MN =ON =10，∥MON =∥MNO =∥M =60°，∥∥OBC =∥MAB =∥NAD =30°，设OC =x ，则OB =2x ，BC ，MB =10-2x ，MA =2MB =20-4x ，∥NA =10-MA =4x -10，DN =12NA =2x -5，AD x -- ∥OD =ON -DN =15-2x ，∥点B (x )，点A (15-2x ，-，∥反比例函数y =k x(x >0)的图象与边MN 、OM 分别交于点A 、B ，∥x =(15-2x -，解得x =5(舍去)或x =3，∥点B (3，，∥k题型七、反比例函数与一次函数综合1．（2022·山东聊城）如图，直线()30y px p =+≠与反比例函数()0k y k x=>在第一象限内的图象交于点()2,A q ，与y 轴交于点B ，过双曲线上的一点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ，交直线3y px =+于点E ，且:3:4AOB COD S S =△△．(1)求k ，p 的值；(2)若OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，求点C 的坐标．【答案】(1)8k ，12p = (2)点C 的坐标为(4，2)【分析】（1）先求出点B 的坐标，得到3OB =，结合点A 的横坐标为2，求出AOB 的面积，再利用:3:4AOB COD S S =△△求出4COD S =，设,k C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入面积中求出k ，得到反比例函数解析式，再将点A 横坐标代入出点A 纵坐标，最后将点A 坐标代入直线()30y px p =+≠即可求解；（2）根据（1）中点C 的坐标得到点E 的坐标，结合OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，列出关于m 的方程，解方程即可求解．(1)解：∥直线3y px =+与y 轴交点为B ，∥()0,3B ，即3OB =．∥点A 的横坐标为2， ∥13232AOB S =⨯⨯=． ∥:3:4AOB COD S S =△△，∥4COD S =， 设,k C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∥142k m m⋅=， 解得8k ．∥点()2,A q 在双曲线8y x=上， ∥4q =， 把点()2,4A 代入3y px =+，得12p =， ∥8k ，12p =； (2)解：由（1）得,k C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∥1,32E m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． ∥OE 将四边形BOCE 分成两个面积相等的三角形，∥BOE COE S S =△△， ∥32BOE S π=△，13422COE m S m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭△， ∥3134222m m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 解得4m =或4m =-（不符合题意，舍去），∥点C 的坐标为（4，2）．2．（2022·黑龙江大庆）已知反比例函数k y x =和一次函数1y x =-，其中一次函数图象过(3,)a b ，31,3k a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭两点．(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数1,33y x y x ==的图象分别与函数(0)k y x x =>图象交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使得ABP △周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3y x=(2)【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；（2）作点B 关于y 轴的对称点'B ，连接'AB ，交y 轴于点P ，进行计算即可；(1) 解：把(3,)(31,)3k a b a b ++，代入1y x =-，得 313113b a k b a =-⎧⎪⎨+=+-⎪⎩， 解得，3k =， 所以反比例函数解析式是3y x=；(2)存在点P 使∥ABP 周长最小，理由： 解133y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和33y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得， 31x y =±⎧⎨=±⎩和13x y =±⎧⎨=±⎩， 0x ，∴31x y =⎧⎨=⎩和13x y ， ∴()()3,1,1,3A B ，作点B 关于y 轴的对称点'B ，连接'AB ，交y 轴于点P ，当点A 、P 、'B 在一条直线上时，线段'AB 的长度最短，所以存在点P 使∥ABP 周长最小，∥ABP 的周长=AB BP AP ++'AP AB B A =++'AB B A =+ ，===3．（2022·黑龙江绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，且与反比例函数22k y x =的图象在第一象限内交于P ，K 两点，连接OP ，OAP △的面积为54．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)当21y y >时，求x 的取值范围；(3)若C 为线段OA 上的一个动点，当PC KC +最小时，求PKC 的面积．【答案】(1)115,22y x =-+22.y x= (2)01x <<或4x >， (3)65【分析】（1）先运用待定系数法求出直线解析式，再根据OAP △的面积为54和直线解析式求出点P 坐标，从而可求出反比例函数解析式；（2）联立方程组并求解可得点K 的坐标，结合函数图象可得出x 的取值范围；（3）作点K 关于x 轴的对称点K '，连接KK '，PK '交x 轴于点C ，连接KC ，则PC +KC 的值最小，求出点C 的坐标，再根据PKC AKM KMC PAC S S S S ∆∆∆∆=--求解即可．(1)解：∥一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点， ∥把()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入11y k x b =+得， 1505,2k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，11252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∥一次函数解析式为115,22y x =-+ 过点P 作PH x ⊥轴于点H ，∥(5,0),A∥5,OA 又5,4PAO S ∆= ∥15524PH ⨯⨯= ∥1,2PH = ∥151222x -+=， ∥4,x = ∥1(4,)2P ∥1(4,)2P 在双曲线上， ∥2142,2k =⨯= ∥22.y x= (2) 解：联立方程组得，15222y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得，1112x y =⎧⎨=⎩ ，22412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∥(1,2),k根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有01x <<或4x >， ∥当21y y >时，求x 的取值范围为01x <<或4x >，(3)解：作点K 关于x 轴的对称点K '，连接KK '交x 轴于点M ，则K '（1，-2），OM =1，连接PK '交x 轴于点C ，连接KC ，则PC +KC 的值最小， 设直线PK '的解析式为,y mx n =+ 把1(4,),(1,2)2P K '-代入得，2142m n m n +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得，56176m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∥直线PK '的解析式为517,66y x =- 当0y =时，106657x -=，解得，751x =， ∥17(,0)5C ∥175OC = ∥17121,55MC OC OM =-=-= 178555AC OA OC =-=-= 514AM OA OM =-=-=，∥PKC AKM KMC PAC S S S S ∆∆∆∆=--1112181422225252=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 122455=-- 65= 4．（2022·湖南岳阳）如图，反比例函数()0k y k x =≠与正比例函数()0y mx m =≠的图象交于点()1,2A -和点B ，点C 是点A 关于y 轴的对称点，连接AC ，BC ．(1)求该反比例函数的解析式；(2)求ABC 的面积；(3)请结合函数图象，直接写出不等式k mx x<的解集． 【答案】(1)2y x =- (2)4(3)1x <-或01x <<【分析】（1）把点()1,2A -代入()0k y k x=≠可得k 的值，求得反比例函数的解析式； （2）根据对称性求得B 、C 的坐标然后利用三角形面积公式可求解． （3）根据图象得出不等式k mx x <的解集即可． (1)解：把点()1,2A -代入()0k y k x =≠得：21k =-， ∥2k =-， ∥反比例函数的解析式为2y x=-； (2)∥反比例函数()0k y k x=≠与正比例函数()0y mx m =≠的图象交于点()1,2A -和点B ， ∥()1,2B -，∥点C 是点A 关于y 轴的对称点， ∥()1,2C ，∥2CD =， ∥()122242ABC S =⨯⨯+=△． (3) 根据图象得：不等式k mx x<的解集为1x <-或01x <<． 5．（2022·四川宜宾）如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴交于点()40A ，，与y 轴交于点B ，与反比例函数()0ky x x =>的图象交于点C 、D ．若tan 2BAO ∠=，3BC AC =．。
(沪科版)中考数学总复习课件【第12讲】反比例函数及其应用
∴煅烧时的函数表达式为 y＝128x ＋32(0≤x≤6)．
第12讲┃反比例函数及其应用
4800 (2) 当 x＝480 时，y＝ ＝ 10，10－6＝4(min)，∴锻造的操 480 作时间有 4 min.
第12讲┃反比例函数及其应用
核心考点三
相关知识
常见类型
用反比例函数解决实际问题
主要知识列举 1.矩形中，当面积 S 一定时，长 a 与宽 b 的关
S 系：a＝ .2.三角形中，当面积 S 一定时，高 h b 几何问题 2S 与相应的底 a 的关系：h＝ a 当路程 s 一定时，时间 t 是速度 v 的反比例函 行程问题 s 数，即 t＝ v
第11讲┃一次函数及其应用
核心练习
k 5． [2014·邵阳] 已知反比例函数 y＝ 的图象经过点( －1， 2)， x
-2 则 k＝ ________ ．
图 12 －5
第12讲┃反比例函数及其应用
k 6．[ 2014·娄底] 如图 12－5 所示，M 为反比例函数 y＝ 的 x 图象上的一点，MA 垂直于 y 轴，垂足为 A，△MAO 的面积为 2，则
第12讲┃反比例函数及其应用
(2) 求 k 的值； (3) 当 x＝16 时，大棚内的温度约为多少度？
图 12 －7
第12讲┃反比例函数及其应用
解： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度为 18 ℃的时间为 10 小时． k k (2) ∵点 B(12， 18)在双曲线 y＝ 上，∴18＝ ，∴k＝216. x 12 216 (3) 当 x＝16 时， y＝ ＝13.5 ， 16 ∴当 x ＝16 时，大棚内的温度约为 13.5 ℃.
中考数学：反比例函数复习
y P(m,n) o A x
SOAP
1 1 1 OA AP | m | | n | | k | 2 2 2
（2）过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足 分别为A、B，则有：
y
B
P(m,n)
o
A
x
S矩形OAPB =OA AP= mn k
（3）设P（m,n)关于原点的对称点是P’(-m,-n), 过P作x轴的垂线与过P作y轴的垂线交于点A，则 有：
（12安徽12分）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商 场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总 金额满200元但不足400元，少付100元；…，乙商 场按顾客购买商品的总金额打6折促销。 （2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为x（400≤x <600）元，优惠后得到商家的优惠率为p（p=优惠 金额/购买商品的总金额），写出p与x之间的函数关 系式，并说明p随x的变化情况；
x x x
A B C D
k1>k2>k3 k3>k2>k1 k2>k1>k3 k3>k1>k2
k 如图，A、B是双曲线 y x (k 0) ，A、B两点
的横坐标分别为1、2，线段AB的延长线交x 轴于点C，若△AOC的面积为6，求k的值。
y A
B o
c
x
（12攀枝花，8分）某校根据《学校卫生工作条例》， 为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”。已 知药 物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量 （毫克）与燃烧时间（分钟）之间的关系如图所示 （即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分）， 根据图象所示信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，与之间的函数关系式及 自变量的取值范围；
中考数学考点专题复习课件反比例函数的图象和性质
解：(1)过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F，∵点 D 的坐标为(4，3)，∴OF
＝4，DF＝3，∴OD＝5，∴AD＝5，∴点 A 坐标为(4，8)，∴k＝xy＝4×8
＝32，∴k＝32 (2)将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，使得点 D 落在函数 y＝3x2(x＞0)的
图象 D′点处，过点 D′做 x 轴的垂线，垂足为 F′.∵DF＝3，∴D′F′＝3，∴ 点 D′的纵坐标为 3，∵点 D′在 y＝3x2的图象上，∴3＝3x2，解得：x＝332，即 OF′＝332，∴FF′＝332－4＝230，∴菱形 ABCD 平移的距离为230
3．(2015·苏州)若点 A(a，b)在反比例函数 y＝2x的图象上，则代数式 ab
－4 的值为( B)
A．0 B．－2 C．2 D．－6
4．(2015·牡丹江)在同一直角坐标系中，函数 y＝－xa与 y＝ax＋1(a≠0)
的图象可能是( B )
,A)
,B)
,C)
,D)
5．(2015·青岛)如图，正比例函数 y1＝k1x 的图象与反 比例函数 y2＝kx2的图象相交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标为 2，当
①ACMN ＝||kk12||； ②阴影部分面积是12(k1＋k2)； ③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|； ④若 OABC 是菱形，则两双曲线既关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称．
其中正确的是①__④__．(把所有正确的结论的序号都填上)
(3)(2015·宿迁)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(8，1)，B(0，－3)， 反比例函数 y＝kx(x＞0)的图象经过点 A，动直线 x＝t(0＜t＜8)与反比例函数 的图象交于点 M，与直线 AB 交于点 N.
2024年中考数学一轮复习考点精析及真题精讲—反比例函数
2024年中考数学一轮复习考点精析及真题精讲—反比例函数反比例函数也是非常重要的函数,年年都会考,总分值为15分左右，预计2024年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考察的重点.→➊考点精析←一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念：一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围自变量x 和函数值y 的取值范围都是不等于0的任意实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．表达式kyx=（k是常数，k≠0）k k>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数kyx=交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．五、反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定.①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．六、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．→➋真题精讲←考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y ，等号右边是关于自变量x 的分式，分子是不为零的常数k ，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k ≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x 的指数为1．1．（山东滨州·中考真题）下列函数：①y =2x ﹣1；②5y=x -；③y =x 2+8x ﹣2；④22y=x；⑤1y=2x ；⑥ay=x中，y 是x 的反比例函数的有▲（填序号）【答案】②⑤．【解析】反比例函数的定义．【分析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：①y=2x ﹣1是一次函数，不是反比例函数；②5y=x -是反比例函数；③y=x 2+8x ﹣2是二次函数，不是反比例函数；④22y=x不是反比例函数；⑤1y=2x 是反比例函数；⑥ay=x中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数．故答案为②⑤．2．（2023·山西·统考中考真题）已知(2,),(1,),(3,)A a B b C c --都在反比例函数4y x=的图象上，则a 、b 、c 的关系是（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】B【分析】先根据反比例函数中0k >判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数4y x=中0k >，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．∵20,10,-<-<∴(2,),(1,)A a B b --位于第三象限，∴0,0,a b <<∵210,-<-<∴0.a b >>∵30,>∴点(3,)C c 位于第一象限，∴0,c >∴.b a c <<故选：B ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．3．（2023·湖南永州·统考中考真题）已知点()2,M a 在反比例函数ky x=的图象上，其中a ，k 为常数，且0k >﹐则点M 一定在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据反比例函数中的0k >，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M 点的横坐标判断点M 所在的象限，即可解答【详解】解：0k > ，∴反比例函数ky x=的图象经过第一、三象限，故点M 可能在第一象限或者第三象限，()2,M a 的横坐标大于0，()2,M a ∴一定在第一象限，故选：A ．【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象限与k 值的关系是解题的关键．考向二反比例函数的图象和性质当k >0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．4．（2020·山东威海·中考真题）一次函数y ax a =-与反比例函数(0)ay a x=≠在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．【解析】当0a >时，0a -<，则一次函数y ax a =-经过一、三、四象限，反比例函数(0)ay a x=≠经过一、三象限，故排除A ，C 选项；当0a <时，0a ->，则一次函数y ax a =-经过一、二、四象限，反比例函数(0)ay a x=≠经过二、四象限，故排除B 选项，故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键．5．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点()()1122,,,A x y B x y 在反比例函数2y x=-的图像上，且120x x <<，则下列结论一定正确的是（）A ．120y y +<B ．120y y +>C ．120y y -<D ．120y y ->【答案】D【分析】把点A 和点B 的坐标代入解析式，根据条件可判断出1y 、2y 的大小关系．【详解】解：∵点()11,A x y ，()22,B x y ）是反比例函数2y x=-的图像上的两点，∴11222x y x y ==-，∵120x x <<，∴210y y <<，即120y y ->，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．6.（2023·山西·统考中考真题）已知(2,),(1,),(3,)A a B b C c --都在反比例函数4y x=的图象上，则a 、b 、c 的关系是（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】B【分析】先根据反比例函数中0k >判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数4y x=中0k >，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．∵20,10,-<-<∴(2,),(1,)A a B b --位于第三象限，∴0,0,a b <<∵210,-<-<∴0.a b >>∵30,>∴点(3,)C c 位于第一象限，∴0,c >∴.b a c <<故选：B ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．7．（2020·湖北武汉·中考真题）若点()11,A a y -，()21,B a y +在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，且12y y >，则a 的取值范围是（）A ．1a <-B ．11a -<<C ．1a >D ．1a <-或1a >【答案】B【分析】由反比例函数(0)ky k x=<，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，由此分三种情况①若点A 、点B 在同在第二或第四象限；②若点A 在第二象限且点B 在第四象限；③若点A 在第四象限且点B 在第二象限讨论即可．【解析】解：∵反比例函数(0)ky k x=<，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x 的增大而增大，①若点A 、点B 同在第二或第四象限，∵12y y >，∴a-1＞a+1，此不等式无解；②若点A 在第二象限且点B 在第四象限，∵12y y >，∴1010a a -⎧⎨+⎩＜＞，解得：11a -<<；③由y 1＞y 2，可知点A 在第四象限且点B 在第二象限这种情况不可能．综上，a 的取值范围是11a -<<．故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．8.已知点A(m ，2)、B(2，n )都在反比例函数xm y 3+=的图象上．(1)求m 、n 的值；(2)若直线y mx n =-与x 轴交于点C ，求C 关于y 轴对称点C′的坐标．【解析】解：（1）将点A(m ，2)、B(2，n )的坐标代入xm y 3+=得：32m m +=，解得3m =；333322m n ++===，所以3m n ==.（2）直线为33y x =-，令01y x ==，，所以该直线与x 轴的交点坐标为C （1,0），C 关于y 轴对称点C′的坐标为(－1，0)．考向三反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式ky x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入ky x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．9．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，点A （﹣2，1），B （3，2），C （﹣6，m ）分别在三个不同的象限．若反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象经过其中两点，则m 的值为_____．【答案】-1．【分析】根据已知条件得到点(2,1)A -在第二象限，求得点(6,)C m -一定在第三象限，由于反比例函数(0)k y k x =≠的图象经过其中两点，于是得到反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过(3,2)B ，(6,)C m -，于是得到结论．【解析】解： 点(2,1)A -，(3,2)B ，(6,)C m -分别在三个不同的象限，点(2,1)A -在第二象限，∴点(6,)C m -一定在第三象限，(3,2)B 在第一象限，反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过其中两点，∴反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过(3,2)B ，(6,)C m -，326m ∴⨯=-，1m ∴=-，故答案为：1-．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．10.当k 为何值时22(1)k y k x-=-是反比例函数？【点拨】根据反比例函数解析式(0)ky k x=≠，也可以写成1(0)y kx k -=≠的形式，后一种表达方法中x 的次数为-1，由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为221k -=-且10k -≠，二者必须同时满足，缺一不可．【解析】解：令221,10,k k ⎧-=-⎨-≠⎩①②由①得，k ＝±1，由②得，k ≠1．综上，k ＝－1，即k ＝－1时，22(1)k y k x-=-是反比例函数．【总结】反比例函数解析式的三种形式：①k y x=；②1y kx -=；③.(0)xy k k =≠．11.已知2(3)m y m x -=-的图象是双曲线，且在第二、四象限，(1)求m 的值．(2)若点(－2，1y )、(－1，2y )、(1，3y )都在双曲线上，试比较1y 、2y 、3y 的大小．【答案】解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且2130m m -=-⎧⎨-≠⎩，∴1m =.(2)由(1)得此函数解析式为：2y x=-．∵(－2，1y )、(－1，2y )在第二象限，－2＜－1，∴120y y <<．而(1，3y )在第四象限，30y <．∴312y y y <<考向四反比例函数中k 的几何意义三角形的面积与k 的关系：（1）因为反比例函数ky x=中的k 有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k |，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．12．（2023·湖南·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 是反比例函数()0ky k x=≠图像上的一点，过点A 分别作AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，若四边形AMON 的面积为2．则k 的值是（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】A【分析】证明四边形ANOM 是矩形，根据反比例函数的k 值的几何意义，即可解答．【详解】解：AM x ⊥ 轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，90MON ∠=︒，∴四边形AMON 是矩形，四边形AMON 的面积为2，2k ∴=，反比例函数在第一、三象限，2k ∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的k 值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x 轴，y 轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为k 是解题的关键．13．（2023·广西·统考中考真题）如图，过(0)k y x x=>的图象上点A ，分别作x 轴，y 轴的平行线交1y x=-的图象于B ，D 两点，以AB ，AD 为邻边的矩形ABCD 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，若23452S S S ++=，则k 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】设(),A a b ，则1,B b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,D a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,C b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据坐标求得1S ab k ==，241S S ==，推得31211S b a ⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎝⎭⎝=⎭，即可求得．【详解】设(),A a b ，则1,B b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,D a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,C b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∵点A 在(0)k y x x=>的图象上则1S ab k ==，同理∵B ，D 两点在1y x=-的图象上，则241S S ==故3511122S --==，又∵31211S b a ⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎝⎭⎝=⎭，即112ab =，故2ab =，∴2k =，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．14．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB 三个顶点的坐标分别为(0,0),O A B OAB '△与OAB 关于直线OB 对称，反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象与A B '交于点C ．若A C BC '=，则k 的值为（）A ．BC D 【答案】A【分析】过点B 作BD x ⊥轴，根据题意得出1,BD OD ==腰三角形的判定和性质得出2OB AB ==，30BOA BAO ∠∠==︒，利用各角之间的关系180OBA OBD '∠+∠=︒，确定A '，B ，O 三点共线，结合图形确定)2C，然后代入反比例函数解析式即可．【详解】解：如图所示，过点B 作BD x ⊥轴，∵(0,0),O A B ，∴1,BD OD ==∴AD OD ==，tan BD BOA OD ∠==∴2OB AB ===，30BOA BAO ∠∠==︒，∴60OBD ABD ∠∠==︒，120OBA ∠=︒，∵OA B ' 与OAB 关于直线OB 对称，∴120OBA '∠=︒，∴180OBA OBD '∠+∠=︒，∴A '，B ，O 三点共线，∴2A B AB '==，∵A C BC '=，∴1BC =，∴2CD =，∴)2C，将其代入(0,0)k y k x x=>>得：k =，故选：A ．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．15．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线11y k x b =+与双曲线22k y x=（其中120k k ⋅≠）相交于()2,3A -，(),2B m -两点，过点B 作BP x ∥轴，交y 轴于点P ，则ABP 的面积是___________．【答案】152【分析】把()2,3A -代入到22k y x=可求得2k 的值，再把(),2B m -代入双曲线函数的表达式中，可求得m 的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．【详解】∵直线11y k x b =+与双曲线22k y x=（其中120k k ⋅≠）相交于()2,3A -，(),2B m -两点，∴2232k m =-⨯=-∴263k m =-=，，∴双曲线的表达式为：26y x=-，()3,2B -，∵过点B 作BP x ∥轴，交y 轴于点P ，∴3BP =，∴1153(32)22ABP S =⨯⨯+= ，故答案为：152．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k 值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．16．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，点()2,2A 在双曲线(0)ky x x=>上，将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B ，交双曲线于点C ．若2BC =，则点C 的坐标是___________．【答案】【分析】求出反比例函数解析式4(0)y x x=>，证明45DOA ∠=︒，过点A 作x 轴的垂线段交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线段交y 轴于点D ，通过平行线的性质得到45DBC ∠=︒，解直角三角形求点C 的横坐标，结合反比例函数解析式求出C 的坐标，即可解答．【详解】解：把()2,2A 代入(0)k y x x=>，可得22k=，解得4k =，∴反比例函数解析式4(0)y x x=>，如图，过点A 作x 轴的垂线段交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线段交y 轴于点D ，()2,2A ，AE OE ∴=，45AOE ∴∠=︒，9045AOD AOE ∴∠=︒-∠=︒，将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B ，45CBD ∴∠=︒,在Rt CBD △中，sin 452CD CB =︒=，2CD ∴==即点C把x =4(0)y x x=>，可得y =，C∴，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点C 的横坐标是解题的关键．17．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数1y x m =-+与反比例函数2ky x=相交于点A 和点()3,1B -．(1)求m 的值和反比例函数解析式；(2)当12y y >时，求x 的取值范围．【答案】(1)2m =，3y x=-；(2)1x <-或03x <<【分析】（1）根据一次函数1y x m =-+的图象与反比例函数2ky x=的图象交于()3,1A -、B 两点可得m 的值，进而可求反比例函数的表达式；（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【详解】（1）将点()3,1B -代入1y x m =-+得：31m -+=-解得：2m =将()3,1B -代入2ky x=得：()313k =⨯-=-∴23y x=-（2）由12y y =得：32x x--+=，解得121,3x x =-=所以,A B 的坐标分别为()()1,3,3,1A B --由图形可得：当1x <-或03x <<时，12y y >【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质．18．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，已知120k k ≠，设函数11k y x=与函数()2225y k x =-+的图象交于点A 和点B ．已知点A 的横坐标是2，点B 的纵坐标是4-．(1)求12,k k 的值．(2)过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，在第二象限交于点C ；过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，在第四象限交于点D ．求证：直线CD 经过原点．【答案】(1)110k =，22k =；(2)见解析【分析】（1）首先将点A 的横坐标代入()2225y k x =-+求出点A 的坐标，然后代入11k y x=求出110k =，然后将点B 的纵坐标代入110y x =求出5,42B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后代入()2225y k x =-+即可求出22k =；（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C 和点D 的坐标，然后利用待定系数法求出CD 所在直线的表达式，进而求解即可．【详解】（1）∵点A 的横坐标是2，∴将2x =代入()22255y k x =-+=∴()2,5A ，∴将()2,5A 代入11k y x=得，110k =，∴110y x =，∵点B 的纵坐标是4-，∴将4y =-代入110y x =得，52x =-，∴5,42B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴将5,42B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入()2225y k x =-+得，254252k ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，∴解得22k =，∴()222521y x x =-+=+；（2）如图所示，由题意可得，5,52C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,4D -，∴设CD 所在直线的表达式为y kx b =+，∴55224k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=-⎩，解得20k b =-⎧⎨=⎩，∴2y x =-，∴当0x =时，0y =，∴直线CD 经过原点．【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．考向六反比例函数的应用用反比例函数解决实际问题的步骤（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；（5）解：用函数解析式去解决实际问题．19.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【点拨】（1）先用代定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；（2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．【解析】解：（1）设线段AB 所在的直线的解析式为y 1=k 1x+20，把B （10，40）代入得，k 1=2，∴y 1=2x+20．设C 、D 所在双曲线的解析式为y 2=x k 2，把C （25，40）代入得，k 2=1000，∴xy 10002=当x 1=5时，y 1=2×5+20=30，当31003010003022===y x 时，，∴y 1＜y 2∴第30分钟注意力更集中．（2）令y 1=36，∴36=2x+20，∴x 1=8令y 2=36，∴x 100036≈，∴8.273610002≈=x ∵27.8﹣8=19.8＞19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．【总结】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．20.如图，是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓度y （微克/毫升）用药后的时间x （小时）变化的图象（图象由线段OA 与部分双曲线AB 组成）．并测得当y=a 时，该药物才具有疗效．若成人用药4小时，药物开始产生疗效，且用药后9小时，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物浓则至少需要多长时间达到最大度？【点拨】利用待定系数法分别求出直线OA 与双曲线的函数解析式，再令它们相等得出方程，解方程即可求解．【解析】解：设直线OA 的解析式为y=kx ，把（4，a ）代入，得a=4k ，解得k=4a ，即直线OA 的解析式为y=4a x ．根据题意，（9，a ）在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为y=xa 9．当4a x=x a 9时，解得x=±6（负值舍去），故成人用药后，血液中药物则至少需要6小时达到最大浓度．【总结】本题考查了反比例函数的应用，直线与双曲线交点的求法，利用待定系数法求出关系式是解题的关键．考向七反比例函数与平面几何综合类型一最值问题21．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形ABC的直角顶点()30C ，，顶点A 、()6B m ，恰好落在反比例函数k y x=第一象限的图象上．(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB 所对应的一次函数的表达式；(2)在x 轴上是否存在一点P ，使ABP 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6y x =，142y x =-+；(2)在x 轴上存在一点()5,0P ，使ABP 周长的值最小,最小值是【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，证明()AAS ACE CBD ≌，则3,CD AE BD EC m ====，由3OE m =-得到点A 的坐标是()3,3m -，由A 、()6B m ，恰好落在反比例函数k y x=第一象限的图象上得到()336m m -=，解得1m =，得到点A 的坐标是()2,3，点B 的坐标是()6,1，进一步用待定系数法即可得到答案；（2）延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP ，利用轴对称的性质得到AP A P '=，()2,3A '-，则AP PB A B '+=，由AB =AB 是定值，此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小，利用待定系数法求出直线A B '的解析式，求出点P 的坐标，再求出周长最小值即可．【详解】（1）解：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，则90AEC CDB ∠=∠=︒，∵点()30C ，，()6B m ，，∴3,6,OC OD ==BD m =，∴3CD OD OC =-=，∵ABC 是等腰直角三角形，∴90,ACB AC BC ∠=︒=，∵90ACE BCD CBD BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACE CBD ∠=∠，∴()AAS ACE CBD ≌，∴3,CD AE BD EC m ====，∴3OE OC EC m =-=-，∴点A 的坐标是()3,3m -，∵A 、()6B m ，恰好落在反比例函数k y x=第一象限的图象上．∴()336m m -=，解得1m =，∴点A 的坐标是()2,3，点B 的坐标是()6,1，∴66k m ==，∴反比例函数的解析式是6y x =，设直线AB 所对应的一次函数的表达式为y px q =+，把点A 和点B 的坐标代入得，2361p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得124p q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线AB 所对应的一次函数的表达式为142y x =-+，（2）延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP，∴点A 与点A '关于x 轴对称，∴AP A P '=，()2,3A '-，∵AP PB A P PB A B ''+=+=，∴AP PB +的最小值是A B '的长度，∵AB =AB 是定值，∴此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小，设直线A B '的解析式是y nx t =+，则2361n t n t +=-⎧⎨+=⎩，解得15n t =⎧⎨=-⎩，∴直线A B '的解析式是5y x =-，当0y =时，05x =-，解得5x =，即点P 的坐标是()5,0，此时AP PB AB AB A B '++=+==+，综上可知，在x 轴上存在一点()5,0P ，使ABP 周长的值最小，最小值是【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．类型二存在性22．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx b =+与x 轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点()0,2B ，与反比例函数m y x =在第四象限内的图象交于点()6,C a ．(1)求反比例函数的表达式：(2)当m kx b x+>时，直接写出x 的取值范围；(3)在双曲线m y x =上是否存在点P ，使ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6y x=-；(2)<2x -或06x <<；(3)()32-，或()16-，【分析】（1）将()4,0A ，()0,2B 代入y kx b =+,求得一次函数表达式，进而可得点C 的坐标，再将点C 的坐标代入反比例函数即可；（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；（3）过点A 作AP BC ⊥交y 轴于点M ，勾股定理得出点M 的坐标，在求出直线AP 的表达。
北师大2014年中考数学复习方案课件(考点聚焦+归类探究+回归教材+中考预测)：反比例函数(21张PPT)
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第13讲┃反比例函数
比较反比例函数值的大小，在同一个象 限内根据反比例函数的性质比较，在不同象 限内，不能按其性质比较，函数值的大小只 能根据特征确定．
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第13讲┃反比例函数
探究三 与反比例函数的k有关的问题 命题角度： 反比例函数中k的几何意义．
中 考 预 测
1．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流 I(A)与 电阻 R(Ω)成反比例．如图 13－5 表示的是该电路中电流 I 与电阻 R 之间函数关系的图象，则用电阻 R 表示电流 I 的函数表达式为( C ) 2 3 A．I＝R B．I＝R 6 6 C．I＝ D．I＝－ R R
图13－5
考点聚焦 归类探究 回归教材 中考预测
k>0 k y＝ x k<0 (k≠0)
考点聚焦
归类探究
回归教材
中考预测
第13讲┃反比例函数
(3)反比例函数比例系数k的几何意义 推导：如图 13－1，过双曲线上任一点作 x 轴，y 轴的垂线 PM， 所得的矩形 PMON 的面积 S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|.∵y PN
k ＝ ，∴xy＝k，∴S＝|k|. x k 的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之 积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标
(1)写出这一函数的表达式； (2)当气体体积为1 m3时，气压是多少？ (3)当气球内的气压大于140 kPa时，气球将 爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？考Leabharlann 聚焦归类探究回归教材
中考预测
第13讲┃反比例函数
2011届中考数学备考复习课件：2.7《反比例函数》
1.（09肇庆）如图 1，已知一次函数 （ 肇庆 肇庆） ， y1 = x + m 为常数） （m为常数）的图象与反比例 k 函 y2 = x 为常数） 数 （k为常数）的图象相交于点A （1，3）． ， ）． （1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交 ） 的坐标； 点B的坐标； 的坐标 y1 ≥ y2 （2）观察图象，写出使函数值 ）观察图象， 的自变 的取值范围． 量X的取值范围． 的取值范围
第17课时 课时
反比例函数
1． 反比例函数及其图象 ． 那么， 那么，y 的反比例函数。 是x的反比例函数。 的反比例函数 反比例函数的图象是双曲线， 反比例函数的图象是双曲线，它有两 个分支， 个分支，可用描点法画出反比例函数 的图象
k 如果 y = x ( k 是常数 , k ≠ 0 )
,
2．反比例函数的性质 ． 当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象 时 图象的两个分支分别在一、 限内，在每个象限内， 随 的增大而减小 的增大而减小； 限内，在每个象限内， y随x的增大而减小； 当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象 时 图象的两个分支分别在二、 限内，在每个象限内， 随 的增大而增大 的增大而增大。 限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。 3．待定系数法 ． 先设出式子中的未知数， 先设出式子中的未知数，再根据条件求出未 知系数， 知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定 系数法可用待定系数法求一次函数、 系数法可用待定系数法求一次函数、二次函 数和反比例函数的解析式。 数和反比例函数的解析式。
人教版中考数学专题课件：反比例函数
|k| |k| 由于△ABO 的面积＝ ，所以 ＝3， 解 析 2 2 k＝±6，又双曲线落在第一象限，k 只能为 6.
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反比例函数
利用反比例函数中 k 的几何意义解答问题， 通常是根 据三角形或矩形的面积建立关于 k 的方程来求解．
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反比例函数
一般步骤： k 1.根据两变量之间的反比例关系， 设 y＝ ； x 反比例函数解 析式的确定 2.代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一 对对应值，求出 k 的值； 3.写出解析式. 反比例函 k 数与一次 求直线 y＝kx＋b(k≠0)和双曲线 y＝ 的交 x 函数图象 点坐标就是解这两个函数解析式组成的 的交点的 方程组. 求法
解 析
k k 把 P(1，－3)代入 y＝ (k≠0)，得－3＝ ，k＝ x 1
－3.故选 B.
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反比例函数
用待定系数法确定反比例函数的解析式，通常把已知点 的坐标作为 x， y 的对应值代入解析式一般形式中求解． 因反 比例函数的解析式中只有一个未知数 k，故只需找出一对 x、 y 的值即可．
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反比例函数
皖 考 探 究
探究一 反比例函数的解析式
命题角度： 结合点的坐标、 图象、 图形等求反比例函数的解析式．
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反比例函数
k 例 1 [2013· 温州] 已知点 P(1，－3)在反比例函数 y＝ x (k≠0)的图象上， 则 k 的值是 ( B ) 1 1 A．3 B．－3 C. D．－ 3 3
2023年河北省中考数学复习全方位第13讲 反比例函数及其应用 课件
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7. (2020·河北,19)如图是8个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是1和2,每
个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1~8的整数).函数y= (x<0)的图象为曲线L.
(1)若L过点T1,则k= -16
;
(2)若L过点T4,则它必定还过另一点Tm,则m= 5
;
(3)若曲线L使得T 1 ~T 8 这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,则k的整数值有
(2)通过计算,说明一次函数y=kx+3-3k
(k≠0)的图象一定过点C;
(3)对于一次函数y=kx+3-3k(k≠0),当y
随x的增大而增大时,确定点P横坐标的取值范围(不必写出过程).
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解:(1)∵点B,C的横坐标相等,∴BC⊥x轴.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.
∵当x=4时,y= =1,∴点N在反比例函数y= 的图象上.
(3)4≤m≤8.
考点梳理
考点 1
反比例函数的概念
考点 2
反比例函数的图象及性质
考点 3
反比例函数解析式的确定
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2
考点1
考点梳理
反比例函数的概念
1. 定义:一般地,形如①
y=
(k是常数,k≠0)的函数,叫反比例函数,其中x
是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是x≠0.
2. 三种表达式(k为常数,k≠0):y= ;y=kx-1;xy=k.
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考点2
反比例函数的图象及性质
1. 反比例函数图象与性质
2015届湘教版中考数学复习课件(第13课时_反比例函数)
解 析
∵点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在反
6 比例函数y＝x的图象上， 6 6 6 ∴y1＝ ＝6，y2＝ ＝3，y3＝ ＝－2. 1 2 －3 ∵6＞3＞－2， ∴y1＞y2＞y3.
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第13课时┃ 反比例函数
【方法点析】 比较反比例函数值的大小 ，在同一个象限内根据反比 例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较， 只能根据函数值的符号或函数的确定值来比较．
三 象限 第____ 第____ 一 、____ 二 、____ 四 象限
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第13课时┃ 反比例函数
k的符号 对称性
k＞0
k＜0
两个分支关于直线y 两个分支关于坐标原点成 ＝－x对称 中心对称 两个分支关于直线y＝x对称 在每一象限内，函 数值y随x的增大而 减小 ________ 在每一象限内，函数值y 增大 随x的增大而________
考点聚焦
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第13课时┃ 反比例函数
例4 [2014· 娄底] 如图13－4，M为反比例 k 函数y＝ x的图象上的一点，MA⊥y轴，垂足为 4 A，△AMO的面积为2，则k值为__________ ．
设M(a，b)，∵点M在第一象限，∴S△AMO＝ 1 1 AM·AO＝ ab＝2，∴ab＝4，又∵点M在反比例函数y 2 2 k k ＝x的图象上，∴b＝a，得k＝ab＝4，故答案为4，填4.
性质
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第13课时┃ 反比例函数
防错提醒： (1)反比例函数图象的两个分支都不与坐标轴相交； (2)在说明反比例函数的性质时，要注意强调在每个 象限内．
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3．如图，反比例函数y＝ k 的图象经过点M，则此反比例函 数的表达式为( C
x )
4.如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方 形的一组对边与x轴平行，点P(3a，a)是反比例函数y＝
k (k ＞ 0) 的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分 x 的面积等于 9，则这个反比例函数的表达式为______ 3 ． y= x
考点三 例3
比例系数k的几何意义
(5年0考)
(2017·安丘一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，
四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴
上，点C在边DE上，反比例函数y＝
k 过点B，E.若AB＝2，则k的值为____________． x
(k≠0，x＞0)的图象
【分析】 设E(x，x)，则B(2，x＋2)，根据反比例函数系 数的几何意义得出x2＝2(x＋2)，求得E的坐标，从而求得k 的值．
限、函数的增减性这三者，知道其中一个，另外两个都可 以推出，即k>0⇔图象在第一、三象限⇔在每个象限内y随 x的增大而减小；k<0⇔图象在第二、四象限⇔在每个象限
内y随x的增大而增大．
1．(2017·潍坊)一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝ a－b ，
x 其中ab<0，a，b为常数，它们在同一坐标系中的图象可
轴，垂足为M. x 若△AMB的面积为8，则满足y1＞y2的实数x的
取值范围是____________．
【分析】 由反比例函数图象的对称性可得点A和点B关于原
点对称，再根据△AMB的面积为8列出方程，解方程求出n的 值，然后利用图象可知满足y1＞y2的实数x的取值范围．
【自主解答】 ∵正比例函数 y1 ＝ mx(m＞ 0)的图象与反比例 函数y2＝ k (k≠0)的图象交于点A(n，4)和点B，
二、四 象限 第 _______ 在每一象限内，y随x 增大 的增大而_____
正确理解反比例函数的增减性，注意自变量的取值范围， 不能笼统地说y随x的增大而增大(或减小)，应指明在某一 象限内或自变量的取值范围内说明反比例函数的增减变化 情况．
3．反比例函数y＝ k (k≠0)中k的几何意义
x 从双曲线y＝ k (k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线段，两 x 垂线段与坐标轴围成的矩形面积为 ____． |k|
x
【分析】 由(－1，2)在函数图象上，代入y＝ 确定k的值．
k ，从而可 x
【自主解答】 ∵图象经过点(－1，2)，∴k＝xy＝－1×2
＝－2.故答案为－2.
确定反比例函数的表达式有两种方法：(1)当已知反比例函 数图象上一个点的坐标时，可用待定系数法求得函数表达 式；(2)当实际问题中的两个变量成反比例函数关系时，且 知道其中一组对应值，可用待定系数法求得函数表达式．
反比例函数
知识点一
反比例函数的概念及表达式)
1．反比例函数：一般地，形如y＝ k (k是常数，k≠0)的函
x 数叫做反比例函数．其中反比例函数的自变量 x的取值范围
是______的全体实数． 不为0
2．反比例函数表达式的三种形式 (1)y＝ k (k为常数，k≠0)；
x －1(k为常数，k≠0)； (2)y＝kx
x 4)． ∴B(－n，－
∵△AMB的面积为8，∴
1 ∴A(2，4)，B(－2，－4)． 2
线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，这一点和垂足以 及坐标原点所构成的三角形面积等于
|k| 是，确定k值时，还要结合具体的函数图象所在的象限，这 2
是最易出错的地方．
.但是需要注意的
5．(2017·永州)如图，已知反比例函数y＝ k (k为常数， k≠0)的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B.若△AOB 的面积为1，则k＝ ____． －2
以是(
Hale Waihona Puke C)2．(2016·潍坊)已知反比例函数y＝ k (k≠0)的图象经过
x (3，－1)，则当1＜y＜3时，自变量x的取值范围是_______
－3＜x ______． ＜－1
考点二 例2
反比例函数的表达式
(5年0考)
(2017·兰州)若反比例函数y＝ k 的图象经过点(－1，
2)，则k的值是____________．
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【分析】 利用反比例函数的表达式分析各选项并作出判 断． 【自主解答】 ∵y＝－ 2 ，∴当x＝1时，y＝－2，故A错
误；∵y＝－
2 象限内y随x的增大而增大，故B，C错误，D正确．故选D. x
，∴函数图象位于第二、四象限，在每一 x
k 对于反比例函数y＝ (k≠0)，k的符号、图象所在的象 x
x
6．(2017·福建)已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数 y＝ 1 的图象上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积
x 为_____ 15 ． 2
考点四 反比例函数与一次函数的综合 例4
(5年2考)
(2015·潍坊)正比例函数y1＝mx(m＞0)的图象与反比
例函数y2＝ k (k≠0)的图象交于点A(n，4)和点B，AM⊥y
【自主解答】 设E(x，x)，则B(2，x＋2)． ∵反比例函数y＝ k (k≠0，x＞0)的图象过点B，E.
x x ＝1＋ ∴x2＝2(x＋2)，解得 1
∴k＝x2＝6＋2
，x2 ＝1－
(舍去)，
.故答案为6＋2
5
.
5
5
5
讲：
确定比例系数k的值
过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线，垂
如图1和图2，S矩形OAPB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|，同 理可得S△OPA＝S△OPB＝ 1 |xy|＝ 1 |k|.
2
2
考点一 例1
反比例函数的图象与性质
(5年3考) )
关于反比例函数y＝－ 2 ，下列说法正确的是(
A．图象过点(1，2) B．图象在第一、三象限
x
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
(3)xy＝k(k为常数，k≠0)．
知识点二
反比例函数的图象与性质)
1．反比例函数y＝ k (k为常数，k≠0)的图象是_______，它 双曲线 x 对称． 有两个分支且关于_____ 原点
2．图象与性质
k的符号 图象 所在象 限 性质 k>0 k<0
一、三 象限 第 _______ 在每一象限内，y随x的增 减小 大而_____