第二章习题答案

习题二 2. 设随机变量X的分布函数为()Fx，用分布函数表示下列概率：

(1) {}pXa; (2) {||}pXa; (3) {}.paXb 解：（1）{}1{}1(0);pXapXaFa

（2）{||}{}{}{}(0)();pXapaXapXapXaFaFa （3）{}{}{}()(0).paXbpXbpXaFbFa 4. 同时掷2枚骰子，设X是两枚骰子出现的最小点数，求X的分布列. 解：X可能取值为：1,2,3,4,5,6，所以

116511116666

11

34

11116666

112111116666

2121119{1},{2},3636212175{3},{4},3636212131{5},{6},3636CCpXpXCCCCCCpXpXCCCCCCpXpXCCCC













故，X的分布列为： .1 2 3 4 5 6

1197531

363636363636



5. 有3个盒子，第一个盒子装有1个白球，4个黑球；第二个盒子装有2个白球，3个黑球；第三个盒子装有3个白球，2个黑球.现任取一个盒子，从中任取3个球.以X表示所取到的白球数. (1) 求X的概率分布列； (2) 求X的分布函数； (3) 取到的白球数不少于2个的概率是多少？ 解：(1) X可能取值为：0,1,2,3，结合全概率公式，得

33

34

3355

121212

233214

333555

212123323355

1115{0}0,3333011115{1},333301119{2}0,3333051591{3}1.30303030CCpXCCCCCCCCpXCCCCCCCpXCCpX

 故，X的分布列为： 0 1 2 3 ; 51591

30303030



(2) 当(,0)x时,

(){}()0,FxpXxp 当[0,1)x时, 5(){}{0},30FxpXxpX

当[1,2)x时, (){}({0}{1})51520 {0}{1},303030FxPXxPXXPXPX

 当[2,3)x时, (){}({0}{1}{2})515929 {0}{1}{2}30303030,FxPXxPXXXPXPXPX

 当[3,)x时, (){}({0}{1}{2}{3}) {0}{1}{2}{3}1.FxPXxPXXXXPXPXPXPX 故X的分布函数为 0, 0,5, 01,3020 (), 12,3029, 23,30 1, 3;xxFxxxx

 (3) 取到的白球数不少于2个的概率是 {2}({2}{3})911 {2}{3}30303.PXPXXPXPX

 8. 已知某型号电子元件的一级品率为0.3，现从一大批元件中随机抽取10只，设X为10只电子元件中的一级品数.问最可能抽到的一级品数k是多少?并计算p{X＝k}. 解：设随机变量X表示抽到的一级品数，所以(10,0.3),XB p{X＝k}7100,.3 0.7 kkC 337103.3;00.2668.(3).3 0.7 [(1) ][]3 ppXCn



9. 某商店出售某种商品，根据以往经验表明，月销售量(件)服从参数3的泊松分布.问在月初进货时，需要多少库存量，才能有99.6%的概率充分满足顾客的需要？ 解：设随机变量X服从参数3的泊松分布. 设需要N件库存量，才能有99.6%的概率充分满足顾客的需要，则

1{}{}1 =1-0.996=0.004 ! = 1-kNepXNpXNk 故N=8. 12．盒子中装有m只白球，n只黑球.从袋中有返回地随机摸球，直到摸到白球时停止. 求摸球次数的分布列.

解：设随机变量X表示首次摸到白球时摸球次数，所以()(),XGpGmmn 1{}()(),1,2,. knmpXkkmnmn



13．一批产品共100件，其中有97件正品，3件次品.每次随机抽取1件，直到取到正品为止.就下列两种情况求抽取次数的分布列: (1) 放回抽取； (2) 不放回抽取. 解：（1）设随机变量X表示直到取到正品为止抽取次数，因为是放回抽取，所以

()(),97100XGpG则

1397{},1,2,;100100kpXkk





（2）设随机变量X表示直到取到正品为止抽取次数，因为是不放回抽取，所以

97397{1}, {2};10010099pXpX

329732197 {3}, {4}.1009998100999897pXpX

14．试确定下面连续型随机变量的分布函数中的待定系数,ab.

(1) 2, 0,()0, 0.xbaexFxx

(2) , 0,(), 0<2,1, 2. xbexFxabxxx 解：(1) 由lim()1xFx得1b，由()Fx在0x连续，得10a，于是1a，则有 21, 0,()0, 0.xexFxx





(2)由()Fx在0,2xx连续，得,21baab，于是11,.33ab，则有 1, 0,311(), 0<2,331, 2. xexFxxxx







16. 设连续型随机变量X的密度函数

2, ||1,()10, ||1. axfxxx





求：(1) 系数a；(2)1{||}2pX.

解：(1) 由121()11afxdxdxx得1a，

（2）1212

2

111{||}.231pXdxx



17. 设(1,6)YU，求方程210xYx有实根的概率. 解：(1,6)YU，因方程210xYx有实根，所以240Y. 随机变量Y的密度函数 1, 16,()50, 6,1. xfxxx





故，221(40){4}1{22}10.8. 5PYpYpY 19. 某仪器安装了3个独立工作的同型号的电子元件，其寿命X(单位：小时)都服从同一指数分布，密度函数为

6001,0,()6000,,xexfx

其它

求：此仪器在最初使用的200小时内，至少有一个此种电子元件损坏的概率. 解：已知每个电子元件其寿命X都服从同一指数分布，密度函数为 6001,0,()6000,,xexfx

其它

设A={每个电子元件寿命X在200小时内}，则 200200600

00

131

(){0200}()1,600xpApXfxdxedxe

设Y={3个独立工作的同型号的电子元件，电子元件损坏的数量}，显然131(3,),eYB故至少有一个此种电子元件损坏的概率 1100333

3{1}1{0}1(1)()0.632.pYpYCee



21. 设2(1,2)XN. 求：(1) {0}pX；(2) {|2|1}pX；(3) 确定c使得{}{}pXcpXc. 解：（1）01{0}1{0}1()1(1(0.5))0.6915,2pXpX （2）3111{|2|1}{13}()()0.3413,22pXpX (3) 确定c使得{}{}pXcpXc，则 11{}1{}1(){}()22ccpXcpXcpXc

故1112()1,(),10,1.222cccc 23. 某校抽样调查结果表明，考生的数学成绩X(以百分制计)近似地服从2(72,)N的正态分布，已知96分以上的人数占总数的2.3%,试求考生的成绩在60分至84分之间的概率. 解：考生的数学成绩X(以百分制计)近似地服从2(72,)N的正态分布，已知96分以上的人

数占总数的2.3%,故9672{96}1{96}1()0.023,2424()0.977,1.99,12.pXpX 考生的成绩在60分至84分之间的概率为 84726072{6084}()()0.6826.1212pX

24．设随机变量X的分布函数