高中数学重要二级结论
高中数学解题必备的50个二级结论
高中数学解题必备的50个二级结论高中数学是学习数学的一个重要阶段，其中涉及了许多重要的知识点和二级结论。
下面是描述高中数学解题必备的50个二级结论，分别介绍了代数、几何、概率与统计等方面的知识。
代数部分：1.二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项系数的正负决定。
2.一次函数与二次函数的交点：一次函数与二次函数的交点可以通过联立方程求解。
3.四则运算的性质：四则运算中有交换律、结合律和分配律。
4.指数与对数：指数与对数是互为反函数的关系，可以相互转化。
5.多项式的乘法和因式分解：多项式的乘法可以使用“分配律”和“乘法公式”进行，而因式分解则需要找到公因式或适用特定公式。
6.方程与不等式的解法：方程的解可以通过移项和变形等方法求解，而不等式的解需要通过区间判断和不等式性质来分析。
7.绝对值的性质：绝对值满足非负性和模长性，可以用来解决含绝对值的方程和不等式。
8.平方根与完全平方公式：平方根可以通过开根号求解，完全平方公式则可以将差平方形式转化为二次项的平方差形式。
9.分式的基本性质：分式有约分、通分、加减乘除等基本操作。
10.勾股定理与三角函数：勾股定理可以用来求解直角三角形的边长关系，三角函数则是用来描述角度与边长之间的关系。
几何部分：11.平行线和垂直线：平行线的判定通过线与线的夹角和线的斜率来判断，垂直线则是与平行线相反的概念。
12.三角形的内角和：三角形的内角和等于180度，可以用来求解三角形的角度关系。
13.直角三角形的性质：直角三角形中的斜边是两腿上的高，可以应用勾股定理和正弦、余弦、正切等三角函数来求解。
14.同心圆的性质：同心圆是以同一个圆心的半径不同的多个圆，有一些特殊的性质，如与同心圆相切的直线相等。
15.圆的切线和切点：圆与切线的交点叫做切点，切线与半径的夹角是直角。
16.弧长与扇形面积：弧长可以通过弧度计算，扇形面积是弧长与半径乘积的一半。
17.直线与圆的位置关系：直线与圆可以相离、相切或相交，要注意判断交点个数和位置。
高中数学常用的51个二级结论
高中数学常用的51个二级结论高中数学是一门基础性很强的学科，其中包括了很多的二级结论，这些结论在高中数学中经常被用到，是我们学好高中数学必须要掌握的基本知识点。
下面就来介绍一下高中数学常用的51个二级结论。
1. 等腰三角形的顶角平分线也是底边中线。
2. 等腰三角形的底角平分线也是高线。
3. 等腰三角形的两底角相等。
4. 三角形内角和为180度。
5. 外角等于不相邻两个内角之和。
6. 锐角三角形中，最大的角对应的边最长。
7. 直角三角形中，斜边是两直角边的平方和的算术平方根。
8. 任意两角的和等于它们的补角的差。
9. 任意两角的差等于它们的补角的和。
10. 长方形的对角线相等。
11. 平行四边形的对角线互相平分。
12. 平行四边形的对边相等。
13. 任意三边可以构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边。
14. 三角形两边之和大于第三边。
15. 等腰三角形的高和底边的中线相等。
16. 等边三角形的三条边相等。
17. 正方形的四条边和四个角都相等。
18. 直角梯形的对腰相等。
19. 直角梯形的底边中线等于上底和下底的算术平均数。
20. 圆的周长是2πr。
21. 圆的面积是πr。
22. 线段垂直平分线的唯一性。
23. 三角形外接圆半径等于三边长的乘积除以4Δ。
24. 三角形外接圆圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
25. 正方形的对角线垂直。
26. 两直线平行，它们的斜率相等。
27. 两直线垂直，它们的斜率之积为-1。
28. 一次函数y=kx+b的图像是一条直线。
29. 二次函数y=ax+bx+c的图像是开口向上或向下的抛物线。
30. 一个负数的平方是正数。
31. 两个负数的积是正数。
32. 两个正数的积是正数。
33. 两个负数的和是负数。
34. 两个正数的和是正数。
35. 任意数乘以1等于本身。
36. 任意数乘以0等于0。
37. 一次函数的图像经过原点，当且仅当b=0。
38. 两个互质的数的积是它们的最小公倍数。
高考数学二级结论总结
高考数学二级结论总结
以下是高考数学二级结论的总结，供参考：
1. 圆锥曲线的切线方程：若点P(x0,y0)在曲线y=f(x)上，则切线方程为y-
y0=f'(x0)(x-x0)。
2. 圆的切线判定定理：若直线上的任一点到圆心的距离等于半径，则直线是圆的切线。
3. 三角形的面积公式：若三角形ABC的面积为S，则S=1/2 absinC=1/2 acsinB=1/2 bcsinA。
4. 三角形的余弦定理：若三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a^2=b^2+c^2-2bccosA。
5. 三角形的正弦定理：若三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a/sinA=b/sinB=c/sinC。
6. 等差数列的通项公式：若等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式
为an=a1+(n-1)d。
7. 等差数列的求和公式：若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=n/2(a1+an)或Sn=na1+n(n-1)/2d。
8. 等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a1，公比为q，则通项公式
为an=a1q^(n-1)。
9. 等比数列的求和公式：若等比数列的前n项和为Sn，则当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
希望这些总结能对您有所帮助。
高中二级结论大全
高中数学中的二级结论有很多，它们是一些重要的推论和解题技巧，可以帮助学生快速解决一些疑难问题。
以下是其中的一些：
1. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和。
2. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点。
3. 圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导。
4. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程。
5. 过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B 两点，则直线AB的斜率为定值。
6. 抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦。
7. 双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a（长半轴长）。
8. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两直线斜率之积为定值，两直线交曲线于A，B两点，则直线AB恒过定点。
9. 帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线），那么它的三对对边的交点在同一条直线上。
10. 三角形五心的一些性质：内心、外心、重心、垂心和旁心的性质。
这些二级结论是在学习高中数学过程中需要掌握的重要知识点，它们可以帮助你更好地理解数学概念和解决问题。
建议你在学习过
程中认真听讲，及时总结和掌握这些结论，以提高自己的数学水平。
高中数学二级结论大全和推导过程
高中数学二级结论大全和推导过程高中数学二级结论是指高中数学中一些重要的结论或定理，这些结论和定理是学习和理解高中数学知识的基础，也是解题的重要工具。
本文将给出一些常见的数学二级结论，并对其推导过程进行简要介绍。
（一）代数运算法则1.加法运算的交换律：对于任意两个实数a和b，有a + b = b + a。
推导过程：根据实数加法的定义，a + b = b + a。
2.加法运算的结合律：对于任意三个实数a、b和c，有(a + b) +c = a + (b + c)。
推导过程：将(a + b) + c按照加法运算定义进行展开，得(a + b) + c = ((a + b) + c)。
将a + (b + c)按照加法运算定义进行展开，得a + (b + c) =(a + (b + c))。
3.加法运算的存在零元：对于任意实数a，有a + 0 = a。
推导过程：根据实数加法的定义，a + 0 = a。
4.加法运算的存在负元：对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a + (-b) = 0。
推导过程：根据实数加法的定义，a + (-a) = 0。
5.乘法运算的交换律：对于任意两个实数a和b，有a · b =b · a。
推导过程：根据实数乘法的定义，a · b = b · a。
6.乘法运算的结合律：对于任意三个实数a、b和c，有(a · b) · c = a · (b · c)。
推导过程：将(a · b) · c按照乘法运算定义进行展开，得(a · b) · c = ((a · b) · c)。
将a · (b · c)按照乘法运算定义进行展开，得a ·(b · c) = (a · (b · c))。
7.乘法运算的存在单位元：对于任意实数a，有a · 1 = a。
高中数学二级结论大全
高中数学二级结论大全引言数学作为一门基础学科，对于学生的思维发展和逻辑推理能力的培养起到了重要的作用。
高中数学二级结论作为高中数学的基础，是学生在学习数学过程中需要掌握的一些重要的定理和公式。
本文将总结高中数学二级结论的相关内容，帮助学生更好地理解和记忆这些重要的数学结论。
1.平行线与三角形等腰条件1.1 平行线的判定定理定理 1.1：过平行于两条平行线的一条直线，其内外两部分对应角相等。
证明：设有两条平行线，分别为线 l 和线 m，并且有一条过点 A 的直线 n，与 l 和 m 相交于点 C 和点 D。
则有角 CAB = 角 CDA 和角 ADB = 角 BCD。
1.2 三角形等腰条件定理 1.2：在三角形 ABC 中，若 AB = AC，则有角 B = 角 C。
证明：由定理 1.1，过线段 AB 并平行于线段 AC 的直线与线段 BC 相交于点 D，根据定理1.1，可得角 B = 角 D。
另一方面，由 AB = AC 可得角 ADC = 角 A，再由角 A + 角 D + 角 B = 180°可得角 B + 角 C = 180°，因此角 B = 角 C。
2.直角三角形的性质2.1 勾股定理定理 2.1：在直角三角形 ABC 中，设边长分别为 a、b 和 c，其中 c 为斜边，则有 a^2 + b^2 = c^2。
证明：根据勾股定理中的定义，直角三角形 ABC 中，边长分别为 a、b 和 c，满足 a^2 + b^2 = c^2。
2.2 特殊直角三角形性质定理 2.2：在直角三角形 ABC 中，若角 A = 30°，则b = a/√3，c = 2a。
证明：由角 A = 30°可知角 B = 90° - 30° = 60°。
根据 30° - 60° - 90°三角形性质，设边长为a 的边对应的角为 A，边长为b 的边对应的角为 B，边长为c 的边对应的角为 C，则有b = a/√3，c = 2a。
高中数学重要二级结论及典型例题
高中数学16个---------------二级结论结论一 奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在集合D 上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D 上有最值,则f(x)max +f(x)min =0,且若0∈D,则f(0)=0.例1 设函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值为M,最小值为m,则M+m= .跟踪集训1.(1)已知函数2()ln(193)1f x x x =++,则1(lg 2)(lg )2f f + =( ) A.-1B.0C.1D.2(2)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．( )A.4和6 B.3和1C.2和4D.1和2结论二 函数周期性问题已知定义在R 上的函数f(x),若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T 为其一个周期.常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=1()f x (a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a. 例2 已知定义在R 上的函数f(x)满足f 3()2x + =-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 014)+f(2 015)=( )A.-2B.-1C.0D.1跟踪集训2.(1)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( )A.-2B.-1C.0D.1(2)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= 2log (1),0,(1)(2),0,x x f x f x x -≤⎧⎨--->⎩则f(2 014)=( )A.-1B.0C.1D.2结论三 函数的对称性已知函数f(x)是定义在R 上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x= 2a b+对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a 对称.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点(,)22a b c+中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.例3 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x -1)对任意的x∈1[,1]2恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.[-3,-1] B.[-2,0] C.[-5,-1]D.[-2,1]跟踪集训3.(1)若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)= .(2)函数y=f(x)对任意x∈R 都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 . 结论四 反函数的图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D 上的单调函数,则存在反函数y=f -1(x).特别地,y=a x与y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x 对称,即(x 0, f(x 0))与(f(x 0),x 0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1(x)的图象上.例4 设点P 在曲线y=12e x上,点Q 在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( ) A.1-ln 2B.2(1-ln 2)C.1+ln 2D.2(1+ln 2)跟踪集训4.若x 1满足2x+2x=5,x 2满足2x+2log 2(x-1)=5,则x 1+x 2=( )A.52 B.3 C. 72D.4 结论五 两个对数、指数经典不等式 1.对数形式:1-11x +≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立. 2.指数形式:e x≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.例5 设函数f(x)=1-e -x.证明:当x>-1时, f(x)≥1x x +. 跟踪集训5.(1)已知函数f(x)=1ln(1)x x+-,则y=f(x)的图象大致为( )(2)已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x 2+x+1有唯一公共点.结论六 三点共线的充要条件设平面上三点O,A,B 不共线,则平面上任意一点P 与A,B 共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得OP OA OB λμ=+,且1λμ+=.特别地,当P 为线段AB 的中点时, 1122OP OA OB =+.例6 已知A,B,C 是直线l 上不同的三个点,点O 不在直线l 上,则使等式20x OA xOB BC ++=成立的实数x 的取值集合为( )A.{-1} B. ∅ C.{0} D.{0,-1}跟踪集训6.在梯形ABCD 中,已知AB∥CD,AB=2CD,M、N 分别为CD 、BC 的中点.若AB AM AN λμ=+,则λμ+= .结论七 三角形“四心”的向量形式设O 为△ABC 所在平面上一点,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,则 (1)O 为△ABC 的外心⇔ ||||||2sin aOA OB OC A===.(2)O 为△ABC 的重心⇔ 0OA OB OC ++=.(3)O 为△ABC 的垂心⇔ OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅.(4)O 为△ABC 的内心⇔ 0aOA bOB cOC ++=. 例7 已知A,B,C 是平面上不共线的三点,动点P 满足1[(1)(1)(12)],3OP OA OB OC R λλλλ=-+-++∈,则点P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心B.△ABC 的垂心C.△ABC 的重心D.AB 边的中点跟踪集训7.(1)P 是△ABC 所在平面内一点,若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心(2)O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足,(0,)2OB OCOP AP λλ+=+∈+∞,则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 (3)O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足(),[0,)||||AB ACOP OA AB AC λλ=++∈+∞,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心D.垂心结论八 等差数列1.若S m ,S 2m ,S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项,前2m 项,前3m 项的和,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列.2.若等差数列{a n }的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m =m(a m +a m+1),S 偶-S 奇=md,1m m S a S a +=奇偶. 3.若等差数列{a n }的项数为2m-1,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m-1=(2m-1)a m ,S 奇=ma m ,S 偶=(m-1)a m ,S 奇-S 偶=a m ,1S mS m =-奇偶. 例8 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m=( ) A.3 B.4 C.5D.6(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a m-1+a m+1- 2m a =0,S 2m-1=38,则m 等于 . 跟踪集训8.(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10=20,S 20=50,则S 30= .(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d= .结论九 等比数列已知等比数列{a n },其公比为q,前n 项和为S n .(1)数列1{}n a 也为等比数列,其公比为1q. (2)若q=1,则S n =na 1,且{a n }同时为等差数列.(3)若q≠1,则S n =11111(1)()11111n n n n a a q a q a a aq q q q q q qλλλ--==-=-=-----. (4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍为等比数列(q≠-1或q=-1且n 为奇数),其公比为q n.(5)S n ,2n n S S , 32nnS S ,…仍为等比数列,公比为2n q .例9 (1)已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列1{}na 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若63S S =3,则96SS =( )A.2 B.73C.83D.3跟踪集训9.在等比数列{a n }中,公比为q,其前n 项和为S n .已知S 5=3116,a 3= 14,则1234511111a a a a a ++++= . 结论十 多面体的外接球和内切球1.长方体的体对角线长d 与共点三条棱长a,b,c 之间的关系为d 2=a 2+b 2+c 2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a 2+b 2+c 2.2.棱长为a 的正四面体内切球半径r=612a ,外接球半径R= 64a . 例10 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的78时,小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积等于( )A. 76π B. 43π C. 23π D. 2π跟踪集训10.(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为( )A. 14 B. 23 C. 46D.3(2)已知正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点E 是线段AB 的中点,过点E 作球O 的截面,则截面面积的最小值是( )A.74π B.2π C. 94πD.3π 结论十一 焦点三角形的面积公式1.在椭圆22221x y a b+= (a>b>0),F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则△PF 1F 2的面积122tan2PF F Sb θ=,其中θ=∠F 1PF 2.2.在双曲线22221x y a b -=1(a>0,b>0)中,F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,则△PF 1F 2的面积122tan2PF F b Sθ=,其中θ=∠F 1PF 2.例11 已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2=3π,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B. 233C.3D.2跟踪集训11.(1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1: 2214x y +=与双曲线C 2的公共焦点,A,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D. 62(2)已知F 1,F 2是椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 一上点,且12PF PF ⊥.若△PF 1F 2的面积为9,则b= . 结论十二 圆锥曲线的切线问题1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R 2上一点P(x 0,y 0)的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=R 2.2.过椭圆22221x y a b +=上一点P(x 0,y 0)的切线方程为00221x x y y a b+=.3.已知点M(x 0,y 0),抛物线C:y 2=2px(p≠0)和直线l:y 0y=p(x+x 0).(1)当点M 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.例12 已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.跟踪集训12.(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0(2)设椭圆C:22143x y+=,点P3(1,)2,则椭圆C在点P处的切线方程为.结论十三圆锥曲线的中点弦问题1.在椭圆E:22221x ya b+= (a>b>0)中:(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=22ba -.(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=22ba -.(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=22ba -.[提醒]该结论常变形为:以椭圆22221x y a b +=内任意一点(x 0,y 0)为中点的弦AB 的斜率k=2020x b a y -⋅.2.在双曲线E: 22221x y a b -= (a>0,b>0)中,类比上述结论有:(1)k 0·k=22b a .(2)k 1·k 2=22b a .(3)k 0·k=22b a. 例13 已知椭圆E: 22221x y a b+= (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E 的方程为( )A.2214536x y += B.2213627x y += C. 2212718x y += D.221189x y += 跟踪集训13.(1)椭圆C: 22143x y +=的左,右顶点分别为A 1,A 2,点P 在椭圆上且直线PA 2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA 1的斜率的取值范围是 .(2)如图,在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的直线交椭圆22142x y +=于P,A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA 的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.结论十四圆锥曲线中的一类定值问题在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA 与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.图示条件结论已知椭圆22221x ya b+= (a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0 直线AB的斜率k AB为定值22b xa y已知双曲线22221x ya b-= (a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0 直线AB的斜率k AB为定值22b xa y-已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,A,B是抛物线上两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0 直线AB的斜率k AB为定值py-例14 已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0.证明:直线AB的斜率k AB为定值,并求出该定值.跟踪集训14.已知椭圆C:22143x y+=,A为椭圆上的定点且坐标为31,2（）,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.结论十五圆锥曲线中的一类定点问题若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆22221x ya b+= (a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB过定点2222(,0)a baa b-⋅+.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线l AB过定点2222(,0)a baa b--⋅+.(2)对于双曲线22221x ya b-= (a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB过定点2222(,0)a baa b+⋅-.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为2222(,0)a baa b+-⋅-.(3)对于抛物线y 2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若0OA OB ⋅=,则弦AB 所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x 2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA OB ⊥,则直线AB 过定点(0,2p).例15 已知抛物线y 2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B 满足以AB 为直径的圆过顶点.求证:AB 所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.跟踪集训15.已知椭圆22143x y +=,直线l:y=kx+m 与椭圆交于A,B 两点(A,B 不是左、右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l 过定点,并求该定点的坐标.结论十六 抛物线中的三类直线与圆相切问题AB 是过抛物线y 2=2px(p>0)焦点F 的弦(焦点弦),过A,B 分别作准线l:2p-的垂线,垂足分别为A 1,B 1,E 为A 1B 1的中点.(1)如图①所示,以AB 为直径的圆与准线l 相切于点E.(2)如图②所示,以A 1B 1为直径的圆与弦AB 相切于点F,且|EF|2=|A 1A|·|BB 1|.(3)如图③所示,以AF 为直径的圆与y 轴相切.例16 过抛物线y 2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N 两点,自M,N 向直线l:x=-a 作垂线,垂足分别为M 1,N 1.当a=2p时,求证:AM 1⊥AN 1.跟踪集训16.已知抛物线C:y 2=8x 与点M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点,若0MA MB ⋅=,则k= .答案全解全析结论一 奇函数的最值性质跟踪集训1.(1)D 令g(x)=ln(-3x),x∈R,则g(-x)=ln(+3x),因为g(x)+g(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)=ln(1+9x 2-9x 2)=ln 1=0,所以g(x)是定义在R 上的奇函数.又lg =-lg 2,所以g(lg2)+g=0,所以f(lg 2)+f=g(lg 2)+1+g+1=2.故选D.(2)D 令g(x)=f(x)-c=asin x+bx, 易证g(x)是奇函数.又g(-1)+g(1)=f(-1)-c+f(1)-c=f(-1)+f(1)-2c, 而g(-1)+g(1)=0,c 为整数, ∴f(-1)+f(1)=2c 为偶数. 1+2=3是奇数,故不可能,选D.结论二 函数周期性问题跟踪集训2.(1)D 由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.(2)C 当x>0时,有f(x)=f(x-1)-f(x-2),①同理有f(x+1)=f(x)-f(x-1),②①+②得f(x+1)=-f(x+2),即f(x+3)=-f(x).所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.故f(2 014)=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=log22-0=1,故选C.结论三函数的对称性跟踪集训3.(1)答案 3解析因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.(2)答案 4解析因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数. f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f (2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.结论四反函数的图象与性质跟踪集训4.C 因为2x+2x=5,所以x+2x-1=,同理x+log2(x-1)=,令t=x-1,则x=t+1,即t1是t+2t=的解,t2是t+log2t=的解,且t1=x1-1,t2=x2-1.如图所示,t1为函数y=2t与y=-t的图象交点P的横坐标,t2为函数y=log2t与y=-t的图象交点Q的横坐标,所以P(t1,),Q(t2,log2t2),所以P,Q为对称点,且t1+t2=t1+=t1+=.所以x1+x2=t1+1+t2+1= +2=.故选C.结论五两个对数、指数经典不等式跟踪集训5.(1)B 由题意得f(x)的定义域为{x|x>-1且x≠0},所以排除选项D.令g(x)=ln(x+1)-x,则由经典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=<0恒成立,所以排除A,C,故选B.(2)证明令g(x)=f(x)-=e x-x2-x-1,x∈R.g'(x)=e x-x-1,由经典不等式e x≥x+1恒成立可知,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在R上为单调递增函数,且g(0)=0,所以函数g(x)有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.结论六三点共线的充要条件跟踪集训6.答案解析解法一:由=λ+μ及题意得=λ·(+)+μ·(+),则++ =0,得++=0,得λ+μ-1+=0.又因为,不共线,所以由平面向量基本定理得解得所以λ+μ=.解法二:如图,连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得AB=AT,∴==λ+μ.∴=λ+μ,∵T、M、N三点共线,∴λ+μ=1,则λ+μ=.结论七三角形“四心”的向量形式跟踪集训7.(1)D 由·=·,可得·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理可证⊥,⊥,∴P是△ABC的垂心.(2)C 设BC的中点为M,则=,则有=+λ,即=λ,∴P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.(3)B 解法一:为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈[0,+∞),∴λ的方向与+的方向相同.=+λ,∴点P在上移动.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选B.解法二:由于P点轨迹通过△ABC内一定点且该定点与O点位置和△ABC的形状无关,故取O点与A点重合,由平行四边形法则很容易看出P点在∠BAC的平分线上,故选B.结论八等差数列跟踪集训8.(1)答案90解析(S20-S10)-S10=(S30-S20)-(S20-S10),S30=3S20-3S10=3×50-3×20=90.(2)答案 5解析设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,由已知条件,得解得又S偶-S奇=6d,所以d==5.结论九等比数列跟踪集训9.答案31解析由等比数列的性质知,a1a5=a2a4=,则++++=++====31.结论十多面体的外接球和内切球跟踪集训10.(1)A 因为该三棱柱外接球的表面积是16π,所以外接球的半径R=2.又直三棱柱底面是等腰直角三角形,直角边长是1,故该三棱柱的侧棱长是=,故选A.(2)C 由题意知,正三角形ABC的外接圆半径为=,则AB=3,过点E的截面面积最小时,截面是以AB为直径的圆面,截面面积S=π×=.结论十一焦点三角形的面积公式跟踪集训11.(1)D 设双曲线C2的方程为-=1,则有+===4-1=3.又四边形AF1BF2为矩形,所以焦点三角形AF1F2的面积为tan 45°=,即==1.所以=-=3-1=2.故双曲线的离心率e==== .故选D.(2)答案 3解析在焦点三角形PF1F2中,⊥,故=|PF1||PF2|,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,|PF1|+|PF2|=2a,则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=|F1F2|2,4a2-2|PF1|·|PF2|=4c2,所以|PF1||PF2|=2b2,则=b2=9,故b=3.结论十二圆锥曲线的切线问题跟踪集训12.(1)A 如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又k AB·k PC=-1,且k PC==,∴k AB=-2.故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选A.(2)答案x+2y-4=0解析由于点P在椭圆+=1上,故所求的切线方程为+=1,即x+2y-4=0.结论十三圆锥曲线的中点弦问题跟踪集训13.(1)答案解析设PA2的斜率为k2,PA1的斜率为k1,则k1·k2=-=-,又k2∈[-2,-1],所以k1∈.(2)证明设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),C(x0,0),k AC==,又k PA==k,所以k AC=,由k BA·k BP =-知,k BP·k BA=k BP·k AC=·k PB=-,所以k PB·k=-1,即PA⊥PB.结论十四圆锥曲线中的一类定值问题跟踪集训14.解析设直线AE的方程为y=k(x-1)+,联立得消去y,整理得(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+4-12=0,则x E==.①同理,可得x F=.②所以k EF===,将①②代入上式,化简得k EF=.所以直线EF的斜率为定值,这个定值为.结论十五圆锥曲线中的一类定点问题跟踪集训15.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得消y,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,则有Δ=(8km)2-4(4k2+3)·(4m2-12)>0,即m2<4k2+3,即m2<4k2+3,①因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),所以(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0, 即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0.把①代入化简得7m2+16km+4k2=0,得m=-2k或m=-.当m=-2k时,直线l:y=kx-2k过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;当m=-时,直线l:y=kx-过定点,且满足m2<4k2+3,符合题意.所以l:y=kx+m过定点.结论十六抛物线中的三类直线与圆相切问题跟踪集训16.答案 2解析如图所示,因为·=0,所以MA⊥MB,故点M在以AB为直径的圆上,又准线为x=-2,直线AB经过焦点F(2,0),所以有MF⊥AB,又k MF==-,所以k AB=2.。
高中数学常用二级结论汇总
高中数学常用二级结论汇总1.数列相关的二级结论：(1)等差数列的常用二级结论：-等差数列的前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2；-等差数列通项公式：an = a1 + (n - 1)d；-等差数列前n项和与末项的关系：Sn = (a1 + an) * n / 2 = an * n - (n - 1) * d / 2(2)等比数列的常用二级结论：-等比数列的前n项和公式：Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，其中q≠1；-等比数列前n项和与末项的关系：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
2.几何相关的二级结论：(1)平行线与三角形的二级结论：-平行线分割三角形的比线段互等；-平行线分割三角形的比面积互等；-平行线分割三角形的比任意两条边互等。
(2)相似三角形的二级结论：-三角形内部的直线与角平分线的交点分割三角形的比线段互等；-三角形内部的直线与角平分线的交点分割三角形的比面积互等。
(3)圆的二级结论：-圆心角的度数等于其所对弧的度数；-同弧所对的圆心角相等；-两圆相交弧的度数等于相对的圆心角的度数。
3.解析几何相关的二级结论：(1)直线的方程二级结论：-斜率相等的两条直线平行；-两直线相交于一点的充要条件是斜率不相等。
(2)圆的方程二级结论：-到圆心距离等于半径的点在所述圆上；-圆心到直线的距离等于半径的相交点所对的弦的中点到圆心的距离。
(3)抛物线的二级结论：-在对称轴上等距离的两点与焦点和顶点的距离相等；-抛物线的顶点坐标为(h,k)，则焦点的坐标为(h,k+p)，其中p为焦距。
4.概率与统计相关的二级结论：(1)事件的二级结论：-随机事件A的对立事件记为A'，则P(A')=1-P(A)；-若A与B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)。
(2)条件概率的二级结论：-若事件B发生的条件下，事件A发生的概率为P(A，B)，则P(A，B)=P(A∩B)/P(B)；(3)独立事件的二级结论：-若事件A与事件B相互独立，则P(A∩B)=P(A)*P(B)。
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高中数学重要二级结论
高中数学重要的二级结论有很多，涉及各个数学领域的知识点。
下面将对其中一些重要的二级结论进行详细介绍。
1.平行线的性质：
平行线的性质是几何学中的基础内容之一。
平行线具有以下重要的二级结论：
-平行线与直线交角为180度：如果两条直线分别与一条第三条直线平行，那么这两条直线与第三条直线的交角为180度。
-平行线的夹角相等：如果两条直线分别与一条第三条直线平行，并且与第三条直线分别都有一条共同的交线，那么这两条线之间的夹角相等。
2.相似三角形的性质：
相似三角形的性质在几何学中也是非常重要的。
相似三角形具有以下重要的二级结论：
-三角形的对应角相等：如果两个三角形的对应角分别相等，那么它们是相似的。
-边的比例：在两个相似三角形中，对应边的比例相等。
3.圆的性质：
圆是几何学中的重要概念，它具有以下二级结论：
-切线垂直于半径：圆上切线与半径的连线垂直。
-弧与圆心角的关系：同一个圆上的任意两个弧所对应的圆心角相等。
4.三角函数和三角恒等式的性质：
三角函数和三角恒等式是高中数学重要的内容，其中一些重要的二级结论如下：
-同角三角函数的大小关系：对于给定角度，正弦函数的值不超过1，余弦函数的值不超过1，而正切函数的绝对值没有上限。
-三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期为360度（或
2π弧度），而正切函数的周期为180度（或π弧度）。
5.常用数列的特征：
数列是数学中重要的内容之一，一些常用数列的特征如下：
-等差数列等差：一个数列如果满足每一相邻两项之差相等，那么
这个数列是等差数列。
-等比数列等比：一个数列如果满足每一相邻两项之比相等，那么
这个数列是等比数列。
-斐波那契数列的特征：斐波那契数列是一个递归数列，其中每一
项是前两项之和。
6.二次函数的性质：
二次函数是高中数学中重要的内容，其中一些重要的二级结论如下：
-二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线。
-二次函数的顶点：二次函数的顶点是对称轴上的一个点，是函数
的极值点。
-二次函数的根与系数的关系：二次函数的根与系数之间有着特定的关系，可以通过系数求解二次方程的根。
以上是高中数学中的一些重要的二级结论，它们在数学的学习过程中起到了承上启下的重要作用，帮助我们更好地理解和应用相关的数学知识。
在学习过程中，我们应当通过深入理解这些重要的二级结论，加深对数学概念和原理的理解，提高解题能力。