高等数学教程多元函数微分法习题参考答案

《高等数学教程》第十章 多元函数微分法 习题参考答案

10－1 (A)

1.)()(y x xy +

2.x xy xy y x 2)()(++

5.(1)}012),({2>+-x y y x ; (2)}0,0),({>->+y x y x y x ; (3)}4,10),({222x y y x y x ≤<+<; (4)}0,0,0),,({>>>z y x z y x ; (5)},0,0),({2y x y x y x ≥≥≥; (6)}1,0,0),({22<+≥>-y x x x y y x ; (7)},),({+∞≤≤-∞+∞≤≤∞-y x y x ; (8)}2

,0),({x y x y x π

≤

≠;

(9)}),,({22222R z y x r z y x ≤++<; (10)}0,0),,({22222≠+≥-+y x z y x z y x .

6.(1)2ln ; (2)0; (3)∞+;

(4)4

1

- (5)不存在； (6)0

(7)0 (8)e 9.(1)在)0,0(点不连续

(2)在0≠+y x 上所有),(y x 点均连续 (3) 在)0,0(点不连续

10－1 (B)

1．21x +

2．1,22-+=+=x y z x x f

3．y

y x +-1)1(2

10－2 (A)

1.(1)52

(2)1,2ln 22+ (3)3334,3,2e e e

2. 1

3.(1)x y x y

z y y x x z 23323,3-=∂∂-=∂∂ (2)221,1v

u u v s u v v u s -=∂∂-=∂∂ (3)

)

ln(21

,)ln(21xy y y z xy x x z =

∂∂=∂∂ (4)

)]2sin()[cos()],2sin()[cos(xy xy x y z xy xy y x z -=∂∂-=∂∂ (5)

y x y

x y z y x y x z 2csc 2,csc 222-=∂∂=∂∂ (6)]1)1[ln()1(,1)1(2xy

xy xy xy y z xy y xy x z y y

++++=∂∂++=∂∂ (7)x x z

y z u x z y u x z y x u z y

z y y z

ln ,1,21⋅-=∂∂=∂∂=∂∂-

(8)z

z x z z z y x y x y x z u y x y x z y u y x y x z x u 22121)(1)ln()(,)(1)(,)(1)(-+--=∂∂-+--=∂∂-+-=∂∂-- 6.

4π 7.6

π 10.(1)2222812y x x z -=∂∂,2

222812x y y

z -=∂∂,

xy y x z 162-=∂∂∂ (2)22222)(2y x xy x z +=∂∂,22222)(2y x xy y z +-=∂∂,2

222

222)(y x x y x z +-=

∂∂ (3)y y x z x 222ln =∂∂,2

22)1(--=∂∂x y x x y

z ,

)ln 1(12y x y y x z x +=∂∂∂- (4))sin()cos(222y x x y x x

z

+-+=∂∂,

)sin(2

2y x x y

z

+-=∂∂, )sin()cos(2y x x y x y x z +-+=∂∂∂. 11. 2;2;0;0

12.023=∂∂∂y x z ,2

231

y y x z -=∂∂∂.

10－2 (B)

2.74arctan , )7

4arctan(-.

10－3 (A)

1.(1)dy y x dx y y )1

1()1(2-++;

(2))(1dy dx x

y

e x x y

--;

(3)xdz yx xdy zx dx yzx yz yz yz ln ln 1⋅+⋅+- (4)])1()1[(

2

2)(dy x y

x dx y x y e

y

x x y -+-+- 2.(1)dy dx 3231+ (2)dy dx 52

52-

3. 0.25e

4. (1)2.95 (2)0.005 (3)2.039 (4)0.5023

5. -5厘米

6. 55.3立方厘米

10－3 (B)

1.xdy e ydx e du y

x

y

x ⋅+⋅=--2

22

2

10－4 (A)

1.)sin (cos cos sin 32θθθθρ-=∂∂p

z

]cos )sin 2(cos sin )cos 2[(sin 223θθθθθθρθ

-+-=∂∂z

2.

)]23ln(2233[22y x x

y x x y x z ---=∂∂

]23)23[ln(22y

x y y x x y y z ---=∂∂ 3.]2[2

4

4)

(22y

x y x x e x z xy

y x -+=∂∂+ ]2[2

4

4)

(22xy

x y y e y z xy

y x -+=∂∂+ 4.])()(cos[])(3))((21[322xyz xz yz xy z y x yz xyz z y zx yz xy x

u

++++++⋅+++++=∂∂ ])()(cos[])(3))((21[322xyz xz yz xy z y x xz xyz z x zx yz xy y

u

++++++⋅+++++=∂∂ ])()(cos[])(3)(21[3222xyz xz yz xy z y x xy xyz zx yz xy z

u

++++++⋅++++=∂∂ 5.)6(cos 22sin 2

t t e t t --

6.

2

32)

43(1)41(3t t t ---

7.x

x e x x e 221)1(++ 8.1

1

sin 2++⋅a a x e ax

9.

)ln 1(1x y x x

z

y x y +=∂∂-+,x x y z y x y 2ln +=∂∂ 11.(1)

'2'12f ye xf x

z

xy +=∂∂,'2'12f xe yf y z xy +-=∂∂ (2)

'11f y x u =∂∂,'2'121f z f y x y u +-=∂∂,'22f z

y z u -=∂∂ (3)'3'2'1yzf yf f x u ++=∂∂,'3'2xzf xf y u +=∂∂,'3xyf z

u

=∂∂ (4)

)1('yz y f x u ++⋅=∂∂,)('xz x f x u +⋅=∂∂,xy f x

u

⋅=∂∂' 14.(1)'

'2'2242f x f x z +=∂∂,

''24xyf y x z =∂∂∂,''2'2242f y f y

z +=∂∂