常微分方程试题库.

常微分方程

一、填空题

1．微分方程0)(

22=+-+x y dx

dy dx dy n 的阶数是____________ 答：1

2．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是 _________________________

答：)()1)((y M x N y M φ=-∂∂-∂∂ 3．_________________________________________ 称为齐次方程. 答：形如)(x

y g dx dy =的方程 4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则

),(y x f dx dy =存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0 上,连续且满足初始条件)(00x y ϕ= ,其中 =h _______________________ .

答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),min(m

b a h = 5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件. 答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-

6．方程22y x dx

dy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上 ,则经过点 )0,0(的解的存在区间是 ___________________ 答：

4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i =是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程 ___________________________________

答：0)(1'=+w t a w

8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________

答：x x c x n

i i i +=∑=1

9．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________ 答：1)!

1(++n n

h n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程． 答：形如

)()()(2x r y x q y x p dx

dy ++=的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是 区间． 答：开

12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）

13．方程y x x

y sin d d 2=的所有常数解是 ． 答： ,2,1,0,±±==k k y π

14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 在区间I 上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．

答：充分

15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ．

答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）

16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．

答：x x x e ,e

17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程

y x x

y )(d d ϕ=的任一非零解 与x 轴相交． 答：不能

18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上 与x 轴相切．

答：不能

19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．

答：没有

20．方程21d d y x

y -=的常数解是 ． 答：1±=y

21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．

答：必要

22．方程22d d y x x

y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 答： xoy 平面

23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ．

答：1,1±=±=x y

24．方程04=+''y y 的基本解组是 ．

答：x x 2cos ,2sin

25．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 答：2

二、单项选择题

1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．

（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2

2．如果),(y x f ，

y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x

y =的任一解的存在区间（ D ）．

（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+

（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定

3．方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面

（C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面

4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．

（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解

（C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解

5. 方程

21d d y x y -=过点)1,2

(π共有（ B ）个解． （A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三 6. 方程2d d +-=y x x

y （ B ）奇解． （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个

7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．

（A ）n 维 （B ）1+n 维 （C ）1-n 维 （D ）2+n 维 8．方程32

3d d y x y =过点（ A ）． （A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解0=y （D ）只有两个解

9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（ B ）条件．

（A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分

10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．

（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间

（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间