2012常微分方程试题B及答案

南京农业大学试题纸

2011-2012学年第2 学期课程类型：必修试卷类型：B Array

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常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7

一、填空题（每小题3分，本题共30分）

1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈

4．

)(x N

x

N

y M ϕ=∂∂-∂∂ 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0

0(,)x

x y y f x y dx =+

⎰

9.

1

,Re s a s a

>- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分）

11. 解： 齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分)

令非齐次方程的特解为 x

x C y 3e )(-=

代入原方程，确定出 C x C x

+=5e 5

1)( 原方程的通解为 x

C y 3e

-=+

x

2e 5

1 （5分） 12. 解： 对应的特征方程为：012

=++λλ，

解得i i 2

3,2321221

1--=+

-=λλ （3分） 所以方程的通解为：)2

3sin 23cos

(212

1

t c t c e

x t +=- （5分）

13.

1=∂∂y M ，x N

∂∂=1 , x

N y M ∂∂=∂∂

所以此方程是恰当方程. （3分）

凑微分，0)(22

=++-xdy ydx ydy dx x

得

C y xy x =-+23

3

1 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t

t dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离 （3分）

2

1772

t x c t -=-+两边积分

21

7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量 （5分）

三、计算题（每小题10分，本题共30分） 15．特征方程为 0141

1=--=

-λ

λλE A ,

即 0322=--λλ. 特征根为

31=λ，12-=λ. （4分）

31=λ对应特征向量应满足

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0031413111b a

可确定出 ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡2111b a 同样可算出12-=λ对应的特征向量为 ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡2122b a 所以，原方程组的通解为

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 （10分） . 16．解：

(),dy

P x y dx

= （1） 这是一个变量分离方程，通解为(),P x dx

y ce ⎰=这里c 是任意常数。 （4分）

假设()()P x dx

y c x e ⎰

=是

()()dy

P x y Q x dx

=+的通解，代入方程，则有 ()()

()P x dx dc x Q x e dx

-⎰= 积分后得到

()()(),P x dx

c x Q x e dx c -⎰

=+⎰

（8分） 这里c 是任意常数，方程的通解为 ()()(())P x dx

P x dx

y e Q x e dx c -⎰

⎰=+⎰ （10分）

17. 解：设f(x,y)= 2331y ,则)0(2

13

2

≠=∂∂-y y y f

故在0≠y 的任何区域上

y

f

∂∂存在且连续， 因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件. （4分）

显然，0≡y 是通过点（0，0）的一个解； （6分）

又由

2

3=dx dy 3

1y 解得，|y|=23

)(c x - 所以，通过点（0，0）的一切解为0≡y 及

|y|=⎪⎩⎪⎨

⎧≥>-≤是常数

0),()

()

(023c c x c x c x （10分）

四、证明题（每小题10分，本题共20分）

18. 证明：必要性 若该方程为线性方程,则有

)()(x Q y x P dx

dy

+= , 此方程有积分因子⎰=-dx

x P e x )()(μ,)(x μ只与x 有关 . （4分）

充分性 若该方程有只与x 有关的积分因子)(x μ,

则0),()()(=-dx y x f x dy x μμ为恰当方程,

从而

dx x d y y x f x )()),()((μμ=∂-∂ ,)

()

(x x y f μμ'-=∂∂,

)()()()

()()()()(x Q y x P x Q y x x x Q dy x x f +=+'-=+'-=⎰

μμμμ. 其中)

()

()(x x x P μμ'-

= . （8分） 于是方程可化为0))()((=+-dx x Q y x P dy

即方程为一阶线性方程. （10分）

19．证明： (),()x x ϕψ的朗斯基行列式

为 ()()

()()()

x x W x x x ϕψϕψ=

''