竞赛数论基础

3 最大公因数和最小公倍数
定义3.2 设a1,a2,…,an和m都是正整数, n≥2. 若ai|m, 1≤i≤n, 则称m是 a1,a2,…,an的公倍数. 在a1,a2,…,an所有公倍数中最小的那一个, 称为a1,a2,…,an的最小公倍数, 记为 lcm{a1,a2,…,an}(least common multipler) 或者[a1,a2,…,an].
定义2.2 若正整数a有一因数b,而b又是素 数,则称b为a的素因数． 例:12=3×4, 其中3是12的素因数, 而4 则不是. 素数有多少？公元前三世纪, 古希腊数 学家欧几里德Euclid就证明了素数有无 穷多个.
2 素数和合数
素数的一些基本结论： 素数有无穷多个 素数的整除性 素数定理 算术基本定理：有限分解和唯一分解
p1,p2,…,pk是p的所有素数因子

例Biblioteka Baidu，

5(6) mod 6 = 52 mod 6= 25 mod 6 =1， 3(7) mod 7 = 36 mod 7= 729 mod 7 =1，

也就是说，在对n求余的运算下， (n)指 数具有周期性。
2素数和合数
在正整数中, 1只能被它本身整除. 任何大 于1的整数都至少能被1和它本身整除． 定义2.1 一个大于1且只能被1和它本身整 除的整数, 称为素数; 否则, 称为合数. 由该定义可知，正整数集合可分三类: 素数、合数和1. 素数常用p或p1, p2…,来表示.

2 素数和合数

a±c b±d(mod m) ac bd(mod m).
模运算具有普通运算的代数性质，可交换、可结合、 可分配 [(a mod n) + (b mod n)] mod n=(a +b) mod n [(a mod n) - (b mod n)] mod n=(a - b) mod n [(a mod n) X (b mod n)] mod n=(a x b) mod n [(aXb) mod n) ± (aXc mod n)] mod n=(a x (b±c) mod n
授课内容

A.1 素数与互素 A.2 同余与模运算 A.3 欧拉定理 A.4 几个有用的算法



A.1 素数与互素
1 整除
定义1.1 设 a,b为整数，a≠0. 若有一整数 q, 使得 b = aq, 则称 a是b的因数,b是a 的倍数; 并称a整除b, 记为a|b, 可形式 地表示为: a|b:=(q)(b=aq) 若a不能整除b，记为ałb. 若b=aq,而a既非正负b又非正负1,则称a 是b的真因数.
2 整数同余与模运算

模n同余类（剩余类）


任何整数a除以正整数n的余数一定在集合{0，1， 2，…，n-1}中，所有整数根据模n同余关系可以分成 n个集合，每一个集合中的整数模n同余，这样的集合 称为模n同余类（剩余类） 思考：从同余类的记法可以看出，它是否与代表元的 选取有关？

模n的完全剩余系
3 最大公因数和最小公倍数
定义3.1 设al,a2,…,an和d都是正整数, n≥2. 若 d|ai, 1≤i≤n, 则称d是al,a2,…,an.的公因数. 在公因数中最大的那一个数, 称为al,a2,…,an的 最大公因数, 记为gcd{al,a2,…,an}. (greatest common divisor)或者(al,a2,…,an). 若gcd(al,a2,…,an)=1, 称al,a2,…,an是互素的.
2 整数同余与模运算
定义2.1 给定一正整数m, 若用m去除两个 整数a和b所得余数相同, 则称a与b模m同 余, 记作ab(mod m); 若余数不同, 则称 a与b模m不同余, 记作ab(mod m).m称 为模数，a(modm)称为a模m的余数。 显然，a0(mod m) iff m| a. ab(mod m) a=km+b m|a-b 例A.2（参见教材p145）
3 最大公因数和最小公倍数
在互素的正整数中, 不一定有素数. 例如 (25,36)=1, 但25和36都不是素数而是合 数. 在个数不少于3个的互素正整数中, 不一 定是每二个正整数都是互素的. 例: (6,10,15)= 1, 但(6,10)=2, (6,15)=3, (10,15)=5.


从每一个模n同余类中取一个数为代表，形成一个集 合，此集合称为模n的完全剩余系，记为Zn Zn最简单表示就是集合{0，1，2，…,n-1}, 即Zn={0，1，2，…n-1}
2 整数同余与模运算



模运算的性质： 自反性: aa (mod m). 对称性: 若ab(mod m), 则 ba(mod m). 传递性: 若ab(mod m), bc(mod m), 则: ac(mod m). 可见, 同余关系是等价关系. 若ab(mod m), cd(mod m), 则:
A.2 同余与模运算


同余是数论中一个基本概念, 它的引人简 化了数论中的许多问题 同余的很多性质和“等于”很类似
1 带余除法
若a,b是二个正整数,b≠0, 则唯一存在二 个整数k和r, 使得下式成立: a=bk+r, 0≤r<b. 分别称k和r为a除以b(或者b除a)的商和余 数。还可表示为： a=[a/b]b+a(modb) 例A.1 参见教材p144。
1 整除
关于整除，显然有下列定理： 定理1.1 ①对所有a, 1|a. ②对所有a, a|0. ③对所有 a, a|a. ④若a|b且b|c, 则a|c. ⑤若a|b, 则对任意的c≠0, 有ac|bc. ⑥若ac|bc且c≠0, 则a|b.

1 整除
⑦若 a | b且a|c,则对任意的 m,n,有 a|(bm+cn). ⑧若a|b, 则b=0或|a|≤|b|,其中|a|是 a的绝对值. ⑨若a|b, 则(-a)|b, a|(-b),(-a)|(-b), |a|||b|.


加法消去律： 如果a+b a+c(mod n), 则 b c(mod n) 乘法消去律：


如果ab ac(mod n)且gcd(a,n)=1，则 b c(mod n) 如果ab dc(mod n)且 a d(mod n)以 及 gcd(a,n)=1，则 b c(mod n)
2 欧拉定理

费尔马定理（欧拉定理实际上是费尔 马定理的推广） 如果p是素数，则对任意的a，有 p 1
a
mod p 1
2 欧拉定理

如果p不是素数，则对任意的a，有
a
phi ( p )
mod p 1
1 1 1 phi( p) p 1 1 1 p p p 1 2 k

例A.4 参见教材P146。

消去律的条件 逆元的概念



加法逆元:设a,n∈Z且n>1，如果存在b∈Z使得 a+b≡0(modn)，则称a、b为互为模n的加法逆元，也 称负元，记为b≡-a(modn) 乘法逆元：设a,n∈Z且n>1，如果存在b∈Z使得 ab≡1(modn)，则称a、b为互为模n的乘法逆元，记为 b≡a-1(modn) 逆元的存在性 加法逆元总存在，例如n-a 乘法逆元存在的充要条件是a与n互素时
3 最大公因数和最小公倍数



最大公因子有下列性质： 任何不全为0的两个整数的最大公因子存在且 唯一 设整数a与b不全为0，则存在整数x和y，使得 ax+by=gcd(a,b)。特别地，如果a、b互素，则有 ax+by=1 若gcd(a,b)=d, 则gcd (a|d, b|d)=1 若gcd(a,x)=gcd(b,x)=1,那么gcd(ab,x)=1 若c|(ab),gcd(b,c)=1,则c|a
A.3 欧拉定理
1 欧拉函数

对于正整数n，(n)定义为小于n且与n互 质的正整数的个数。


例如(6) = 2，这是因为小于6且与6互质的 数有1和5共两个数 再如(7) = 6，这是因为互质数有1，2，3，4， 5，6共6个。


如果n为素数，则(n)=n-1 如果gcd(m,n)=1，则(mn)= (m)(n)

例A.3 参见教材P145。

指数模运算可以变成模指数运算，从而使 运算得以简化，例如




887 mod 187=[(884 mod 187) x (882 mod 187) x (88 mod 187)] mod 187 882 mod 187=7744 mod 187 =77 884 mod 187=[(882 mod 187) x (882 mod 187)] mod 187 =(77 x 77) mod 187=132 887 mod 187=(132 X 77 X88) mod 187=11