北师大版七年级数学下册 第四章 三角形中角度计算相关的模型 讲义

三角形中与角度计算相关的模型

两个定理：

一、平面内，三角形的三个内角和为180°。

二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。

由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。下面一一推导证明。

模型一：8字模型

条件：AD、BC相交于点O。

结论：∠A+∠B=∠C+∠D。(上面两角之和等于下面两角之和)

证明：在∠ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°

在∠CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，

∠∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，

由对顶角相等：∠BOA=∠COD

故有∠A+∠B=∠C+∠D

应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

模型二：飞镖模型

条件：四边形ABDC如上左图所示。

结论：∠D=∠A+∠B+∠C。(凹四边形凹外角等于三个内角和)

证明：如上右图，连接AD并延长到E，则：

∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。本质为两个三角形外角和定理证明。

应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260° (下右图中两个飞镖)。

模型三：两内角角平分线模型

条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。 结论：A I ∠+

︒=∠2

190 证明： ∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠=

∠2

1

2 ∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠2

1

3

由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知： ∠I=∠A+∠2+∠3=∠A+

ABC ∠21+ACB ∠21=∠A+)180(21A ∠-︒=A ∠+︒2

1

90.

应用：如上图，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。 (1) 若∠A=60° ，则∠I=120° (2) 若∠I=110°，则∠A=40° (3) 若∠A=α，则∠I=α2

1

90+︒。

模型四：两外角角平分线模型

条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是△ABC 的外角的角平分线，且相交于点O 。 结论：A O ∠-

︒=∠2

190 证明： ∵BO 是∠EBC 平分线，∴EBC ∠=

∠2

1

2 ∵CO 是∠FCB 平分线，∴FCB ∠=∠2

1

5 由△BCO 中内角和定理可知： ∠O=180°-∠2 -∠5

=180°-

EBC ∠21-FCB ∠21=180°-)180(21ABC ∠-︒-)180(2

1

ACB ∠-︒ =

)(2

1

ACB ABC ∠+∠

=

)180(2

1

A ∠-︒ =A O ∠-

︒=∠2

190 应用：如上图，BO 、CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的外角角平分线，且相交于点O 。 (1)若∠A=60° ，则∠O=60° (2)若∠O=70°，则∠A=40° (3)若∠A=α，则∠O=α2

1

90-

︒。

模型五：内外角角平分线模型

条件：△ABC 中，BP 、CP 分别是△ABC 的内角和外角的角平分线，且相交于点P 。 结论：A P ∠=

∠2

1 证明： ∵BP 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠=

∠2

1

3 ∵CP 是∠ACE 平分线，∴ACE ∠=∠2

1

1 由△ABC 外角定理可知：

∠ACE=∠ABC+∠A 即：2∠1=2∠3+∠A ……① 对①式两边同时除以2，得：

∠1=∠3+

A ∠2

1

……② 又在△BPC 中由外角定理可知：

∠1=∠3+∠P ……③ 比较②③式子可知：

A P ∠=∠2

1

。

应用：如上图，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的外角角平分线，且相交于点P 。 (1)若∠A=60° ，则∠O=30° (2)若∠O=70°，则∠A=140° (3)若∠A=α，则∠O=α2

1

模型六：共顶点角平分线与高线夹角模型

条件：△ABC 中，AH 是高、AD 是∠BAC 的角平分线。 结论：)(2

1

C B HA

D ∠-∠=

∠ (共顶点的高线与角平分线夹角等于两底角之差的一半)

证明： ∠AD 是∠ABC 平分线，∠BAC DAC ∠=∠2

1

在∠AHD 中：

∠HAD=90°-∠1=90°-(∠C+∠DAC)

=90°-(∠C+

BAC ∠2

1

) =90° - [∠C+

)180(2

1

C B ∠-∠-︒] =)(2

1

C B ∠-∠

应用：如上图，△ABC 中，AH 是高、AD 是∠BAC 的角平分线。 (1) 若∠C=30°，∠B=60°，则∠HAD=15°。 (2) 若∠HAD=15°，∠C=25°，则∠B=55°。 (3) 若∠B=α，∠C=β，则∠HAD=)(2

1

βα-。