与角平分线有关的一个结论的证明及其运用
角平分线四大模型(附例题)
角平分线四大模型模型一：这个模型的基本思想是过角平分线上一点P 作角两边的垂线。
如图中PA ⊥OA ，PB ⊥OB 。
容易通过全等得到PA=PB （角平分线性质）。
注意：题目一般只有一条垂线，需要自行补出另一条垂线。
甚至只给你一条角平分线，自行添加两条垂线。
例题1：AF 是△ABC 的角平分线。
P 是AF 上任意一点。
过点P 作AB 平行线交BC 于点D ，作AC 的平行线交BC 与点E 。
证明：点F 到DP 的距离与点F 到EP 的距离相等。
拓展，如果点P 在AF 延长线上，结论是否依然成立？例题2：如图正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值是2√2_______E模型二：这个模型的基础是，在角平分线上任意找一点P ，过点P 作角平分线的垂线交角的两条边与A 、B 。
这样就构造出了一个等腰三角形AOB ，即OA=OB 。
这个模型还可以得到P 是AB 中点。
注意：这个模型与一之间的区别在于垂直的位置。
并且辅助线的添加方法一般是延长一段与角平分线垂直的线段。
如图中的PB 。
例题1：如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD 垂直AD 于点D ，H 是BC 的中点。
求证：DH=1/2（AB-AC ）提示：要使用到三角形中位线的性质，即三角形中位线是对应边的一半。
模型三：这个模型的基础是在角的两边分别截取OA=OB ，然后在对角线上取任意一点P ，连接AP ，BP 。
容易证得△APO ≌△BPO 。
注意：一般这样的模型最容易被孩子忽略，因为这个模型里没有的角度，因而对于孩子而言添出PB 这条辅助线是有难度的。
添加这条辅助线的基本思想是在ON 上截取OB ，使得AP=BP 。
从而构造出一个轴对称。
这样的模型一般会出现在截长补短里。
BBN例题1：在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 是△ABC 的角平分线，则AC ，CD ，AB 三条线段之间的数量关系为_____________AC+CD=AB 模型四：这个模型是在角平分线上任意找一个点P 。
第3节 角平分线的性质及应用
第三节角平分线的性质及应用一、课标导航二、核心纲要1．角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等．如下左图所示：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．注：考查点到线的距离相等时，可以考虑角平分线的性质．2．角平分线的判定定理到角的两边距离相等的点在角的平分线上．如下中图所示：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE,∴OC平分∠AO B．注：用来证明一条线是一个角的平分线．3．角平分线的画法如下右图所示，已知：∠AO B．作法；（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线O C．∴射线OC即为所求．4.三角形的角平分线三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等．5.与角平分线有关的辅助线模型（1）在角的平分线上取一点向角的两边作垂线．（点垂线，垂两边，线等全等都出现）如下左图所示，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，则CD=CE，△OCD≌△OCE．（2）在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．（角分线，分两边，对称全等要记全）如下图所示:在OA、OB上分别截取OD=OE，连接CD、CE，则△OCD≌△OCE．（3）角平分线+垂线，全等必出现．如下右图所示：延长DC交OB于点E，则△OCD≌△OCE．本节重点讲解：两个定理，两个作法（角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线）．三、全能突破基础演练1．如图12-3-1所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（）．A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm2．如图12-3-2所示，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 3．如图12-3-3所示，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）．A．3:2 B．9：4 C．2：3 D．4：94．如图12-3-4所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是．5．如图12-3-5所示，BD是∠ABC的平分线，AB=CB，点P在BD的延长线上，PM⊥AD，PN ⊥CD，垂足分别是点M、N，求证：PM=PN．6．如图12-3-6所示，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，DF⊥BC，BD平分∠AB C．（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°．（2）若DF=3，BF=6，求四边形ABCD的面积．7．如图12-3-7所示，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BA C．能力提升8．如图12-3-8所示，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使点P到OA、OB的距离都等于a，作法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=a，点H为垂足；（2）过点N作NM∥OB；（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于点P；（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（）．A．平行线之间的距离处处相等B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上9．如图12-3-9所示，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，QD⊥AP，下列结论：①AS=AR；②AP平分∠BAC；③△BRP≌△CSP；④PQ∥AR．其中正确的是（）．A．①③B．②③C．①②④D．①②③④10．如图12-3-10所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处．A．1 B．2 C．3D．411．如图12-3-11所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC 的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．412．如图12-3-12所示，已知AB平行CD，∠CAB，∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD之间的距离等于．13．（1）如图12-3-13所示，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于．（2）如图12-3-14所示，已知△ABC的周长是18cm，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于点D，若△ABC的面积为54cm2，则OD= ．14．如图12-3-15所示，∠B=∠C=90°，M是BC中点，AM平分∠DAB，求证：DM平分∠AD C．15．如图12-3-16所示，在河中有座水文观测台O，它到河岸以及河上大桥AB的距离相等，一水文数据记录员站在台上，发现桥上有辆漂亮的彩车，从桥头A走到桥头B，问记录员的视线转过多大角度？16．如图12-3-17所示，在△ABC中，PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2．17．已知，如图12-3-18所示，在△ABC和△DCE中，BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，B、C、E三点在一条直线上，A、B、C、D、E、F、G、O为“公交停靠点”，甲公共汽车从A站出发，按照A、F、G、E、C、F的顺序达到F站，乙公共汽车从B哦出发，按照BOFDGDF的顺序达到F站，（1）如果甲乙两公共汽车分别从AB站出发，在各站耽误的时间相同，两车的速度也相同，试问哪一辆公共汽车先达到指定站点？为什么？（2）求证：①∠AFB=∠CDE；②CF平分∠BFE．18．如图12-3-19所示，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为点D，（1）求证：∠2=∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD=28°，求∠ADE的度数．19．如图12-3-20所示，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．求证：AB－AC＞PB-P C．20．如图12-3-21所示，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．中考链接21．（2011·浙江衢州）如图12-3-22所示，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM 上的一个动点，若P A=2，则PQ的最小值为（）．A．1 B．2 C．3 D．422．(2010·青海西宁)八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图12-3-23所示）设计了如下方案：（I）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（II）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P 的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（I）、方案（II）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．（2）在方案（I）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥O B．此方案是否可行？请说明理由．巅峰突破23．如图12-3-24所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的平分线与∠ABC 的外角平分线交于点E，则∠AEB=（）．A．50° B．45° C．40°D．35°24．如图12-3-25所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．。
角平分线的判定(用)
为了证明角平分线的判定定理， 我们可以按照以下步骤进行推导
综上所述，我们证明了角平分线 的判定定理。
03 判定定理的应用
在几何证明中的应用
证明角平分线
利用角平分线的判定定理，可以 证明某个角是另一个角的平分线。
证明等腰三角形
在三角形中，如果一个角的平分线 与对边相交，则该交点与对边的两 个端点所形成的三角形是等腰三角 形。
进行证明。
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证明线段比例
利用角平分线定理，可以证明线段 之间的比例关系。
在三角形中的运用
01
02
03
确定角的平分线
在三角形中，可以利用角 平分线的判定定理来确定 角的平分线位置。
计算线段长度
利用角平分线定理，可以 计Байду номын сангаас三角形中某些线段的 长度。
判断三角形形状
在三角形中，可以利用角 平分线的性质来判断三角 形的形状。
在日常生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，角平分线 的判定定理可用于确定窗 户、门等部件的位置和角 度。
道路规划
在道路规划中，可以利用 角平分线的判定定理来确 定交叉路口的角度和道路 的走向。
机械制造
在机械制造中，角平分线 的判定定理可用于确定零 件的精确位置和角度。
04 判定定理的推论与变种
推论一
角平分线的判定定理
目录
• 角平分线的定义与性质 • 角平分线的判定定理 • 判定定理的应用 • 判定定理的推论与变种
01 角平分线的定义与性质
角平分线的定义
角平分线是从一个角的顶点出发，将 该角分为两个相等的部分的一条射线。
角平分线上的任意一点到这个角的两 边的距离相等。
角平分线四大模型总结+习题+解析（最全版）
⾓平分线四⼤模型总结+习题+解析（最全版）⾓平分线四⼤辅助线模型⾓平分线的性质为证明线段或⾓相等开辟了新的途径，同时也是全等三⾓形知识的延续，⼜为后⾯⾓平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到⾓平分线的考点主要是性质、判定以及四⼤辅助线模型，在初⼆上期中、期末考试中都是经常考察的⽅向。
⾓平分线性质：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等．⾓平分线判定：到⾓的两边距离相等的点在⾓的⾓平分线上．四⼤模型1、⾓平分线+平⾏线，等腰三⾓形必出现已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．则△ODC为等腰三⾓形，OD=CD．2、⾓平分线+两垂线，线等全等必出现已知：OC平分∠AOB．辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、⾓平分线+⼀垂线，中点全等必出现已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、⾓平分线+截长补短线，对称全等必出现已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．【核⼼考点⼀】⾓平分线的性质与判定1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:163．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB ，另⼀把直尺压住射线OA 并且与第⼀把直尺交于点P ，⼩明说：“射线OP 就是BOA ∠的⾓平分线．”他这样做的依据是( )A ．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B ．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C ．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确6．（2019秋?梁平区期末）如图，若BD AE ⊥于B ，DC AF ⊥于C ，且DB DC =，40BAC ∠=?，130ADG ∠=?，则DGF ∠=．7．（2018春?开江县期末）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆⼼，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆⼼，⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交边BC 于点D ．下列说法错误的是( ) A ．CAD BAD ∠=∠B ．若2CD =，则点D 到AB 的距离为2C ．若30B ∠=?，则CDA CAB ∠=∠D ．2ABD ACD S S ??=8．（2014秋?西城区校级期中）如图，点E 是AOB ∠的平分线上⼀点，EC OA ⊥，ED OB ⊥，垂⾜分别是C ，D ．下列结论中正确的有( )（1）ED EC =；（2）OD OC =；（3）ECD EDC ∠=∠；（4）EO 平分DEC ∠；（5）OE CD ⊥；（6）直线OE 是线段CD 的垂直平分线．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．（2019春?杜尔伯特县期末）如图：在ABC ?中，90C ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =，证明：（1）CF EB =．（2）2AB AF EB =+．10．（2019秋?垦利区期中）如图，ABC⊥⊥且平分BC，DE AB中，AD平分BAC∠，DG BC于E，DF AC⊥于F．（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；（2）如果8AB=，6AC=，求AE、BE的长．11．（2017秋?遂宁期末）某地区要在区域S内（即COD∠内部）建⼀个超市M，如图所⽰，按照要求，超市M到两个新建的居民⼩区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【核⼼考点⼆】⾓平分线+⾓两边垂线12．（2019秋?肥城市期末）如图，//AB CD ，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，AD 过点P ，且与AB 垂直，垂⾜为A ，交CD 于D ，若8AD =，则点P 到BC 的距离是．13．（2015?湖州）如图，已知在ABC ?中，CD 是AB 边上的⾼线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，5BC =，2DE =，则BCE ?的⾯积等于( )A ．10B ．7C ．5D ．414．（2010秋?涵江区期末）如图所⽰，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BC AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：AB AC CD =+．15．（2012秋?蓬江区校级期末）如图，已知90∠=∠=?，M是BC的中点，DM平分B C∠．求证：ADC（1）AM平分DAB∠；（2）DM AM⊥．16．（2016秋?西城区校级期中）已知：如图，12∠=∠，P为BN上的⼀点，PF BC⊥于F，=，PA PC（1）求证：180∠+∠=?；PCB BAP（2）线段BF、线段BC、线段AB之间有何数量关系？写出你的猜想及证明思路．【核⼼考点三】⾓平分线+垂线17．（2017秋?和平区校级⽉考）如图．在ABC ?中，BE 是⾓平分线，AD BE ⊥，垂⾜为D ，求证：21C ∠=∠+∠．18．（2013秋?昌平区期末）已知：如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于点D ，DCB B ∠=∠，若10AC =，6AD=，求AB 的长．19．如图所⽰，ABC ?中，ACB ABC ∠>∠，AE 平分BAC ∠，CD AE ⊥于D ，求证：ACD B ∠>∠．20．已知：如图，在ABC ?中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21．（2019秋?下陆区期中）如图，BD 是ABC ∠的⾓平分线，AD BD ⊥，垂⾜为D ，20DAC ∠=?，38C ∠=?，则BAD ∠=．22．（2019秋?曲⾩市校级⽉考）如图，在ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，过C 作CE BD ⊥交BD 延长线于E ．求证：12CE BD =．23．（2019?沂源县⼀模）（1）如图（a）所⽰，BD、CE分别是ABC的外⾓平分线，过点A作AD BD⊥，AE CE⊥，垂⾜分别为D、E，连接DE，求证：1() 2DE AB BC AC=++；（2）如图（b）所⽰，BD、CE分别是ABC的内⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边有怎样的数量关系？并证明这个数量关系；（3）如图（c）所⽰，BD为ABC的内⾓平分线，CE为ABC的外⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边⼜有怎样的数量关系？并证明这个数量关系．24．（2017秋?夏⾢县期中）如图，在ABC ?中，ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于F ，过F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论：①BDF ?、CEF ?都是等腰三⾓形；②DE DB CE =+；③AD DE AE AB AC ++=+；④BF CF =．正确的有．25．（2019秋?垦利区期末）如图，平⾏四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =；，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ，则DE DF +的长度为．26．（2010秋?海淀区期末）如图，BD 是ABC ?的⾓平分线，//DE BC ，DE 交AB 于E ，若AB BC =，则下列结论中错误的是( )A ．BD AC ⊥B ．A EDA ∠=∠C ．2AD BC =D ．BE ED =27．如图，若BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过D 作//DE AB 交BC 于E ，作//DF AC 交BC 于F ，求证：BC 的长等于DEF ?的周长．28．（2018秋?邳州市期中）如图，在四边形ABCD中，对⾓线AC平分BAD >，∠，AB AD 下列结论正确的是()A．AB AD CB CD->-B．AB AD CB CD-=-C．AB AD CB CD-<-D．AB AD-与CB CD-的⼤⼩关系不确定29．（2012?⿇城市校级模拟）在ABC∠的外⾓平分线，P是AD上的任意中，AD是BAC⼀点，试⽐较PB PC+与AB AC+的⼤⼩，并说明理由．30．（2018秋?万州区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD ∠，CE AB⊥于=+．E，且180B D∠+∠=?，求证：AE AD BE31．（2017秋?海淀区期中）如图，已知AD是BAC∠=?，C=+，31的⾓平分线，AC AB BD 求B∠的度数．32．（2019秋?平⼭县期中）如图，90∠=?，OM平分AOB∠，将直⾓三⾓板的顶点PAOB在射线OM上移动，两直⾓边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．33．（2016秋?丰宁县期中）如图，在ABC ?中，100A ∠=?，40ABC ∠=?，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD ⾄E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+．34．（2018秋?丰城市期中）在ABC ?中，2ACB B ∠=∠，（1）如图1，当90C ∠=?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，在AB 上截取AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，当90C ∠≠?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需要证明；（3）如图3，当AD 为ABC ?的外⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．35．（2019春?利津县期末）如图，在ABC∠平分线，AD的垂直平分线分中，AD是BAC别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）EAD EDA∠=∠；（2）//DF AC；（3）EAC B∠=∠．36．（2014?西城区⼆模）在ABC>，AD平分BAC∠交BC于点∠为锐⾓，AB AC，BACD．（1）如图1，若ABC是等腰直⾓三⾓形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若60∠=?，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；ABE②如图3，若AC AB+，求BAC∠的度数．⾓平分线四⼤辅助线模型--解析⼀．⾓平分线的性质与判定（共11⼩题）1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．【分析】⾸先过点P 作PB OM ⊥于B ，由OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，根据⾓平分线的性质，即可求得PB 的值，⼜由垂线段最短，可求得PQ 的最⼩值．【解答】解：过点P 作PB OM ⊥于B ， OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，3PB PA ∴==，PQ ∴的最⼩值为3．故选：C ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:16【分析】利⽤⾓平分线的性质，可得出ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼相等，估计三⾓形的⾯积公式，即可得出ABD ?与ACD ?的⾯积之⽐等于对应边之⽐．【解答】解：AD 是ABC ?的⾓平分线，∴设ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼分别为1h ，2h ，12h h ∴=，ABD ∴?与ACD ?的⾯积之⽐:8:64:3AB AC ===，故选：B ．3．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【分析】根据⾓平分线的性质得到ED EC =，计算即可．【解答】解：BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥，90ACB ∠=?， ED EC ∴=，3AE DE AE EC AC cm ∴+=+==，故选：B ．4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn【分析】过点D 作DE AB ⊥于E ，根据⾓平分线上的点到⾓的两边距离相等可得DE CD =，然后根据三⾓形的⾯积公式即可得到结论．【解答】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，BD 是ABC ∠的平分线，90C ∠=?，DE CD m ∴==，ABD ∴?的⾯积122n m mn =??=，故选：A．5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB，另⼀把直尺压住射线OA并且与第⼀把直尺交于点P，⼩明说：“射线OP就是BOA∠的⾓平分线．”他这样做的依据是()A．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【分析】过两把直尺的交点C作CE AO=，再根据⾓⊥，CF BO⊥，根据题意可得CE CF的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上可得OP平分AOB∠；【解答】解：（1）如图所⽰：过两把直尺的交点P作PE AO⊥，⊥，PF BO两把完全相同的长⽅形直尺，PE PF∴=，∠（⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上），OP∴平分AOB故选：A．。
三角形角平分线地结论及应用
浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。
本文主要谈两点：关于三角形的、外角平分线的夹角的问题和关于三角形、外角平分线的交点问题。
关于三角形的、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两角平分线的夹角等于90度与三角形第三个角的一半的和。
（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个角的一半的差。
（3）三角形一个角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个角的一半（4）三角形两角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。
关于三角形外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是角的平分线和外角的角平分线。
在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。
下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。
结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，1∠Ａ。
试探究：∠D=９０°＋2解：∵BD、CD为角平分线1∠ＡＢＣ，（图1）∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＣＢ。
∠ＢＣＤ＝2在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝１８０°－21（１８０°－∠Ａ）＝１８０°－21∠Ａ＝９０°＋2变式练习的题目有（1）如图2、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。
1∠Ａ。
则∠Ａ=2∠D―180°，解:由结论1得知，∠D=９０°＋2容易得出∠Ａ=20°（图2）（2）如图3:在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。
三角形的角平分线与相似三角形综合
三角形的角平分线与相似三角形综合三角形是几何学中重要的概念，它具有许多特性和性质。
本文将探讨三角形中的角平分线和相似三角形之间的关系以及其综合应用。
一、角平分线的概念和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，角平分线有如下性质：1. 角平分线将角分为两个相等的角：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交边BC于点D，则∠BAD = ∠DAC。
2. 角平分线与对边的关系：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交边BC于点D，则BD/DC = AB/AC。
3. 角平分线的唯一性：在一个三角形中，每个角都有唯一的角平分线。
二、相似三角形的概念和性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在相似三角形中，角度相等且对应边的比例相等。
相似三角形的性质如下：1. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们相似。
2. AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角度相等，那么它们相似。
3. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边的比例相等，那么它们相似。
三、角平分线与相似三角形的关系在三角形中，角平分线与相似三角形之间存在一定的关系。
具体如下：1. 角平分线分割相似三角形：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交对边BC于点D，令AD与角平分线交BC的延长线于点E。
则有∆ABD ∼ ∆ACE。
2. 相似三角形的角平分线：设∆ABD ∼ ∆ACE，∠BAD的角平分线交BD于点F，∠CAE的角平分线交CE于点G。
则有∆ABF ∼∆ACG。
通过以上关系，我们可以在解决三角形相关问题时应用角平分线和相似三角形的知识。
四、综合应用1. 证明角平分线的长度关系：设三角形ABC中，∠BAC的角平分线交对边BC于点D。
通过角平分线与对边的关系可得BD/DC =AB/AC。
进一步利用相似三角形的性质，我们可以得到如下结论：AD/DC = AB/BC。
2. 判断角平分线存在问题：当一个三角形的三个内角都被其角平分线平分时，可以推断该三角形是等边三角形。
锐角平分线的三个定理
锐角平分线的三个定理
锐角平分线的三个定理介绍如下：
1. 角平分线定理
* 定义: 若一个角的平分线与一个直线相交，则相对的两个交点到这个角的两边的距离相等。
* 证明: 通过角的平分线上的任意一点，向角的两边作垂线，由于角的平分线性质，这两个垂线长度相等。
再根据点到直线的距离定义，可证该定理。
* 应用: 在几何证明和构造中，角平分线定理常被用来确定与角平分线相关的线段长度。
2. 锐角定理
* 定义: 锐角平分线与该角的对边所形成的夹角小于90°。
* 证明: 设锐角为α，其平分线与对边形成的角为β。
由于α是锐角，所以0°< α< 90°。
根据角的平分线性质，α/2 < β< 90°。
* 应用: 在解决几何问题时，锐角定理可以用来判断角平分线与对边形成的角度的大小。
3. 余弦定理
* 定义: 在任意三角形ABC中，若AD是角BAC的平分线，则有AB²=BD×BC+BD²-CD²。
* 证明: 根据角平分线的性质，得到AD²=BD×BC+CD×AC，然后通过余弦定理和已知条件可证明上述结论。
* 应用: 余弦定理常被用来确定角平分线上的点到三角形的两边距离的关系。
总结：锐角平分线的三个定理在几何学中具有重要地位，它们在解决与角平分线相关的几何问题时非常有用。
深入理解和掌握这些定理对于提高几何解题能力至关重要。
一内一外角平分线模型证明过程
一内一外角平分线模型证明过程一、引言一内一外角平分线模型是几何学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解角平分线的性质和应用。
本文将以一内一外角平分线模型为基础，通过证明过程来展示其应用和推导过程。
二、一内角平分线的性质我们来看一内角平分线的性质。
在三角形ABC中，假设AD是角BAC的内角平分线。
根据角平分线的定义，角BAD和角CAD是等角。
我们可以证明以下性质：1. AD与BC垂直为了证明AD与BC垂直，我们需要利用角度的性质。
根据等角的定义，我们可以得到∠BAD = ∠CAD。
又因为∠BAC = 2∠BAD，所以∠BAC = 2∠CAD。
根据角度的和等于180度，我们可以得到∠BAC + ∠CAD = 180度。
由于∠BAC和∠CAD是等角，所以它们的和等于180度的一半，即90度。
因此，AD与BC垂直。
2. AD平分角BAC为了证明AD平分角BAC，我们可以利用角度的性质。
根据等角的定义，我们可以得到∠BAD = ∠CAD。
又因为∠BAC = 2∠BAD，所以∠BAC = 2∠CAD。
根据角度的和等于180度，我们可以得到∠BAC + ∠CAD = 180度。
由于∠BAC和∠CAD是等角，所以它们的和等于180度的一半，即90度。
因此，AD平分角BAC。
三、一外角平分线的性质接下来，我们来看一外角平分线的性质。
在三角形ABC中，假设AE是角BAC的外角平分线。
根据角平分线的定义，角BAE和角CAE是等角。
我们可以证明以下性质：1. AE与BC垂直为了证明AE与BC垂直，我们需要利用角度的性质。
根据等角的定义，我们可以得到∠BAE = ∠CAE。
又因为∠BAC = ∠BAE + ∠CAE，所以∠BAC = 2∠BAE。
根据角度的和等于180度，我们可以得到∠BAC + ∠BAE = 180度。
由于∠BAC和∠BAE是等角，所以它们的和等于180度的一半，即90度。
因此，AE与BC垂直。
2. AE平分角BAC的补角为了证明AE平分角BAC的补角，我们可以利用角度的性质。
角平分线定理证明过程
角平分线定理证明过程1. 引言角平分线定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了一个角的平分线与角的两边所构成的比例关系。
在本文中，我们将详细介绍角平分线定理的证明过程。
2. 定理表述设在三角形ABC中，有一条从顶点A出发的角平分线AD，它将∠BAC平分为两个相等的角∠BAD和∠DAC。
那么，根据角平分线定理可知：AB/AC = BD/DC3. 证明过程为了证明角平分线定理，我们需要利用几何性质和一些基本的推导。
下面是证明过程的详细步骤：步骤1：延长AD首先，在三角形ABC中，从点D出发向BC方向延长AD到点E。
即使得AD=DE。
步骤2：观察△ABD与△AEC由于∠BAD和∠DAC是相等的（根据题设），我们可以得到以下结论：∠ABD = ∠DAC又因为直角三角形ABD与AEC有共同边AD，所以可以推导出：∠ABD = ∠AEC根据等角定理，我们可以得到以下结论：△ABD与△AEC是全等的步骤3：观察△BDA与△CED由于△ABD与△AEC是全等的，我们可以得到以下结论：∠BDA = ∠CEA又因为直角三角形BDA与CED有共同边AD，所以可以推导出：∠BDA = ∠CED根据等角定理，我们可以得到以下结论：△BDA与△CED是全等的步骤4：观察比例关系根据步骤3中的结果，我们知道△BDA与△CED是全等的。
那么，它们的边长比例也应该相等。
根据全等三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：BD/CE = BA/EA （1）又因为直线DE平行于BC（根据步骤1），所以根据平行线分割比例定理可知：BD/DC = BA/AC （2）将（1）和（2）两式进行比较，我们可以发现它们具有相同的左侧分子和右侧分母。
因此，我们可以得出以下结论：AB/AC = BD/DC这就证明了角平分线定理。
4. 总结通过以上证明过程，我们成功地证明了角平分线定理。
该定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了角的平分线与角的两边所构成的比例关系。
角平分线的判定课件
判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上．
符号语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB， PD = PE， ∴点 P 在∠AOB的平分线上 （OP 平分 ∠AOB）
双垂等距推角分
留一个思考问题：为什么会有“角的内 部”这个前提？没有的话会怎样？
思考 如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公
证明：过P作PM⊥AC于M， PN⊥BC于N，PQ⊥AB于Q.
∵CE为∠MCN的平分线， ∴PM = PN，
同理PN = PQ， ∴点P到三边AB，BC，CA 的距离相等.
M Q
巩固提高
1. 如图所示，表示三条相互交叉的公路， 现要建一个货物中转站，要求它到三条公路 的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
定理应用
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相 交于点 P．求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的 距离相等．
证明：过P 点作 PD，PE， PF分别垂直于 AB，BC，CA，垂 足分别为 D，E，F.
∵BM 是△ABC的角平分线， 点P 在BM 上，
∴PD = PE . 同理 PE = PF . ∴ PD = PE = PF . 即点P 到三边AB，BC，CA 的距离相等．
分析：全等推角等
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， 在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP PD= PE ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP ∴点P在∠AOB的平分线上.
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE