陕西省石泉县九年级数学上册21.2解一元二次方程教案(新版)新人教版
新人教版初中数学九年级上册《第二十一章一元二次方程：21.2解一元二次方程》公开课教案_2
22.2.3 公式法教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1x 2分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b ac a - 0364)1(2=--x x 0742)2(2=+-x x ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a=±2a 即x=2b a-± ∴x 1x 2由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．（１）x2 - 4x -7=0 （2） （3） （4）分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．老师板书解题过程，详细书写解题格式。
九年级数学上册-解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法教案新版新人教版
21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题．提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题．问题1:填空(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.解:根据完全平方公式可得:(1)16 4；(2)4 2；(3)(p2)2p2.问题2:目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2＝9,根据平方根的意义,直接开平方得x＝±3,如果x换元为2t＋1,即(2t＋1)2＝9,能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t＋1变为上面的x,那么2t＋1＝±3即2t＋1＝3,2t＋1＝－3方程的两根为t1＝1,t2＝－2例1 解方程:(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2分析:(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.(2)由已知,得:(x＋3)2＝2直接开平方,得:x＋3＝± 2即x＋3＝2,x＋3＝－ 2所以,方程的两根x1＝－3＋2,x2＝－3－ 2解:略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率．分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解:设每年人均住房面积增长率为x,则:10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方,得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2,1＋x＝－1.2所以,方程的两根是x1＝0.2＝20%,x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2＝－2.2应舍去．所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么？共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程,那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程,那么mx＋n＝±p,达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.。
九年级数学上册 21.2.2 公式法课件 (新版)新人教版
合作探究
2．用公式法解下列方程： (1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－x－＝0； (3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x； (5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋2x＋10＝0.
解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；
2＋ 3
2－ 3
(2)x 1＝ 2 ，x 2＝ 2 ；
第二十一章：一元二次方程
21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法
学习目标
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了 解公式法的概念．
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式的推导．
学前准备
用配方法解方程： (1)x2＋3x＋2＝0； 解：x1＝－2，x2＝－1； (2)2x2－3x＋5＝0. 解：无解．
(3)没有实数根？
解：(1)m＜
1 4
Hale Waihona Puke ；(2)m＝；14
(3)m＞ .
1 4
合作探究
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋ mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根， ∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0. 对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1 ＝0， Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0， ∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 根((，45))也由一可求般能根地有，公式式可子个知b12实，－根一4a或元c叫者二做次方方实程程没根a最x有．2多＋有bx＋c2个 ＝实数 0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2 －4ac.
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法教案新人教版(2021
2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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21.2.2 公式法※教学目标※【知识与技能】1.理解并掌握求根公式的推导过程．2。
能利用公式法求一元二次方程的解．【过程与方法】经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．【情感态度】用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用．【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．※教学过程※一、复习导入1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x，227x：提问1 这种解法的（理论）依据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么?（只对那种“平方式等于非负数"的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法,把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）（学生活动) 用配方法解方程:2x x．237总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结,老师点评）（1）先将已知方程化为一般形式； （2）二次项系数化为1； （3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式; （5）变形为2x np 的形式，如果0p ，就可以直接开平方求出方程的解，如果0p ，则一元二次方程无解．二、探索新知能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程200ax bx c a 的两根？移项，得2ax bxc ．二次项系数化为1,得2b cx xa a． 配方，得22222b b c b xx a aaa，即222424b b ac x aa ．此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：（1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？师生共同完善认知：(1）当b 2—4ac ＞0时，两边可直接开平方，得242b b ac x a，∴2142bb ac x a，2242bb ac x a;（2)当b 2—4ac =0时，有202b x a 。
(名师整理)数学九年级上册第21章《21.2解一元二次方程》优秀教案
1.求根公式的推导，公式的正确使用。
2.求根公式的推导和运用。
讲练结合
1
学法指
导
学生随
教学内容
笔
一、复习引入
导语：我们学习了用公式法解一元二次方程，解一个具体的 一元
二次方程时，把各系数直接带入求根公式。
二、探究新知
活动 1. 使用“公式法”解一元二次方程 （1）x2﹣ x﹣ =0； （2）2x2﹣2
．
7．2x2﹣2x﹣1=0 的解是
，
．
8．用公式法解方程 2x2﹣7x+1=0，其中 b2﹣4ac=
，
x1=
，x2=
．
三．解答题
9．解下列方程．
（1 ）4x2+4x﹣3=0
（2）0.3y2+y=0.8
4
（3）x2﹣ x+1=0． （5）x2+2x﹣9999=0
（4）x2+3x+1=0．
四、小结归纳 本节课应掌握： 1.用求根公式求一元二次方程的根 2. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程.
解一元二次 方程---公式法（2） 知识与能力： 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断 根的情况. 3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程. 过程与方法： 1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方 程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解 公式的基础.； 2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元 二次方程，操作简单. 3.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯. 情感态度与价值观：1.感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1直接开平方法教案 新人教版
21.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s•的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，•P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？ BCAQ P 老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x，BQ=2x依题意，得：12x·2x=8x2=8根据平方根的意义，得x=±22即x1=22，x2=-22可以验证，22和-22都是方程12x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以22秒后△PBQ的面积等于8cm2．二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±22即2t+1=22，2t+1=-22方程的两根为t1=2-12，t2=-2-12例1：解方程：x2+4x+4=1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材练习．四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=p，达到降次转化之目的．六、布置作业1．教材复习巩固1、2．2．选用作业设计:一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13±22B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=23+53，x2=253-D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-13二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b34a+2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，•并说明你制作的理由吗？答案:一、1．B 2．D 3．B二、1．±2 2．9或-3 3．-8三、1．当n≥0时，x+m=n x1n，x2n．当n<0时，无解2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，依题意，得：x（40-2x）=180整理，•得：•x2-20x+90=0，x110x210同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．3．因要制矩形方框，面积尽可能大，所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
新人教版九年级上册数学《21.2 解一元二次方程》教案
第21章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
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一元二次方程的解法
---配方法
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导入课题
解：
引例：解方程
x 4 x 1 0.
2
x 4 x 4 5.
2
写成（平方）2 开平方，得 怎样配方？
5 25 2 2 x 5x __ 4 x _ 2 . 4 2 4 2 2 x x __ 9 x __ 3 .
2
2、用配方法解下列方程:
(1)x2+8x-15=0
1 (2) x 2 x 0 4
2
(3)2x2-5x-6=0
2 2 1 (4) x x 2 3 3
2
2
移项：将常数项移到等号一边，得 配方：左右两边同时加上一次项
系数一半的平方，得
7 3 x . 2 2 2 2 7 7 7 3 2 x x . 2 2 4 4 x2
写成（）2 的形式，得 开平方，得
7 49 24 . x 4 16 16
的形式，得
x 2
2
5.
x 2 5.
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解这两个方程，得
x1 2 5
x2 2 5.
x2＋8x＋ 42 ＝( x＋4 )2 2 2 2 ＝ ( a +b ) a +2 a b ＋ b x2＋2．x．4 ＋ 42
配方依据：完全平方公式.
2 2 2 a ±2ab+b =(a±b) .
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合作探究
填上适当的数或式,使下列各等式成立. 2 2 (1) x 4 x 2 =( x + 2 )2 2 2 =(x - 3 )2 (2) x 6 x 3
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.2解一元二次方程》第4课时教案
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.2解一元二次方程》第4课时教案一. 教材分析本节课主要讲解一元二次方程的解法。
一元二次方程是初中数学的重要内容，也是高考的必考知识点。
通过学习本节课，学生能够掌握一元二次方程的解法，为后续学习函数、不等式等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课前，已经掌握了整式的加减、乘除运算，以及因式分解等知识。
但一元二次方程的解法较为抽象，学生可能存在理解困难的情况。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解一元二次方程的解法，并加强实例讲解和练习。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元二次方程的解法，能够熟练运用各种方法解一元二次方程。
2.过程与方法：通过实例讲解、小组讨论等方式，培养学生的动手操作能力和合作意识。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和克服困难的勇气。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法。
2.难点：理解一元二次方程各种解法的原理，以及如何选择合适的解法。
五. 教学方法1.讲授法：讲解一元二次方程的解法原理和步骤。
2.实例讲解法：通过具体例子，让学生理解一元二次方程的解法。
3.小组讨论法：让学生在小组内讨论解一元二次方程的方法，培养学生的合作意识。
4.练习法：让学生通过练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.准备相关的一元二次方程例子。
2.准备课件，展示一元二次方程的解法步骤。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的兴趣。
例如：某商品的原价是100元，打8折后卖出去，售价是多少？引导学生列出方程，解决问题。
2.呈现（15分钟）讲解一元二次方程的解法，包括：因式分解法、配方法、公式法等。
通过具体例子，让学生理解各种解法的原理和步骤。
3.操练（15分钟）让学生在小组内练习解一元二次方程，教师巡回指导。
选取一些具有代表性的题目，让学生讲解解题思路，互相学习。
九年级数学上册 21 一元二次方程小结教案 新人教版(2021学年)
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第2１章一元二次方程教学过程设计一、本章知识结构框图二、知识梳理1、一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个求知数（一元）,并且求知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是：ａx2+bx+c=0(a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数,bx是一次项,b是一次项系数,c是常数项。
3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法4、一元二次方程ax２+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△= b2-4ａc,当⊿＞0时,方程有两个不相等的实数根；当⊿=0时,方程有两个相等的实数根;当⊿＜0时,方程没有实数根;当⊿≥0时,方程有实数根。
5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）当⊿=b2—4ac≥０时,一元二次方程ax２+bｘ+ｃ＝0.通过梳理知识,形成有关方程的知识体系．以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
高尔基说过：“书是人类进步的阶梯。
”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。
物质生活极大丰富，科学技术飞速发展，这一切逐渐改变了人们的学习和休闲的方式。
很多人已经不再如饥似渴地追逐一篇文档了，但只要你依然有着这样一份小小的坚持,你就会不断成长进步,当纷繁复杂的世界牵引着我们疲于向外追逐的时候，阅读一文或者做一道题却让我们静下心来，陕西省石泉县九年级数学上册 21 一元二次方程小结教案（新版）新人教版回归自我。
2019秋九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.2公式法教案2(新版)新人教版
21.2.2 公式法教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52（老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1二次项系数化为1，得：x2-76x=-16配方，得：x2-76x+（712）2=-16+（712）2（x-712）2=25144x-712=±512x1=512+712=7512+=1x2=-512+712=7512-=16（2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1x 2 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0直接开平方，得：x+2b a=±2a即∴x 1x 2 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0==∴x 1x 2 （2）将方程化为一般形式3x 2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0576±= x 1=2，x 2=-13（3）将方程化为一般形式3x 2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0∴x=(11)11236--±=⨯∴x 1=116+，x 2=116- （3）a=4，b=-3，c=1b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．三、巩固练习教材P 42 练习1．（1）、（3）、（5）四、应用拓展例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足:①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2m 2=1 m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0a=2，b=-1，c=-1b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9x=(1)13224--±±=⨯ x 1=，x 2=-12因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0所以m=0满足题意．②当m 2+1=0，m 不存在．③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0所以m=-1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0解得x=-13因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-13． 五、归纳小结本节课应掌握：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．六、布置作业1．教材P 45 复习巩固4．2．选用作业设计:一、选择题1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．x=32-±．x=32±C ．D ．22=0的根是（ ）．A ．x 1，x 2B ．x 1=6，x 2C ．x 1，x 2D ．x 1=x 23．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．A ．4B ．-2C ．4或-2D ．-4或2二、填空题1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．三、综合提高题1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．2．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a ；（2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A 元收费． （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示）（2根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？答案:一、1．D 2．D 3．C二、1．x=2b a-±，b 2-4ac ≥0 2．4 3．-3三、1．=a ±│b │ 2．（1）∵x 1、x 2是ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，∴x 1=2b a -+，x 2=2b a-∴x 1+x 2=2b b a -+-b a，x 1·x 2c a（2）∵x 1，x 2是ax 2+bx+c=0的两根，∴ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0原式=ax 13+bx 12+c 1x 1+ax 23+bx 22+cx 2=x 1（ax 12+bx 1+c ）+x 2（ax 22+bx 2+c ）=03．（1）超过部分电费=（90-A ）·100A =-1100A 2+910A （2）依题意，得：（80-A ）·100A =15，A 1=30（舍去），A 2=50。
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1
21.2解一元二次方程
课标依据 能用直接开平方法解一元二次方程
一、教材分析
根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）
2
=p（p≥0）型的一元二次方程．把一般形式的一元二次方程（二次项系数是1，
一次项系数是偶数）与左边是含有未知数的完全平方式右边是非负常数的一元
二次方程对比，引入配方法，并掌握.
二、学情分析
根据已学的平方根的意义来解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移
到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方程．这样容易完成学习内容。
三、教
学目
标
知识与
技能
1．知识与技能
（1）会用开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程．
（2）能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍．
过程与 方法 通过实例，使学生体会一元二次方程应用价值并意识到解一元二次方程的重要性，理解直接开平方法的数学依据，并能应用直接开平方法．让学生经历由简
到繁过程，体验类比、化归、降次的数学思想方法，培养学生观察、分析、计
算等思维能力及应用意识．
情感态
度与价
值观
通过学生对具体问题的思考、讨论、交流，最终得出结论的过程，培养学生的
进取精神，让学生养成科学严谨的治学态度和应用所学知识解决问题的习惯．
四、教
学重
点难
点
教学重
点
运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学
思想．
教学难
点
灵活运用直接开平方法解一元二次方程。
五、教法学法 引导探索归纳法、讲练结合法。
2
六、教
学过
程设
计
师生活动 设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题1】一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好
刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的
棱长吗？
设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据
一桶油漆可刷的面积列出方程：
10×6x2=1500
由此可得：x2=25
根据平方根的意义，得x=±5
即x1=5，x2=-5
可以验证5和-5是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的
棱长为5dm。
（学生尝试描述何为降次及方法，把握方程结构特点，初步体会直接
开平方法解一元二次方程.）
归纳：
可根据数的开方的知识解形如 x2=p（p≥0）的一元二次方程，
方程有两个根，但是不一定都是实际问题的解.
二、自主交流 探究新知
【探究】对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x-1)2=9
及方程x2+6x+9=4?
在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，
转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了。
方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x+
3 )2=4，进行降次，得到 x+3=±2 ，方程的根为x1= -1，x2= -5。
（教师组织学生讨论，尝试回答，教师及时肯定并总结）
【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元
一次方程．即，如果方程能化成2xp或2()(0)mxnpp的形
式，那么可得xp或mxnp．
三、自主应用 巩固新知
【例1】解下列方程：
⑴2y2=8 ⑵2(x-8)2=50 ⑶(2 x-1)2+4=0
创设问题情境，激
发学生兴趣，引出
本节内容．
鼓励学生独立解
决问题，在解决问
题的过程中体会
解简单的一元二
次方程的思想“降
次”——把二次降
为一次，进而解一
元一次方程即可．
3
⑷4x2-4x+1=0
【分析】引导学生观察以上各个方程能否化成2xp或
2
()(0)mxnpp
的形式，若能，则可运用直接开平方法解。
解：⑴2y2=8 ⑵2(x-8)2=50
y2=4 (x-8)2=25
y=±2 x-8=±5
∴y1=2，y2=-2 x-8=5或x-8=-5
∴x1= 13，x2= -3
⑶(2 x-1)2+4=0 ⑷4x2-4x+1=0
(2 x-1)2=-4<0 (2 x-1)2=0
∴原方程无解 2 x-1=0 ∴x1= x2= 21
（学生独立完成，教师巡视指导）
四、巩固练习
【练习】Р6： （1）--（6）
五、自主总结
1、用直接开平方解一元二次方程；理解“降次”思想。
2、理解x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0？
六、当堂检测：
《学案》第5页：巩固训练
六、课堂作业
必做： P16 1、2。
选作：《学案》P6：“达标测评”部分习题。
帮助学生掌握并
巩固一元二次方
程的解法，同时通
过教师规范的板
书引导学生不仅
要会解方程还要
注意正确的解题
格式。