高考数学一轮复习理数通用版：高考达标检测(二十一) 平面向量的基本运算

1 资料正文内容下拉开始>> 高考达标检测（二十一） 平面向量的基本运算 一、选择题 1.(2018·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( )

①PQ―→＝32a＋32b； ②PT―→＝32a－b； ③PS―→＝32a－12b； ④PR―→＝32a＋b. A．①② B．③④ C．①③ D．②④

解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ―→＝32a＋32b，故①正确； ②根据向量的减法法则，得PT―→＝32a－32b，故②错误； ③PS―→＝PQ―→＋QS―→＝32a＋32b－2b＝32a－12b，故③正确； ④PR―→＝PQ―→＋QR―→＝32a＋32b－b＝32a＋12b，故④错误，故选C. 2．(2018·长沙一模)已知向量OA―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC―→＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )

A．－23 B.43

C.12 D.13 解析：选A AB―→＝OB ―→－OA―→＝(4－k，－7)， AC―→＝OC―→－OA―→＝(－2k，－2)． ∵A，B，C三点共线，

∴AB―→，AC―→共线， ∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)， 2

解得k＝－23. 3．(2018·嘉兴调研)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA―→＋OB ―→＋CO―→＝0，则△ABC的内角A等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90°

解析：选A 由OA―→＋OB ―→＋CO―→＝0得，OA―→＋OB ―→＝OC―→， 由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.

4．若OA―→＝a，OB ―→＝b，a与b不共线，则∠AOB平分线上的向量OM―→为( ) A.a|a|＋b|b| B.a＋b|a＋b|

C.|b|a－|a|b|a|＋|b| D.λa|a|＋b|b|，λ由OM―→确定 解析：选D 以OM为对角线，以OA―→，OB ―→方向为邻边作平行四边形OCMD， ∵OM平分∠AOB， ∴平行四边形OCMD是菱形． 设OC＝OD＝λ，

则OC―→＝λa|a|，OD―→＝λb|b|，

∴OM―→＝OC―→＋OD―→＝λa|a|＋b|b|，且λ由OM―→确定． 5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC―→＝2BD―→，CE―→＝2EA―→，AF―→＝2FB―→，则AD―→＋BE―→＋CF―→与BC―→ ( ) A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直

解析：选A 由题意得AD―→＝AB―→＋BD―→＝AB―→＋13BC―→， BE―→＝BA―→＋AE―→＝BA―→＋13AC―→， CF―→＝CB―→＋BF―→＝CB―→＋13BA―→， 3

因此AD―→＋BE―→＋CF―→＝CB―→＋13(BC―→＋AC―→－AB―→) ＝CB―→＋23BC―→＝－13BC―→， 故AD―→＋BE―→＋CF―→与BC―→反向平行． 6.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，

AC两边分别交于M，N两点，且AM―→＝xAB―→，AN―→＝yAC―→，则xyx＋y的值为( ) A．3 B.13

C．2 D.12 解析：选B 利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC的直线， 易得x＝y＝23，则xyx＋y＝13.

7．(2018·兰州模拟)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝12，1＋sin θ，若a∥b，则锐角θ＝( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12 解析：选B 因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0， 得sin2θ＝12，所以sin θ＝±22，故锐角θ＝π4. 8．已知△ABC是边长为4的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足AD―→＝ 14(AB―→＋AC―→)，AP―→＝AD―→＋18BC―→，则△APD的面积为( )

A.34 B.32 C.3 D．23 解析：选A 法一：取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为4的正三角形，

则AE⊥BC，AE―→＝12(AB―→＋AC―→)，又AD―→＝14(AB―→＋AC―→)，所以点D是AE的中点，AD＝3.

取AF―→＝18BC―→，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知AP―→＝AD―→＋18BC―→＝AD―→＋AF―→.而△APD是直角三角形，AF＝12，所以△APD的面积为12×12×3＝34. 4

法二：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． ∵等边三角形ABC的边长为4， ∴B(－2，－23)，C(2，－23)，

由题知AD―→＝14(AB―→＋AC―→)＝14[(－2，－23)＋(2，－23)]＝(0，－3)，

AP―→＝AD―→＋18BC―→＝(0，－3)＋18(4,0)＝12，－3， ∴△ADP的面积为S＝12|AD―→|·|DP―→ |＝12×3×12＝34. 二、填空题 9．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC―→＝5e1，DC―→＝3e2，则OC―→＝________.(用e1，e2表示) 解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，

所以OC―→＝12AC―→＝12(AB―→＋AD―→)＝12(DC―→＋BC―→)＝12(5e1＋3e2)＝52e1＋32e2. 答案：52e1＋32e2 10．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BD―→＝xAB―→＋yAC―→＋zAS―→，则x＋y＋z＝________.

解析：依题意得BD―→＝AD―→－AB―→＝12(AS―→＋AC―→)－AB―→＝－AB―→＋12AC―→＋12AS―→， 因此x＋y＋z＝－1＋12＋12＝0. 答案：0 11．(2018·贵阳模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，则向量a的坐标是________． 解析：设a＝(x，y)， ∵平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，

∴x2＋y2＝1，且x－y＝0，解得x＝y＝±22. ∴a＝22，22或－22，－22. 答案：22，22或－22，－22 12.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的 5

圆弧DE上变动(如图所示)，若AP―→＝λED―→＋μAF―→，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是________． 解析：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示

的平面直角坐标系，则A(0,0)，E(1，0)，D(0,1)，F32，12， 设P(cos α，sin α)(0°≤α≤90°)， ∵AP―→＝λED―→＋μAF―→， ∴(cos α，sin α)＝λ(－1,1)＋μ32，12 ＝－λ＋32μ，λ＋μ2， ∴cos α＝－λ＋32μ，sin α＝λ＋μ2， ∴λ＝14(3sin α－cos α)，μ＝12(cos α＋sin α)， ∴2λ－μ＝sin α－cos α＝2sin(α－45°)， ∵0°≤α≤90°， ∴－45°≤α－45°≤45°，

∴－22≤sin(α－45°)≤22， ∴－1≤2sin(α－45°)≤1， ∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]． 答案：[－1,1] 三、解答题

13.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE―→＝23AD―→，AB―→＝a，AC―→＝b.

(1)用a，b表示向量AD―→，AE―→，AF―→，BE―→，BF―→； (2)求证：B，E，F三点共线．

解：(1)延长AD到G，使AD―→＝12AG―→， 连接BG，CG，得到平行四边形ABGC， 所以AG―→＝a＋b， 6

AD―→＝12AG―→＝12(a＋b)， AE―→＝23AD―→＝13(a＋b)， AF―→＝12AC―→＝12b， BE―→＝AE―→－AB―→＝13(a＋b)－a＝13(b－2a)， BF―→＝AF―→－AB―→＝12b－a＝12(b－2a)． (2)证明：由(1)可知BE―→＝23BF―→， 又因为BE―→，BF―→有公共点B， 所以B，E，F三点共线． 14．(2018·郑州模拟)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1，2)，c＝(4,1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值； (2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d的坐标． 解：(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，

解得k＝－1613. (2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)， 又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝5，

∴ 4x－4－2y－1＝0，x－42＋y－12＝5，解得 x＝3，y＝－1或 x＝5，y＝3. ∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．

15.如图，在△OAB中，OC―→＝14OA―→，OD―→＝12OB ―→，AD与 BC交于点M，设OA―→＝a，OB ―→＝b. (1)用a，b表示OM―→； (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设OE―→＝pOA―→，OF―→

＝qOB ―→，求证：17p＋37q＝1. 解：(1)设OM―→＝xa＋yb，