人教版高中数学必修一总结强化教案(讲义)：函数的单调性(PDF版)

人教A版高中数学必修一新函数单调性课件

Байду номын сангаас

上是减函数
当a>0时,
y ox
在

b 2a
,

上是增函数
在上是 -减，-函2ba数
例2：证明：函数 f (x) 2x 2在R上是单调减函数．
证：在R上任意取两个值 x1, x2 ，且 x1 x2 ，
则 f (x1) f (x2 ) (2x1 2) (2x2 2)
总有 x2；当x1<x2时，
f(x1)<f(x2) 或
f(x1)>f(x2),则分别是增函数和减函数.
例1
数y
下f (图x)的是图定象义,在根闭据区图间象[说-5,出5]上y 的f函(x)
的单调区间,以及在每一区间上, y f (x)
是增函数还是减函数.
y
3
2
-2
1
-5 -4 -3
-1 O 1 2 3 4 5 -1
一、有关概念：
1、增函数与减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2 ，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2 ，那么就说 f(x) 在区间D上是增函数．
一般地，设函数y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域I内的某个区间 D内的任意两个自变量x1，x2，当 x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．
请结合图象说出一次函数与二次函数的单调区间.
一次函数y=kx+b(k≠0)
y
当k<0时,

高中数学1[1].3.1函数的单调性课件新人教版必修1

0
y
x1 x2
x
因此在f(x)在（0,+∞）上, 当x增大时, 函数值y 相应地随着增大。这与观察图象所得结果是一致的。所以f(x)在（0,+∞）上是增函数。
函数 f(x)=x2 :
在(-∞,0)上任取 x1、x2 , 则f(x1)= x12 , f(x2)= x22 对任意 x1 < x2 , 都有 x12> x22 即对任意 x1 < x2，都有 f(x1) > f(x2) ∴函数 f(x)=x2 在(-∞,0)上是减函数。
y
y 1 x
y
y
y
o
x
在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
y
1 x
o
在(-∞,0) 和(0,+∞) x 是增函数
b , 在 2a
b y ax 2 bx c ， y 在 2a (a 0)
y y ax 2 bx c
判断题： 1 （1）已知f(x)= ，因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)是 x 增函数。（2）若函数f(x)满足f (2)<f(3),则函数f(x)在区间[2，3] 上为增函数。（3）若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数，则函数f(x)在(1，3)上为增函数。
1 （4）因为函数f(x)= x 在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，所以f(x)= 1 在（-∞，0）∪（0，+∞） x 上是减函数。
(a 0)
o
x
增函数 b , 在 2a 减函数
o
增函数 b - x 在 - ， 2a 减函数

高中数学 1.3.1函数的单调性全册精品教案新人教A版必修1

函数的单调性〔一〕教学目标1．知识与技能〔1〕理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.〔2〕能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.2．过程与方法由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升〞“下降〞的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升〞“下降〞最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.3．情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.〔二〕教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用.〔三〕教学方法讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.〔四〕教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题观察一次函数f (x) = x的图象：函数f (x) = x的图象特征由左到右是上升的. 师：引导学生观察图象的升降.生：看图. 并说出自己对图象的直观认识.师：函数值是由自变量的增大而增大，或由自变量的增大而减小，这种变化规律即函数的单调性.在函数图象的观察中获取函数单调性的直观认识.引入深题观察二次函数f (x) = x2的图象：函数f (x) = x2在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.列表：x …–4–3–2–1f (x)=x216 9 4 1 0师：不同函数，其图象上升、下降规律不同. 且同一函数在不同区间上的变化规律也不同. 这是“形〞的方面，从“数〞的方面如何反映.生：函数作图时列表描点过程中，从列表的数据变化可知自变量由– 4到0变化，函数值随着变小；而自变量由0到4变化，函数值随着自变量的变大而变大.师：表格数值变化的一般规随是：自变量x增大，函数值y也增大，函数图象上升，称函数为增函数；自变量x增大，函数值y反而减少，函数图象下降. 称函数为减函数.体会同一函数在不同区间上的变化差异.引导学生从“形变〞过渡到“数变〞. 从定性分析到定量分析.O xyyx11O1 2 3 4 …1 4 9 16 …x∈(–∞，0]时，x增大，f (x)减少，图象下降.x∈(0，+∞)时，x增大，f (x)也增大，图象上升.形成概念函数单调性的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数〔increasingfunction〕；如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数〔decreasingfunction〕.师：增函数、减函数的函数值随自变量的变化而变化怎么用数学符号表示呢？师生合作：对于函数f (x) = x2在区间(0，+∞)上. 任取x1、x2. 假设x1＜x2，那么f (x1)＜f (x2)，即x12＜x22.师：称f(x) = x2在(0，+∞)上为增函数.由实例探究规律从而获得定义的数学符号表示.应用举例例1 如图是定义在区间[–5，5]上的函数y = f (x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？训练题1：〔1〕请根据以下图描述某装配线的师：投影例1.生：合作交流完成例1.师：引导学生完成教材P36练习的第1题、第2题.师：投影训练题1生：学生通过合作交流自主完成.例1[解]：y= f (x)的单调区间有[–5，–2〕，[–2，1〕，[1，3〕，[3，5]. 其中y = f (x) 在区间[–5，–2〕，[1，3〕上是减函数，在区间[–2，1〕，[3，5]上是增函数.掌握利用图象划分函数单调区间的方法.掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的方法.xx1 x2Oyf (x1) f (x2)y=f (x)xx1 x2Oyf (x1)f (x2)y=f (x)生产率与生产线上工人数量间的关系.〔2〕整个上午〔8∶00～12∶00〕天气越来越暖，中午时分〔12∶00～13∶00〕一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山〔18∶00〕才又开始转凉. 画出这一天8∶00～20∶00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 〔3〕根据以下图说出函数单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 例 2 物理学中的玻意耳定律kp V =(k 为正常数) 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大. 试用函数的单调性证明之. 训练题2：证明函数f (x ) = –2x +1在R 上是减函数.训练题 1 答案：〔1〕在一定X 围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人的增加而降低. 由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高.〔2〕增区间为[8，12]，[13，18]；减区间为：[12，13]，[18，20]. 〔3〕函数在[–1，0]上是减函数，在[0，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，在[4，5]是增函数. 师：打出例2，请学生阐明应用定义证明〔判定〕并总结证明单调性的基本步骤.生：学生代表板书证明过程，教师点评.例 2 分析：按题意，只要证明函数kp V =在区间〔0，+∞〕上是减函数即可. 证明：根据单调性的定义，设V 1，V 2是定义域〔0，+∞〕上的任意两个实数，且V 1＜V 2，即21121212()()V V k k p V p V k V V VV --=-=. 由V 1，V 2∈(0，+∞)，得V 1V 2＞0. 由V 1＜V 2，得V 2–V 1＞0. 又k ＞0，于是 p (V 1) –p (V 2)＞0，即 p (V 1) ＞p (V 2).所以，函数kp V=，V (0，+∞)是减函数，也就是说，当体积V 减小时，压强p 将增大.师：投影训练题2 生：自主完成强化记题步骤与格式.训练题 2 证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，因为f (x 1) –f (x 2) =2 (x 2 –x 1)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x ) = –2x +1在R 上是减函数.归纳小结1°体会函数单调性概念的形成过程.2°单调性定义.3°利用图象划分单调区间. 4°利用定义证明单调性步骤.师生合作：回顾单调性概念的形式与发展.师：阐述单调性的意义与作用.反思回顾整理知识，提升能力.课后练习1.3第一课时习案学生独立完成巩固知识培养能力备选例题：例1 证明函数f (x ) =3x +2在R 上是增函数. [证明]设任意x 1、x 2R ，且x 1＜x 2，那么f (x 1) – f (x 2) = (3x 1 +2) – (3x 2 +2) = 3(x 1–x 2).由x 1＜x 2得x 1 –x 2＜0.∴f (x 1) – f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =3x +2在R 上是增函数.例2 证明函数f (x ) =1x在〔0，+∞〕上是减函数. [证明]设任意x 1、x 2(0，+∞)且x 1＜x 2，那么f (x 1) – f (x 2) =21121211x xx x x x --=，由x 1，x 2(0，+∞)得，x 1x 2＞0，又x 1＜x 2，得x 2 – x 1＞0，∴f (x 1) – f (x 2) ＞0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴f (x ) =1x在〔0，+∞〕上是减函数.。

2021年高中数学《函数的单调性》教案新人教A版必修1

2021年高中数学《函数的单调性》教案2 新人教A版必修1（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征.（2）能利用函数图象划分函数的单调区间，并能利用定义进行证明.2．过程与方法由一元一次函数、一元二次函数的图象，让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识. 利用函数对应的表格，用自然语言描述图象特征“上升”“下降”最后运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，从而构造函数单调性的概念.3．情感、态度与价格观在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美. （二）教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成与应用.（三）教学方法讨论式教学法. 在老师的引导下，学生在回顾旧知，细心观察、认真分析、严谨论证的学习过程中生疑与析疑，合作与交流，归纳与总结的过程中获得新知，从而形成概念，掌握方法.教学过程一、复习引入1.长沙市年生产总值统计表2.长沙市高等学校在校学生数统计表3.长沙市日平均出生人数统计表4.长沙市耕地面积统计表5．常见函数图像x二、新课内容1．增函数、减函数的概念：一般地，设函数f（x）的定义域为I.1)如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2，时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数.y生产总值(亿元)5人数(万人450250人数(面积(2)如果对于定义域I 内的某个区间上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2，时，都有f （x 1）＞f （x 2），那么就说f （x ）在这个区间上是减函数. 2.函数单调性的概念：如果函数y ＝f （x ）在某区间上是增函数或减函数，那么就说函数f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y ＝f （x ）的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 3．例题例1．右图是定义在闭区间[－5，5]上的函数 y ＝f （x ）的图象，根据图象说出y ＝f （x ）的单调区间，以及在每一单调区间上，y ＝f （x ）是增函数还是减函数．解：函数y ＝f(x)的单调区间有[－5,－2)，[－2，1)，[1，3)， [3，5]，其中y ＝f(x)在区间[－5,－2)，[1，3)上是减函数，在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数．这种判断函数单调性的方法称为“图象法” ．变式1：求y ＝x 2－4 x ＋5的单调区间。

人教版数学必修一.1《函数的单调性》同步课件(共26张ppt)

试一试:你能仿照这样的描述,说明函数f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?
11
人教版数学必修一 1.3.1《函数的单调性》同步课件( 共26张 PPT)
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对
于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，
x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
13
人教版数学必修一 1.3.1《函数的单调性》同步课件( 共26张 PPT)
人教版数学必修一 1.3.1《函数的单调性》同步课件( 共26张 PPT)
（1）y = |x|
在（－∞，0]上单调递减，
y
在 [0，＋∞）上单调递增
注意：函数在定义域（－∞，＋∞）上并无单调性
上，Y随着X的增大而减小
图像在Y轴右侧上升，也就是在区间 [0，+∞）
上，Y随着X的增大而增大
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10
人教版数学必修一 1.3.1《函数的单调性》同步课件( 共26张 PPT)
如何利用函数解析式f(x)=x2来描
所以，f ( x)
1 x
在（-
∞
，0
）上是减函数.
1.增(减)函数的定义; 2.增(减)函数的图象特征; 3.函数的单调性概念; 4.增(减)函数的判定; 5.增(减)函数的证明.
作业:课本32页第3,4题
2021/3/1
25
谢谢观赏！
2021/3/1
数.

3.2.1第1课时函数的单调性(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册

A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
()
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
【答案】B 【解析】∵函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 图象的对称轴为 x＝a－2 1，且
f(x)在区间12，1上单调递增，∴a－2 1≤21，即 a≤2.
3．(题型3)函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且图象过点(－3,2) 和(1，－2)，则使|f(x)|<2的x的取值范围是________．
设x1，x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量值，如果f(x)满足以下条件，该函数f(x)是否为增函数？
(1)对任意 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)； (2)对任意 x1，x2(x1≠x2)，都有(f(x1)－f(x2))(x1－x2)>0； (3)对任意 x1，x2(x1≠x2)都有fxx11－－fx2x2>0.
【答案】－1，12 －1≤x≤1，
【解析】由题意得x<21，
解得－1≤x<12.
题型4 根据函数的单调性求参数的取值范围已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a
的取值范围．素养点睛：考查直观想象和数学运算的核心素养．解：由于二次函数图象的开口向上，对称轴为x＝a，故其增区间为
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．
素养点睛：考查直观想象和逻辑推理的核心素养．
【答案】(1)[－2,1] [3,5] [－5，－2] [1,3]
【解析】观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]， [1,3]，[3,5]．其中 y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上具有单调递增，在区间[－2,1]，[3,5]上单调递减．

高中数学人教A版必修1第一章-1.3.1 函数的单调性课件

证明：在区间 0, 上任取两个值 x1, x2，且 x1 x2
取值
则f (x2 ) f (x1) x22 x12
作差
(x2 x1)(x2 x1) 化简
x1, x2 0, ，且 x1 x2 x2 x1 0, x1 x2 0
f (x2 ) f (x1) 0即f (x1) f (x2 )
一、函数单调性定义 1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．
2．减函数一般地，设函数y=f(x)
的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是减函数．
☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x2
1.在区间_(_-_∞__, _0_] 上,f(x)的值随着x的增大而_减__小__． 2. 在区间_(_0_,_+_∞__)上,f(x)的值随着x的增大而 _增__大__．
☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：
x 01 23 4 … f(x)=x2 0 1 4 9 16 …
判号下结论
例２诉我物们理，学对中于的一玻定意量耳的定气律体，p当其Vk 体(k为积正 V减常小数时)告，
压强p将增大。试用函数的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域取值
(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则
作差
变形
由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0

高中数学课件-函数的单调性(示范课课件)

思考4：如何用数学符号语言定义函数的单调性？
y
图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大
22
1
0 12
x
方案A：在区间（0,＋∞ )上取自变量1，2,∵1<2, f(1)<f(2) ∴f(x)在 (0,+∞ )上, 图象逐渐上升
方案B：
函数f (x)在区间(a,b)上有无数个自变量x，使得当a x1 x2 b时，有f (a) f (x1) f (x2) f (b), 由此能否说明该函数f (x)在(a,b)上的图象一直保持上升趋势？请你说明理由（举例或者画图）
说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可.无定义只能写开区间；
2.图象法判断函数的单调性：从左向右看图象的升降情况
练习1 根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.
y 4 3
2
1
-1 O
2 4 5x
解:函数y=f(x)的单调区间有[－1,0）,[0,2) ，[2，4), [4，5]
（1）函数单调性是针对某个区间D而言的，显然D是定义域 I的一部分，因此单调性是函数局部性质;
x1、x2的三大特征：（2）（（11））任x1、意x性2同属于一个单调区间
（2）x1、x2不相等，通常取 x1＜x2
（3）不是所有的函数都有单调性;
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 ) ，当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 ) ，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增那么就说在f(x)这个区间上是单调

高一数学人教版必修1课件：1.3 1.第一课时函数的单调性

x)，所以
x－2<1－x，解得
3 x<2
②.
由①②得 1≤x<32. [答案] 1，32
[类题通法] 1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得到不等式 x－2<1－x，从而得出 x<32的错误答案． 2．解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号 “f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)，有 x1<x2；若函数 y ＝f(x)在区间 D 上是减函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)，有 x1>x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞ )上分别单调，因此要使函数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递减)，从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
[类题通法] “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指的是函数递减的最大范围为区间 I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1 －a)<f(2a－1)，则 a 的取值范围是________． (2)已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实数 a 的取值范围．
(1)[解析]由题意可知－－11<<12－a－a<1<1，1

高中数学人教A版必修一.1函数单调性

y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
高中数学人教A版必修一. 1函数单调性
高中数学人教A版必修一. 1函数单调性
1、函数单调性的判断方法图象法定义法①、②
2、函数单调区间的求解
高中数学人教A版必修一. 1函数单调性
高中数学人教A版必修一. 1函数单调性
（3）y = x + 1，（ x≠0）
y 1
-1 o x
在（－∞，0）和（0，＋∞）上都单调递增，因此函数在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上单调递增
（5）y =
1， x∈Q -1， x∈CRQ
函数在Q上无单调性，在CRQ 上也无单调性
因此，函数在R内无单调性
（1）y = |x|
在（－∞，0]上单调递减，
y
在 [0，＋∞）上单调递增
但，函数在定义域
o
x
（－∞，＋∞）上并无单调性
高中数学人教A版必修一. 1函数单调性
高中数学人教A版必修一. 1函数单调性
（2）y = 1
y 函数在定义域（－∞，＋∞）上无单调性
1
o
x
高中数学人教A版必修一. 1函数单调性
]
高中数学人教A版必修一. 1函数单调性
增区间 [-2，2] ∪ [3，5] 减区间 [-5，-2] ∪ [2，3]
y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
高中数学人教A版必修一. 1函数单调性
高中数学人教A版必修一. 1函数单调性