新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 9 函数的奇偶性与周期性
年高考第一轮复习数学函数的奇偶性
函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内随意一个x，都有f（－ x）=－f（x）〔或f （x） + f（－ x） =0〕，则称f（ x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（ x）的定义域内随意一个x，都有f（－ x） =f（ x）〔或f （ x）－ f（－ x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）拥有奇偶性的函数，其定义域对于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必需条件是其定义域对于原点对称）.（2）奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y 轴对称 .（3）若奇函数的定义域包括数0，则 f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞， +∞）上的随意函数f（x）都能够独一表示成一个奇函数与一个偶函数之和 .●点击双基1.下边四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象必定与y 轴订交②奇函数的图象必定经过原点③偶函数的图象对于 y 轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数必定是f（ x）=0（x∈R）分析：①不对；②不对，由于奇函数的定义域可能不包括原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数能够为f（ x）=0〔x∈（－ a， a）〕.答案： A2.已知函数 f（x）=ax2＋bx＋ c（a≠0）是偶函数，那么g（x） =ax3＋bx2＋cx 是A. 奇函数C.既奇且偶函数B.偶函数D.非奇非偶函数分析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（ a≠0）为奇函数.答案： A3.若偶函数f（x）在区间［－1， 0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则以下不等式中正确的选项是（cosα）＞ f（cosβ）（sinα）＞ f（ cosβ）（sinα）＞ f（sinβ）（cosα）＞f（sinβ）分析：∵偶函数f（x）在区间［－ 1， 0］上是减函数，∴ f（x）在区间［ 0， 1］上为增函数 .由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞ 0.∴f（sinα）＞ f（ cosβ） .答案： B4.已知 f（ x）＝ ax2＋ bx＋ 3a＋ b 是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则 a＝___________，b＝___________.分析：定义域应对于原点对称，故有 a－1＝－ 2a，得 a＝1 .3又对于所给分析式，要使f（－ x）＝ f（ x）恒建立，应 b＝0.答案：131（ x≠ 0）；②y=x25.给定函数+1；③y=2x；④y=log2；⑤y=log2（x+x 2 1 ）:①y=x.x在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是 _________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤② ③④●典例分析【例 1】已知函数 y=f（x）是偶函数， y=f（x－ 2）在［ 0，2］上是单一减函数，则（0）＜ f（－ 1）＜ f（ 2）（－1）＜f（0）＜f（2）（－ 1）＜ f（ 2）＜ f（ 0）（2）＜f（－1）＜f（0）分析：由 f（x－2）在［ 0，2］上单一递减，∴f（x）在［－ 2，0］上单一递减 .∵y=f（x）是偶函数，∴f（x）在［ 0， 2］上单一递加 .又 f（－ 1） =f（1），故应选 A.答案： A【例 2】判断以下函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－ |x－ 1|；1x（2）f（x）=（x－1）·；（3）f（x）=1x 2；| x 2 | 2（4）f（x）=x(1x)( x0),x(1x)( x0).分析：依据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x∈（－∞， +∞），对称于原点 .∵f（－ x）=|－ x+1|－ |－ x－ 1|=|x－1|－ |x+1|=－（ |x+1|－|x－1|） =－ f（ x），∴f（x）=|x+1|－ |x－ 1|是奇函数 .（ 2）先确立函数的定义域 .由1x1 x≥0，得－ 1≤x＜ 1，其定义域不对称于原点，所以 f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，依据定义判断.由1x20,1 x 1,得4. | x 2 | 2 0,x 0且x故 f（x）的定义域为［－ 1，0）∪（0，1］，对于原点对称，且有 x+2＞0.进而有 f（x）221( x)22= 1 x= 1x=－1x =－f（x），故 f（x）为奇，这时有 f（－ x）=xx22x x函数 .（4）∵函数 f（x）的定义域是（－∞， 0）∪（0，+∞），而且当 x＞ 0 时，－ x＜0，∴f（－ x）=（－ x）［1－（－ x）］=－x（1+x） =－ f（x）（x＞ 0） .当 x＜ 0 时，－ x＞0，∴ f（－ x） =－ x（ 1－ x）=－f（x）（ x＜ 0） .故函数 f（x）为奇函数 .评论：（ 1）分段函数的奇偶性应分段证明 .（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数分析式 .【例 3】（2005 年北京东城区模拟试题）函数f（ x）的定义域为 D={ x|x≠0} ，且满足对于随意 x 、 x ∈D，有 f（ x ·x ）=f（ x ）+f（x ） .121212（1）求 f（ 1）的值；（2）判断 f（x）的奇偶性并证明；（3）假如 f（4）=1， f（3x+1）+f（ 2x－6）≤ 3，且 f（ x）在（ 0，+∞）上是增函数，求 x 的取值范围 .（1）解：令 x1 =x2=1，有 f（1×1）=f（ 1） +f（1），解得 f（1）=0.（2）证明：令 x1 =x2=－ 1，有 f［（－ 1）×（－ 1）］=f（－ 1）+f（－ 1） .解得 f（－1）=0.令 x1 =－1，x2=x，有 f（－ x）=f（－ 1）+f（ x），∴ f（－ x）=f（ x） .∴f（x）为偶函数.（3）解： f （ 4× 4） =f （4）+f （4）=2，f （ 16×4）=f （ 16）+f （4） =3.∴ f （3x+1）+f （2x －6）≤ 3 即 f ［（3x+1）（ 2x －6）］≤ f （64） .（* ）∵f （x ）在（ 0， +∞）上是增函数，∴（ * ）等价于不等式组或 (3x 1)( 2x 6) 0,(3x 1)(2 x 6) 64,x 3或x1 , 1 3,或3 或x 375x R.x3∴3＜x ≤5 或－ 7≤x ＜－ 1或－ 1＜x ＜3.333∴x 的取值范围为 { x|－ 7≤x ＜－ 1或－ 1＜x ＜3 或 3＜ x ≤5}.33 3评论：解答此题易出现以下思想阻碍：（1）无从下手，不知怎样脱掉“ f ” .解决方法 :利用函数的单一性 .（2）没法获得另一个不等式 .解决方法：对于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性同样，偶函数的单一性相反 .深入拓展已知 f （ x ）、g （x ）都是奇函数， f （ x ）＞ 0 的解集是（ a 2，b ）， g （ x ）＞ 0 的解集2是（a， b ）， b＞a 2，那么 f （x ）· g （ x ）＞ 0 的解集是 2 2 2A. （ a 2 ， b）2）2 2 B.（－ b ，－ aC.（ a 2， b）∪（－ b，－ a 2）222 D.（a，b ）∪（－ b 2，－ a 2）2提示： f （ x ）·g （x ）＞ 0f (x) 0, 或 f ( x) 0,g( x) 0g ( x)0.∴x ∈（ a 2， b ）∪（－ b，－ a 2） .2 2答案： C【例 4】 （2004 年天津模拟试题）已知函数 f （x ）=x+ px+m （ p ≠ 0）是奇函数 .（1）求 m 的值 .（2）（理）当 x ∈［ 1， 2］时，求 f （x ）的最大值和最小值 .（文）若 p ＞ 1，当 x ∈［ 1，2］时，求 f （x ）的最大值和最小值 .解：（1）∵ f （x ）是奇函数，∴ f （－ x ）=－f （x ）.∴－ x － p +m=－x － p－m.xx∴ 2m=0.∴m=0.（2）（理）（ⅰ）当 p ＜ 0 时，据定义可证明 f （x ）在［ 1， 2］上为增函数 .∴ f （x ）max =f （2）=2+ p，f （ x ） min =f （1）=1+p.2（ⅱ）当 p ＞ 0 时，据定义可证明 f （x ）在（ 0， p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数 .①当 p ＜1，即 0＜ p ＜ 1 时， f （x ）在［ 1，2］上为增函数，∴ f （x ）max =f （2）=2+ p， f （x ）min =f （1）=1+p.2②当 p ∈［ 1，2］时， f （ x ）在［ 1，p ］上是减函数 .在［ p ， 2］上是增函数 .f （ x ） min =f （ p ）=2 p .f （ x ） max =max{ f （ 1），f （2） }=max{1+ p ，2+ p}.2当 1≤p ≤2 时，1+p ≤2+ p，f （x ）max =f （ 2）；当 2＜p ≤4 时，1+p ≥2+ p，f （x ）max =f22（1）.③当p ＞ 2，即 p ＞ 4 时，f （ x ）在［1，2］上为减函数， ∴ f （ x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f （2）=2+ p.2（文）解答略 .评论： f（ x） =x+ p（ p＞0）的单一性是一重要问题，利用单一性求最值是重要方x 法.深入拓展f（ x） =x+ p的单一性也可依据导函数的符号来判断，此题怎样用导数来解？x●闯关训练夯实基础1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数 f （ x）为增函数，偶函数g（ x）在区间［ 0， +∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a＜ b＜ 0，给出以下不等式，此中建立的是①f（b）－ f（－ a）＞ g（ a）－ g（－ b）②f（b）－ f（－ a）＜ g（ a）－ g（－ b）③f（a）－ f（－ b）＞ g（ b）－ g（－ a）④f（a）－ f（－ b）＜ g（ b）－ g（－ a）A. ①④B.②③C.①③D. ②④分析：不如取切合题意的函数f（x）=x 及 g（x） =|x|进行比较，或一般地g（x）f ( x)x0, =x f（0）=0， f（a）＜ f（b）＜ 0.f ( x)0,答案： D2.（2003 年北京海淀区二模题）函数f（x）是定义域为 R 的偶函数，又是以 2 为周期的周期函数 .若 f（x）在［－ 1，0］上是减函数，那么 f（ x）在［ 2，3］上是A. 增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数分析：∵偶函数f（x）在［－ 1，0］上是减函数，∴ f（ x）在［ 0，1］上是增函数 .由周期为 2 知该函数在［ 2，3］上为增函数 .答案： A3.已知 f（ x）是奇函数，当 x∈（ 0，1）时， f（x）=lg1，那么当x∈（－1，0）1 x时， f（ x）的表达式是 __________.分析：当 x∈（－ 1，0）时，－ x∈（ 0，1），∴ f（x）=－f（－ x）=－lg 1=lg（1 1 x－x） .答案： lg（1－x）x2x1,4.（2003 年北京）函数 f（x）=lg（ 1+x2），g（x）= 0| x | 1, h（x）=tan2x中，x2x 1.______________是偶函数 .分析：∵ f（－ x）=lg［1+（－ x）2］=lg（1+x2） =f（x），∴f（x）为偶函数 .又∵ 1°当－ 1≤x≤1 时，－ 1≤－ x≤1，∴g（－ x） =0.又 g（ x） =0，∴ g（－ x）=g（ x）.2°当 x＜－ 1 时，－ x＞ 1，∴g（－ x） =－（－ x）+2=x+2.又∵ g（ x） =x+2，∴ g（－ x）=g（ x） .3°当 x＞ 1 时，－x＜－ 1，∴g（－ x） =（－ x）+2=－x+2.又∵ g（ x） =－ x+2，∴ g（－ x）=g（x）.综上，对随意 x∈ R 都有 g（－ x） =g（x）.∴g（x）为偶函数 .h（－ x）=tan（－ 2x） =－tan2x=－ h（ x），∴h（x）为奇函数 .答案： f（ x）、g（x）5.若 f（x）= a 2x a 2为奇函数，务实数 a 的值 .2 x1解：∵x∈ R，∴要使 f（x）为奇函数，一定且只需 f（ x）+f（－ x）=0，即 a－2+2 x1 a－2=0，得 a=1.x216.（理）定义在［－ 2， 2］上的偶函数 g（x），当 x≥0 时， g（x）单一递减，若 g （1－ m）＜ g（m），求 m 的取值范围 .解：由 g（1－m）＜ g（m）及 g（x）为偶函数，可得g（|1－ m|）＜ g（ |m|）.又 g（x）在（0，+∞）上单一递减，∴ |1－m|＞|m|，且 |1－m|≤ 2，|m|≤2，解得－ 1≤m＜1 . 2说明：也能够作出g（x）的表示图，联合图形进行分析.（文）（ 2005 年北京西城区模拟试题）定义在R 上的奇函数 f（ x）在（ 0，+∞）上是增函数，又 f（－ 3）=0，则不等式 xf（x）＜ 0 的解集为A. （－ 3，0）∪（ 0， 3）B.（－∞，－ 3）∪（ 3，+∞）C.（－ 3，0）∪（ 3， +∞）D.（－∞，－ 3）∪（ 0，3）分析：由奇偶性和单一性的关系联合图象来解.答案： A培育能力已知（）＝（1＋1）.7.f xx2 x 1 2（1）判断 f（x）的奇偶性；（2）证明 f（x）＞ 0.（1）解：f（x）＝ x·2x1，其定义域为 x≠0 的实数 .又 f（－ x）＝－ x·22( 2x1)2( 2xx11)＝－x· 1 2x＝x· 2 x 1＝f（x），2(1 2 x )2(2 x1)∴f（x）为偶函数 .（2）证明：由分析式易见，当x＞0 时，有 f（x）＞ 0.又 f（x）是偶函数，且当 x＜ 0 时－ x＞0，∴当 x＜0 时 f（x）＝ f （－ x）＞ 0，即对于 x≠0 的任何实数 x，均有 f（ x）＞ 0.研究创新8.设 f（x）=log 1（1ax）为奇函数，a为常数，2x1（1）求 a 的值；（2）证明 f（x）在（ 1， +∞）内单一递加；对于［ 3， 4］上的每一个x 的值，不等式 f（ x）＞（1）x+m 恒建立，求2实数 m 的取值范围 .（1）解： f（ x）是奇函数，∴ f（－ x）=－f（x）.∴ log 11ax=－ log 12x 12 a=1（舍），∴ a=－1.1 ax1 ax=x 1＞ 0 1－ a2x2=1－ x2a=± 1.查验x 1x 1 1 ax（2）证明：任取 x1＞ x2＞1，∴ x1－ 1＞ x2－1＞0.220＜ 1+ x 21＜ 1+ x2x11x21x11∴0＜x 1＜x211210＜x11＜x21 log 1x11＞12log 1x21，即 f（x1）＞ f（ x2）.∴f（x）在（ 1， +∞）内单一递加 .2x21（3）解： f（ x）－（1）x＞m 恒建立 . 2令 g（x） =f（x）－（1）x.只需 g（x）min＞ m，用定义能够证 g（ x）在［ 3， 4］2上是增函数，∴ g（ x）min（）－9∴＜－9时原式恒建立 .=g 3 =. m88●思悟小结1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x 在整个定义域内随意取值 .2.有时可直接依据图象的对称性来判断函数的奇偶性.●教师下载中心教课点睛1.函数的奇偶性常常与函数的其余性质，如单一性、周期性、对称性联合起来考察.所以，在复习过程中应增强知识横向间的联系.2.数形联合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.3.在教课过程中应重申函数的奇偶性是函数的整体性质，而单一性是其局部性质 .拓展题例2【例 1】 已知函数 f （x ）=ax1（a 、b 、c ∈ Z ）是奇函数，又 f （ 1）=2，f （2）bx c＜3，求 a 、b 、c 的值 .解：由 f （－ x ）=－f （x ），得－ bx+c=－（ bx+c ）.∴ c =0.由 f （1）=2，得 a+1=2b.由 f （2）＜ 3，得4a 1＜3，a 1解得－ 1＜a ＜2.又 a ∈ Z ，∴a=0 或 a=1.若 a=0，则 b= 1，与 b ∈Z 矛盾 .∴a=1， b=1，c=0.2【例 2】 已知函数 y=f （x ）的定义域为R ，对随意 x 、 x ′∈ R 均有 f （x+x ′） =f（x ） +f （x ′），且对随意 x ＞0，都有 f （x ）＜ 0，f （3）=－3.（1）试证明：函数 y=f （ x ）是 R 上的单一减函数；（2）试证明：函数 y=f （ x ）是奇函数；（3）试求函数 y=f （x ）在［ m ， n ］（m 、 n ∈ Z ，且 mn ＜0）上的值域 .分析：（1）可依据函数单一性的定义进行论证， 考虑证明过程中怎样利用题设条件 .（2）可依据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先获得f （ 0）=0 后，再利用条件 f （x 12）=f （ 1 ） +f （ 2）中 x 1、 2 的随意性，可使结论得证.+xx x x（3）由（ 1）的结论可知 f （ m ）、f （n ）分别是函数 y=f （x ）在［ m 、 n ］上的最大值与最小值，故求出 f （m ）与 f （n ）便可得所求值域 .（1）证明：任取 x 1、 x 2∈R ，且 x 1＜x 2，f （x 2） =f ［x 1+（x 2－x 1）］，于是由条件f（x+x′） =f（x）+f（ x′）可知 f（x2） =f（x1）+f（x2－x1） .∵x2＞ x1，∴ x2－ x1＞0.∴f（x2－x1）＜ 0.∴f（x2）=f（x1）+f（ x2－x1）＜ f（x1） .故函数 y=f（x）是减函数 .（2）明：∵ 随意x、x′∈ R 均有 f（x+x′） =f（x） +f（x′），∴若令 x=x′ =0， f（ 0） =f（0）+f（0）.∴f（0）=0.再令 x′=－x，可得 f（0） =f（x）+f（－ x） .∵f（0）=0，∴ f（－ x）=－f（ x） .故 y=f（ x）是奇函数 .（3）解：由函数 y=f（x）是 R 上的减函数，∴y=f（x）在［ m，n］上也减函数 .∴y=f（x）在［ m，n］上的最大 f（m），最小 f（n）.∴f（n）=f［1+（n－1）］ =f（1）+f（ n－ 1） =2f（ 1） +f（n－2）=⋯=nf（1）.同理， f（ m）=mf（1）.∵f（3）=－3，∴ f（3）=3f（1）=－3.∴f（1）=－1.∴f（m）=－m， f（n）=－n.所以，函数 y=f（x）在［ m， n］上的域［－ n，－ m］.述：（ 1）足条件f（ x+x′） =f（x）+f（ x′）的函数，只需其定域是关于原点称的，它就奇函数.（2）若将条件中的x＞0，均有 f（ x）＜ 0 改成均有 f（x）＞ 0，函数 f（x）就是 R 上的增函数 .（3）若条件中的m、n∈Z 去掉，我就没法求出f（m）与 f（n）的，故 m、n∈Z 不行少 .。
高考数学一轮复习专题2.3函数的奇偶性与周期性(讲)
第03节函数的奇偶性与周期性【考纲解读】【知识清单】1.函数的奇偶性如果对对点练习2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【重点难点突破】考点1 函数奇偶性的判断【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】函数，【1-1】则（）A. 是非奇非偶函数B. 奇偶性与有关C. 奇偶性与有关D. 以上均不对 【答案】A点睛：（1）本题主要考查函数奇偶性的判定，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)判断函数的奇偶性常用定义法，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.【1-2】【山东省青岛市2018年春季高考二模】下列函数是偶函数的是（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】分析：利用偶函数的定义判断函数的奇偶性. 详解：对于选项A,，所以函数是偶函数.【领悟技法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有相等关系或者相反关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式()0()f x f x ＋－＝ (奇函数)或()0()f x f x -－＝ (偶函数)是否成立.【触类旁通】【变式一】【2018届河南省南阳市第一中学高三第二十次考】若函数为偶函数，则__________．【答案】或【解析】分析：根据函数为偶函数，观察其特征，可得为奇函数，结合奇函数的特征，若奇函数在0点有定义，可得一定有，得到相应的关系式，求得结果.详解：令，根据函数为偶函数，可知为奇函数，利用，可得，所以或.【变式二】【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 考点2 函数奇偶性的性质及应用 【2-1】【2018年浙江卷】函数y =sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【2-2】【2018年理数全国卷II 】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．【2-3】【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】【领悟技法】1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．f x的方程，从而抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x的解析式．可得()2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．f x f x3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．【触类旁通】【变式一】【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D【答案】B点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．【变式二】【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】设函数，其中表示中的最小者.下列说法错误的（）A. 函数为偶函数B. 若时，有C. 若时，D. 若时，【答案】D【解析】分析：的图像可由三个函数的图像得到（三图垒起，取最下者），然后依据图像逐个检验即可．详解：在同一坐标系中画出的图像（如图所示），故的图像为图中粗线所示．的图像关于轴对称，故为偶函数，故A正确．当时，，；当时，，；当时，，；当时，，此时有，故B成立．从图像上看，当时，有成立，令，则，故，故C成立．取，则，，，故D不成立．综上，选D．点睛：一般地，若（其中表示中的较小者），则的图像是由这两个函数的图像的较低部分构成的．【变式三】【2018届黑龙江省双鸭山市第一中学9月月考】定义在上的偶函数，当时，，且在上恒成立，则关于的方程的根的个数叙述正确的是（）A.有两个B. 有一个C. 没有D. 上述情况都有可能【答案】A【解析】【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性以及函数图象的应用，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．解答本题的关键是根据把在上恒成立转化为函数在上的图象位于的图象上方，然后求出，再利用数形结合将方程f(2x+1)=t的根转化为函数的图象和直线的交点. 考点3 函数周期性及综合应用【陕西省咸阳市2018年5月高考信息专递】已知奇函数满足，则（）【3-1】A. 函数是以为周期的周期函数B. 函数是以为周期的周期函数C. 函数是奇函数D. 函数是偶函数【答案】B【解析】分析: 根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）=﹣f（x），又由f（x+1）=f（1﹣x），分析可得f（x+2）=﹣f（x），进而可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），由函数周期性的定义分析可得答案．详解: 根据题意，定义在R上的函数f（x）是奇函数，则满足f（﹣x）+f（x）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），又由，则f（x+2）=f[1+（x+1）]=f[1﹣（x+1）]=f（﹣x）=﹣f（x），即f（x+2）=﹣f（x），f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），故函数的周期为4，故选：B．【3-2】【2018届广东省东莞市考前冲刺】已知奇函数满足，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意，推出，从而得到，再由时，和函数的奇偶性，即可计算结果.详解：因为函数为奇函数满足，所以，即函数表示以为周期的周期函数，因为当时，，所以，故选D.【3-3】【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果. 详解：由得函数的周期为4，所以因此【领悟技法】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想． 【触类旁通】【变式一】【2017湖南统一考试】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时， ()()2log 27f x x =+，则()2017f =（ ） A. -2 B. 2log 3 C. 3 D. 2log 5- 【答案】D【解析】因为奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=，所以()()()33f x f x f x =--=-，即周期为3，所以()()()22017115f f f log ==--=- ，故选D ．【变式二】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为( ) A.－1 B.1C.0D.2【答案】C【解析】由题意，得(()1)g x f x －＝－－， 又∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，∴()()g x g x －＝－，()()f x f x －＝，∴()11()f x f x －＝－＋，即1((10))f x f x －＋＋＝. ∴()()2 017 2 019 2 0()()181 2 01810f f f f ＋＝－＋＋＝. 【变式三】【【衡水金卷】2018届四省名校第三次大联考】已知为定义在上周期为2的奇函数，当时，，若，则（ ）A. 6B. 4C.D.【答案】A【易错试题常警惕】易错典例1：若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.易错分析：解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k ＝1.正确解析：∵221()122x x xx k k f x k k---⋅--==+⋅+， ∴(2)(2)(21)(12)()()(12)(2)x x x x x xk k k k f x f x k k -++⋅-+⋅-+=+⋅+ 22(1)(21)(12)(2)x x xk k k -+=+⋅+，由()()0f x f x -+=可得21k =，∴1k =±． 温馨提醒：已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．易错典例2：定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T ，T]上的根的个数记为n ，则n 可能为 ( )A ．0B ．1C ．3D ．5易错分析：没有经过严密的逻辑分析，直接根据()()()00f T f T f ＝－＝＝，就想当然地认为方程的根的个数就只有3个．温馨提醒：对于抽象函数要善于找具体的“函数模型”，联想其性质去推证欲证的函数性质，但不能用具体函数代替去解决问题；解决“抽象函数”问题一般采用赋值法，本题可联系y=sinx的图象和性质类比解题．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】【2018届吉林省吉大附中四模】已知定义域为的函数既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时，，则函数在区间上的零点个数是__________．【答案】9【解析】分析：根据定义域为R和奇函数的定义可得，利用周期为3和时，可画出函数图像，根据图像判定零点个数。
2020届高考数学(理)一轮复习训练：考点9函数的奇偶性及周期性.pdf
… 12（ x＋ 1） x，－ 1<x≤０，
f(x)＝
x（ x－ 1）， 0<x≤１，
由此作出函数 f( x)的图象，如图所示．由图可知
2（ x－ 1）（ x－ 2）， 1< x≤２，
22（ x－ 2）（ x－ 3）， 2<x≤３，
…
当 2<x≤３时，令
22(x－ 2)
·x（－ 3)＝－
8，整理，得 9
因为 f (2)＝ f(－ 2)＝－ f(2)，所以 f(2)＝ 0，从而 f(1) ＋ f(2) ＋f (3)＋ … ＋ f(50)＝ f(1) ＝ 2，故
选 C．
2. 答案： D 解析： ∵ f(x)为奇函数，∴ f(－ x)＝－ f(x)．
∵ f(1) ＝－ 1，∴ f(－ 1)＝－ f(1)＝ 1．
故由－ 1≤f(x－ 2) ≤１，得 f(1) ≤f(x－ 2) ≤f(－ 1)． 又 f(x) 在(－∞，＋ ∞）单调递减，∴－ 1≤x－2≤１，
∴ 1≤x≤３．故选 D ．
3. 答案： C 解析： 依题意 a＝ g(－ log 25.1) ＝ ( － log25． 1) ·f( － log25． 1)＝ log25． 1·f(log 25． 1) ＝
(3x－ 7)(3x－ 8)＝ 0，解得
x＝ 7或 x＝8，将
3
3
这两个值标注在图中．要使对任意
x∈ (－ ∞，m]都有 f(x) ≥－89，必有 m≤73，即实数 m 的取值
范围是
－
∞，
7 3
，故选
B.
6. 答案： － 2
f(x)
＝
1 2f(
x＋
1)＝
1 2(
x＋1)
高考数学一轮专项复习ppt课件(新高考用)-三角函数的图象与性质
−
中心为(
，)．
−
，即对称
知识梳理·基础回归
解题方法总结
（5）求函数 = ( + ) + ( ≠ )的对称轴的方法；令 + = ( ∈ )
得 =
+−
+−
，即对称中心为(
, )( ∈ )
2、与三角函数）请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
π
2
（2）当 ∈ − , 0 时，求不等式 ≥ 0的解集．
【解析】（1）由表可知 = 5, 2 =
所以 =
又2 ×
π
3
2π
5π
π
−
6
3
π
= π，所以 = 2，
π
+ = ，所以
2
高考数学
一轮复习讲练测
三角函数的图象与性质
目录
C O N T E N T S
01
考情透视·目标导航
02
知识导图·思维引航
03
考点突破·题型探究
04
真题练习·命题洞见
05
课本典例·高考素材
06
易错分析·答题模板
01
考点要求
考题统计
（1）正弦函数、余弦函数
2024年天津卷第7题，5分
和正切函数的图像性质
位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为（
A．
2π
3
B．
π
3
C．
π
6
D．
π
3
的图象向右平移 > 0 个单
）
π
4
高考数学第一轮考点复习课件 函数的奇偶性
(4)由1x2－－x12≥≥00，， 得 x2＝1， ∴x＝±1，且 f(x)＝0. ∴f(－x)＝f(x)＝－f(x)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
▪
▪ 判断函数的奇偶性，首先应考察定义域是 否关于原点对称，再研究f(x)与f(－x)的关 系.
变式迁移 1 判断下列各函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x－1) 11－＋xx； (2)f(x)＝|xlg2－(1－2|－x2)2.
f(x－，x)＝都f(有x)
，那么函数f(x)就
叫做偶函数．
▪ (2)如果对于函数f(x)奇定函义数域内任意一个 x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(奇x)偶就性叫 做 ．如果函数f(x)是奇函数或偶函数， 那么我们就说函数f(x)具有 ．
▪ 2．具有奇偶性的函数的图象特点
▪ 一般地，奇函数的图象原关点于 对称，反
过来，如果一个原点函数的图象关于 对称，
那么这个函数是奇y轴函数；偶函数的图象关
于 对称，反过来，如果一偶函个数函数的图
象关于y轴对称，那么这个函数是
．
▪ 3．函数奇偶性的判定方法
▪ (1)根据定义判定，首先看函数的定义 原域点是否关于 对称，若不非对奇称非，偶 则函数是
函数；若对称，再判定f(－x)＝ f(x)或f(－x)＝－f(x)．有时判f定(x)f＝(－0 x)＝ ±f(x或)比±判较1定困难，可考虑判定f(－x)±
▪ 因为∀x1，x2∈R，且x1<x2，均有x<x， 从而x＋x1<x＋x2.
________.
▪ 解析：∵f(x－4)＝－f(x)， ▪ ∴f(x)＝－f(x－4)＝－[－f(x－8)]＝f(x－
8)．
新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性课件
1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )
(2)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对
称．( √ )
(3) 定 义 域 关 于 原 点 对 称 是 函 数 具 有 奇 偶 性 的 一 个 必 要 条
件．( √ )
(4)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周
期．( √ )
解析：(1)奇函数只有在原点有定义时才过原点，且 f(0) ＝0，而偶函数不管在原点有无定义，都不一定过原点．
(2)因为 y＝f(x＋a)为偶函数，则 f(x＋a)＝f(－x＋a)＝f(a－ x)，可知 x＝a 为对称轴．
1 2
.
解析：解法 1：因为函数 f(x)＝x3(2x－1 1＋a)为偶函数，所
以 f(－x)＝f(x)，即(－x)3(2－x1－1＋a)＝x3(2x－1 1＋a)，所以 2a＝
－(2－x1－1＋2x－1 1)，所以 2a＝1，解得 a＝12.
解法 2：因为函数 f(x)＝x3(2x－1 1＋a)为偶函数，所以 f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×(2－11－1＋a)＝13×(21－1 1＋a)，解 得 a＝12，经检验，当 a＝12时，函数 f(x)为偶函数．
时，f(－x)＝－f(x)；当 x>12时，fx＋12＝fx－12，则 f(6)等于( D )
A．－2
B．－1
C．0
D．2
解析：当 x>12时，fx＋12＝fx－12，即周期为 1，则 f(6)＝ f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.
2．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，
高考数学考点专项复习课件 函数的奇偶性与周期性
4.设函数 f(x) 的定义域关于原点对称, 且满足: ① 存在正常
数 a, 使 f(a)=1; ② f(x1数; (2) f(x) 是周期函数,
x并2)=且f有(fx(x1一)2f)(-个xf(2x周)+1)1期. 为求4证a.:
(1) f(x) 是奇函
f(a+x)=1-
2 f(x)+1
,
f(2a+x)=-
例: 函数 f(x)=0(x∈D, D关于原点对称)是既奇又偶函数.
二、简单性质 研究半个区间！
1.奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对称.
反之成立！
2.单调性:
3.奇函数: f(0)=0(0 在定义域中), 偶函数: f(x)=f(|x|).
三、函数奇偶性的判定方法
1.根据定义判定:
3.函数 f(x)= A.奇函数
4-x2 |x-2|
的奇偶性是( B.偶函数
C) C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
4.已知 y=f(x-1) 是偶函数, 则 y=f(x) 的图象关于( A )
A.直线 x+1=0 对称
B.直线 x-1=0 对称
C.直线
x-
1 2
=0
对称
D. y 轴对称
5.奇函数 f(x) 在[3, 7]上是增函数, 在[3, 6]上的最大值为 8, 最小值为 -1, 则 2f(-6)+f(-3) 的值为( D )
1 f(x)
,
f(4a+x)=f(x).
5.已知定义在 R 上的函数 y=f(x) 满足 f(2+x)=f(2-x), 且 f(x) 是 达偶式函. f数(x,)=当-22xxx+∈-71[0((,--242]≤<时xx,≤≤f0-()x2))=2x-1, 求 x∈[-4, 0]时 f(x) 的表
高考数学一轮复习 专题2.4 函数奇偶性与周期性(讲)
第04节 函数奇偶性与周期性【考纲解读】【知识清单】1.函数的奇偶性对点练习【2017陕西西安铁中月考】下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝x B.y ＝e xC.y ＝cos xD.y ＝e x－e －x【答案】D【解析】A ，B 中显然为非奇非偶函数；C 中cos y x =为偶函数. D 中函数定义域为R ，又()()()x x x xf x e e e e f x －－－＝－＝－－＝－，∴x xy e e －＝－为奇函数. 2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. 对点练习设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 【答案】1【考点深度剖析】函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数以及函数的单调性结合考查，往往以选择题或填空题的形式出现.其中函数的周期性，浙江卷常通过三角函数加以考查．【重点难点突破】考点1 函数奇偶性的判断【1-1】【2017浙江杭州质检】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋sin 2x B.y ＝x 2－cos x C.y ＝2x＋12xD.y ＝x 2＋sin x【答案】D【解析】对于A ，定义域为R ，()()() ) 2(2f x x sin x x sin x f x －＝－＋－＝－＋＝－，为奇函数；对于B ，定义域为R ，()22()()()f x x cos x x cosx f x －＝－－－＝－＝，为偶函数；对于C ，定义域为R ，()2(12)122x xx xf x f x -－－＝＋＝＋＝，为偶函数；2y x sinx ＝＋既不是偶函数也不是奇函数，故选D.【1-2】已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13B.13C.12D.－12【答案】B【解析】依题意0b ＝，且(2)1a a ＝－－，∴13a ＝，则13a b +＝. 【领悟技法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有相等关系或者相反关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式()0()f x f x ＋－＝ (奇函数)或()0()f x f x -－＝ (偶函数)是否成立.【触类旁通】【变式一】已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 为( )A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 【答案】B【变式二】【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x （A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxx x f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，13x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A. 考点2 函数奇偶性的性质及应用【2-1】【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】【2-2】【2017广东梅州模拟】若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则有( )A ．()()()230f f g <<B ．()()()032g f f <<C ．()()()203f g f <<D ．()()()023g f f << 【答案】D【解析】由题意，得()()()()xxf xg x ef xg x e-⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ 解得()()22x xx xe ef x e eg x --⎧-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩故(0)1g =-，()f x 为R 上的增函数，()()023f f <<，故()()()023g f f <<． 【2-3】【2017浙江台州中学月考】偶函数()y f x =在区间[0,4]上单调递减，则有（ ） A.(1)()()3f f f ππ->>-B.()(1)()3f f f ππ>->-C.()(1)()3f f f ππ->->D.(1)()()3f f f ππ->->【答案】A.【解析】由题意得，014(1)(1)()()()33f f f f f πππππ<<<<⇒-=>>=-，故选A.【领悟技法】1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 【触类旁通】【变式一】【2017贵州遵义四中模拟】已知函数()()2,0{,0x x f x g x x >=<是偶函数，则()2f -=（ ） A. B.12 C. D. 1-2【答案】C【变式二】若函数f (x )=ln(x x 为偶函数，则a = 【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以ln(ln(x x +- =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 考点3 函数周期性及综合应用【3-1】设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99________f =． 【答案】1006【解析】∵()()22012f x f x ⋅+=，∴()()242012f x f x +⋅+=，∴()()4f x f x =+，∴()f x 是一个周期为4的周期函数，∴()99(4251)(1)f f f =⨯-=-．∵(1)(12)2012f f --+=，∴()99f ＝2012(1)f ＝1006． 【3-2】已知()f x 是R 上的奇函数，对x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，若(1)2f -=-，则(2013)f 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．2013【答案】A【3-3】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则()105.5f ＝______. 【答案】2.5【解析】()[(2)]42f x f x ＋＝＋＋＝－()()12f x f x =＋.故函数的周期为4.∴()()105.5427 2.()(5 2.5 2.5)f f f f ⨯＝－＝－＝.∵2 2.53≤≤，由题意，得()2.5 2.5f ＝.∴()105.5 2.5f ＝. 【领悟技法】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想． 【触类旁通】【变式一】【2017湖南统一考试】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时， ()()2log 27f x x =+，则()2017f =（ ） A. -2 B. 2log 3 C. 3 D. 2log 5- 【答案】D【变式二】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为( ) A.－1 B.1C.0D.2【答案】C【解析】由题意，得(()1)g x f x －＝－－，又∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，∴()()g x g x －＝－，()()f x f x －＝，∴()11()f x f x －＝－＋，即1((10))f x f x －＋＋＝.∴()()2 017 2 019 2 0()()181 2 01810f f f f ＋＝－＋＋＝.【易错试题常警惕】易错典例1：若函数f (x )＝k －2x 1＋k ·2x 在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.易错分析：解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)＝0得k ＝1.正确解析：∵221()122x x x x k k f x k k---⋅--==+⋅+，∴(2)(2)(21)(12)()()(12)(2)x x x x x x k k k k f x f x k k -++⋅-+⋅-+=+⋅+22(1)(21)(12)(2)x x xk k k -+=+⋅+，由()()0f x f x -+=可得21k =，∴1k =±． 温馨提醒：已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．易错典例2：定义在R 上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T ，T]上的根的个数记为n ，则n 可能为 ( )A ．0B ．1C ．3D ．5易错分析：没有经过严密的逻辑分析，直接根据()()()00f T f T f ＝－＝＝，就想当然地认为方程的根的个数就只有3个．温馨提醒：对于抽象函数要善于找具体的“函数模型”，联想其性质去推证欲证的函数性质，但不能用具体函数代替去解决问题；解决“抽象函数”问题一般采用赋值法，本题可联系y=sinx的图象和性质类比解题．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
高考数学理一轮复习知识点逐个击破专题讲座函数的奇偶性与周期性人教A版
2014届数学一轮知识点讲座：函数的奇偶性与周期性一、考纲目标1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.运用函数图像，理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性；二、知识梳理（一）函数的奇偶性1.定义：如果对于函数f (x)的定义域内的任意一个x ，都有f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x))，那么这个函数就是偶（奇）函数；2.性质及一些结论：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=（4）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；（6）断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- （7）设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（8）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（二）函数的周期性1.定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期2.简单理解：一般所说的周期是指函数的最小正周期，周期函数的定义域一定是无限集，但是我们可能只研究定义域的某个子集三、考点逐个突破1．奇偶性辨析例1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是A．1 B.2 C.3 D.4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零例2.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x|(x2＋1)；(2)f(x)＝x＋1 x ；(3)f(x)＝x－2＋2－x；(4)f(x)＝1－x2＋x2－1；(5)f(x)＝(x－1)1＋x1－x.解析 (1)此函数的定义域为R.∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f (x)，即f(x)是偶函数．(2)此函数的定义域为x>0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)此函数的定义域为{1，－ 1}，且f(x)＝0，可知图像既关于原点对称，又关于y轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．(5)定义域：⎩⎨⎧ 1－x ≠01＋x 1－x ≥0?－1≤x<1是关于原点不对称区间，故此函数为非奇非偶函数．2.奇偶性的应用 例3.已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用表示(12)f解：（1）显然()f x 的定义域是，它关于原点对称.在()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =，∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数（2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数，得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-例4.（1）已知()f x 是上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =+，则()f x的解析式为(10()(10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩ （2）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （） 例5设为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈（1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值解：（1）当0a =时， 2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数；当0a ≠时，2()1f a a =+，2()2||1f a a a -=++，∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数（2）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++， 若12a ≤，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+；若12a >，函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+，且1()()2f f a ≤ ②当x a ≥时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+， 若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-，且1()()2f f a -≤； 若12a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2()1f a a =+ 综上，当12a ≤-时，函数()f x 的最小值是34a -，当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +， 当12a >，函数()f x 的最小值是34a + 3.函数周期性的应用例6．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f(x ＋2)＝－f(x)．当x ∈[0,2]时，f(x)＝2x －x 2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．解 (1)证明：∵f(x ＋2)＝－f(x)，∴f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x －x 2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x －x 2，∴f(x)＝x 2＋2x.又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]，∴f(x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8.从而求得x ∈[2,4]时，f(x)＝x 2－6x ＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝0.4.单调性与奇偶性的交叉应用例7.已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． ①求a 、b 的值；②若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0恒成立，求k 的取值范围． 解：①∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，即b －1a ＋2＝0，∴b ＝1，∴f(x)＝1－2xa ＋2x ＋1， 又由f(1)＝－f(－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1，解得a ＝2. ②由①知f(x)＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1， 易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又∵f(x)是奇函数，从而不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0等价于f(t 2－2t)<－f(2t 2－k)＝f(k －2t 2)，∵f(x)为减函数，∴由上式得t 2－2t>k －2t 2，即对任意的t ∈R 恒有：3t 2－2t －k>0，从而Δ＝4＋12k<0，∴k<－13. 一、选择题1．(2012·高考陕西卷)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D.由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知当x ＞0时此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.2．已知y ＝f (x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象的对称轴是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝12D ．x ＝－12解析：选A.∵y ＝f (x ＋1)是偶函数，∴f (1＋x )＝f (1－x )，故f (x )关于直线x ＝1对称．3．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2解析：选B.f (a )＝a 3＋sin a ＋1，①f (－a )＝(－a )3＋sin(－a )＋1＝－a 3－sin a ＋1，②①＋②得f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝2－f (a )＝2－2＝0.4．函数f (x )＝1－21＋2x(x ∈R )( ) A ．既不是奇函数又不是偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数但不是奇函数D ．是奇函数但不是偶函数解析：选D.∵f (x )＝1－21＋2x ＝2x －12x ＋1， ∴f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )． 又其定义域为R ，∴f (x )是奇函数．5．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈(0,1]时单调递增，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f (－5)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－5) C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f (－5) D ．f (－5)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 解析：选B.∵f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以2为周期的函数，又f (x )是偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f (－5)＝f (5)＝f (4＋1)＝f (1)，∵函数f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (1)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－5)． 二、填空题6．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.答案：－17．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. 解析：∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1，∴当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)， 即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.答案：－－x －18．(2013·大连质检)设f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋3)·f (x )＝－1，f (－4)＝2，则f (2014)＝________.解析：由已知f (x ＋3)＝－1f ?x ?，∴f (x ＋6)＝－1f ?x ＋3?＝f (x )， ∴f (x )的周期为6.∴f (2014)＝f (335×6＋4)＝f (4)＝－f (－4)＝－2.答案：－2三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (2)f (x )＝⎩⎨⎧ x 2－2x ＋3 ?x >0?，0 ?x ＝0?，－x 2－2x －3 ?x <0?.解：(1)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f (－1)＝f (1)＝0.∴f (－1)＝f (1)且f (－1)＝－f (1)，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)①当x ＝0时，－x ＝0，f (x )＝f (0)＝0，f (－x )＝f (0)＝0，∴f (－x )＝－f (x )．②当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2－2(－x )－3＝－(x 2－2x ＋3)＝－f (x )．③当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3＝－(－x 2－2x －3)＝－f (x )．由①②③可知，当x ∈R 时，都有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解：∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2－2≤1－m 2≤2， 解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)?1－m >m 2－1，即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.一、选择题1．(2012·高考天津卷)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R解析：选B.由函数是偶函数可以排除C 和D ，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y ＝log 2|x |＝log 2x 为增函数，所以选择B.2．(2011·高考山东卷)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B.令f (x )＝x 3－x ＝0，即x (x ＋1)(x －1)＝0，所以x ＝0,1，－1，因为0≤x ＜2，所以此时函数的零点有两个，即与x 轴的交点个数为2.因为f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，所以2≤x ＜4,4≤x ＜6上也分别有两个零点，由f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0，知x ＝6也是函数的零点，所以函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7.二、填空题3．若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝－12x －1－a ，得：2a ＝1，a ＝12. 答案：124．(2013·长春质检)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，下面关于f (x )的判定：其中正确命题的序号为________．①f (4)＝0；②f (x )是以4为周期的函数；③f (x )的图象关于x ＝1对称；④f (x )的图象关于x ＝2对称．解析：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x ＋2)＝－(－f (x ＋2＋2))＝f (x ＋4)，即f (x )的周期为4，②正确．∵f (x )为奇函数，∴f (4)＝f (0)＝0，即①正确．又∵f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，∴f (x )的图象关于x ＝1对称，∴③正确，又∵f (1)＝－f (3)，当f (1)≠0时，显然f (x )的图象不关于x ＝2对称，∴④错误． 答案：①②③三、解答题5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R .(1)试判断f (x )的奇偶性；(2)若－12≤a ≤12，求f (x )的最小值．解：(1)当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝f (x )，此时，f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (－a )，此时，f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)当x ≤a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋a ＋34， ∵a ≤12，故函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1.当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－a ＋34， ∵a ≥－12，故函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增， 从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1.综上得，当－12≤a ≤12时，函数f (x )的最小值为a 2＋1.。
2021年新高考数学一轮专题复习第06讲-函数的奇偶性与周期性(讲义版)
当 m 0 时， n a m a ， f (n) f (a) ，且 f (m) 0 ， f (n) f (a) f (m) ，
即 m 0 时， f m f a f n 恒成立，
当 m 0 时， n a m a ， f (n) f (a) ，且 f (m) 0 ， f (n) f (a) f (m) ，
[方法技巧] 1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数 具有奇偶性的一个必要条件. 2.利用函数奇偶性可以解决以下问题： (1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性. 3.在解决具体问题时，要注意结论“若 T 是函数的周期，则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期” 的应用. [易错防范] 1.f(0)＝0 既不是 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件. 2.函数 f(x)满足的关系 f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数 f(x)满足的关系 f(a＋x) ＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
【解析】(1)∵f(x)是周期为 4 的奇函数，
－9
9
1
∴f 2 ＝－f 2 ＝－f 2
又 0≤x≤1 时，f(x)＝x(1＋x)
故
f
－9 2
＝－f
1 2
＝－1 2
1＋1 2
＝－3. 4
(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即 f(x＋6)＝f(x)，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，
从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0.
因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，
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新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结9 函数的奇偶性与周期性高考概览 本考点是高考的必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性一、基础小题1．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (－x )＝f (3＋x )，f (2022)＝2，则f (1)的值是( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案 B解析 奇函数f (x )满足f (－x )＝f (3＋x )＝－f (x )，－f (x ＋3)＝f (x ＋6)＝f (x )，则f (2022)＝f (－1)＝－f (1)＝2，则f (1)＝－2.故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（1－x ）（x <0），g （x ）＋1（x >0），若f (x )是奇函数，则g (3)的值是( ) A ．1 B ．3 C ．－3 D ．－1答案 C解析 因为函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（1－x ）（x <0），g （x ）＋1（x >0），且f (x )是奇函数，所以f (－3)＝－f (3)，所以log 2(1＋3)＝－[g (3)＋1]，则g (3)＝－3.故选C.3．已知f (x )不是常数函数，∀x ∈R 有f (8＋x )＝f (8－x )且f (4＋x )＝f (4－x )，则f (x )满足( )A ．是奇函数不是偶函数B ．是奇函数也是偶函数C ．是偶函数不是奇函数D ．既不是奇函数也不是偶函数答案 C解析 f (8＋x )＝f (8－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝8对称，f (4＋x )＝f (4－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝4对称，则f (x )的图象关于直线x ＝0对称，是偶函数，又f (x )不是常数函数，则f (x )不能恒等于0，不是奇函数．故选C.4．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2答案 D解析 当x >0时，x ＋12>12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12，即f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5)＝f (4)＝…＝f (1)＝－f (－1)＝2.故选D.5．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －xC ．e x ＋e －xD ．12(e x －e －x )答案 D解析 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x－e －x ).故选D.6．已知偶函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝x 13＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．c <a <b答案 D解析 ∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，y ＝sin x 为增函数，y ＝x 13也为增函数，∴函数f (x )＝x 13＋sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上也为增函数．∵函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，∴f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，∵0<π－3<1<π－2<π2，∴f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即c <a <b .故选D.7．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1，2]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[－1，1]C ．(－∞，2]D ．[－2，2]答案 B解析 因为函数f (x )为偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1，2]恒成立等价于f (a )≥f (x )max ＝f (1)，所以|a |≤1，解得－1≤a ≤1，即实数a 的取值范围为[－1，1].故选B.8．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3，4]时，f (x )＝2x ，则下列不等式中正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 C ．f (sin 1)<f (cos 1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32 答案 C解析 x ∈[3，4]时，f (x )＝2x ，故偶函数f (x )在[3，4]上是增函数，T ＝2，∴偶函数f (x )在[－1，0]上是增函数，∴f (x )在[0，1]上是减函数．对于A ，0<sin 12<cos 12<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12；对于B ，1>sin π3>cos π3>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3；对于C ，1>sin 1>cos 1>0，∴f (sin 1)<f (cos 1)；对于D ，0<cos 32<sin 32<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32.故选C. 9．(多选)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为周期函数C ．f (x ＋3)为奇函数D ．f (x ＋4)为偶函数答案 ABC解析 ∵f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1) ①，f (－x ＋2)＝－f (x ＋2) ②，∴由①可得f [－(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1＋1)，即f (－x )＝－f (x ＋2) ③，∴由②③得f (－x )＝f (－x ＋2)，∴f (x )的周期为2，∴f (x )＝f (x ＋2)＝－f (－x )，则f (x )为奇函数，∴f (x ＋1)＝f (x ＋3)，则f (x ＋3)为奇函数．故选ABC.10．(多选)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[－2，0]上是增函数，下列关于f (x )的判断正确的是( )A．f(x)的图象关于点P(1，0)对称B．f(0)是函数f(x)的最大值C．f(x)在[2，3]上是减函数D．f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z答案ABD解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点P(1，0)对称，所以A正确；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k∈Z)，所以D正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在[－2，0]上是增函数，所以f(x)在[2，4]上也是增函数，因此C不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在[0，2]上是减函数，所以f(x)在[－2，2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以B正确．故选ABD.11．若f(x)＝x ln (x＋a＋x2)为偶函数，则实数a＝________．答案 1解析因为f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，所以－x ln (－x＋a＋x2)－x ln (x＋a＋x2)＝0恒成立，所以x ln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即实数a＝1.12．已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是________．答案 (－4，－2)∪(0，2)解析 当x ∈(－4，0)时，f (x )·g (x )<0，又g (x )<0，则f (x )>0，所以－4<x <－2；当x ＝0时，g (x )＝0，则f (x )·g (x )＝0，不符合题意，舍去；当x ∈(0，4)时，f (x )·g (x )<0，又g (x )>0，则f (x )<0，所以0<x <2，所以解集为(－4，－2)∪(0，2).二、高考小题13．(2022·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x 1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( ) A ．f (x －1)－1 B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1答案 B解析 解法一：因为f (x )＝1－x 1＋x ＝－1＋2x ＋1，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f (x －1)＋1为奇函数．故选B.解法二：因为f (x )＝1－x 1＋x ，所以f (x －1)＝1－（x －1）1＋（x －1）＝2－x x ，f (x ＋1)＝1－（x ＋1）1＋（x ＋1）＝－x x ＋2.对于A ，F (x )＝f (x －1)－1＝2－x x －1＝2－2x x ，定义域关于原点对称，但不满足F (x )＝－F (－x )；对于B ，G (x )＝f (x －1)＋1＝2－x x ＋1＝2x ，定义域关于原点对称，且满足G (x )＝－G (－x )；对于C ，f (x ＋1)－1＝－x x ＋2－1＝－2x ＋2x ＋2，定义域不关于原点对称；对于D ，f (x ＋1)＋1＝－x x ＋2＋1＝2x ＋2，定义域不关于原点对称．故选B. 14．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋2)为偶函数，f (2x ＋1)为奇函数，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0 B ．f (－1)＝0 C ．f (2)＝0 D ．f (4)＝0答案 B解析 因为函数f (x ＋2)为偶函数，则f (2＋x )＝f (2－x )，可得f (x ＋3)＝f (1－x )，因为函数f (2x ＋1)为奇函数，则f (1－2x )＝－f (2x ＋1)，所以f (1－x )＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋3)＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋3)＝f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋4)，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，因为f (2x ＋1)为奇函数，所以f (1)＝0，故f (－1)＝－f (1)＝0，其他三个选项未知．故选B.15．(2022·全国甲卷)设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b .若f (0)＋f (3)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝( ) A ．－94B ．－32 C ．74D ．52答案 D解析 因为f (x ＋1)为奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，所以f (1)＝0，即a ＋b ＝0，所以b ＝－a ，所以f (0)＝f (－1＋1)＝－f (1＋1)＝－f (2)＝－4a －b ＝－3a ，又f (x ＋2)为偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，所以f (3)＝f (1＋2)＝f (－1＋2)＝f (1)＝0，由f (0)＋f (3)＝6，得a ＝－2.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋1＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－94a －b ＝－54a ＝52.故选D. 16．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是偶函数，则a ＝________． 答案 1解析 设g (x )＝a ·2x －2－x ，h (x )＝x 3.因为函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是R 上的偶函数，函数h (x )＝x 3是R 上的奇函数，所以函数g (x )＝a ·2x －2－x 是R 上的奇函数，故g (0)＝a ·20－2－0＝a －1＝0，因此a ＝1.17．(2022·江苏高考)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23，则f (－8)的值是______．答案 －4解析 f (8)＝823＝4，因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－4.三、模拟小题18．(2022·湖北新高考联考协作体高三上新起点考试)已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a 2x －a －2x ＋1(a >0，a ≠1)，则f (1)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 C解析 由已知可得f (1)＋g (1)＝a 2－a －2＋1，f (－1)＋g (－1)＝a －2－a 2＋1，因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，所以f (1)－g (1)＝a －2－a 2＋1，联立⎩⎨⎧f （1）＋g （1）＝a 2－a －2＋1，f （1）－g （1）＝a －2－a 2＋1，解得f (1)＝1.故选C. 19．(2022·河北衡水深州长江中学高三上开学考试)已知函数y ＝f (x ＋1)是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(－∞，1)上单调递减，f (2)＝0，则f (x )f (x ＋1)<0的解集为( )A.(－2，－1)∪(0，1) B ．(－1，0)∪(1，2)C ．(－1，2)D ．(－2，1)答案 B解析因为函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由f (x )在(－∞，1)上单调递减，得f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (0)＝f (2)＝0，所以当x <0或x >2时，f (x )>0，当0<x <2时，f (x )<0.函数f (x )的图象如图所示，f (x )f (x ＋1)<0等价于⎩⎨⎧f （x ）>0，f （x ＋1）<0或⎩⎨⎧f （x ）<0，f （x ＋1）>0，即⎩⎨⎧x <0或x >2，0<x ＋1<2或⎩⎨⎧0<x <2，x ＋1<0或x ＋1>2，解得－1<x <0或1<x <2.故选B.20．(2022·陕西咸阳一模)设f (x )为R 上的奇函数，满足f (2－x )＝f (2＋x )，且当0≤x ≤2时，f (x )＝x e x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (100)＝( )A ．2e ＋2e 2B ．50e ＋50e 2C ．100e ＋100e 2D ．－2e －2e 2答案 A解析 由f (2－x )＝f (2＋x )得f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又f (x )为R 上的奇函数，∴f (x )是以8为周期的周期函数．∵f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (－1)＋f (－2)＋f (－3)＋f (－4)＝0，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2e ＋2e 2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝12×[f (1)＋f (2)＋…＋f (8)]＋[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝2e ＋2e 2.故选A.21．(多选)(2022·福建省永安市第三中学高三月考)已知函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋4)－f (x )＝2f (2)，若y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，且对任意的x 1，x 2∈(0，2)，x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )的周期T ＝4C ．f (2022)＝0D ．f (x )在(－4，－2)上单调递减答案 ABC解析 由y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，则f (1＋x －1)＝f (1－x －1)，即f (－x )＝f (x )，故f (x )是偶函数，A 正确；由f (x ＋4)－f (x )＝2f (2)，令x ＝－2，可得f (2)＝0，则f (x ＋4)＝f (x )，则f (x )的周期T ＝4，B 正确；f (2022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝0，故C 正确；又f (x )在(0，2)上单调递增，周期T ＝4，则f (x )在(－4，－2)上单调递增，故D 错误．故选ABC.22．(多选)(2022·三湘名校教育联盟高三联考)已知奇函数f (x )的定义域为R ，且满足：对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x ＋1).当0≤x ≤12时，f (x )＝log 2(1＋x )，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的周期为2B ．若i ∈N *，则∑ni ＝1f (i )＝0C ．点(－1，0)为f (x )的一个对称中心D ．∑2022i ＝1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫321011答案ABC解析 因为f (x )为奇函数，f (－x )＝f (x ＋1)，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，所以f (x )＝－f (x ＋1)＝－[－f (x ＋2)]＝f (x ＋2)，故f (x )的周期T ＝2，A 正确；当0≤x ≤12时，f (x )＝log 2(1＋x )，所以f (1)＝f (0)＝f (2)＝0，所以若i ∈N *，则∑ni ＝1f (i )＝0，B 正确；因为f (－2－x )＝f (－x )＝－f (x )，点(－1，0)为f (x )的一个对称中心，C 正确；当i ＝2k 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝f (k )＝0，当i ＝4k ＋1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，当i ＝4k ＋3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以∑2022i ＝1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝log 232，D 错误．故选ABC. 23.(多选)(2022·山东省兖州市高三质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动(无滑动滚动)，点D 恰好经过坐标原点，设顶点B (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )的判断正确的是( )A.函数y ＝f (x )是奇函数B．对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)C．函数y＝f(x)的值域为[0，22]D．函数y＝f(x)在区间[6，8]上单调递增答案BCD解析由题意，当－4≤x＜－2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点A(－2，0)为圆心，2为半径的14圆；当－2≤x＜2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点D(0，0)为圆心，22为半径的1 4圆；当2≤x＜4时，顶点B(x，y)的轨迹是以点C(2，0)为圆心，2为半径的14圆；当4≤x＜6时，顶点B(x，y)的轨迹是以点A(6，0)为圆心，2为半径的14圆，与－4≤x＜－2的形状相同，因此函数y＝f(x)在[－4，4]上的图象恰好为一个周期的图象，所以函数y ＝f(x)的周期是8，其图象如下：由图象及题意可得，该函数为偶函数，故A错误；因为函数的周期为8，所以f(x ＋8)＝f(x)，因此f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；由图象可得，该函数的值域为[0，22]，故C正确；因为该函数是以8为周期的函数，因此函数y＝f(x)在区间[6，8]上的图象与在区间[－2，0]上的图象形状相同，因此单调递增，故D正确．故选BCD.24．(2022·新高考八省联考)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________．答案sin πx(答案不唯一)解析由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)＝A sin ωx(A≠0，ω>0)，满足f (－x )＝－sin ωx ＝－f (x )，即是奇函数；根据最小正周期T ＝2πω＝2，可得ω＝π.故函数可以是f (x )＝A sin πx (A ≠0)中的任一个，可取f (x )＝sin πx .25．(2022·河北邯郸高三上开学摸底考试)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ，则f (0)＝________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4364＝________．答案 －14 2 3解析 函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f （x ），可得f (x ＋4)＝－1f （x ＋2）＝f (x )，所以函数的周期T ＝4，所以f (0)＝－1f （2）＝－14，f⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4364＝f (log 43－3)＝f (log 43＋1)＝2log 43＋1＝2×212log 23＝2×2log 2312＝2 3.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2022·上海徐汇区模拟)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎨⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝lg （1－x 2）－x.又f (－x )＝lg [1－（－x ）2]x ＝－lg （1－x 2）－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x ).综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立， ∴f (x )为奇函数．2．(2022·安徽省巢湖市第四中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)由(1)可画出f (x )的图象如图所示，知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].3．(2022·山东临沂高三阶段考试)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积． 解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x ).从而可知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. 4．(2022·青海模拟)设f (x )是定义在R 上不恒为0的奇函数，对任意实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 恒成立.(1)证明f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|g (x )是偶函数，求实数a 的值． 解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )， 知f (3＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－⎝⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上不恒为0的奇函数，所以f (0)＝0， 且f (－1)＝－f (1)＝－2， 又因为T ＝3是f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2. (3)因为y ＝|f (x )|g (x )是偶函数， 且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|， 所以|f (x )|为偶函数.故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数， 即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立． 于是2ax ＝0恒成立，所以实数a ＝0.。