高三数学一轮复习精品学案7：§2.3 函数的奇偶性与周期性

§2.3 函数的奇偶性与周期性知识内容一、函数的奇偶性和对称性 （一） 主要知识：1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，都有()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．奇偶性：如果函数()f x 为奇函数或偶函数，那么，就说函数()f x 具有奇偶性. 4．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数． 5．奇偶函数的性质：①函数具有奇偶性的必不可少的条件是：定义域在数轴上所显示的区间关于原点对称.换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有函数的奇偶性． 如：函数2y x =在区间(),-∞+∞上是偶函数，但在区间[]1,3-上却无奇偶性可言．②()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称； ③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单 调性．④()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=． ⑤若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． ⑥复合的奇偶函数的性质对于复合函数())F x f g x =⎡⎤⎣⎦（：若()g x 为偶函数，则())=F x f g x ⎡⎤⎣⎦（为偶函数；若()g x 为奇函数，()f x 为奇函数，则())F x f g x =⎡⎤⎣⎦（为奇函数；若()g x 为奇函数，()f x 为偶函数，则())F x f g x =⎡⎤⎣⎦（为偶函数．⑦函数的分拆任何一个函数()f x 都可以拆分成一个奇函数和一个偶函数的和： 即()=()()f x F x G x +，则()()()2f x f x F x +-=（偶函数），()()()2f x f x G x --=（奇函数）．⑧对称性关于y 轴对称：()()f x f x -=； 关于原点对称：()()f x f x -=-；关于直线a x =对称：()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-； 关于点),(b a 对称：()2(2)f x b f a x =--或()=()f a x b b f a x +---． （二）主要方法： 判断函数的奇偶性的方法：①定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ②图象法；③性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇； 若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数； 二、函数的周期性 （一） 主要知识：1．周期函数：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0Z k k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期． 2．几种特殊的抽象函数： 具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）， ①()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a f x +=±，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；④()()f x a f x a +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数．⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =．⑨函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x ∈R 的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；○11函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数； （二）主要方法：1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点： 一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=；二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集． 2．解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．例题精讲一、判断函数奇偶性判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断()()f x f x ±-是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断．例1：已知函数2()=(0)f x ax bx c a ++≠是偶函数，那么32()g x ax bx cx =++是（ ） A.奇函数 B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数例2：函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，对定义域中任何x ，有()()0f x f x +-=，()()1g x g x -=，则2()()()()1f x F x f xg x =+-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数例3：设函数()y f x =(R x ∈且0x ≠）对任意非零实数12,x x 满足1212()()()f x x f x f x ⋅=+，则函数()y f x =是__________.（指明函数的奇偶性） 例4：判断下列函数的奇偶性：（1）422y x x =++；（2）31y x =-；（3）1()f x x x=+；（4）2()5||f x x x =+； （5）[]2()=1,1,4f x x x x -+∈-.例5：判断下列函数的奇偶性：（1）()f x =（2）()(f x x =-；（3）(f x例6：已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当m n ，为何值时，()f x 是奇函数？例7：若函数()()3()f x x x g x =+是偶函数，且()f x 不恒为零，判断函数()g x 的奇偶性．例8：（1）已知函数()R f x x ∈，，若对于任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=+.求证：()f x 为奇函数；（2）已知函数()R f x x ∈，，若对于任意实数12,x x ，都有121212(+)+()2()()f x x f x x f x f x -=⋅，求证：()f x 是偶函数；（3）设函数()f x 定义在()1,1-上，证明()+()f x f x -是偶函数，()()f x f x --是奇函数.二、函数奇偶的性质例9：若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f =__________；例10：已知函数()f x ()R x ∈满足()()f x f x -=，则下列各点中必在函数()y f x =图象上的是（ ）A. ()()a f a -，B. ()()a f a --，C. ()()a f a ---，D. ()()a f a -，例11：对于定义在R 上的任意奇函数()f x 恒成立的是（ ） A. ()()0f x f x --≥ B. ()()0f x f x --≤ C. ()()0f x f x ⋅-≤D. ()()0f x f x ⋅->例12：已知函数3()2f x x x =--．若1x 、2x 、3x ∈R 且120x x +>，230x x +>，310x x +>．则123()()()f x f x f x ++（ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．大于零或小于零例13：已知()538f x x ax bx =+++且(2)10f -=，求()2f .例14：已知函数21()()Z ax f x a b c bx c+=∈+，，是奇函数，且(1)2f =，(2)3f <，求a ，b ，c的值.例15：已知()()f x g x ，都是奇函数，()0f x >的解集是2()a b ，，()0g x >的解集是222a b ⎛⎫⎪⎝⎭，，22ba >，那么求()()0f x g x >的解集．三、函数的解析式（1）利用函数奇偶性可求函数解析式例16：已知偶函数()f x 的定义域为R ，当x ≥0时，2()31f x x +x -=，求()f x 的解析式．例17：已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时()(1)f x x x =-．求函数()f x 的解析式．例18：已知()y f x =图象关于1x =对称，当1x ≤时，2()1f x x =+，求当1x >时()f x 的表达式．（2）利用下列结论求函数的解析式对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f (x )都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和．即 ()()()12f x F x G x =+⎡⎤⎣⎦，其中()()()F x f x f x =+-，()()()G x f x f x =--. 利用这一结论，可以简捷的解决一些问题．例19：定义在R 上的函数()221x xf x x +=+，可表示成一个偶函数()g x 和一个奇函数()h x 之和，求()g x ，()h x ．例20：已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f x g x x -=+，求()f x 、()g x ．四、奇偶性与单调性例21：如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值为5，那么()f x 在[]7,3--上是（ ） A.增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C.减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5例22：已知函数()f x 是偶函数，而且在(0)+∞，上是减函数，判断()f x 在(0)-∞，上是增函数还是减函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论．例23：已设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(0)-∞，上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.例24：已知()y f x =为()-∞+∞，上的奇函数，且在(0)+∞，上是增函数． （1）求证：()y f x =在(0)-∞，上也是增函数； （2）若1()12f =，解不等式41(log )0f x -<≤．五、奇偶性和周期性例25：若()f x 是定义在R 上的奇函数，(3)2f =，且对一切实数x 都有(4)()f x f x +=，则(25)f =__________；例26：设函数()()3222()2x g x x xf x xg x +++=+（其中()g x 为偶函数）的最大值为M ，最小值为m ，则M 与m 满足（ ）A ．2M m +=B ．4M m +=C ．2M m -=D ．4M m -=六、函数对称性例27：设函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，如果方程()0f x =有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_____．例28：当实数k 取何值时，方程组422(1)||1,1k x x y x y ⎧++-=⎪⎨-=-⎪⎩有惟一实数解.七、抽象函数的奇偶性例29：已知函数()f x ，当R x y ∈，时恒有()()()f x y f x f y +=+ ． （1）求证：函数()f x 是奇函数； （2）若(3)f a -=，试用a 表示(24)f ．（3）如果R x +∈时()0f x <，且(1)0.5f =-．试判断()f x 的单调性，并求它在区间[26]-，上的最大值与最小值．例30：设函数()y f x =（x ∈R 且0)x ≠对任意非零实数12x x ，，恒有1212()()()f x x f x f x =+，（1）求证：(1)(1)0f f =-=； （2）求证：()y f x =是偶函数；（3）已知()y f x =为(0，)+∞上的增函数，求适合1()()02f x f x +-≤的x 的取值范围．课后检测1.判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-；（2）23()f x x x =-；（3）(f x ；（4）()=f x x b x b +--.2.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x <时，2()2f x x x =+-，求()f x 的解析式.3.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数并且()()1f x g x x +=+，则求()f x 与()g x 的表达式．4.函数()f x 在R 上有定义，且满足①()f x 是偶函数；②(0)2005f =；③()(1)g x f x =-是奇函数，求(2005)f 的值．——★ 参 考 答 案 ★——例题精讲例1：A例2：B『解析』由已知，当0x ≠时，2()()()()f x F x f x g x --=+--2()()()1()g x f x f x g x -=--[]2()2()()1()()1f x f x g x f x g x +-=--2()()()1f x f xg x =+-， 所以()F x 是偶函数．例3：偶函数『解析』令11x =，21x =-得(1)(1)(1)(1)0f f f f -=+-⇒=；再令121x x ==-得(1)(1)(1)0(1)0f f f f =-+-=⇒-=，又令11x =-，2x x =得()(1)()f x f f x -=-+，由此可得()()f x f x -=.例4：『解』（1）偶函数；（2）奇函数；（3）奇函数；（4）偶函数；（5）非奇非偶函数.例5：『解』（1）由1010x x -⎧⎨-⎩≥≥，得1x =，∴函数的定义域为{1}．由于函数的定义域不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.（2）因为此函数的定义域为[1,1)D =-，不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数；（3）已知定义域为{}11-，，(1)0(1)0(1)(1)(1)(1)f f f f f f =-=-=-=-，，，，所以()f x 为既是奇函数又是偶函数.例6：『解』由()()f x f x -=-得：2222(1)(1)2(1)(1)(2)m x m x n m x m x n ---++=-----+对一切实数x 恒成立． 即222(1)2(2)0m x n -++=对一切实数x 恒成立．∴2110220m m n n =±⎧-=⎧⇒⎨⎨=-+=⎩⎩， 当1m =-，2n =-时，()2f x x =-是奇函数；当1m =，2n =-时，()0f x =既是奇函数又是偶函数．∴当1m =±，2n =-时，()f x 是奇函数．例7：『解』设()3h x x x =+，则()()3h x x x h x -=--=-，∴()3h x x x =+是奇函数， ∵()()()3f x x x g x =+是偶函数，且()f x 不恒为零，∴()g x 为奇函数．例8：『解』（1）设0a =，则()(0)()(0)0f b f f b f =+∴=，，又设a x b x =-=，，则(0)()()f f x f x =-+，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴是奇函数.（2）令12=0=x x x ，，得()+()=2(0)()f x f x f f x -⋅，①令21=0=x x x ，，得()+()=2(0)()f x f x f f x ⋅，②由①②得：()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数. （3）由于对任意的()11x ∈-，，也必有()11x -∈-，，可见，()f x -的定义域也是()11-，. 若设()()()()()()F x f x f x G x f x f x =+-=--，，则()()F x G x ，的定义域也是()11-，， 显然关于原点对称，而且[]()()()()+()=()F x f x f x f x f x F x -=--+-=-， [][]()()()()()()()()G x f x f x f x f x f x f x G x -=----=--=---=-所以()F x 为偶函数，而()G x 为奇函数，即()+()f x f x -是偶函数，()()f x f x --是奇函数. 例9：0『解析』 根据奇函数的定义有(0)(0)f f -=-，即(0)0f =.例10：A例11：C『解析』2()()=()0.f x f x f x ⋅--≤例12：B『解析』易知()f x 是R 上的奇函数且是减函数，所以12()()f x f x <-，即12()()0f x f x +<． 同理，23()()0f x f x +<，31()()0f x f x +< ．故123()()()0f x f x f x ++<．例13：『解』设53()g x x ax bx =++，则()()8f x g x =+，()g x 是奇函数， ∴(2)(2)810f g -=-+=，∴(2)2g -=，(2)(2)2g g =--=-，∴(2)(2)8286f g =+=-+=.例14：『解』由题意2211ax ax bx c bx c ++=--++，可得0.c =又由于1(1)2a f b+==知21b a =+， 再由41(2)3,2a f b +=<将21b a =+代入得41 3.1a a +<+ (1)当1a >-时，4133a a +<+，即 2.a <Z a ∈，0a ∴=或1.①当0a =时，12Z b =∉，故0a ≠; ②当1a =时，1b =符合题意.(2)当1a <-时，4133a a +>+，即2a >，无解.综上可知，1,0.a b c ===例15：『解』()()0f x g x >⋅等价于()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f x g x <⎧⎨<⎩，因为()0f x >时的解集是2()a b ，，且()f x 又是奇函数，∴()0f x <时的解集是2()b a --，，同理可得()0g x <时的解集是2()22b a --，． 又222()()()222a b b a b a =，，，；22()()22b a b a ----，，2()2b a =--，．∴原不等式的解集为22()()22b b a a --，，．例16：『解』设0x <，则0x ->，∴()()223131f x x x x x -=---=--，∵()f x 为偶函数，∴()()f x f x =-，∴()()231f x f x x x -==--，即()231f x x x =--()0x <，∴()223-1 (0)3-1 (0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩． 例17：『解』设0x <，则0x ->，∵()(1)f x x x -=-+及()()f x f x -=-，∴()(1)f x x x =+，当0x =时，(0)0f =，∴函数的解析式为(1)()0(1)x x f x x x +⎧⎪=⎨⎪-⎩(0)(0)(0)x x x <=>． 例18：『解』∵()y f x =图象关于1x =对称，∴(1)(1)f x f x +=-()(2)f x f x ⇒=-，当1x >时，21x -<2()(2)(2)1f x f x x =-=-+∴当1x >时，2()45f x x x =-+．例19：『解』∴()2221x g x x =+，()221x h x x =+， ∵()221x x f x x +=+，∴()()()g x f x f x =+-=221x x x +++22-1x x x =+2221x x +， ()()()221x x h x f x f x x +=--=+22-1x x x -=+221x x +. 例20：『解』∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=． 则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-+⎩． 两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-． 例21：B 例22：『解』结合偶函数的图象特征可得：偶函数函数()f x 在(0)+∞，上是减函数，()f x 在(0)-∞，上是增函数．对奇函数有：在对应的区间上的单调性相同．设120x x << ，则120x x ->->，由()f x 在(0)+∞，上是减函数得：12()()f x f x -<-，又()f x 是偶函数，故12()()f x f x <，所以，()f x 在(0)-∞，上是增函数．例23：『解』∵()f x 在区间(0)-∞，上是减函数，∴()f x 的图象在y 轴左侧递减. 又 ∵()f x 是奇函数，∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减. 又 (0)(0)f f -=-，解得(0)0f =，所以()f x 的图象在R 上递减.∵ 22(33)(32)f a a f a a +-<-，∴ 223332a a a a +->-，解得1a >.例24：『解』（1）取120x x <<，则120x x ->->，由()f x 在(0)+∞，上是增函数，可得：12()()f x f x ->-．又∵函数()f x 是奇函数，∴12()()f x f x ->-，即12()()f x f x <，所以()f x 在(0)-∞，上是增函数． （2）由题意可得：11()()122f f -=-=-，(0)0f =． 原不等式可化为41()(log )(0)2f f x f -<≤．又∵()f x 在(0)-∞，上是增函数，∴41log 02x -<≤，即112x <≤． ∴原不等式的解集为1{|1}2x x <≤．例25：-2『解析』(25)(328)(3)(3)2f f f f =-+=-=-=-.例26：A『解析』()()()323222()122x g x x x x x f x x g x x g x ++++==+++．因为()32()2x x h x x g x +=+为偶函数，且()f x 存在最大值和最小值，所以()h x 也存在最大值M '和最小值m '，且0M m ''+=． 故(1)(1)2M m M m ''+=+++=．例27：4『解析』因为此函数的图象关于2x =对称，所以它与x 轴的交点也关于直线2x =对称，交点的横坐标对应方程的根，从而两根之和为4．例28：『解』观察方程组中每个方程特点，以-x 代替x ，方程组不变，若00(,)x y 是方程组的解，则00(,)x y -也一定是它的解，而方程组有唯一解，必有x 0=0，即唯一解的形式应为（0，y 0）代入方程组得：02011k y y -=⎧⎪⎨=⎪⎩解得021k y =⎧⎨=⎩，或01.k y =⎧⎨=-⎩， 将0k =代入原方程组得01.x y =⎧⎨=-⎩， 将2k =代入原方程组有唯一解0,1.x y =⎧⎨=⎩∴当2k =和0k =，原方程组有唯一解.例29：『解』（1）令 0x y ==得(0)0f =．再令y x =-得 ()()f x f x -=-，∴函数()f x 是奇函数.（2）∵(3)f a -=，∴(3)(3)f f a =--=-，∴(24)(333)8(3)8f f f a =+++==-．（3）设21x x >，则210x x ->，且21()0f x x -<，21211211()()()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=+-<，∴函数()f x 为减函数．∴max (2)(2)2(1)1y f f f =-=-=-=，min (6)3(2)3y f f ===-．例30：『解』（1）由1212()()()f x x f x f x =+（120x x ≠），有(1)(1)(1)2(1)f f f f =+=，(1)0f =，而(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，∴2(1)0f -=，即(1)0f -=．（2）对任意的0x ≠，都有()(1)()()f x f f x f x -=-+=，∴()f x 为偶函数．（3）由1212()()()f x x f x f x =+12(0)x x ≠，可得211()()()22f x f x f x x +-=- 由1()()02f x f x +-≤，而()f x 为偶函数且(1)0f =，有21(||)(1)2f x x f -≤．又∵()f x 在(0，)+∞上是增函数，∴221||12102x x x x ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，解得x ≤≤且0x ≠，12x ≠． 课后检测1.『解』（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ， 都有3311()()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以为奇函数. （2）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数.（3）函数()f x 的定义域为[)(]1001-，，，此时2222()x x x f x --=--=-∴=，，()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数.（4）当0b =时，函数变形为()=0f x x x -=，所以()f x 既为奇函数又为偶函数；当0b ≠时，()()()f x x b x b x b x b x b x b f x -=-+---=--+=-+--=-， 所以()f x 为奇函数.2.『解』当0x >，则0x -<，由已知得22()()()22f x x x x x -=-+--=--， ∵()f x 是奇函数，∴2()()2f x f x x x =--=-++，∴当0x >时，2()2f x x x =-++；又()f x 是定义域为R 的奇函数，∴(0)0f =． 综上所述：222,0,()0,0,2,0.x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩ 3.『解』由题意可得()()f x f x -=-，()()g x g x -=，设()()()1F x f x g x x =+=+ ①则()()()1F x f x g x x -=-+-=-+，即()()()1F x f x g x x -=-+=-+ ② 解①，②联立的方程组可解得()f x x =，()1g x =．4.『解』()(1)()(1)g x f x g x f x -=--=-=--，(1)(1)f x f x --=--，令1y x =+，则()(2)f y f y -=--即有()(2)0f x f x +-=，()(2)(4)f x f x f x =--=-， 故(2005)(1)f f =．又(1)(12)0f f +-=，()f x 是偶函数，∴(1)(1)0f f =-=． 综上，(2005)0f =．。