2022高考数学一轮复习—函数的单调性、奇偶性、周期性习题含答案
高考数学复习---《周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用》真题练习(含答案)
高考数学复习---《周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用》真题练习（含答案）1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3−B ．2−C ．0D ．1【答案】A 【解析】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++−=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +−=，即()()f y f y =−，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++−==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=−−，()()14f x f x −=−−，故()()24f x f x +=−，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =−=−=−，()()()321112f f f =−=−−=−，()()()4221f f f =−==−，()()()5111f f f =−==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4， 所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++−=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=， 所以()2cos 3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++−=++−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x x π=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =−=−=−==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +−=−−=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21−B ．22−C ．23−D ．24−【答案】D 【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x −=+，因为()(4)7g x f x −−=，所以(2)(2)7g x f x +−−=，即(2)7(2)g x f x +=+−，因为()(2)5f x g x +−=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++−=，即()(2)2f x f x +−=−，所以()()()()35212510f f f +++=−⨯=−，()()()()46222510f f f +++=−⨯=−．因为()(2)5f x g x +−=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =−−=−． 因为()(4)7g x f x −−=，所以(4)()7g x f x +−=，又因为()(2)5f x g x +−=，联立得，()()2412g x g x −++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =−=−．所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=−−−−=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑．故选：D3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫−= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f −=D ．(1)(2)g g −=【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于()f x ，因为322f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x −=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f −=，故C 正确； 对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=−，(4)()g x g x −=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''−=+⇔−−=+⇔−−=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x −+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g −==−，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法．由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC ．故选：BC ．[方法三]： 因为322f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数， 所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=−， 所以()()3f x f x −=，(4)()g x g x −=，则(1)(4)f f −=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称， 又()()g x f x '=，且函数()f x 可导， 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭， 所以()(4)()3g x g x g x −==−−，所以()(2)(1)g x g x g x +=−+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g −==−，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．4．（2022·全国·统考高考真题）若()1ln 1f x a b x++−=是奇函数，则=a _____，b =______． 【答案】 12−； ln 2． 【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称0a ∴≠ 若奇函数的1()||1f x ln a b x =++−有意义，则1x ≠且101a x+≠− 1x ∴≠且11x a ≠+， 函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=−，解得12a =−， 由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=， 故答案为：12−；2ln ． [方法二]：函数的奇偶性求参111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x−+−−=++=+=+−−− 1()1ax a f x ln b x++−=++ 函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x ln ln b x x−−++∴+−=++=−+ 2222(1)201a x a lnb x −+∴+=− 22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=− 1222241,22b ln b ln a b ln ln −==−⇒=∴=−= [方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x ++−=为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由101a x+≠−可得，()()110x a ax −+−≠，所以11a x a +==−，解得：12a =−，即函数的定义域为()()(),11,11,−∞−⋃−⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211x f x x x +=−++=−−，在定义域内满足()()f x f x −=−，符合题意． 故答案为：12−；ln 2． 本课结束。
2022年高考数学一轮复习专题3-3 函数的奇偶性与周期性(含答案解析)
则 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查函数奇偶性与对称性，周期性，解题关键是由奇函数的性质和对称性得出函数为周期函数．
12.奇函数 的定义域为R，若 为偶函数，且 ，则 ＝（ ）
A.﹣2B.﹣1C.0D.1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和函数的奇偶性，得到函数 是周期为4的周期函数，进而利用函数的周期性，求得 的值，即可得到答案．
∴1＝2－ ，∴a＝2.
（2）由（1）知f(x)＝x－ ，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
f(－x)＝－x－ ＝－x＋ ＝－(x－ )＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
【点睛】本题考查函数解析式中参数的求解，利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，属综合基础题.
高频考点二：函数奇偶性的应用
对于选项 ,令 ，则 ．
在 中，将 换为 ，得 ，
【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，涉及函数奇偶性的应用，属综合基础题.
14.已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则 （）
A.2019B.1C.0D.-1
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意推导出函数 的对称性和周期性，可得出该函数的周期为 ，于是得出
可得出答案．
【详解】 函数 是 上的奇函数，则 ，
对于D选项，令 ，则 ， ， 且 ，
所以，函数 为非奇非偶函数.
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查函数奇偶性定义的应用，考查推理能力，属于基础题.
【知识拓展】
（1）奇、偶函数定义域的特点．
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
函数的性质单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值(十六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接
写出它们的单调区间．
知识梳理·基础回归
解题方法总结
（3）记住几条常用的结论：
①若()是增函数，则−()为减函数；若()是减函数，则−()为增函数；
2
注意：关于①式，可以写成函数() = + ( ≠ 0)
−1
2
或函数() = − ( ∈ )．
+1
−
偶函数：①函数() = ±( + )．
②函数() = log ( + 1) − ．
2
③函数(| |)类型的一切函数．
④常数函数
1 − 2
使得 −
1
2
< 0”成立的是（
− 2
f (a x) f (a x)
f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x)
f (b x) f (b x)
f (a x) f (a x)
f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x)
f ( x)为偶函数
（2）若函数 = ( + )为奇函数，则函数 = ()关于点(, 0)对称．
（3）若() = (2 − )，则函数()关于 = 对称．
（4）若 + (2 − ) = 2，则函数()关于点(, )对称．
知识梳理·基础回归
解题方法总结
1、单调性技巧
②若()和()均为增（或减）函数，则在()和()的公共定义域上() +
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案
高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案1.下列函数中，既是偶函数又在$(0,+\infty)$上单调递增的函数是（）A。
$y=x^3$B。
$y=|x|+1$C。
$y=-x^2+1$D。
$y=2-|x|$2.已知函数$f(x)=x^2+|x|$A。
是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数B。
是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是减函数C。
不是偶函数，在$(-\infty,+\infty)$上是增函数D。
是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数3.已知函数$f(x)=3x-(x\neq 0)$，则函数（）A。
是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数B。
是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是减函数C。
是奇函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数D。
是偶函数，且在$(0,+\infty)$上是增函数4.定义在$\mathbb{R}$上偶函数$f(x)$在$[1,2]$上是增函数，且具有性质$f(1+x)=f(1-x)$，则函数$f(x)$A。
在$[-1,0]$上是增函数B。
在$[-1,0]$上增函数，在$(-\infty,0]$上是减函数C。
在$[1,0]$上是减函数D。
在$[-1,0]$上是减函数，在$(-\infty,0]$上是增函数5.$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的增函数，则下列结论一定正确的是（）A。
$f(x)+f(-x)$是偶函数且是增函数B。
$f(x)+f(-x)$是偶函数且是减函数C。
$f(x)-f(-x)$是奇函数且是增函数D。
$f(x)-f(-x)$是奇函数且是减函数6.已知偶函数$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上的解析式为$f(x)=x+1$，下列大小关系正确的是（）A。
$f(1)>f(2)$B。
$f(1)>f(-2)$C。
$f(-1)>f(-2)$D。
$f(-1)<f(2)$7.已知$f(x)$是偶函数，对任意的$x_1,x_2\in(-\infty,-1]$，都有$(x_2-x_1)[f(x_2)-f(x_1)]<0$，则下列关系式中成立的是（）A。
2022届高考数学 函数的单调性练习题(含答案)
函数的单调性一、单选题1．函数()f x = ）A ．(,1]-∞B ．[3,)+∞C ．(,1]-∞-D ．[1,)+∞2．已知2(2)ln f x xx -=-，则()f x 的单调增区间为（ ） A ．(2,)-+∞B ．(2,0)-C ．(0,)+∞D ．(0,2)3．函数213()log (6)f x x x =--的单调递增区间是（ ） A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ． 13,2⎛⎤--⎥⎝⎦4．已知()y f x =在区间I 上是严格增函数，且12,x x I ∈，则12x x <是()()12f x f x ≤（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件5．设函数()ln 31ln 31f x x x =++-，则()f x （ ） A ．是偶函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增B ．是奇函数，且在11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减C ．是偶函数，且在1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．是奇函数，且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减6．设函数()11xa f xb a -=+-（0a >，1a ≠），则函数()f x 的单调性（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 无关，且与b 有关C ．与a 有关，且与b 无关D ．与a 无关，且与b 无关7．定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ） A ．[-2,2]B ．[-2,1]C ．[1,3]-D ．[0,4]8．若2222log log 41a a a b b b -+=-++，则（ ）A ．2a b >B ．2a b <C ．21a b >+D ．21b a >+9．已知()(0)1x x f x =>+，则()f x 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．810．已知函数()()22log 14f x x x =+≤≤，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（ ） A ．6 B ．13 C ．22 D ．3311．已知x ，y ∈R ，且x y >，则下列说法是正确的是（ ）A ．11x y<B ．--+<+x yy x e e e e C ．11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22x y >12．已知函数()f x 在R 上是减函数，且满足()()f x f x -=-，若31log 10a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3log 9.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >>13．已知函数f (x )=221,143,1x x x x x ⎧-+<⎨-+≥⎩，在(0,3)a -上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[3，4]B ．[3，5]C ．(3，4]D ．(]3,514．已知()cos2sin f x x a x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞ B ．(2,)-+∞C ．(,4)-∞-D ．(,4]-∞-二、填空题15．函数243y x x =-++，[]0,3x ∈的单调递增区间是_____．16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,x y 满足：()()()12f x y f x f y +=++，且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，当12x >时，()0f x >.给出以下结论:①()102f =-;②()312f -=-;③()f x 为R 上的减函数;④()12f x +为奇函数;⑤()1f x +为偶函数.其中正确结论的序号是________.17．设()21,0f x x x =⎨--<⎩，0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则比较()f a ，f b ，()f c 的大小关系_______.18．若函数()22()log 3f x x ax =++在区间(3,)+∞上单调递增，实数a 的取值范围是________． 三、解答题19．已知函数()21xf x x=+，[]1,1x ∈-. （1）用单调性的定义证明函数()y f x =在区间[]1,1-上是单调递增； （2）求关于x 的不等式()()1f x f x -<的解集.20．已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，比较()x f b 与()x f c 的大小关系21．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-+． （1）求0x <时，函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，求实数a 的取值范围． （3）解不等式()2f x x ≥+．22．定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-． （1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．答案解析1.【解析】由题意，可得2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以函数()f x =(][),13,-∞-⋃+∞，二次函数223y x x =--的对称轴为1x =，且在(][),13,-∞-⋃+∞上的单调递增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性，可知函数()f x =[3,)+∞.故选：B.2.【解析】因为对数函数ln y x =在()0,∞+上是增函数，反比例函数2y x=-在()0,∞+上也是增函数， 所以2ln y x x=-在定义域()0,∞+上单调递增； 又()f x 是由(2)f x -向左平移两个单位得到，所以()f x 的单调增区间为(2,)-+∞.故选：A. 3.【解析】由题意知()f x 的定义域为()3,2-．令26t x x =--+， 则函数t 在13,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦上递增在1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递减．又13log y =在其定义域上递减．故由复合函数的单调性知原函数的递增区间是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，故选：B 4.【解析】由()y f x =在区间I 上是严格增函数， ∴12,x x I ∈，12x x <时，2121()()0f x f x x x ->-，∴21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，故12x x <是()()12f x f x ≤充分非必要条件.故选：A.5.【解析】由310310x x ⎧+>⎪⎨->⎪⎩得：13x ≠±，()f x ∴定义域为1111,,,3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 又()()ln 31ln 31ln 31ln 31f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴为定义域内的偶函数，可排除BD ；当1,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()()2ln 31ln 31ln 91f x x x x =--+-+=-，291t x =-在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，ln y t =单调递增，()f x ∴在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，可排除A ；()f x 为偶函数且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 正确.故选：C.6.【解析】函数()11x a f x b a -=+-（0a >，1a ≠）， 当01a <<时，()11xa f xb a -=+-单调递减. 当1a >时，()11xa f xb a -=+-单调递减. 则0a >且1a ≠，b R ∈，()11xa f xb a -=+-的单调性都为单调递减. 所以函数()11xa f xb a -=+-（0a >，1a ≠）的单调性与a b ，无关.故选：D 7.【解析】因为函数()f x 在R 上的奇函数，且(2)1f -=，所以()2(2)1f f =--=-， 又因为()f x 在[0,)+∞是减函数，所以()f x 在R 上是减函数，因为1(2)1f x -≤-≤， 所以()()21(2)12f f x f =-≤-≤=-，则222x -≤-≤，解得04x ≤≤，故选：D 8.【解析】根据题意，可知，0a >，0b >，∵22log 41b b b -++()22log 1(2)b b b =+-+()222log log 22(2)b b b b =+-++22log (2)2(2)b b b b -=++，∴222222log log (2)2(2)log (2)2(2)a a a b b b b b b b -+=-++>-+，令()()22()lo ,g 0f x x x xx =-∈++∞，即()()2f a f b >，∵211ln 2(2ln 2)()12ln 2ln 2x x f x x x x -⋅+⋅'=-+=⋅⋅， 令2()(2ln 2)ln 21g x x x =⋅-⋅+，∵0ln 21<<， ∴2(ln 2)8ln 2ln 2(ln 28)0∆=-=⋅-<，即对于任意的x ，恒有()0()0g x f x '>⇒>，∴()f x 在()0,∞+上单调递增， ∴2a b >.故选：A.9.【解析】令1,(0)t x x =+>，所以()1,1x t t =->;所以()236(0)1x x x x f x ++=>+转化为()()()231116t t y t t-+-+>=； 即()()()21316411y t t t t tt =++-+-+=>,又函数y 在()1,2上单调递减，在区间()2,+∞上单调递增， 所以当2t =时，y 取到最小值，最小值为5； 即当1x =时，()f x 取到最小值，最小值为5. 故选：B. 10.【解析】()22log f x x =+，22222[()]()(log )6log 6y f x f x x x ∴=+=++，14x ≤≤，∴21414x x ⎧⎨⎩， 22222[()]()(log )6log 6y f x f x x x ∴=+=++，的定义域是{}|12x x ．令2log x t =，因为12x ，所以01t ，则上式变为266y t t =++，01t ，266y t t =++在[]0,1上是增函数，当1t =时，y 取最大值13，故选：B ．11.【解析】A ：当2x =，3y =-时，11x y>，∴A 错误， B ：设x x y e e -=-，则函数为R 上的增函数，∵x y >，∴x x y y e e e e --->-，即y x y x e e e e --+>+，∴B 错误.C ：∵12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，x y >，∴1122x y ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴C 正确，D ：当2x =，3y =-时，22x y <，∴D 错误. 故选：C .12.【解析】33331log log 10log 9.1log 9210-=>>=，0.822<， 即：0.8331log log 9.1210->>，又()f x 是定义在R 上的减函数， ()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭又()f x 为奇函数，3311log log 1010f f⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭，即：c b a >>. 13.【解析】函数221,1()43,1x x f x x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，画出函数()f x 的大致图象，如图所示：函数()f x 在(0,3)a -上单调递减，∴由图象可知：032a <-≤，解得：35a <≤， 故实数a 的取值范围是：(]3,5.故选：D.14.【解析】()cos2sin f x x a x =- =22sin 1x asinx --+， 令sinx t =，由,62x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则： ()cos2sin f x x a x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，等价于221y t at =--+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭是增函数，只需对称轴：14a -≥，解得4a ≤-.故选：D.15.【解析】243y x x =-++的图象开口向下，又243y x x =-++的对称轴为42(1)2x =-=-⨯，()f x ∴的单调递增区间是[]0,2.16.【解析】由题意和,x y 的任意性，取0x y ==代入()()()12f x y f x f y +=++， 可得()()()01020=++f f f ，即1(0)2f =-，故①正确； 取12x =， 12y 代入可得()1110222⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f ，即1110222⎛⎫-=+-+ ⎪⎝⎭f ，解得112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ； 再令12x y ==-代入可得()111122232122⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭f f f ，故②正确；令y x =-代入可得11(0)()()22-==+-+f f x f x ，即11()()022++-+=f x f x ，故1()2+f x 为奇函数，④正确；取1y =-代入可得()()()1112-=+-+f x f x f ，即()()()111102---=+=-<f x f x f ，即()()1f x f x -<，故()f x 为R 上减函数，③错误；⑤错误，因为11()1()22+=++f x f x ，由④可知1()()2=+g x f x 为奇函数，故11()()2()22-+--=-g x g x g x 不恒为0，故函数()1f x +不是偶函数.故答案为：①②④17.【解析】当0x ≥时，()11f x x =+≥，且()f x 在[)0,+∞上单调递增， 当0x <时，()211f x x =--<-，且()f x 在(),0-∞上单调递增，()f x ∴为R 上的增函数，又()()00.50.70.70.50.50.5log 5log 10log 1log 0.7log 0.510.70.7-<==<<==<，即c b a <<，()()()f a f b f c ∴>>18.【解析】设2log u x =，则其在区间(0,)+∞上单调递增； 设23v x ax =++，其开口向上，对称轴为直线2a x =-；在区间(,)2a-∞-上单调递减、在区间(,)2a-+∞上单调递增. 由复合函数的单调性知当内外层函数的单调性都为单调递增时，复合函数才单调递增. 所以要使函数()22()log 3f x x ax =++在区间(3,)+∞上单调递增，则需32a-≤， 同时还得保证其真数大于0，即令：2(3)3330v a =++≥，解得4a ≥-. 故答案为：[)4,-+∞.19.【解析】（1）令1211x x ，则()()()()()()()()22221221121212121222222212121211()()111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-+--=-==++++++()()()()12122212111x x x x x x --=++，∵22121211,(1)(1)0x x x x -≤<≤++>，1210x x ->，∴12())0(f x f x -<，故函数()y f x =在区间[]1,1-上是单调递增； （2）由（1）结论，及()()1f x f x -<知：111111x xx x -<⎧⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩，解得112x <≤.因此，不等式()()1f x f x -<的解集为112x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.20.【解析】∵(1)(1)f x f x +=-，∴函数()f x 的对称轴是1x =．故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-∞，上递减，在[)1+∞，上递增．若0x ≥，则321x x ≥≥， ∴(3)(2)x x f f ≥；若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >．综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．21.【解析】（1）设0x <，则0x ->，所以22()()2()2f x x x x x -=--+-=--又()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--， 所以当0x <时，2()2f x x x =+，（2）作出函数()f x 的图像，如图所示：要使()f x 在[1,2]a --上单调递增，结合()f x 的图象知2121a a ->-⎧⎨-≤⎩，所以13a <≤，所以a 的取值范围是(1,3].（3）由（1）知222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，解不等式()2f x x ≥+，等价于2022x x x x ≥⎧⎨-+≥+⎩或2022x x x x <⎧⎨+≥+⎩，解得：∅或2x -≤ 综上可知，不等式的解集为(],2-∞-22.【解析】（1）令1x y ==，()()()()11110f f f f +=⇒=． （2）()f x 在()0,∞+单调递减，设120x x >>，令1xy x =，2x x =，则12x y x =，所以1y >，()0f y <， 得()()()()211112220⎛⎫⎛⎫+=⇒-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f f x f x x x f x f x x ， 即对任意()12,0,x x ∈+∞，若12x x >，则()()12f x f x <，()f x 在()0,∞+单调递减．（3）因为()1f e =-，令x y e ==，()()()22=+=-f e f e f e ， 令x e =，1y e =，()()110⎛⎫=+= ⎪⎝⎭f f e f e ，11f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为函数单调递减，所以()max 11⎛⎫== ⎪⎝⎭f x f e ，()()2min 2==-f x f e ．。
2022高考数学一轮复习—利用导数研究函数的单调性、极值和最值习题含答案
利用导数研究函数的单调性[A 组 基础保分练]1．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( )A ．在(0，＋∞)上单调递增B ．在(0，＋∞)上单调递减C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减 解析：因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)，当f ′(x )＞0时，解得x ＞1e，即函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞； 当f ′(x )＜0时，解得0＜x ＜1e， 即函数的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e . 答案：D2.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )＞f (c )＞f (d )B ．f (b )＞f (a )＞f (e )C ．f (c )＞f (b )＞f (a )D ．f (c )＞f (e )＞f (d )解析：由题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数， 因为a ＜b ＜c ，所以f (c )＞f (b )＞f (a )．答案：C3．(2021·江西红色七校第一次联考)若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，由已知条件知x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立．设g (x )＝6x 2－6mx ＋6，则g (x )≥0在(1，＋∞)上恒成立．当Δ＝36(m 2－4)≤0，即－2≤m ≤2时，满足g (x )≥0在(1，＋∞)上恒成立；当Δ＝36(m 2－4)>0，即m <－2或m >2时，则需⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤1，g （1）＝6－6m ＋6≥0，解得m ≤2，所以m <－2.综上得m ≤2，所以实数m 的取值范围是(－∞，2]．答案：C4．(2021·襄阳模拟)已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )，满足f ′(x )＜f (x )，f (0)＝1，则不等式f (x )＜e x 的解集为( )A ．(0，＋∞) B.(1，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：令F (x )＝f （x ）e x ，则F (0)＝1，F ′(x )＝f ′（x ）e x －f （x ）e x e 2x ＝f ′（x ）－f （x ）e x＜0，故F (x )为R 上的减函数，有f (x )＜e x 等价于F (x )＜1，即F (x )＜F (0)．故不等式f (x )＜e x 的解集为(0，＋∞)．答案：A5．(2021·贵港模拟)若函数f (x )＝kx －2ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2] B.(－∞，－1]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：因为f (x )＝kx －2ln x ，所以f ′(x )＝k －2x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以在区间(1，＋∞)上f ′(x )＝k －2x ≥0恒成立，即k ≥2x 恒成立，当x ∈(1，＋∞)时，0＜2x＜2，所以k ≥2. 答案：D6．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________． 解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )＝x cos x ＞0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 7．若函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，f ′(x )＞1，则不等式f (x )－x ＞0的解集为________． 解析：令g (x )＝f (x )－x ，所以g ′(x )＝f ′(x )－1.由题意知g ′(x )＞0，所以g (x )为增函数．因为g (2)＝f (2)－2＝0，所以g (x )＞0的解集为(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)8．求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝12(x －5)2＋6ln x ； (2)f (x )＝x cos x －sin x ＋1(x ＞0)．解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）x. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )在(2，3)上为减函数．所以函数f (x )的单调递增区间为(0，2)，(3，＋∞)；单调递减区间为(2，3)．(2)f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .令f ′(x )＝0，得x ＝k π(k ∈N )．当x ∈(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )时，sin x ＞0，此时f ′(x )＜0；当x ∈((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )时，sin x ＜0，此时f ′(x )＞0.故f (x )的单调递减区间为(2k π，(2k ＋1)π)(k ∈N )，单调递增区间为((2k ＋1)π，(2k ＋2)π)(k ∈N )．9．已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解析：(1)由题意得f ′(x )＝1x －ln x －k e x，又因为f ′(1)＝1－k e＝0，故k ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x， 设h (x )＝1x－ln x －1(x ＞0)， 则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0， 即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0；当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．[B 组 能力提升练]1．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1) B.(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：由f (x )＞2x ＋4，得f (x )－2x －4＞0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2.因为f ′(x )＞2，所以F ′(x )＞0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4＞0等价于F (x )＞F (－1)，所以x ＞－1.答案：B2．(2021·益阳模拟)定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是它的导函数，恒有f ′(x )＞f (x )tan x 成立，则有( ) A.3f ⎝⎛⎭⎫π6＜f ⎝⎛⎭⎫π3 B.3f ⎝⎛⎭⎫π6＞2cos 1·f (1)C ．2f ⎝⎛⎭⎫π4＜6f ⎝⎛⎭⎫π6 D.2f ⎝⎛⎭⎫π4＞f ⎝⎛⎭⎫π3解析：由于f ′(x )＞f (x )tan x 且x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则f ′(x )cos x －f (x )sin x ＞0.设g (x )＝f (x )cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ＞0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以g ⎝⎛⎭⎫π3＞g ⎝⎛⎭⎫π6，即f ⎝⎛⎭⎫π3cos π3＞f ⎝⎛⎭⎫π6cos π6，即f ⎝⎛⎭⎫π3＞3f ⎝⎛⎭⎫π6.故A 正确．同理可得B ，C ，D 错误． 答案：A3．(2021·长沙模拟)若函数f (x )＝(2x 2－mx ＋4)e x 在区间[2，3]上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤203，172B.⎝⎛⎭⎫203，172 C.⎣⎡⎦⎤5，203 D.⎝⎛⎭⎫5，203 解析：因为f (x )＝(2x 2－mx ＋4)e x ，所以f ′(x )＝[2x 2＋(4－m )x ＋4－m ]e x ，因为函数f (x )在区间[2，3]上不是单调函数，所以f ′(x )＝0在区间(2，3)上有根，即2x 2＋(4－m )x ＋4－m ＝0在区间(2，3)上有根，所以m ＝2x 2＋4x ＋4x ＋1在区间(2，3)上有根，令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，t ∈(3，4)，所以m ＝2（t －1）2＋4（t －1）＋4t ＝2t 2＋2t ＝2(t ＋1t)在t ∈(3，4)上有根，从而求得m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫203，172.答案：B4．(2021·遵义模拟)已知函数f (x )＝x －(e －1)·ln x ，则不等式f (e x )＜1的解集为( )A ．(0，1) B.(1，＋∞)C ．(0，e)D ．(e ，＋∞)解析：f ′(x )＝1－(e －1)1x ＝x －（e －1）x(x ＞0)．当x ∈(0，e －1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(e －1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．因为f (1)＝f (e)＝1，所以f (x )＜1的解集为(1，e)，即不等式1＜e x ＜e ，解得0＜x ＜1，即不等式f (e x )＜1的解集为(0，1)．答案：A5．(2021·安庆模拟)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1，4]上单调递减，则实数a 的值为________．解析：∵f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a .又函数f (x )恰在[－1，4]上单调递减，∴－1，4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝－1×4＝－4.答案：－46．(2021·洛阳模拟)已知函数f (x )＝1－x ax＋ln x . (1)若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，求正实数a 的取值范围；(2)讨论函数f (x )的单调性．解析：(1)∵f (x )＝1－x ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝ax －1ax 2(a ＞0)． ∵函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x )＝ax －1ax 2≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立， ∴ax －1≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，即a ≥1x对x ∈[1，＋∞)恒成立，∴a ≥1. (2)∵a ≠0，f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a ax 2＝x －1a x 2，x ＞0， 当a ＜0时，f ′(x )＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴f (x )的增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＞0⇒x ＞1a ，f ′(x )＜0⇒x ＜1a， ∴f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，减区间为⎝⎛⎭⎫0，1a . 7．已知函数f (x )＝(ax －1)e x ，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调区间；(2)当m ＞n ＞0时，证明：m e n ＋n ＜n e m ＋m .解析：(1)f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x .①当a ＝0时，f ′(x )＝－e x ＜0，此时f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)．②当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞－a －1a； 由f ′(x )＜0，得x ＜－a －1a. 此时f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a －1a ，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－a －1a ，＋∞. ③当a ＜0时，由f ′(x )＞0，得x ＜－a －1a； 由f ′(x )＜0，得x ＞－a －1a.此时f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a －1a ，＋∞，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a －1a . (2)证明：当m ＞n ＞0时，要证m e n ＋n ＜n e m ＋m ，只要证m (e n －1)＜n (e m －1)，即证e m －1m ＞e n －1n. 设g (x )＝e x －1x，x ＞0， 则g ′(x )＝（x －1）e x ＋1x 2，x ＞0. 设h (x )＝(x －1)e x ＋1，由(1)知h (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以当x ＞0时，h (x )＞h (0)＝0，于是g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以当m ＞n ＞0时，e m －1m ＞e n －1n式成立，故当m ＞n ＞0时，m e n ＋n ＜n e m ＋m .[C 组 创新应用练]1．(2021·长春模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的函数，且满足f ′(x )＋f (x )＞0，其中f ′(x )为f (x )的导数，设a ＝f (0)，b ＝2f (ln 2)，c ＝e f (1)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＞b ＞a B.a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：令g (x )＝e x f (x )，则g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]＞0，所以函数g (x )在定义域R 上单调递增，从而g (0)＜g (ln 2)＜g (1)，得f (0)＜2f (ln 2)＜e f (1)，即a ＜b ＜c .答案：A2．(2021·商丘模拟)设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＜0，则当a ＜x ＜b 时，有( )A ．f (x )g (x )＞f (b )g (b )B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x )C ．f (x )g (b )＞f (b )g (x )D ．f (x )g (x )＞f (a )g (a )解析：令F (x )＝f （x ）g （x ），则F ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2＜0，所以F (x )在R 上单调递减．又a ＜x ＜b ，所以f （a ）g （a ）＞f （x ）g （x ）＞f （b ）g （b ）.又f (x )＞0，g (x )＞0，所以f (x )g (b )＞f (b )g (x )． 答案：C3．已知f (x )为R 上的可导函数，且任意x ∈R ，均有f ′(x )＜2f (x )，则有( )A ．e 4 034f (－2 017)＜f (0)，f (2 017)＞e 4 034f (0)B ．e 4 034f (－2 017)＜f (0)，f (2 017)＜e 4 034f (0)C ．e 4 034f (－2 017)＞f (0)，f (2 017)＞e 4 034f (0)D ．e 4 034f (－2 017)＞f (0)，f (2 017)＜e 4 034f (0)解析：构造函数g (x )＝f （x ）e 2x ，g ′(x )＝f ′（x ）－2f （x ）e 2x，因为f ′(x )＜2f (x )，所以g ′(x )＜0，即g (x )在R 上单调递减，所以g (－2 017)＞g (0)．所以f （－2 017）e－4 034＞f （0）e 0.所以e 4 034f (－2 017)＞f (0)，同理得g (2 017)＜g (0)，所以f （2 017）e 4 034＜f （0）e 0.所以f (2 017)＜e 4 034f (0)． 答案：D利用导数研究函数的极值与最值[A 组 基础保分练]1．函数y ＝x e x 在[0，2]上的最大值是( ) A.1e B.2e 2 C ．0 D.12e解析：易知y ′＝1－x ex ，x ∈[0，2]，令y ′＞0，得0≤x ＜1，令y ′＜0，得1＜x ≤2，所以函数y ＝x e x 在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y ＝x e x 在[0，2]上的最大值是1e. 答案：A2．(2021·沈阳模拟)设函数f (x )＝x e x ＋1，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：由f (x )＝x e x ＋1，可得f ′(x )＝(x ＋1)e x ，令f ′(x )＞0可得x ＞－1，即函数f (x )在(－1，＋∞)上是增函数；令f ′(x )＜0可得x ＜－1，即函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，所以x ＝－1为f (x )的极小值点．答案：D3．(2021·肇庆模拟)已知x ＝1是f (x )＝[x 2－(a ＋3)x ＋2a ＋3]e x 的极小值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B.(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，1)解析：依题意f ′(x )＝(x －a )(x －1)e x ，它的两个零点分别为x ＝1，x ＝a ，若x ＝1是函数f (x )的极小值点，则需a ＜1，此时函数f (x )在(a ，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，在x ＝1处取得极小值．答案：D4.若函数f (x )＝（2－m ）x x 2＋m的图像如图所示，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，2)C ．(0，2)D ．(1，2)解析：f ′(x )＝（x 2－m ）（m －2）（x 2＋m ）2＝（x －m ）（x ＋m ）（m －2）（x 2＋m ）2，由函数图像的单调性及有两个极值点可知m －2＜0且m ＞0，故0＜m ＜2.又由题图易得m ＞1，即m ＞1.故1＜m ＜2.答案：D5．已知不等式x sin x ＋cos x ≤a 对任意的x ∈[0，π]恒成立，则整数a 的最小值为( )A ．2 B.1C ．0D ．－1解析：令f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )＝0，则在(0，π)上x ＝π2.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f (π)＝－1，所以当x ＝π2时，f (x )取得最大值，即f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，所以a ≥π2，即整数a 的最小值为2.答案：A6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.由题意知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的根，所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.经检验，当a ＝5时，f (x )在x ＝－3处取得极值．答案：57.函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图像如图所示，则x 21＋x 22＝________．解析：函数f (x )的图像过原点，所以d ＝0.又f (－1)＝0且f (2)＝0，即－1＋b －c ＝0且8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，所以函数f (x )＝x 3－x 2－2x ，所以f ′(x )＝3x 2－2x －2，由题意知x 1，x 2是函数的极值点，所以x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 答案：1698．已知函数f (x )＝sin x －a 2x 2，若f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上有唯一极大值点，求实数a 的取值范围． 解析：由已知得f ′(x )＝cos x －ax ，当a ≤0时，f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，此时f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上不存在极值点；当a ＞0时，f ″(x )＝－sin x －a ＜0，∴f ′(x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，又f ′(0)＝1＞0，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－π2a ＜0，故存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2使得x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．此时，x 0是函数f (x )的唯一极大值点，综上可得，实数a 的取值范围是(0，＋∞)．9．已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R . (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)令g (x )＝f (x )－(ax －1)，求函数g (x )的极值．解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，则f (1)＝1，所以切点为(1，1)，又f ′(x )＝1x＋1， 所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)g (x )＝f (x )－(ax －1)＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1， 则g ′(x )＝1x －ax ＋(1－a )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x， 当a ≤0时，因为x ＞0，所以g ′(x )＞0.所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数，函数g (x )无极值点．当a ＞0时，g ′(x )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x＝－a ⎝⎛⎭⎫x －1a （x ＋1）x， 令g ′(x )＝0得x ＝1a. 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，g ′(x )＞0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，g ′(x )＜0.因为g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是减函数． 所以x ＝1a 时，g (x )有极大值g ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －a 2×1a 2＋(1－a )·1a ＋1＝12a－ln a . 综上，当a ≤0时，函数g (x )无极值；当a ＞0时，函数g (x )有极大值12a－ln a ，无极小值． [B 组 能力提升练]1. (2021·太原模拟)函数y ＝f (x )的导函数的图像如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1，3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3，5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：由函数y ＝f (x )的导函数的图像可知，当x ＜－1或3＜x ＜5时，f ′(x )＜0，y ＝f (x )单调递减；当x ＞5或－1＜x ＜3时，f ′(x )＞0，y ＝f (x )单调递增，所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)，单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，函数y ＝f (x )在x ＝－1，5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误．答案：C2．函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是( )A ．25，－2 B.50，14C ．50，－2D ．50，－14解析：因为f (x )＝2x 3＋9x 2－2，所以f ′(x )＝6x 2＋18x ，当x ∈[－4，－3)或x ∈(0，2]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，当x ∈(－3，0)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，由f (－4)＝14，f (－3)＝25，f (0)＝－2，f (2)＝50，故函数f (x )＝2x 3＋9x 2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2. 答案：C3．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－5，1) B.[－5，1)C ．[－2，1)D ．(－2，1)解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝－1为函数的极大值点，x ＝1为函数的极小值点．若函数f (x )在区间(a ，6－a 2)上有最小值，则函数f (x )的极小值点必在区间(a ，6－a 2)内，且左端点的函数值不小于f (1)，即实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1＜6－a 2，f （a ）≥f （1），得⎩⎨⎧－5＜a ＜1，a 3－3a ＋2≥0，解得－2≤a ＜1. 答案：C4．函数f (x )＝x 2e x 在区间(a ，a ＋1)上存在极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(0，2) B.(－3，－2)∪(－1，0)C ．(－2，－1)∪(0，3)D ．(－3，－2)∪(0，1)解析：函数f (x )＝x 2e x 的导数为f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝－2.当x ∈(－2，0)时，f (x )单调递减，当x ∈(－∞，－2)和x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递增，所以0和－2是函数的极值点．因为函数f (x )＝x 2e x 在区间(a ，a ＋1)上存在极值点，所以a ＜－2＜a ＋1或a ＜0＜a ＋1⇒－3＜a ＜－2或－1＜a ＜0.答案：B5．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则a ＝________，f (x )的极小值为________．解析：因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a－1]·e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )＞0，解得x ＜－2或x ＞1，令f ′(x )＜0，解得－2＜x ＜1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (1)＝－1.答案：－1 －16．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝4x －1x， 由f ′(x )＝0，得x ＝12. 据题意有⎩⎪⎨⎪⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎡⎭⎫1，32 7．设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．解析：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1.此时f (1)＝3e ≠0.所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a ＞12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )＜0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，f ′(x )＞0. 所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 8．(2021·广州模拟)已知函数f (x )＝(x ＋2)ln x ＋ax 2－4x ＋7a .(1)若a ＝12，求函数f (x )的所有零点； (2)若a ≥12，证明函数f (x )不存在极值．解析：(1)当a ＝12时，f (x )＝(x ＋2)ln x ＋12x 2－4x ＋72， 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝ln x ＋2x＋x －3. 设g (x )＝ln x ＋2x＋x －3， 则g ′(x )＝1x －2x 2＋1＝x 2＋x －2x 2＝（x ＋2）（x －1）x 2. 当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，当x ＞1时，g ′(x )＞0，所以函数g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞0时，g (x )≥g (1)＝0(当且仅当x ＝1时取等号)，即当x ＞0时，f ′(x )≥0(当且仅当x ＝1时取等号)．所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，至多有一个零点．因为f (1)＝0，所以x ＝1是函数f (x )唯一的零点．所以函数f (x )的零点只有x ＝1.(2)证明：法一：f (x )＝(x ＋2)ln x ＋ax 2－4x ＋7a ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ＋2x＋2ax －4. 当a ≥12时，f ′(x )≥ln x ＋2x＋x －3， 由(1)知ln x ＋2x＋x －3≥0. 即当x ＞0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．所以f (x )不存在极值．法二：f (x )＝(x ＋2)ln x ＋ax 2－4x ＋7a ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ＋2x＋2ax －4， 设m (x )＝ln x ＋x ＋2x＋2ax －4， 则m ′(x )＝1x －2x 2＋2a ＝2ax 2＋x －2x 2(x ＞0)． 设h (x )＝2ax 2＋x －2(x ＞0)，当a ≥12时，令h (x )＝2ax 2＋x －2＝0， 解得x 1＝－1－1＋16a 4a ＜0，x 2＝－1＋1＋16a 4a＞0. 可知当0＜x ＜x 2时，h (x )＜0，即m ′(x )＜0，当x ＞x 2时，h (x )＞0，即m ′(x )＞0，所以f ′(x )在(0，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．由(1)知ln x ＋2x＋x －3≥0， 则f ′(x 2)＝ln x 2＋2x 2＋x 2－3＋(2a －1)x 2≥(2a －1)x 2≥0. 所以f ′(x )≥f ′(x 2)≥0，即f (x )在定义域上单调递增．所以f (x )不存在极值．[C 组 创新应用练]某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．11 (1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元， 所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又根据题意知200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)， 从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)． 因为r ＞0，h ＞0，所以r ＜53，故函数V (r )的定义域为(0，53)．(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)， 所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)． 令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)．当r ∈(0，5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0，5)上为增函数；当r ∈(5，53)时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5，53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8.即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．。
2022年新高考数学总复习：三角函数的周期性、奇偶性、对称性
2022年新高考数学总复习：三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1周期性例3求下列函数的周期：(1)y ＝(2)y ＝3|x ；(3)y ＝|tan x |；(4)y ＝－2sinx 6sin x cos x －2cos 2x ＋1.[解析](1)∵y ＝∴T ＝2π23＝3π，即y ＝2sin 3π.(2)画图知y ＝|cos x |的周期是y ＝cos x 的周期的一半，∴y ＝3|x 的最小正周期是y ＝3cosx T ＝12×2π2＝π2.(3)画出y ＝|tan x |的图象．如图所示．由图象易知T ＝π.∴y ＝|tan x |的图象与y ＝tan x 的周期相同.(4)y ＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sinx f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案](1)3π(2)π2(3)π(4)π角度2奇偶性例4已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)，θ∈－π2，π2是偶函数，则θ的值为(B)A ．0B ．π6C ．π4D ．π3[解析]因为f (x )＝2sin x ＋π3＋θ是偶函数，所以π3＋θ＝π2＋k π，即θ＝π6＋k π(k ∈Z )，又因为θ∈－π2，π2，故θ＝π6.角度3对称性例5已知函数f (x )＝sinωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(D)A π6，0B ．关于直线x ＝π4对称C π4，0D ．关于直线x ＝π12对称[解析]由T ＝π知ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以函数f (x )＝sin2x ＋π3.函数f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )；函数f (x )的对称中心的横坐标满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )．故选D ．名师点拨(1)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)的形式，再分别应用公式T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|求解．(2)三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y ＝A sin(ωx ＋φ)代入x ＝0，若y ＝0则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数．若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(3)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题．①∵y ＝sin x 的对称中心是(k π，0)，(k ∈Z )，∴y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心，由方程ωx ＋φ＝k π解出x ＝k π－φω，故对称中心为k ∈Z )．②∵y ＝sin x 的对称轴是x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ωx ＋φ＝k π＋π2解出x ＝k π＋π2－φω，即x ＝k π＋π2－φω为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴方程．③函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．(4)注意y ＝tan x k ∈Z )．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2018·课标全国Ⅲ，6)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x 的最小正周期为(C )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π(2)(角度2)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(D)A ．y ＝xB ．y ＝C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝x x(3)(角度3)(2018·江苏)已知函数y ＝sin(2x ＋φ－π2<φx ＝π3对称，则φ的值是__－π6__.[解析](1)本题考查三角函数的周期．解法一：f (x )|x ≠k π＋π2，k ∈.f (x )＝sin xcos x 1＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.解法二：f (x ＋π)＝tan (x ＋π)1＋tan 2(x ＋π)＝tan x1＋tan 2x ＝f (x )，∴π是f (x )的周期．1＋tan而＝cos x －sin x ＝－1tan x ，∴＝－tan x 1＋tan 2x ≠f (x )，∴π2不是f (x )的周期，∴π4也不是f (x )的周期．故选C ．(2)y＝xcos 2x 是偶函数，不符合题意．y ＝sin 12x 是T ＝4π的奇函数，不符合题意，同理C 不是奇函数，D 为y ＝2sin 2x ，故选D．(3)由题意可得±1，所以2π3＋φ＝π2＋k π，φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，因为－π2<φ<π2，所以k ＝0，φ＝－π6.故填－π6.。
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解
高考数学复习----《抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+成立．有以下结论：①()00f =；②()f x 是R 上的偶函数；③若()22f =，则()11f =；④当0x >时，恒有()0f x <，则函数()f x 在R 上单调递增．则上述所有正确结论的编号是________【答案】①③【解析】对于①令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，解得()00f =，①正确；对于②令y x =−，则()()()00f f x f x =+−=，∴()()f x f x −=−，∴()f x 是R 上的奇函数，②错误；对于③令1x y ==，则()()()()211212f f f f =+==，∴()11f =，③正确；对于④设12x x >，则120x x −>，∴()()()12120f x x f x f x −=+−<，则()()()122f x f x f x <−−=，∴()f x 在R 上单调递减，④错误．故答案为：①③．例2、（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤−−<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（ ） A ．()3,1−B ．()()3,11,1−−−C ．()(),11,1−∞−− D ．()(),31,−∞−⋃+∞ 【答案】B【解析】由()()121221()[]0f x f x x x x x −−<，得()()11221212()[]0x f x x f x x x x x −−<， 因为121200x x x x −>>，，所以()()11220x f x x f x −<，即()()1122x f x x f x <，设()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递减，而()()()()()1114222g x x f x f g +=++>==，则012x <+<，解得：11x −<<；因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()g x xf x xf x g x −=−−==，则()g x 为R 上的偶函数，故()g x 在(,0)−∞上单调递增，()()()()11142g x x f x g +=++>=−，则210x −<+<，解得：31x −<<−；综上，原不等式的解集为(),111)3(,−−−．故选：B ．例4、（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =−，12b f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】 由函数()f x 的图像关于直线1x =对称可得()()31f f =−，结合奇函数的性质可知 ()3a f =−()()()311f f f =−=−−=，()()200c f f ===．由奇函数的性质结合()y f x =在[]0,1上单调递增可得()y f x =在[]1,1−上单调递增， 所以()()1012f f f ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭， 所以b c a <<．故选：C例5、（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x −=−，则方程()11f x x =−在区间[]3,5−上所有解的和为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】A【解析】 解：因为函数()f x 满足()()2f x f x −=，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称， 又函数()f x 为偶函数，所以()()()2−==−f x f x f x ，所以函数()f x 是周期为2的函数， 又1()1g x x =−的图像也关于直线1x =对称， 作出函数()f x 与()g x 在区间[]3,5−上的图像，如图所示：由图可知，函数()f x 与()g x 的图像在区间[]3,5−上有8个交点，且关于直线1x =对称， 所以方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的单调性与最值[A 组 基础保分练]1.下列函数中，在区间（－1，1）上为减函数的是（ ）A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln （x ＋1）D.y ＝2－x解析：函数y ＝11－x，y ＝ln （x ＋1）在（－1，1）上都是增函数，函数y ＝cos x 在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，而函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 在（－1，1）上是减函数. 答案：D2.函数y ＝x 2－2x ＋3有（ ） A.最小值2 B.最小值2 C.最大值2 D.最大值2解析：易知y ＝（x －1）2＋2，因为（x －1）2＋2≥2，所以y ≥ 2. 答案：B3.函数f （x ）＝11－x （1－x ）的最大值是（ ）A.45B.54C.34D.43解析：由f （x ）＝1⎝⎛⎭⎫x －122＋34≤43，则f （x ）max ＝43.答案：D4.设偶函数f （x ）的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞）时，f （x ）是增函数，则f （－2），f （π），f （－3）的大小关系是（ ） A.f （π）＞f （－3）＞f （－2） B.f （π）＞f （－2）＞f （－3） C.f （π）＜f （－3）＜f （－2） D.f （π）＜f （－2）＜f （－3）解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－3）＝f （3），f （－2）＝f （2）.又因为函数f （x ）在[0，＋∞）上是增函数，所以f （π）＞f （3）＞f （2），即f （π）＞f （－3）＞f （－2）. 答案：A5.函数f （x ）＝log a （x 2－4x －5）（a ＞1）的单调递增区间是（ ） A.（－∞，－2） B.（－∞，－1） C.（2，＋∞） D.（5，＋∞）解析：根据题意，得x 2－4x －5＞0，解得x ＜－1或x ＞5，设u ＝x 2－4x －5＝（x －2）2－9，易知u ＝x 2－4x －5的单调递增区间为（2，＋∞），所以f （x ）＝log a （x 2－4x －5）的单调递增区间是（5，＋∞）. 答案：D6.已知函数f （x ）＝log 2x ＋11－x，若x 1∈（1，2），x 2∈（2，＋∞），则（ ）A.f （x 1）＜0，f （x 2）＜0B.f （x 1）＜0，f （x 2）＞0C.f （x 1）＞0，f （x 2）＜0D.f （x 1）＞0，f （x 2）＞0解析：因为函数f （x ）＝log 2x ＋11－x在（1，＋∞）上为增函数，且f （2）＝0，所以当x 1∈（1，2）时，f （x 1）＜f （2）＝0；当x 2∈（2，＋∞）时，f （x 2）＞f （2）＝0， 即f （x 1）＜0，f （x 2）＞0. 答案：B7.函数f （x ）＝xx －1（x ≥2）的最大值为__________.解析：易得f （x ）＝x x －1＝1＋1x －1，当x ≥2时，x －1＞0，易知f （x ）在[2，＋∞）上是减函数，∴f （x ）max ＝f （2）＝1＋12－1＝2.答案：28.设函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f （x ）在区间（a ，a ＋1）上是增加的，则实数a 的取值范围是__________.解析：作出函数f （x ）的图像如图所示，由图像可知f （x ）在（a ，a ＋1）上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.答案：（－∞，1]∪[4，＋∞）9.已知f （x ）＝xx －a（x ≠a ）.（1）若a ＝－2，试证f （x ）在（－∞，－2）上单调递增；（2）若a ＞0且f （x ）在（1，＋∞）上单调递减，求a 的取值范围. 解析：（1）证明：设x 1＜x 2＜－2，则f （x 1）－f （x 2）＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为（x 1＋2）（x 2＋2）＞0，x 1－x 2＜0，所以f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在（－∞，－2）上单调递增. （2）设1＜x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f （x 1）－f （x 2）＞0， 只需（x 1－a ）（x 2－a ）＞0恒成立，所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围是（0，1].[B 组 能力提升练]1.下列函数f （x ）中，满足“对任意的x 1，x 2∈（0，＋∞）时，均有（x 1－x 2）[f （x 1）－f （x 2）]＞0”的是（ ）A.f （x ）＝12B.f （x ）＝x 2－4x ＋4C.f （x ）＝2xD.f （x ）＝log 12x解析：（x 1－x 2）[f （x 1）－f （x 2）]＞0等价于x 1－x 2与f （x 1）－f （x 2）正负号相同，故函数f（x ）在（0，＋∞）上单调递增.显然只有函数f （x ）＝2x 符合. 答案：C2.已知函数f （x ）满足f （x －1）＝f （5－x ），且对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞），x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0成立，若p ＝f （log 216），q ＝f （log 47），m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫1525，则p ，q ，m 的大小关系为（ ） A.q ＜m ＜p B.p ＜m ＜q C.q ＜p ＜m D.p ＜q ＜m 解析：∵f （x －1）＝f （5－x ），∴函数f （x ）的图像关于直线x ＝2对称.又对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞），x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0成立，∴f （x ）在区间[2，＋∞）上单调递减，在（－∞，2）上单调递增.∵log 216＝4，∴f （log 216）＝f （4）＝f （0），又1＜log 47＜log 48＝32，0＜⎝⎛⎭⎫1525＜1，∴0＜⎝⎛⎭⎫1525＜1＜log 47＜2，∴p ＜m ＜q . 答案：B3.定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）x －（2⊕x ），x ∈[－2，2]的最大值等于（ ） A.－1 B.1 C.6 D.12解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f （x ）＝x －2，当1<x ≤2时，f （x ）＝x 3－2， 因为f （x ）＝x －2在[－2，1]上是增函数， 所以f （x ）≤f （1）＝－1，因为f （x ）＝x 3－2在（1，2]上是增函数，所以f （x ）≤f （2）＝6，所以f （x ）max ＝f （2）＝6. 答案：C4.（2021·西安模拟）已知函数y ＝log 2（ax －1）在（1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A.（0，1] B.[1，2] C.[1，＋∞） D.[2，＋∞）解析：要使y ＝log 2（ax －1）在（1，2）上单调递增，则a ＞0且a －1≥0，∴a ≥1. 答案：C5.（2021·衡阳模拟）若函数f （x ）＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝（ ） A.－1 B.1 C.0 D.±1解析：∵函数f （x ）＝2x －a ＋1＋x －a －a ， ∴函数f （x ）的定义域为[a ，＋∞）. ∵函数f （x ）的定义域与值域相同， ∴函数f （x ）的值域为[a ，＋∞）.又∵函数f （x ）在[a ，＋∞）上是单调递增函数，∴当x ＝a 时，f （a ）＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1. 答案：B6.函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________.解析：由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－（x －1）2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－（x ＋1）2＋4，二次函数的图像如图所示，由图像可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞）.答案：[－1，0]，[1，＋∞）7.设f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0.若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围为__________.解析：因为当x ≤0时，f （x ）＝（x －a ）2，f （0）是f （x ）的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f （x ）＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f （0）是f （x ）的最小值，需2＋a ≥f （0）＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2， 所以a 的取值范围是[0，2]. 答案：[0，2]8.已知函数f （x ）＝x 2＋a |x －2|－4.（1）当a ＝2时，求f （x ）在[0，3]上的最大值和最小值；（2）若f （x ）在区间[－1，＋∞）上单调递增，求实数a 的取值范围.解析：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2，x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2，（x －1）2－1，x ＜2，当x ∈[0，2）时，－1≤f （x ）≤0，当x ∈[2，3]时，0≤f （x ）≤7， 所以f （x ）在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.（2）因为f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2，x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f （x ）在区间[－1，＋∞）上单调递增，所以当x ＞2时，f （x ）单调递增，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1≤x ≤2时，f （x ）单调递增，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2].[C 组 创新应用练]1.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若函数f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在（－∞，m ）上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A.（－2，＋∞） B.[－2，＋∞） C.（－∞，－2） D.（－∞，－2]解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝（x －1）（x ＋3）－2×（－x ）＝x 2＋4x －3＝（x ＋2）2－7，∴f （x ）的单调递减区间为（－∞，－2）， ∵函数f （x ）在（－∞，m ）上单调递减， ∴（－∞，m ）⊆（－∞，－2），即m ≤－2. 答案：D2.如果函数y ＝f （x ）在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f （x ）是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数f （x ）＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为（ ） A.[1，＋∞） B.[0，3] C.[0，1] D.[1，3]解析：因为函数f （x ）＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f （x ）在区间[1，＋∞）上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x .令g （x ）＝12x －1＋32x （x ≥1），则g ′（x ）＝12－32x 2＝x 2－32x2，由g ′（x ）≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3].答案：D3.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f （x ）满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f （x 1）－f （x 2），且当x ＞1时，f （x ）＞0，f （3）＝1.（1）判断f （x ）的单调性；（2）解关于x 的不等式f （3x ＋6）＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＞2；（3）若f （x ）≤m 2－2am ＋1对所有x ∈（0，3]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围.解析：（1）设x 1＞x 2＞0，则x 1x 2＞1，因为当x ＞1时，f （x ）＞0，所以f （x 1）－f （x 2）＝f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＞0， 所以f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在区间（0，＋∞）上为增函数.（2）在f （x 1）－f （x 2）＝f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2中， 令x 1＝9，x 2＝3，所以f （9）－f （3）＝f （3）. 又f （3）＝1，所以f （9）＝2.所以不等式f （3x ＋6）＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＞2，可转化为f （3x ＋6）＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＞f （9）， 所以f （3x ＋6）＞f （9）－f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f （9x ）， 由函数f （x ）为（0，＋∞）上的增函数，可得3x ＋6＞9x ＞0，所以0＜x ＜1， 所以原不等式的解集为（0，1）.（3）因为函数f （x ）在（0，3]上是增函数， 所以f （x ）在（0，3]上的最大值为f （3）＝1，所以不等式f （x ）≤m 2－2am ＋1对所有x ∈（0，3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1，1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1，1]恒成立. 设g （a ）＝－2ma ＋m 2，所以需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≥0，g （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为（－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞）.函数的奇偶性与周期性[A 组 基础保分练]1.（2021·石家庄模拟）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ）A.y ＝1xB.y ＝|x |－1C.y ＝lg xD.y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |解析：∵函数y ＝|x |－1和y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |是偶函数，其中y ＝|x |－1在（0，＋∞）上单调递增，y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |在（0，＋∞）上单调递减.答案：B2.若函数f （x ）＝（x －a ）（x ＋2）为偶函数，则实数a ＝（ ） A.0 B.1 C.－1 D.2 解析：f （x ）＝（x －a ）（x ＋2）＝x 2＋（2－a ）x －2a 为偶函数，则2－a ＝0，即a ＝2. 答案：D3.已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝2x ＋m ，则f （－2）＝（ ）A.－3B.－54C.54D.3 解析：因为f （x ）为R 上的奇函数，所以f （0）＝0，即f （0）＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f （－2）＝－f （2）＝－（22－1）＝－3. 答案：A4.已知函数f （x ）是奇函数，在（0，＋∞）上是减函数，且在区间[a ，b ]（a ＜b ＜0）上的值域为[－3，4]，则在区间[－b ，－a ]上（ ） A.有最大值4 B.有最小值－4 C.有最大值－3 D.有最小值－3解析：根据题意作出y ＝f （x ）的简图如图所示，由图知，选B.答案：B5.定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ＋3）＝f （x ）.若f （2）＞1，f （7）＝a ，则实数a 的取值范围为（ ） A.（－∞，－3） B.（3，＋∞） C.（－∞，－1） D.（1，＋∞） 解析：因为f （x ＋3）＝f （x ），所以f （x ）是定义在R 上的以3为周期的周期函数，所以f （7）＝f （7－9）＝f （－2）.又因为函数f （x ）是偶函数， 所以f （－2）＝f （2），所以f （7）＝f （2）＞1， 所以a ＞1，即a ∈（1，＋∞）. 答案：D6.已知函数y ＝f （x ），满足y ＝f （－x ）和y ＝f （x ＋2）是偶函数，且f （1）＝π3，设F （x ）＝f （x ）＋f （－x ），则F （3）＝（ ） A.π3 B.2π3C.πD.4π3解析：由y ＝f （－x ）和y ＝f （x ＋2）是偶函数知，f （－x ）＝f （x ），f （x ＋2）＝f （－x ＋2）＝f （x －2），故f （x ）＝f （x ＋4），则F （3）＝f （3）＋f （－3）＝2f （3）＝2f （－1）＝2f（1）＝2π3.答案：B7.若函数f （x ）＝x ln （x ＋a ＋x 2）为偶函数，则a ＝__________.解析：因为f （x ）为偶函数，所以f （－x ）－f （x ）＝0恒成立，所以－x ln （－x ＋a ＋x 2）－x ln （x ＋a ＋x 2）＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1. 答案：18.（2021·乐山模拟）已知函数f （x ）满足：f （－x ）＋f （x ）＝0，且当x ≥0时，f （x ）＝2＋m2x－1，则f （－1）＝__________. 解析：因为f （－x ）＋f （x ）＝0， 所以f （x ）为奇函数，又当x ≥0时，f （x ）＝2＋m2x －1，则f （0）＝2＋m1－1＝0，所以m ＝－1.所以当x ≥0时，f （x ）＝12x －1，所以f （－1）＝－f （1）＝－⎝⎛⎭⎫12－1＝12.答案：129.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0， x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）若函数f （x ）在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解析：（1）设x ＜0，则－x ＞0，所以f （－x ）＝－（－x ）2＋2（－x ）＝－x 2－2x . 又f （x ）为奇函数，所以f （－x ）＝－f （x ），于是x ＜0时，f （x ）＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. （2）要使f （x ）在[－1，a －2]上单调递增，结合f （x ）的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是（1，3].[B 组 能力提升练] 1.已知函数f （x ）＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f （lg 3）＝3，则f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝（ ） A.13 B.－13C.5D.8解析：因为f （x ）＝a sin x ＋b 3x ＋4，则f （－x ）＝－a sin x －b 3x ＋4，所以f （x ）＋f （－x ）＝8，由于f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝f （－lg 3），因此f （lg 3）＋f （－lg 3）＝8，即3＋f （－lg 3）＝8，所以f （－lg 3）＝5，即f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝f （－lg 3）＝5. 答案：C2.已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时f （x ）＝log 2（x ＋2）＋x ＋b ，则|f （x ）|＞3的解集为（ ）A.（－∞，－2）∪（2，＋∞）B.（－∞，－4）∪（4，＋∞）C.（－2，2）D.（－4，4）解析：由题意知，f （0）＝1＋b ＝0，所以b ＝－1，所以f （x ）＝log 2（x ＋2）＋x －1，所以f （2）＝3，且该函数在R 上单调递增.因为|f （x ）|＞3＝f （2），所以f （x ）＞f （2）或f （x ）＜－f （2）＝f （－2），所以x ＞2或x ＜－2. 答案：A3.设f （x ）是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x （1－x ），则f ⎝⎛⎭⎫－52等于（ ） A.－12 B.－14C.14D.12解析：f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 答案：A4.（2021·郴州模拟）已知f （x ）是定义在[2b ，1－b ]上的偶函数，且在[2b ，0]上为增函数，则f （x －1）≤f （2x ）的解集为（ ）A.⎣⎡⎦⎤－1，23B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.[－1，1] D.⎣⎡⎦⎤13，1解析：因为f （x ）是定义在[2b ，1－b ]上的偶函数，所以2b ＋1－b ＝0，所以b ＝－1，因为f （x ）在[2b ，0]上为增函数，即函数f （x ）在[－2，0]上为增函数，故函数f （x ）在（0，2]上为减函数，则由f （x －1）≤f （2x ），可得|x －1|≥|2x |，即（x －1）2≥4x 2，解得－1≤x ≤13.又因为定义域为[－2，2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －1≤2，－2≤2x ≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤3，－1≤x ≤1.综上，－1≤x ≤13.答案：B5.已知偶函数f （x ）在[0，＋∞）上单调递增，则对任意实数a ，b ，“a ＞|b |”是“f （a ）＞f （b ）”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：因为f （x ）为偶函数，所以f （x ）＝f （－x ）＝f （|x |），由于f （x ）在[0，＋∞）上单调递增，因此若a ＞|b |≥0，则f （a ）＞f （|b |），即f （a ）＞f （b ），所以a ＞|b |是f （a ）＞f （b ）的充分条件；若f （a ）＞f （b ），则f （|a |）＞f （|b |），可得|a |＞|b |≥0，由于a ，b 的正负不能判断，因此无法得到a ＞|b |，则a ＞|b |不是f （a ）＞f （b ）的必要条件，所以“a ＞|b |”是“f （a ）＞f （b ）”的充分不必要条件. 答案：A 6.函数y ＝f （x ）在[0，2]上单调递增，且函数f （x ＋2）是偶函数，则下列结论成立的是（ ）A.f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f ⎝⎛⎭⎫72 B.f ⎝⎛⎭⎫72＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫52 C.f ⎝⎛⎭⎫72＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f （1） D.f ⎝⎛⎭⎫52＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫72 解析：因为函数f （x ＋2）是偶函数，所以f （x ＋2）＝f （－x ＋2）， 所以函数f （x ）的图像关于x ＝2对称，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12.因为y ＝f （x ）在[0，2]上单调递增，且12＜1＜32，所以f ⎝⎛⎭⎫12＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72＜f （1）＜f ⎝⎛⎭⎫52. 答案：B7.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）＝f （2－x ）及f （x ）＝－f （－x ），且在[0，1]上有f （x ）＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫2 01912＝__________. 解析：函数f （x ）的定义域是R ，f （x ）＝－f （－x ），所以函数f （x ）是奇函数.又f （x ）＝f （2－x ），所以f （－x ）＝f （2＋x ）＝－f （x ），所以f （4＋x ）＝－f （2＋x ）＝f （x ），故函数f （x ）是以4为周期的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫2 01912＝f ⎝⎛⎭⎫2 020－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12.因为在[0，1]上有f （x ）＝x 2，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＝14，故f ⎝⎛⎭⎫2 01912＝－14. 答案：－148.（2021·柳州模拟）已知函数f （x ）对任意x ∈R 都有f （x ＋6）＋f （x ）＝2f （3），y ＝f （x －1）的图像关于点（1，0）对称且f （2）＝4，则f （22）＝__________.解析：因为y ＝f （x －1）的图像关于点（1，0）对称，所以y ＝f （x ）的图像关于点（0，0）对称，即函数f （x ）为奇函数，由f （x ＋6）＋f （x ）＝2f （3）得，f （x ＋12）＋f （x ＋6）＝2f （3），所以f （x ＋12）＝f （x ），T ＝12，因此f （22）＝f （－2）＝－f （2）＝－4. 答案：－49.已知函数f （x ）对任意x ∈R 满足f （x ）＋f （－x ）＝0，f （x －1）＝f （x ＋1），若当x ∈[0，1）时，f （x ）＝a x ＋b （a ＞0且a ≠1），且f ⎝⎛⎭⎫32＝12. （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数g （x ）＝f 2（x ）＋f （x ）的值域. 解析：（1）因为f （x ）＋f （－x ）＝0， 所以f （－x ）＝－f （x ），即f （x ）是奇函数. 因为f （x －1）＝f （x ＋1），所以f （x ＋2）＝f （x ）， 即函数f （x ）是周期为2的周期函数， 所以f （0）＝0，即b ＝－1.又f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝1－a ＝12， 解得a ＝14.（2）当x ∈[0，1）时f （x ）＝a x＋b ＝⎝⎛⎭⎫14x －1∈⎝⎛⎦⎤－34，0， 由f （x ）为奇函数知，当x ∈（－1，0）时，f （x ）∈⎝⎛⎭⎫0，34， 又因为f （x ）是周期为2的周期函数，所以当x ∈R 时，f （x ）∈⎝⎛⎭⎫－34，34， 设t ＝f （x ）∈⎝⎛⎭⎫－34，34， 所以g （x ）＝f 2（x ）＋f （x ）＝t 2＋t ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 即g （x ）＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14∈⎣⎡⎭⎫－14，2116.故函数g （x ）＝f 2（x ）＋f （x ）的值域为⎣⎡⎭⎫－14，2116. [C 组 创新应用练]1.（2021·兰州模拟）对任意实数x ，定义[x ]为不大于x 的最大整数（例如[3.4]＝3，[－3.4]＝－4等）.设函数f （x ）＝x －[x ]，给出下列四个结论：①f （x ）≥0；②f （x ）＜1；③f （x ）是周期函数；④f （x ）是偶函数.其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4解析：由题意有[x ]≤x ＜[x ]＋1，∴f （x ）＝x －[x ]≥0，且f （x ）＜1，∴①②正确；∵f （x ＋1）＝x ＋1－[x ＋1]＝x ＋1－（[x ]＋1）＝x －[x ]＝f （x ），∴f （x ）为周期函数，③正确；∵f （－0.1）＝－0.1－[－0.1]＝－0.1－（－1）＝0.9，f （0.1）＝0.1－[0.1]＝0.1－0＝0.1≠f （－0.1），∴f （x ）不是偶函数，④错误. 答案：C2.（2019·高考全国卷Ⅱ）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x ＋1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1] 时，f （x ）＝x （x －1）.若对任意x ∈（－∞，m ]，都有f （x ）≥－89，则m 的取值范围是（ ）A.⎝⎛⎦⎤－∞，94B.⎝⎛⎦⎤－∞，73C.⎝⎛⎦⎤－∞，52D.⎝⎛⎦⎤－∞，83 解析：当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x －1），∴当x ∈（0，1]时，f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－14，0. ∵f （x ＋1）＝2f （x ），∴当x ∈（－1，0]时，x ＋1∈（0，1]，f （x ）＝12f （x ＋1）＝12（x ＋1）x ，f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－18，0； 当x ∈（－2，－1]时，x ＋1∈（－1，0]，f （x ）＝12f （x ＋1）＝14f （x ＋2）＝14（x ＋2）（x ＋1），f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－116，0； …；当x ∈（1，2]时，x －1∈（0，1]，f （x ）＝2f （x －1）＝2（x －1）（x －2），f （x ）∈⎣⎡⎦⎤－12，0； 当x ∈（2，3]时，x －1∈（1，2]，f （x ）＝2f （x －1）＝4f （x －2）＝4（x －2）（x －3），f （x ）∈[－1，0]； ….f （x ）的图像如图所示.11若对任意x ∈（－∞，m ]，都有f （x ）≥－89，则有2＜m ≤3. 设f （m ）＝－89，则4（m －2）（m －3）＝－89， ∴m ＝73或m ＝83.结合图像可知，当m ≤73时，符合题意. 答案：B3.（2021·湘潭模拟）已知定义在R 上的偶函数y ＝f （x ＋2）的图像连续，当x ＞2时，函数y＝f （x ）是单调函数，则满足f （x ）＝f ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋4的所有x 之积为__________. 解析：因为函数y ＝f （x ＋2）是连续的偶函数，所以直线x ＝0是它的图像的对称轴，所以直线x ＝2就是函数y ＝f （x ）图像的对称轴.因为f （x ）＝f ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋4，所以x ＝1－1x ＋4或x ＋1－1x ＋4＝4.由x ＝1－1x ＋4，得x 2＋3x －3＝0，设方程的两根为x 1，x 2，所以x 1x 2＝－3；由x ＋1－1x ＋4＝4，得x 2＋x －13＝0，设方程的两根为x 3，x 4，所以x 3x 4＝－13.所以x 1x 2x 3x 4＝39. 答案：39。