《第4章生产理论》课后作业(参考答案-新)

《第四章生产理论》课后作业（参考答案）
P152~154.
3、解：
（1）由生产函数Q=2KL-0.5L2-0.5K2，且K=10，可得短期生产函数为：
Q=20L-0.5L2-0.5×102=20L-0.5L2-50
于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数：
劳动的总产量函数TP L=20L-0.5L2-50
劳动的平均产量函数AP L=TP L/L=20-0.5L-50/L
劳动的边际产量函数MP L=dTP L/dL=20-L
（2）关于总产量的最大值：
令dTP L/dL=0，即：dTP L/dL=20-L=0，解得：L=20，且d2TP L/dL2=-1<0，所以，当劳动投入量L=20时，劳动的总产量TP L达到极大值。

关于平均产量的最大值：
令dAP L/dL=0，即：dAP L/dL=-0.5L-50L-2=0，解得：L=10（负值舍去），且d2AP L/dL2=-100L-3<0，所以，当当劳动投入量L=10时，劳动的平均产量AP L达到极大值。

关于边际产量的最大值：
由劳动的边际产量函数MP L=20-L可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。

考虑到劳动投入量总是非负的，所以，当劳动投入量L=0时，劳动的边际产量MP L达到极大值。

（3）当劳动的平均产量AP L达到最大值时，一定有AP L=MP L。

由（2）已知，当L=10时，劳动的平均产量AP L达到最大值，即相应的最大值为：
AP L（max）=20-0.5×10-50/10=10
以L=10代入劳动的边际产量函数MP L=20-L，得：MP L=20-10=10。

很显然，当AP L=MP L时，AP L一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为L=10。

4、解：
（1）生产函数Q=min（2L，3K）表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有Q=2L=3K。

因为已知产量Q=36，所以，相应地有L=18，K=12。

（2）由Q=2L=3K，且Q=480，可得：L=240，K=160。

又因为P L=2，P K=5，所以有：
C=P L·L+ P K·K=2×240+5×160=1280，即生产480单位产量的最小成本为1280。

5、解：
（1）（a）关于生产函数Q=5L1/3K2/3。

MP L=5/3·L-2/3K2/3
MP K=10/3·L1/3K-1/3
由最优组合的均衡条件MP L/MP K=P L/P K，可得：
5/3·L-2/3K2/3 P L
——————= ——
10/3·L1/3K-1/3 P K
整理得：K/2L= P L/P K，即：厂商长期生产的扩展线方程为：K=(2P L/P K)L。

（b）关于生产函数Q=KL/（K+L）
K（K+L）-KL
MP L= ————————= K2/(K+L)2
（K+L）2
L（K+L）-KL
MP K= —————————== L2/(K+L)2
（K+L）2
由由最优组合的均衡条件MP L/MP K=P L/P K，可得：
K2/(K+L)2 P L
——————= ——
L2/(K+L)2 P K
整理得：K2/L2= P L/P K，即：厂商长期生产的扩展线方程为：K=(P L/P K)1/2 L。

（c）关于生产函数Q=KL2
MP L=2KL
MP K=L2
由由最优组合的均衡条件MP L/MP K=P L/P K，可得：
2KL P L
———= ——
L2P K
即：厂商长期生产的扩展线方程为：K=(P L/2P K)L。

（d）关于生产函数Q=min（3L，K）
由于该生产函数是固定投入比例的生产函数，即厂商的生产总是有3L=K，所以，直接可以得到厂商长期生产的扩展线方程为：K=3L。

（2）（a）关于生产函数Q=5L1/3K2/3
当P L=1，P K=1，Q=1000时，由其扩展方程K=(2P L/P K)L得：
K=2L，将其代入生产函数Q=5L1/3K2/3得：
5L1/3（2L）2/3=1000，
解得：L=200·（4）-1/3
K=400·（4）-1/3
（b）关于生产函数Q=KL/（K+L）
当P L=1，P K=1，Q=1000时，由其扩展方程K=(P L/P K)1/2L得：
K=L，将其代入生产函数Q=KL/（K+L）得：
L2/（L+L）=1000，
解得：L=2000
K=2000
（c）关于生产函数Q=KL2
当P L=1，P K=1，Q=1000时，由其扩展方程K=(P L/2P K)L得：
K=L/2，将其代入生产函数Q=KL2，得：
（L/2）L2=1000，
解得：L=10·（2）1/3
K=5·（2）1/3
（d）关于生产函数Q=min（3L，K）
当P L=1，P K=1，Q=1000时，由其扩展方程K=3L得：
K=3L=1000，
于是有：K=1000
L=1000/3
6、解：
（1）因为Q=f(L,K)=AL1/3K2/3，于是有：
f(λL,λK)=A(λL)1/3(λK)2/3=Aλ1/3+2/3L1/3K2/3=λAL1/3K2/3=λf(L,K)
所以,生产函数Q= AL1/3K2/3属于规模报酬不变的生产函数。

（2）假定在短期生产中，资本投入量不变，以K0表示；而劳动投入量可变，以L表示。

对于生产函数Q=AL1/3（K0）2/3，有：
MP L=1/3·A（L）-2/3（K0）2/3
且dMP L/dL= -（2/9）A（L）-5/3（K0）2/3<0
这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量MP L是递减的。

相似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以L0表示；而资本投入量可变，以K 表示。

对于生产函数Q=A（L0）1/3（K）2/3，有：
MP L=2/3·A（L0）1/3（K）-1/3
且dMP L/dL= -（2/9）A（L0）1/3（K）-4/3<0
这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量MP K是递减的。

以上的推倒过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。

8、解：
（1）根据企业实现给定成本条件产量最大化的均衡条件：MP L/MP K=w/r
其中，MP L=dQ/dL=2/3·L-1/3K1/3
MP K=dQ/dK=1/3·L2/3K-2/3
w=2，r=1，
于是有：
2/3·L-1/3K1/3 2
——————= ——
1/3·L2/3K-2/3 1
整理得：K/L=1/1，即：K=L，将其代入约束条件2L+K=3000，有：2L+L=3000，
解得：L*=1000，且有：K*=1000
以L*=K*=1000代入生产函数，求得最大的产量：
Q*=（L*）2/3（K*）1/3=10002/3+1/3=1000
本题计算结果表示：在成本C=3000时，厂商以L*=1000，K*=1000进行生产所达到的最大产量为Q*=1000。

（本题也可以用拉格朗日函数法求解）
（2）根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件：MP L/MP K=w/r
其中，MP L=dQ/dL=2/3·L-1/3K1/3
MP K=dQ/dK=1/3·L2/3K-2/3
w=2，r=1，
于是有：
2/3·L-1/3K1/3 2
——————= ——
1/3·L2/3K-2/3 1
整理得：K/L=1/1，即：K=L，将其代入约束条件L2/3K1/3=800，有：L2/3L1/3=800，
解得：L*=800，且有：K*=800
以L*=K*=800代入成本方程C=2L+K，求得最小的成本：
C*=2×800+800=2400
本题计算结果表示：在产量Q*=800时，厂商以L*=800，K*=800进行生产所达到的最小成本为C*=2400。

（本题也可以用拉格朗日函数法求解）
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