利用平方差公式进行因式分解教学设计

利用平方差公式进行因式分解

教学目标：

知识与技能：

1.理解平方差公式的本质:结构的不变性,字母的可变性.

2.会用平方差公式进行因式分解.

3.使学生了解提公因式法是因式分解首先考虑的方法,再考虑用公式法分解.

过程与方法：

经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,渗透数学的互逆、换元、整体的思想,感受数学知识的完整性.

情感态度与价值观：

在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到数学的价值.

教学重点：

掌握运用平方差公式分解因式的方法.

教学难点：

用平方差公式分解因式;培养学生多步骤分解因式的能力.

教学过程

一、新课导入

导入一:

【问题】填空.

(1)(x+5)(x-5)=;

(2)(3x+y)(3x-y)=;

(3)(3m+2n)(3m-2n)=.

它们的结果有什么共同特征?

尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:

(1)x2-25=;

(2)9x2-y2=;

(3)9m2-4n2=.

[设计意图]学生通过观察、对比,把整式乘法中的平方差公式进行逆向应用,发展学生的观察能力与逆向思维能力.

导入二:

在前两节课中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式.

如果一个多项式的各项不都含有相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然不是,只要我们记住因式分解是整式乘法的逆过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课我们就来学习另外一种因式分解的方法——公式法.

[设计意图]复习之前学过的知识后,提出疑问,直接引入新课,开门见山,激发学生的学习兴趣.

二、新知构建

1、用平方差公式分解因式

请看乘法公式:

(a+b)(a-b)=a2-b2.(1)

左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是:

a2-b2=(a+b)(a-b).(2)

左边是一个多项式,右边是整式的乘积.大家判断一下,第二个式子从左边到右边是否为因式分解?

符合因式分解的定义,因此是因式分解.

等式(1)是整式乘法中的平方差公式,等式(2)可以看做是因式分解中的平方差公式.

a2-b2是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.

如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差的形式,那么就可以用平方差公式分解因式,将多项式分解成两个整式的和与差的积.如:

x2-16=x2-42=(x+4)(x-4);

9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)·(3m-2n).

[设计意图]让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相关结论进行实例练习.

2、例题讲解

[过渡语]同学们,前面我们学习了用平方差公式分解因式,下面我们通过几个例题来巩固所学的知识.

(教材例1)把下列各式因式分解:

(1)25-16x2;(2)9a2-b2.

解:(1)25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).

(2)9a2-b2=(3a)2-=3a+b·3a-b.

(教材例2)把下列各式因式分解:

(1)9(m+n)2-(m-n)2;

(2)2x3-8x.

解:(1)9(m+n)2-(m-n)2

=[3(m+n)]2-(m-n)2

=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]

=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)

=(4m+2n)(2m+4n)

=4(2m+n)(m+2n).

(2)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2).

说明:教材例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方,利用平方差公式分解因式;教材例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然后用平方差公式分解因式,教材例2的(2)是先提取公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知,当一个题中既要用提公因式法,又要用公式法分解因式时,首先要考虑提公因式法,再考虑公式法.

[设计意图]教师讲解例题,明确思维方法,给出书写范例.

三、课堂小结

平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).

我们已学习过的因式分解的方法有提公因式法和平方差公式法.如果多项式各项含有公因式,那么第一步是提公因式,然后看是否符合平方差公式的结构特点,若符合则继续进行.

分解因式以后,若所含的多项式还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式都不能分解为止.

四、检测反馈

1.下列因式分解正确的是()

A.x2+y2=(x+y)(x-y)

B.x2-y2=(x+y)(x-y)

C.x2+y2=(x+y)2

D.x2-y2=(x-y)2

解析:x2+y2不能在有理数范围内因式分解,x2-y2=(x+y)(x-y).故选B.

2.分解因式:a3-4a=.

解析:a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2).故填a(a+2)(a-2).

3.(2015·恩施中考)因式分解:9bx2y-by3=.

解析:原式=by(9x2-y2)=by(3x+y)(3x-y).故填by(3x+y)(3x-y).

4.已知x2-y2=69,x+y=3,则x-y=.

解析:因为x2-y2=69,所以(x+y)(x-y)=69,因为x+y=3,所以3(x-y)=69,所以x-y=23.故填23.

5.分解因式:(3a-2b)2-(2a+3b)2.

解:(3a-2b)2-(2a+3b)2

=[(3a-2b)+(2a+3b)][(3a-2b)-(2a+3b)]

=(3a-2b+2a+3b)(3a-2b-2a-3b)

=(5a+b)(a-5b).

五、布置作业

【必做题】

教材第100页随堂练习的1,2题.

【选做题】

教材第100页习题4.4的1,2题.

六、板书设计

公式法（利用平方差公式进行因式分解）

一、用平方差公式分解因式

a2-b2=(a+b)(a-b)

二、例题讲解