二维水沙数学模型的建立和应用

天津大学硕士学位论文
平面二维水沙数学模型的研究与应用
研 究 生：关建伟 指导教师：李大鸣 教授 天津大学建筑工程学院 二零一零年六月
摘要
二十世纪70年代以来，随着电子计算机的普及与计算机性能的不断 提高，人们在研究河流泥沙问题时，越来越多的采用了数学模型。它以 数值方法和计算机技术为手段，通过对河流的数值模拟计算，解决河流 工程所关心的问题。对二维水流泥沙数学模型的探索和研究已在水利、 环境、港口航道、防洪等工程领域中取得了一定成果，但水流泥沙运动 机理仍是工程问题中的重要研究课题。 本文结合河北省水利水电勘察设计研究院《河北省庙宫水库汛期调 度运用方式》项目，研究了平面二维水流泥沙数学模型的理论、方法和 实际应用问题，主要工作如下： 1.系统地推导了二维非恒定流、二维泥沙连续方程，应用有限体积 法思想，采用分类简化离散方程的方法，降低了计算难度、节省了计算 时间,为建立平面二维水沙数学模型奠定了基础。 2.在已有的泥沙研究成果的基础上，提出并推导了新的泥沙连续方 程形式，结合适合庙宫水库情况的爱因斯坦水流挟沙公式，建立了平面 二维水沙数学模型。
4.有限体积法 有限体积法是计算出通过每个控制体边界沿法向输入(出)的流量和动量 通量后，对每个控制体分别进行水量和动量平衡计算，便得到计算时段末 各控制体平均水深和流速。因此，有限体积法正是对于推导原始微分方程 所用控制体的回归。因为控制体间界面输运的通量，对相邻控制体来说大 小相等、方向相反，故对整个计算域而言，沿所有内部边界的通量相互抵 消。对由一个或多个控制体组成的任意区域，以至整个计算区域，都严格 满足物理守恒律，不存在守恒误差，并且能正确计算间断。由于采用守恒 型的微分方程并对每一计算单元进行质量和动量守恒形式的离散，使得微 分方程包含的守恒性质在每一个控制容积上都得到满足，若保持各单元界 面两侧相邻控制体的计算输运通量相等，那么整个计算区域上都能保持守 恒。
第三章 平面二维水流泥沙数学模型 的建立 3.1 二维水沙数学模型的基本方 程 3.2 初值条件及边界条件的处理 3.3 网格划分 3.4 水流挟沙能力 第四章 平面二维水沙数学模型的数 值模拟 4.1 水流控制方程的离散 4.2 泥沙连续方程的离散 4.3 河床变形方程的离散 4.4 模型求解过程
2 2 2 2 q q q q y qx q y q y q y q qy Z x y y 2 y gh gn t ( 2 2 ) 73 t h x h y y h x y
2. 泥沙控制方程
(hSk ) ( qx S k ) (q y Sk ) sk sk ( S sk S*k ) t x y 2 (hSk ) 2 (hSk ) sx sy 2 x y 2
' Z b t

k 1
N
sk
sk ( S k S*k )
1.3 数值计算方法概述 1.3.1 数值离散方法
描述河流水沙运动的控制方程一般是非线性的，对于这些控制方程， 一般很难求得解析解，只能通过离散控制方程、求解代数方程组来得到近 似数值离散解。数值计算方法的精度及速度依赖于控制方程的离散方法、 代数方程组的求解方法、网格的划分及边界条件的处理等。 目前常用的数值计算方法有：特征线法、有限差分法、有限元法 、有 限体积法、 有限分析法等。 1.特征线法 特征线法是河流模拟数值计算在计算机尚未普遍之时所采用的一种方 法，主要采用手工计算，其最初思路是在平面上绘制特征线。 其优点是能反映问题中信息沿特征传播的性质，算法符合水流运动的 物理机制，稳定性好、计算精度高，但对于求解周期短、变化急剧的问题 计算效果较差，因此目前很少直接用于数值计算。但是其原理仍很重要， 经常用于作为了解其他数值方法的基础。 2. 有限差分方法 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广 泛运用，FDM以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的微商用差商代替 进行离散，从而建立代数方程组来求解该方法数学概念直观、表达简单， 其解的存在性、收敛性和稳定性早已有较完善的研究成果，是比较成熟的 数值方法，目前应用广泛。
1.3.2边界处理技术 1.不规则边界的处理 在水利工程中，水流的边界往往是很复杂的。而在数学模型计算中如 何处理不规则的复杂边界将直接影响到整个模型计算结果的可靠性、精度 和计算时间，是数值模拟的一大难点，选择复杂边界的处理方法与算法的 选择有着同等重要性。 常用的不规则复杂边界处理方法主要有：美国学者Thompson[16]提出 的贴体坐标法、非结构性网格以及多重网格法。贴体坐标法因其能使计算 域边界上的坐标线与边界线密切贴合，而获得了广泛的研究与应用。其主 要优点是用曲线坐标逼近复杂边界，在边界模拟上具有较高的精度。但该 方法在较复杂的边界上不易形成正交贴体网格，如果是非正交曲线坐标系， 则会产生大量的交叉导数项，给求解带来很大的困难。 非结构性网格使用三角形和四边形计算单元，使得在复杂区域形成计 算网格更加灵活和方便。但非结构性网格往往要建立一套标明网格节点之 间关系的复杂系统，因此在编程计算处理时比较麻烦，特别是针对自由面 流动和干湿边界变化时，这种困难更加突出。多重网格法则由于网格系统 之间的相对独立性，难以做到对系统守恒性的保证。另外对于复杂边界的 处理问题，俞国良于1987年提出了镜像法，周建军于1988年提出了边界对 称点法。这两种方法都是根据对称原理，假设流场外有一定的虚拟流动， 从而导出计算域外节点各物理量的计算式。该方法简单易行，提高了不规 则边界上运用差分方法的计算精度，但由于域内外对称点一般不在节点上， 仍需一定插值过程，会带来一定误差。
2.动边界的处理 由于河床冲淤变化和水位的波动，在河岸及洲滩等区域都会遇到动边 界问题。动边界数值模拟的困难主要在于沿动边界法向流动不同于明渠均 匀流，其非恒定和非均匀性强，常用的曼宁摩阻公式等在形式上难以套用， 再者是因为水深很小，对离散格式的要求很高，要求数值解不产生假振， 保证水深总是大于零。 常见的处理动边界方法有两种：一种是对实际边界的数值模拟，即时 刻追踪动边界的准确位置。另一种方法是：把整个计算区域都按照常进行 计算，在计算过程中取一定的方法对无水区域进行处理。但是由于第一种 方法在编制程序中处理较复杂，因此目前经常采用的方法是第二种方法， 在计算过程中不追踪动边界的准确位置，把整个计算域都参与运算，对于 干河床部分采用一些处理技巧进行处理，比如何少苓提出的“窄缝法”， 其思想是在床面上人为设置窄缝，由于缝足够深，总是有水流动，而缝很 窄，当河床露出水面时由窄缝引起的水量守恒误差很小。此外，还有周建 军提出的渗透边界法，程文辉、王船海等运用的“冻结”技巧。
目 录
第一章 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ论 1.1泥沙数学模型发展简况
1.2水沙数学模型基本方程及计算
方法 1.3数值计算方法 1.4水沙基本理论存在的问题 1.5淤积上延现象 第二章 河道复杂边界的处理技术 2.1 斜对角笛卡尔方法的基本原理 2.2斜对角笛卡尔方法的优点 2.3边界条件及边界网格单元类型 处理 2.4 本章小节
在数值模拟的过程中，虽然采用的离散求解方法不同，但都有相同的 特点，即首先把计算区域划分成许多控制体或网格，然后在这些小控制体 上把微分方程离散成代数方程，再把小控制体上的代数方程汇合成总体代 数方程组，最后在一定的初始条件下求解此方程组，从而求得计算区域内 各节点的物理量。所以数值模拟的正确性和精度取决于网格的划分、方程 的离散、初始值条件、代数方程组的求解以及所建模型的物理理论依据是 否正确合理等几个因素。各种方法均有其自身的优点和适应性，在实际计 算时选择什么数值方法应根据所研究问题的特点和计算精度要求，以及研 究者的习惯而定。
维嵌套、到三维、到三维嵌套，由原先在概化水文、泥沙及河床条件下 数学模型的建立、率定和验证，发展到与物理模型相互配合共同回答工 程水流和泥沙问题(复合模型)的阶段。 1.2 水沙数学模型 1.水流控制方程
Z qx q y 0 t x y
2 2 q q q qx qx qx q y qx 2 qx 2 qx Z x x y 2 gh gn t ( 2 2 ) 73 t h x h y x h x y
第五章 水流泥沙数学模型验证及应
用 5.1 模型的基本特征
5.2 网格划分 5.3 模型验证 5.4 模型预报 5.5 排沙量及冲淤分析 第六章 工作与展望 6.1 工作 6.2 展望
第一章 绪论
1.1 泥沙数学模型发展概括 目前研究河流泥沙及河床演变问题，主要有三种手段，即原型资 料分析法、物理模型方法、数学模型模拟方法。这三种方法各有千秋， 视具体工程问题，可独立运用或联合运用。 物理模型方法是将原型的尺寸以及各种水力要素在遵循相似原则 的基础上按一定比尺缩小为模型。物理模型方法具有直观、准确、易 于操作等特点，是早期研究河床演变的主要方法。近年来随着测量技 术的进步，物理模型的精度得到了很大的提高，但是与数学模型相比， 物理模型耗资大，对外界条件要求高，且完成实验方案的周期长。 河流泥沙数学模型能够模拟水流泥沙运动过程，河床冲淤量、河 床形态及河床泥沙组成的变化。它的研究和应用可以追溯到上世纪50 年代，由于受到当时计算工具的限制，这种计算仅限于一些简单的状 况，而且精度较差、工作量大，因此，未能得到普遍推广。 二十世纪70年代以来，随着电子计算机的普及与计算机性能的 不断提高，这些困难已逐步克服，数学模型的优越性越来越突出。经 过近二、三十年的发展，水流泥沙数学模型经历了由一维到二维、到 二
3.有限元方法 有限元法是根据极值原理(变分或加权余量法)，将问题的控制微分方程 化为控制所有单元的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即 将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方 程组就得到各节点上待求的函数值。 有限元的求解方法常见的有直接法、变分法、加权余量法和能量平衡 法等。其优点是网格划分灵活、拟合复杂河岸边界容易、网格节点可局部 加密、稳定性好、精度高,适合于几何、物理条件复杂的问题。对于隐式 FEM，其精度较高，但数学推导繁杂、计算量和储存量较大，而且在误差 估计、收敛性和稳定性等方面的理论研究与有限差分法相比还显得不够成 熟和完善。尤其在多维计算中，由于有限元法贮存量大、会直接影响计算 速度。