中考数学每日一练：二次函数与一次函数的综合应用练习题及答案_2020年综合题版
中考数学每日一练：二次函数的实际应用-几何问题练习题及答案_2020年解答题版
~~第4题~~ (2017绍兴.中考模拟) 我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物 线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A ，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．
中考数学每日一练：二次函数的实际应用-几何问题练习题及答案_2020年解答
题版
2020年 中 考 数 学 ： 函 数 _二 次 函 数 _二 次 函 数 的 实 际 应 用 -几 何 问 题 练 习 题
~~第1题~~ (2019乐陵.中考模拟) 如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)， 抛物线的对称轴与x轴交于点D.
（1） 求二次函数的表达式；
（2） 在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3） 有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2
个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，△MNB面
1.答案：
2.答案：
3.答案：
4.答案： 5.答案：
答案
~~第3题~~ (2017河东.中考模拟) 如图，平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x与x轴交于O、B两点，顶点为P，连接OP、BP，直线 y=x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（Ⅰ）直接写出点B坐标 ；判断△OBP的形状 ；
（Ⅱ）将抛物线沿对称轴平移m个单位长度，平移的过程中交y轴于点A，分别连接CP、DP；
，线段
上的点 关于直线 的对称点 恰好在线段
中考数学专题题库∶二次函数的综合题及详细答案
抛物线的解析式为 y x2 2x 3 ．
2 连接 BC 交抛物线对称轴于点 P，此时 PA PC 取最小值，如图 1 所示．
当 y 0时，有 x2 2x 3 0 ， 解得： x1 1 ， x2 3 ，
点 B 的坐标为 3, 0 ．
抛物线的解析式为 y x2 2x 3 (x 1)2 4 ，
2．抛物线 y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线 y＝kx+c（k≠0）相交于 A（﹣1，0）、B（2，﹣3） 两点，且抛物线与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的解析式；
（2）求出 C、D 两点的坐标 （3）在第四象限抛物线上有一点 P，若△ PCD 是以 CD 为底边的等腰三角形，求出点 P 的 坐标．
解得： m 2 ， 3
点
M
的坐标为
1,
2 3
.
综上所述：当
MAC
是直角三角形时，点
M
的坐标为
1,1
、
1,
2
、
1,
8 3
或
1,
2 3
.
【点睛】
本题考查待定系数法求二次 ( 一次 ) 函数解析式、二次 ( 一次 ) 函数图象的点的坐标特征、
轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是： 1 由点的坐标，利用待定系数
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（1+ 2 ，﹣2）.
【解析】
【分析】
（1）把 A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入 y＝ax2+bx﹣3 可得抛物线解析式． （2）当 x＝0 时可求 C 点坐标，求出直线 AB 解析式，当 x＝0 可求 D 点坐标． （3）由题意可知 P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求 P 点横坐标．
中考数学每日一练：二次函数的实际应用-几何问题练习题及答案_2020年压轴题版
中考数学每日一练：二次函数的实际应用-几何问题练习题及答案_2020年压轴题版答案答案2020年中考数学：函数_二次函数_二次函数的实际应用-几何问题练习题~~第1题~~(2017玉林.中考模拟) 已知抛物线y= x +1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（，），对称轴是；（2）已知y 轴上一点A （0，2），点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．考点： 二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数的实际应用-几何问题;~~第2题~~(2020温州.中考模拟) 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 、Q 分别在边AC 、射线CB 上，且AP ＝CQ ， 过点P 作PM ⊥AB ， 垂足为点M ， 联结PQ ， 以PM 、PQ 为邻边作平行四边形PQNM ， 设AP＝x ， 平行四边形PQNM 的面积为y ．（1） 当平行四边形PQNM 为矩形时，求∠PQM 的正切值；（2） 当点N 在△ABC 内，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3） 当过点P 且平行于BC 的直线经过平行四边形PQNM 一边的中点时，直接写出x 的值．考点： 二次函数的实际应用-几何问题;平行四边形的性质;锐角三角函数的定义;~~第3题~~(2020长兴.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=-x +2x+3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为M ，连结CM ，CB ，直线BM 交y 轴交于点D.22答案答案（1） 求直线BM 的解析式；（2） 若点Q以每秒 个单位的速度由点B 向点D 直线运动，连结CQ ，以CQ 为边向下作△CQP ，使得△QCP ≌△M CB ，设运动时间为t.①当t 为何值时，QC 恰好平分∠DQP ？并说明理由；②当点Q 从点B 运动到点D 时，请直接写出点P 经过的路径长.考点： 二次函数的实际应用-几何问题;~~第4题~~(2020江西.中考模拟) (2019九上·腾冲期末) 如图，点A ，B ，C 都在抛物线y=ax ﹣2amx+am +2m ﹣5（其中﹣＜a ＜0）上，AB ∥x 轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1） 填空：抛物线的顶点坐标为（用含m 的代数式表示）；（2） 填空：抛物线的顶点坐标为（用含m 的代数式表示）；（3） 求△ABC 的面积（用含a 的代数式表示）；（4） 求△ABC 的面积（用含a 的代数式表示）；（5） 若△ABC 的面积为2，当2m ﹣5≤x≤2m ﹣2时，y 的最大值为2，求m 的值．（6） 若△ABC 的面积为2，当2m ﹣5≤x≤2m ﹣2时，y 的最大值为2，求m 的值．考点： 二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;二次函数的实际应用-几何问题;~~第5题~~(2020百色.中考模拟) 如图，抛物线y ＝ax +bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，且过点D （2，﹣3）.点P 、Q 是抛物线y ＝ax +bx+c 上的动点.2222答案（1） 求抛物线的解析式；（2） 当点P 在直线OD 下方时，求△POD 面积的最大值.（3） 直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当△OBE 与△ABC 相似时，求点Q 的坐标.考点： 二次函数的实际应用-几何问题;2020年中考数学：函数_二次函数_二次函数的实际应用-几何问题练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。
2020年中考数学复习专题之二次函数的综合应用问题
二次函数的综合应用二次函数的实际应用（1）增长率问题一月a增长率为x 二月a(1+x)增长率为x三月a(1+x)2（2）利润问题在这个模型中，利润=（售价-成本）×销量（3）面积问题矩形面积=长×宽材料总长a 矩形长x矩形宽1(a-2x)2题型一二次函数的应用—销售问题例7.某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件)与销售单价x（元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=-20x+800，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设该公司每月获得利润为w（元)，求每月获得利润w（元)与销售单价x（元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；【答案与解析】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）•y＝（x﹣15）•（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x﹣12000，即w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；（2）对于函数w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线x＝27.5又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下．∴当15≤x≤24时，W随着x的增大而增大，∴当x＝24时，W＝2880，答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润，最大利润是2880元．变式训练1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降x元，每天获利y元．（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？【思路点拨】（1）列出y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，根据一次函数的性质求解；（2）根据题意列出y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，结合二次函数的性质求解；【答案与解析】解：（1）y＝44（40﹣x）＝﹣44x+1760，∵20+2x≥44，∴x≥12，∵y随x的增大而减小，∴当x＝12时，获利最大值1232；答：如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应12元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大1232元；（2）y＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，当y＝1200时，1200＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴x＝10或x＝20，∵当x＜15时，y随x的增大而增大，当x＞15时，y随x的增大而减小，当10≤x≤20时，y≥1200，答：如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降不少于10元且不超过20元.变式训练2.为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用y（元)与x(m2)的函1数关系图象如图所示，栽花所需费用y（元)与x(m2)的函数关系式为2xy=-0.01x2-20x+30000(0剟1000)．2（1）求 y （元 ) 与 x(m 2) 的函数关系式；1（2）设这块1000m 2 空地的绿化总费用为W （元 ) ，请利用W 与 x 的函数关系式，求绿化总 费用 W 的最大值．【思路点拨】（1）根据函数图象利用待定系数法即可求得y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式 （2）总费用为 W ＝y 1+y 2，列出函数关系式即可求解 【答案与解析】解：（1）依题意当 0≤x≤600 时，y 1＝k 1x ，将点（600，18000）代入得 18000＝600k 1，解得 k 1＝30∴y 1＝30x当 600＜x≤1000 时，y 1＝k 2x+b ，将点（600，18000），（1000，26000）代入得，解得∴y 1＝20x+600综上，y 1（元）与 x （m 2）的函数关系式为：（2）总费用为：W ＝y 1+y 2∴W＝整理得故绿化总费用 W 的最大值为 32500 元.变式训练 3.某公司生产的某种商品每件成本为 20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来 40 天内的日销售量 m （件 ) 与时间 t （天 ) 的关系如下表：时间 t （天 ) 1 3 5 10 36日销售量 m94 90 86 76 24（件 )未来 40 天内，前 20 天每天的价格 y 1（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为 y 1＝ t +25（1≤t ≤20 且 t 为整数），后20 天每天的价格 y 2（元/件）与时间 t （天）的函数关系式为y 2＝﹣ t +40（21≤t ≤40 且 t 为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的 m （件 ) 与 t （天 ) 之间的表达式；（2）请预测未来 40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？【思路点拨】（1）从表格可看出每天比前一天少销售 2 件，所以判断为一次函数关系式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前 20 天和后 20 天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．【答案与解析】解：（1）经分析知：m 与 t 成一次函数关系．设 m ＝kt+b （k≠0），将 t ＝1，m ＝94，t ＝3，m ＝90代入，解得，∴m＝﹣2t+96；（2）前 20 天日销售利润为 P 1 元，后 20 天日销售利润为 P 2 元，则 P 1＝（﹣2t+96）（ t+25﹣20）＝﹣ （t ﹣14）2+578，∴当 t ＝14 时，P 1 有最大值，为 578 元．P 2＝（﹣2t+96）•（ t+40﹣20）＝﹣t 2+8t+1920＝（t ﹣44）2﹣16，∵当 21≤t≤40 时，P 2 随 t 的增大而减小，∴t＝21 时，P 2 有最大值，为 513 元． ∵513＜578，∴第 14 天日销售利润最大，最大利润为 578 元．题型二 二次函数的应用—面积问题例 8.如图，用 30m 长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m ，设矩形的宽 AB为xm．（1）用含x的代数式表示矩形的长BC；（2）设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？【思路点拨】（1）设菜园的宽AB为xm，于是得到BC为（30﹣2x）m；（2）由面积公式写出y与x的函数关系式，进而求出x的取值范围；（3）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．【答案与解析】解：（1）∵AB＝CD＝xm，∴BC＝（30﹣2x）m；（2）由题意得y＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜15）；（3）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，∴当x＝7.5时，S有最大值，S＝112.5，最大此时这个矩形的长为15m、宽为7.5m．答：这个矩形的长、宽各为15m、7.5m时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m2．变式训练1.为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）请你帮养殖户小李计算一下BC边多长时，养殖区ABCD面积最大，最大面积为多少？【思路点拨】（1）三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，可知：2BC+8FC＝120，即FC＝，即可求解；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675即可求解．【答案与解析】解：（1）∵三个矩形的面值相等，可知2FG＝2GE＝BC，∴BC×DF＝BC×FC，∴2FC＝DC，2BC+8FC＝120，∴FC＝，∴y与x之间的函数关系式为y＝3FC×BC＝x（120﹣2x），即y＝﹣x2+45x，（0＜x＜60）；（2）y＝﹣x2+45x＝﹣（x﹣30）2+675可知：当BC为30米是，养殖区ABCD面积最大，最大面积为675平方米．变式训练 2.如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为米．（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．【思路点拨】（1）根据题意可得DG＝2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为64，进而可得矩形苗圃AEFG的面积为64，进而可得：﹣2x2+8x+64＝64再解方程即可；（3）根据二次函数的性质即可得到结论．【答案与解析】解：（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，故答案为：y＝﹣2x2+8x+64；（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64，解得：x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），答：BE的长为4米；故答案为：y＝﹣2x2+8x+64（0＜x＜8）；（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，所以当x＝2时，y有最大值，∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．变式训练3.如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m)，用长为24m的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB的长为x(m)，面积为y(m2)．（1）若y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）若要围成的花圃的面积为45m2，则AB的长应为多少？【思路点拨】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式以及x的取值范围；（2）令y＝45代入（1）中的函数解析式，即可求得x的值，注意x的取值范围．【答案与解析】解：（1）由题意可得，y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵24﹣3x≤10，3x＜24，解得，x≥∴且x＜8，，即y与x之间的函数表达式是y＝﹣3x2+24x（（2）当y＝45时，45＝﹣3x2+24x，解得，x1＝3（舍去），x2＝5，答：AB的长应为5m．题型三二次函数的应用—抛物线问题）；例9.如图，已知排球场的长度O D为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.4米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．（1）当球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网0.4m的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）【思路点拨】（1）根据此时抛物线顶点坐标为（6，3.4），设解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，再将点C坐标代入即可求得；由解析式求得x＝9.4时y的值，与他起跳后的最大高度为3.1米比较即可得；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C坐标代入得到用h表示a的式子，再根据球既要过球网，又不出边界即x＝9时，y＞2.4且x＝18时，y≤0得出关于h的不等式组，解之即可得．【答案与解析】解：（1）根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为（6，3.4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3.4，将点C（0，1.6）代入，得：36a+3.4＝1.6，解得：a＝﹣，∴排球飞行的高度y与水平距离x的函数关系式为y＝﹣（x﹣6）2+；由题意当x＝9.5时，y＝﹣（9.4﹣6）2+≈2.8＜3.1，故这次她可以拦网成功；（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+h，将点C（0，1.6）代入，得：36a+h＝1.6，即a＝∴此时抛物线解析式为y＝（x﹣6）2+h，，变式训练1.一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=-x2+运行，然后准确落入篮筐内，根据题意，得：，解得：h≥3.025，答：排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025．1752已知篮筐的中心距离底面的距离为3.05m．（1）求球在空中运行的最大高度为多少m？（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25m，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？【思路点拨】（1）由抛物线的顶点坐标即可得；（2）分别求出y＝3.05和y＝2.25时x的值即可得出答案．【答案与解析】解：（1）∵y＝﹣x2+的顶点坐标为（0，），∴球在空中运行的最大高度为m；（2）当y＝3.05时，﹣0.2x2+3.5＝3.05，解得：x＝±1.5，∵x＞0，∴x＝1.5；当y＝2.25时，﹣0.2x2+3.5＝2.25，解得：x＝2.5或x＝﹣2.5，由1.5+2.5＝4（m），故他距离篮筐中心的水平距离是4米．变式训练2.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=-124时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的O水平距离为7m，离地面的高度为处时，乙扣球成功，求a的值．125m的Q【思路点拨】（1）①将点P（0，1）代入y＝﹣（x﹣4）2+h即可求得h；②求出x＝5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入y＝a（x﹣4）2+h代入即可求得a、h．【答案与解析】解：（1）①当a＝﹣时，y＝﹣（x﹣4）2+h，将点P（0，1）代入，得：﹣解得：h＝；×16+h＝1，②把x＝5代入y＝﹣∵1.625＞1.55，∴此球能过网；（x﹣4）2+，得：y＝﹣×（5﹣4）2+＝1.625，（2）把（0，1）、（7，，）代入y＝a（x﹣4）2+h，得：解得：，∴a＝﹣．变式训练3.小明跳起投篮，球出手时离地面20m，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并9在距出手点水平距离4m处达到最高4m．已知篮筐中心距地面3m，与球出手时的水平距离为8m，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求此抛物线对应的函数关系式；（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．)若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为3.19m，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？【思路点拨】（1）根据顶点坐标（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+4，由球出手时离地面m，可知抛物线与y轴交点为（0，），代入可求出a的值，写出解析式；（2）先计算当x＝8时，y的值是否等于3，把x＝8代入得：y＝，所以要想球经过（8，3），则抛物线得向上平移3﹣＝个单位，即球出手时距离地面3米可使球直接命中篮筐中心；（3）将由y＝3.19代入函数的解析式求得x值，进而得出答案．【答案与解析】（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，）代入，得a（0﹣4）2+4＝，解得a＝﹣，∴所求的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+4；（2）令x＝8，得y＝﹣（8﹣4）2+4＝∴抛物线不过点（8，3），故不能正中篮筐中心；≠3，＝∵抛物线过点（8，），∴要使抛物线过点（8，3），可将其向上平移 7/9 个单位长度，故小明需向上多跳 m 再投篮（即球出手时距离地面 3 米）方可使球正中篮筐中心．（3）由（1）求得的函数解析式，当 y ＝3.19 时，3.19＝﹣19（x ﹣4）2+4解得：x 1＝6.7（不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效），x 2＝1.3∴球员乙距离甲球员距离小于 1.3 米时，即可盖帽成功．题型四 二次函数与图形面积的综合例 10.如图，抛物线 y = a(x + 1)2的顶点为 A ，与 y 轴的负半轴交于点 B ，且 OB = OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 C (-3,b ) 在该抛物线上，求 S∆ABC 的值．【思路点拨】（1）由抛物线解析式确定出顶点 A 坐标，根据 OA ＝OB 确定出 B 坐标，将 B坐标代入解析式求出 a 的值，即可确定出解析式；（2）将 C 坐标代入抛物线解析式求出 b 的值，确定出 C 坐标，过 C 作 CD 垂直于 x 轴，三角形 ABC 面积＝梯形 OBCD 面积﹣三角形 ACD 面积﹣三角形 AOB 面积，求出即可．【答案与解析】解：（1）由题意得：A （﹣1，0），B （0，﹣1），将 x ＝0，y ＝﹣1 代入抛物线解析式得：a ＝﹣1，则抛物线解析式为 y ＝﹣（x+1）2＝﹣x 2﹣2x ﹣1；（2）过 C 作 CD⊥x 轴，将 C （﹣3，b ）代入抛物线解析式得：b ＝﹣4，即 C （﹣3，﹣4），则 △S ABC ＝S 梯形 OBCD △﹣S ACD △﹣S A OB ×3×（4+1）﹣ ×4×2﹣ ×1×1＝3．变式训练1.如图，已知二次函数图象的顶点为(1,-3)，并经过点C(2,0)．（1）求该二次函数的解析式；（2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和∆AOB的面积；【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由待定系数法就可以求出结论；（2）由抛物线的解析式与一次函数的解析式构成方程组，求出其解即可求出B的坐标，进而可以求出直线AB的解析式，就可以求出AB与x轴的交点坐标，就可以求出△AOB的面积；【答案与解析】解：（1）抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣3，由题意，得0＝a（2﹣1）2﹣3，解得：a＝3，∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2﹣3；（2）由题意，得，解得：．∵交点不是原点，∴B（3，9）．如图2，设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意，得，△+S，△+S△+S解得：，∴y＝6x﹣9．当y＝0时，y＝1.5．∴E（1.5，0），∴OE＝1.5，△∴SAOB＝SA OE BOE＝+，＝9．答：B（3，9），△AOB的面积为9；变式训练2.如图，抛物线y=x2+x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标；（3）若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．【思路点拨】（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．求出直线AC的解析式即可解决问题．（3）过点M作MN⊥x轴与点N，设点M（x，x2+x﹣2），则AN＝x+2，0N＝﹣x，0B＝1，0C＝2，MN＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣x2﹣x+2，根据S四边形ABCM△＝SAOM OCM BOC构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【答案与解析】解：（1）由y＝0，得x2+x﹣2＝0解得x＝﹣2x＝l，∴A（﹣2，0），B（l，0），由x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2）．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．△+S + ＝设直线 AC 为 y ＝kx+b ，则﹣2k+b ＝0，b ＝﹣2：得 k ＝﹣l ，y ＝﹣x ﹣2．对称轴为 x ＝﹣ ，当 x ＝﹣ 时，y ＝_（﹣ ）﹣2＝﹣ ，∴P（﹣ ，﹣ ）．（3）过点 M 作 MN⊥x 轴与点 N ，设点 M （x ，x 2+x ﹣2），则 AN ＝x+2，0N ＝﹣x ，0B ＝1，0C ＝2，MN ＝﹣（x 2+x ﹣2）＝﹣x 2﹣x+2，S四边形 ABCM△＝S AOM OCM △S BOC （x+2）（﹣x 2﹣x+2）+ （2﹣x 2﹣x+2）（﹣x ）+ ×1× 2＝﹣x 2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．∵﹣1＜0，∴当 x ＝_l 时，S 四边形 ABCM 的最大值为 4．变式训练 3.如图，二次函数 y = ax 2 + b x 的图象经过点 A(2,4) 与 B(6,0) ．（1）求 a ， b 的值；（2）点 C 是该二次函数图象上 A ， B 两点之间的一动点，横坐标为 x (2 < x < 6) ，写出四边形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值．△＝△＝△＝△+S△+S【思路点拨】（1）把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以及三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的范围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以及此时x的值．【答案与解析】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y＝ax2+bx，得，解得：；（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD、CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x 轴，垂足分别为E，F，SOADOD•AD＝×2×4＝4；SACDAD•CE＝×4×（x﹣2）＝2x﹣4；SBCDBD•CF＝×4×（﹣x2+3x）＝﹣x2+6x，则S＝SOAD ACD BCD＝4+2x﹣4﹣x2+6x＝﹣x2+8x，∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+8x（2＜x＜6），∵S＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．。
二次函数综合应用题(有答案)中考题必练经典(学有余力的看)
函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。
需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下)(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。
2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。
（一般式化为定点式）最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。
(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。
3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。
推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x 的取值范围。
备选思路一：先将不等号看做等号，求出x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x 的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。
这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。
一、求利润的最值1. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。
根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。
(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890， 当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。
2020-2021中考数学二次函数综合练习题及详细答案
2020-2021中考数学二次函数综合练习题及详细答案一、二次函数1．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y （盒）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？【答案】（1）w=﹣2x 2+480x ﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元 【解析】 【分析】 （1）用每件的利润()80x -乘以销售量即可得到每天的销售利润，即()()()80802320w x y x x =-=--+， 然后化为一般式即可；（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式()221203200w x =--+，然后根据二次函数的最值问题求解；（3）求2400w =所对应的自变量的值，即解方程()2212032002400x --+=．然后检验即可. 【详解】（1）()()()80802320w x y x x =-=--+， 2248025600x x =-+-，w 与x 的函数关系式为：2248025600w x x =-+-； （2）()2224802560021203200w x x x =-+-=--+， 2080160x -<≤≤Q ，，∴当120x =时，w 有最大值．w 最大值为3200．答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元． （3）当2400w =时，()2212032002400x --+=． 解得：12100140x x ，．== ∵想卖得快，2140x ∴=不符合题意，应舍去．答：销售单价应定为100元．2．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．()1求y 与x 的函数关系式；()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元． 【解析】 【分析】()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数关系式；()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值． 【详解】解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠，Q 函数图象经过点()40,200和点()60,160，{4020060160k b k b +=∴+=，解得：{2280k b =-=，y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+．Q 试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．20-<Q ，∴当90x <时，w 随x 的增大而增大， 80x ∴=时，w 有最大值，当80x =时，4800w =，答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．3．如图，直线y ＝-12x-3与x 轴，y 轴分别交于点A ，C ，经过点A ，C 的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴的另一个交点为点B(2，0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，连接AD ，DC ．设点D 的横坐标为m ． (1)求抛物线的解析式；(2)当点D 在第三象限，设△DAC 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时点D 的坐标；(3)连接BC ，若∠EAD ＝∠OBC ，请直接写出此时点D 的坐标．【答案】(1)y ＝14x 2+x ﹣3；(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274；△ADC 的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21). 【解析】 【分析】（1）求出A 坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)，根据S △ADC ＝S △ADF +S △DFC 求出解析式，再求最值；（3）①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ．②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y ＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标. 【详解】解：(1)在y ＝﹣12x ﹣3中，当y ＝0时，x ＝﹣6， 即点A 的坐标为：(﹣6，0)，将A(﹣6，0)，B(2，0)代入y ＝ax 2+bx ﹣3得：366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2+x ﹣3； (2)设点D 的坐标为：(m ，14m 2+m ﹣3)，则点F 的坐标为：(m ，﹣12m ﹣3)， 设DE 与AC 的交点为点F.∴DF ＝﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)＝﹣14m 2﹣32m ， ∴S △ADC ＝S △ADF +S △DFC＝12DF•AE+12•DF•OE ＝12DF•OA ＝12×(﹣14m 2﹣32m)×6 ＝﹣34m 2﹣92m ＝﹣34(m+3)2+274，∵a ＝﹣34＜0， ∴抛物线开口向下，∴当m ＝﹣3时，S △ADC 存在最大值274， 又∵当m ＝﹣3时，14m 2+m ﹣3＝﹣154，∴存在点D(﹣3，﹣154)，使得△ADC 的面积最大，最大值为274； (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD ＝∠ABC ． ②作点D(﹣4，﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y＝3 2x+9，由2392134y xy x x⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得6xy=-⎧⎨=⎩或821xy=⎧⎨=⎩，此时直线AD′与抛物线交于D(8，21)，满足条件，综上所述，满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21)【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的应用，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．.4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN 沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．【答案】（1）（1，4）（2）①点M坐标（﹣12，74）或（﹣32，﹣94）；②m的值为3172±或1172±【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）①根据tan∠MBA=2233m mMGBG m-++=-，tan∠BDE=BEDE=12，由∠MBA=∠BDE，构建方程即可解决问题；②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP=1，易证GM=GP，即|-m2+2m+3|=|1-m|，解方程即可解决问题.【详解】（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得到930{3b cc-++==，解得2{3bc==，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D坐标（1，4）；（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB=90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG=|﹣m2+2m+3|，BG=3﹣m，∴tan∠MBA=2233m mMGBG m-++=-，∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB=90°，DE=4，OE=1，∵B（3，0），∴BE=2，∴tan∠BDE=BEDE =12，∵∠MBA=∠BDE，∴2233m mm-++-=12，当点M在x轴上方时，2233m mm-++-=12，解得m=﹣12或3（舍弃）， ∴M （﹣12，74）， 当点M 在x 轴下方时，2233m m m--- =12， 解得m=﹣32或m=3（舍弃）， ∴点M （﹣32，﹣94）， 综上所述，满足条件的点M 坐标（﹣12，74）或（﹣32，﹣94）； ②如图中，∵MN ∥x 轴，∴点M 、N 关于抛物线的对称轴对称， ∵四边形MPNQ 是正方形，∴点P 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，即OP=1， 易证GM=GP ，即|﹣m 2+2m+3|=|1﹣m|， 当﹣m 2+2m+3=1﹣m 时，解得317±， 当﹣m 2+2m+3=m ﹣1时，解得117± ∴满足条件的m 317±或1172±. 【点睛】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．5．如图1，已知抛物线y ＝ax 2+bx+3(a≠0)与x 轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，53）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）63 8，315,24E⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M 的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．③当CM＝C P时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，S四边形BOCE＝S△BFE+S梯形FOCE．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在△BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标． 【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0），∴309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩．∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3； （2）如答图1，∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3， ∴其对称轴为x ＝22-＝﹣1， ∴设P 点坐标为（﹣1，a ），当x ＝0时，y ＝3， ∴C （0，3），M （﹣1，0）∴当CP ＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a ）2＝a 2，解得a ＝53， ∴P 点坐标为：P 1（﹣1，53）； ∴当CM ＝PM 时，（﹣1）2+32＝a 2，解得a ＝±10， ∴P 点坐标为：P 2（﹣110）或P 3（﹣110）；∴当CM ＝CP 时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a ）2，解得a ＝6， ∴P 点坐标为：P 4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点P ，其坐标为P （﹣110）或P （﹣110）或P （﹣1，6）或P （﹣1，53）； （3）存在，Q （﹣1，2），理由如下：如答图2，点C （0，3）关于对称轴x ＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q ．设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得23 k tk t+=⎧⎨-+=⎩，解得11kt=-⎧⎨=⎩，所以，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．将x＝﹣1代入，得y＝2，即：Q（﹣1，2）；（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a∴S四边形BOCE＝12BF•EF+12（OC+EF）•OF＝12（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+12（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）＝﹣32a2﹣92a+92＝﹣32（a+32）2+638，∴当a＝﹣32时，S四边形BOCE最大，且最大值为638．此时，点E坐标为（﹣32，154）．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．6．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（12，92），对称轴交AB于点N．①求抛物线的解析式；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．【解析】【分析】（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝a21922x⎛⎫-+⎪⎝⎭，把点B的坐标代入求得a的值即可；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝32，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐标，然后推知PN＝MN是否成立即可；（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD ＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．【详解】解：①如图1，∵顶点M的坐标是19,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴设抛物线解析式为y＝21922a x⎛⎫-+⎪⎝⎭（a≠0）．∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，∴点B的坐标是（0，4）．又∵点B在该抛物线上，∴21922a⎛⎫-+⎪⎝⎭＝4，解得a＝﹣2．故该抛物线的解析式为：y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭＝﹣2x2+2x+4；②不存在．理由如下：∵抛物线y＝219222x⎛⎫--+⎪⎝⎭的对称轴是直线x＝12，且该直线与直线AB交于点N，∴点N的坐标是1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴93322MN=-=．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．∵PD∥MN．当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝32．解得 m1＝12（舍去），m2＝32．此时P（32，1）．∵PN∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不是菱形．∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在，理由如下：设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，∴P（n，﹣2n+4）．由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝12OB•OA＝12×4×2＝4．则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．S△ABD＝12（y D﹣y P）（x A﹣x B）＝y D﹣y P＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）＝﹣2n2+4n＝﹣2（n﹣1）2+2．当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．7．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣3x。
2020年中考数学十大题型专练卷10 二次函数的综合应用题
备战2020年中考数学十大题型专练卷题型10 二次函数的综合应用题一、解答题1．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线l ：y kx n =+与y 轴交于点C ，与抛物线2y x bx c =-++的另一个交点为D ，已知(1,0)(5,6)A D --，，P 点为抛物线2y x bx c =++﹣上一动点（不与A 、D 重合）．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作//PF y 轴交直线l 于点F ，求PE PF +的最大值；（3）设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）234y x x =++﹣，直线l 的表达式为：1y x =--；（2）PE PF +最大值：18；（3）存在，P的坐标为：(23+--或(23-+或(45)，﹣或(43)-，. 【分析】（1）将点A 、D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；（2）22223412218PE PF PF x x x x ++++++＝＝（﹣）＝﹣（﹣），即可求解；（3）分NC 是平行四边形的一条边、NC 是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．【详解】解：（1）将点A 、D 的坐标代入直线表达式得：056k n k n -+=⎧⎨+=-⎩，解得：11k n =-⎧⎨=-⎩， 故直线l 的表达式为：1y x ＝--，将点A 、D 的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：234y x x =++﹣； （2）直线l 的表达式为：1y x ＝﹣﹣，则直线l 与x 轴的夹角为45︒， 即：则PE PE ＝，设点P 坐标为234x x x ++（，-）、则点1F x x （，--）， 22223412218PE PF PF x x x x ++++++＝＝（﹣）＝﹣（﹣），20Q ﹣＜，故PE PF +有最大值，当2x ＝时，其最大值为18；（3）5NC ＝，①当NC 是平行四边形的一条边时，设点P 坐标为234x x x ++（，﹣）、则点1M x x （，﹣﹣）， 由题意得：||5MP y y ﹣＝，即：234|15|x x x ++++﹣＝，解得2x =±0或4（舍去0），则点P 坐标为(23+-或(23-+或45（，﹣）；②当NC 是平行四边形的对角线时，则NC 的中点坐标为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设点P 坐标为234m m m ++（，﹣）、则点1M n n （，﹣﹣）， N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形，则NC 的中点即为PM 中点， 即：21m 341,2222n m m n +-++---==， 解得：0m ＝或4﹣（舍去0）， 故点43P （﹣，）；故点P 的坐标为：(23+--或(23-+或45（，﹣）或43（﹣，）． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2．已知二次函数2(0)y ax a =≠的图象过点(2,1)-，点P （P 与0不重合）是图象上的一点，直线l 过点(0,1)且平行于x 轴．PM l ⊥于点M ，点(0,1)F -．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：点P 在线段MF 的中垂线上；（3）设直线PF 交二次函数的图象于另一点Q ，QN l ⊥于点N ，线段MF 的中垂线交l 于点R ，求MR RN的值；（4）试判断点R 与以线段PQ 为直径的圆的位置关系．【答案】（1）214y x =-；（2）见解析；（3）1MR RN=；（4）点R 在以线段PQ 为直径的圆上 【分析】（1）把点(2,1)-代入函数表达式，即可求解；（2）21114y x =-，即21114,1x y PM y =-=-，又11PF y PM ===-=,即可求解；（3）证明PMR ∆≌PFR ∆(SAS)、Rt RFQ ∆≌Rt RNQ ∆()HL ，即RN FR =，即MR FR RN ==，即可求解；（4）在PQR ∆中，由（3）知PR 平分MRF ∠，QR 平分FRN ∠，则1()902PRQ MRF FRN ∠=∠+∠=o ，即可求解． 【详解】解：（1）∵2y ax =(0)a ≠的图象过点(2,1)-，∴212a -=⨯，即14a =，∴214y x =-； （2）设二次函数的图象上的点11(,)P x y ，则1(,1)M x ，21114y x =-，即2114x y =-，11PM y =-，又11PF y PM ===-=，即PF PM =，∴点P 在线段MF 的中垂线上；（3）连接RF ，∵R 在线段MF 的中垂线上，∴MR FR =，又∵PM PF =，PR PR =，∴PMR ∆≌PFR ∆(SAS)，∴90PFR PMR ∠=∠=o ，∴RF PF ⊥，连接RQ ，又在Rt RFQ ∆和Rt RNQ ∆中，∵Q 在214y x =-的图象上，由（2）结论知∴QF QN =， ∵RQ RQ =，∴Rt RFQ ∆≌Rt RNQ ∆()HL ，即RN FR =，即MR FR RN ==，∴1MR RN=； （4）在PQR ∆中，由（3）知PR 平分MRF ∠，QR 平分FRN ∠，∴1()902PRQ MRF FRN ∠=∠+∠=o ， ∴点R 在以线段PQ 为直径的圆上．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识等，其中（3），证明PMR ∆≌PFR ∆(SAS)、Rt RFQ ∆≌R Rt RNQ ∆()HL 是本题解题的关键．3．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （-1，0），点B （-3,0），且OB =OC ，（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，且∠POB =∠ACB ，求点P 的坐标；（3）抛物线上两点M ，N ，点M 的横坐标为m ，点N 的横坐标为m +4.点D 是抛物线上M ，N 之间的动点，过点D 作y 轴的平行线交MN 于点E ,①求DE 的最大值.②点D 关于点E 的对称点为F .当m 为何值时，四边形MDNF 为矩形？【答案】（1）243y x x =---；（2）点P 坐标为(2,1),-或33(,)24-或99(,48-+-+或99(48+--；（3）①当2t m =+时，DE 最大值为4，②当42m =-+或42--时，四边形MDNF 为矩形.【分析】（1）已知抛物线与x 轴两交点坐标，可设交点式y =a （x +1）（x +3）；由OC =OB =3得C （0，-3），代入交点式即求得a =-1．（2）由∠POB =∠ACB 联想到构造相似三角形，因为求点P 坐标一般会作x 轴垂线PH 得Rt △POH ，故可过点A 在BC 边上作垂线AG ，构造△ACG ∽△POH ．利用点A 、B 、C 坐标求得AG 、CG 的长，由相似三角形对应边成比例推出12PH AG OH CG ==．设点P 横坐标为p ，则OH 与PH 都能用p 表示，但需按P 横纵坐标的正负性进行分类讨论．得到用p 表示OH 与PH 并代入OH =2PH 计算即求得p 的值，进而求点P 坐标． （3）①用m 表示M 、N 横纵坐标，把m 当常数求直线MN 的解析式．设D 横坐标为t ，把x =t 代入直线MN 解析式得点E 纵坐标，D 与E 纵坐标相减即得到用m 、t 表示的DE 的长，把m 当常数，对未知数t 进行配方，即得到当t =m +2时，DE 取得最大值．②由矩形MDNF 得MN =DF 且MN 与DF 互相平分，所以E 为MN 中点，得到点D 、E 横坐标为m +2．由①得d =m +2时，DE =4，所以MN =8．用两点间距离公式用m 表示MN 的长，即列得方程求m 的值．【详解】解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A （-1，0），点B （-3，0）∴设交点式y =a （x +1）（x +3）∵OC =OB =3，点C 在y 轴负半轴∴C （0，-3）把点C 代入抛物线解析式得：3a =-3∴a =-1∴抛物线解析式为y =-（x +1）（x +3）=-x 2-4x -3（2）如图1，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H∴∠AGB =∠AGC =∠PHO =90°∵∠ACB =∠POB∴△ACG ∽△POHAG CG PH OH∴= AG PH CG OH∴= ∵OB =OC =3，∠BOC =90°∴∠ABC =45°，BC =∴△ABG 是等腰直角三角形2AG BG AB ===CG BC BG ∴=-==12PH AG OH CG ∴== ∴OH =2PH设P （p ，-p 2-4p -3）①当p ＜-3或-1＜p ＜0时，点P 在点B 左侧或在AC 之间，横纵坐标均为负数∴OH =-p ，PH =-（-p 2-4p -3）=p 2+4p +3∴-p =2（p 2+4p +3）解得：12p p ==99,48P ⎛⎫∴-- ⎪ ⎪⎝⎭或99,48⎛--+ ⎝⎭②当-3＜p ＜-1或p ＞0时，点P 在AB 之间或在点C 右侧，横纵坐标异号∴p =2（p 2+4p +3）解得：p 1=-2，p 2=-32∴P （-2，1）或33,24⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述，点P 的坐标为(2,1),-或33(,)24-或或(； （3）①如图2，∵x =m +4时，y =-（m +4）2-4（m +4）-3=-m 2-12m -35∴M （m ，-m 2-4m -3），N （m +4，-m 2-12m -35）设直线MN 解析式为y =kx +n∴2243(4)1235km n m m k m n m m ⎧+=---⎨++=---⎩ 解得：22843k m n m m =--⎧⎨=+-⎩ ∴直线MN ：y =（-2m -8）x +m 2+4m -3设D （t ，-t 2-4t -3）（m ＜t ＜m +4）∵DE ∥y 轴∴x E =x D =t ，E （t ，（-2m -8）t +m 2+4m -3）∴DE =-t 2-4t -3-[（-2m -8）t +m 2+4m -3]=-t 2+（2m +4）t -m 2-4m =-[t -（m +2）]2+4∴当t =m +2时，DE 的最大值为4．②如图3，∵D 、F 关于点E 对称∴DE =EF∵四边形MDNF 是矩形∴MN =DF ，且MN 与DF 互相平分∴DE = 12MN ，E 为MN 中点 422D E m m x x m ++===+ 由①得当d =m +2时，DE =4∴MN =2DE =8∴（m +4-m ）2+[-m 2-12m -35-（-m 2-4m -3）]2=82解得：1244m m =--=-+∴m 的值为4--4-+MDNF 为矩形． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩形的性质．第（3）题没有图要先根据题意画草图帮助思考，设计较多字母运算时抓住其中的常量和变量来分析和计算．4．如图，已知直线AB 与抛物线C ：2y ax 2x c =++ 相交于()1,0A -和点()B 2,3两点.⑴求抛物线C 的函数表达式；⑵若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA MB 、为相邻两边作平行四边形MANB ,当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线17y 4=的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】⑴2y x 2x 3=-++；⑵当12a = ，S □MANB =2S △ABM =274 ，此时115M ,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑶存在. 当15F 1,4⎛⎫ ⎪⎝⎭时，无论x 取任何实数，均有PG PF =. 理由见解析. 【分析】（1）利用待定系数法，将A ，B 的坐标代入y =ax 2+2x +c 即可求得二次函数的解析式；（2）过点M 作MH ⊥x 轴于H ，交直线AB 于K ，求出直线AB 的解析式，设点M （a ，-a 2+2a +3），则K （a ，a +1），利用函数思想求出MK 的最大值，再求出△AMB 面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）如图2，分别过点B ，C 作直线y =174的垂线，垂足为N ，H ，设抛物线对称轴上存在点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线y =174的距离，其中F （1，a ），连接BF ，CF ，则可根据BF =BN ，CF =CN 两组等量关系列出关于a 的方程组，解方程组即可．【详解】（1）由题意把点（-1，0）、（2，3）代入y =ax 2+2x +c ，得，20443a c a c -+=⎧⎨++=⎩， 解得a =-1，c =3，∴此抛物线C 函数表达式为：y =-x 2+2x +3；（2）如图1，过点M 作MH ⊥x 轴于H ，交直线AB 于K ，将点（-1，0）、（2，3）代入y=kx+b中，得，0 23k bk b-+⎧⎨+⎩＝＝，解得，k=1，b=1，∴y AB=x+1，设点M（a，-a2+2a+3），则K（a，a+1），则MK=-a2+2a+3-（a+1）=-（a-12）2+94，根据二次函数的性质可知，当a=12时，MK有最大长度94，∴S△AMB最大=S△AMK+S△BMK=12MK•AH+12MK•（x B-x H）=12MK•（x B-x A）=12×94×3=278，∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，S最大=2S△AMB最大=2×278=274，M（12，154）；（3）存在点F，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴对称轴为直线x=1，当y=0时，x1=-1，x2=3，∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），如图2，分别过点B，C作直线y=174的垂线，垂足为N，H，抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=174的距离，设F（1，a），连接BF，CF，则BF=BN=174-3=54，CF=CH=174，由题意可列：2222225 (21)(3)417(31)4aa⎧⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得，a=154，∴F（1，154）．【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时，△ABM的面积最大，且此时线段MK的长度也最大．5．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.（1）求抛物线的解析式；（2）F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接M 、N 、G 、F 构成四边形MNGF ，求四边形MNGF 周长的最小值；（3）在x 轴下方且在抛物线上是否存在点P ，使△ODP 中OD P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K 、L ，且直线KL 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.【答案】（1）y ＝12x 2﹣4x ；（2）四边形MNGF 周长最小值为；（3）存在点P ，P 坐标为（6，﹣6）；（4）抛物线平移的距离为3个单位长度.【分析】（1）由点E 在x 轴正半轴且点A 在线段OE 上得到点A 在x 轴正半轴上，所以A （2，0）；由OA ＝2，且OA ：AD ＝1：3得AD ＝6.由于四边形ABCD 为矩形，故有AD ⊥AB ，所以点D 在第四象限，横坐标与A 的横坐标相同，进而得到点D 坐标.由抛物线经过点D 、E ，用待定系数法即求出其解析式；（2）画出四边形MNGF ，由于点F 、G 分别在x 轴、y 轴上运动，故可作点M 关于x 轴的对称点点M '，作点N 关于y 轴的对称点点N '，得FM ＝FM '、GN ＝GN '.易得当M '、F 、G 、N '在同一直线上时N 'G +GF +FM '＝M 'N '最小，故四边形MNGF 周长最小值等于MN +M 'N '.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M 、M '、N 、N '坐标，即求得答案；（3）因为OD 可求，且已知△ODP 中OD 边上的高，故可求△ODP 的面积.又因为△ODP 的面积常规求法是过点P 作PQ 平行y 轴交直线OD 于点Q ，把△ODP 拆分为△OPQ 与△DPQ 的和或差来计算，故存在等量关系.设点P 坐标为t ，用t 表示PQ 的长即可列方程.求得t 的值要讨论是否满足点P 在x 轴下方的条件；（4）由KL 平分矩形ABCD 的面积可得K 在线段AB 上、L 在线段CD 上，画出平移后的抛物线可知，点K 由点O 平移得到，点L 由点D 平移得到，故有K （m ，0），L （2+m ，-6）.易证KL 平分矩形面积时，KL 一定经过矩形的中心H 且被H 平分，求出H 坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m 的值.【详解】（1）∵点A 在线段OE 上，E （8，0），OA ＝2∴A （2，0）∵OA ：AD ＝1：3∴AD ＝3OA ＝6∵四边形ABCD是矩形∴AD⊥AB∴D（2，﹣6）∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E∴426 6480 a ba b+=-⎧⎨+=⎩解得：124 ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为y＝12x2﹣4x（2）如图1，作点M关于x轴的对称点M'，作点N关于y轴的对称点N'，连接FM'、GN'、M'N'∵y＝12x2﹣4x＝12（x﹣4）2﹣8∴抛物线对称轴为直线x＝4∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）∴y C＝y D＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称∴x C＝4+（4﹣x D）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）∴AB＝CD＝4，B（6，0）∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4∴M（6，﹣4）∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上∴M'（6，4），FM＝FM'∵N为CD中点∴N（4，﹣6）∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小∴C四边形MNGF＝MN+M'N'===∴四边形MNGF周长最小值为（3）存在点P，使△ODP中OD.过点P作PQ∥y轴交直线OD于点Q∵D（2，﹣6）∴OD=OD解析式为y＝﹣3x设点P坐标为（t，12t2﹣4t）（0＜t＜8），则点Q（t，﹣3t）①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧∴PQ＝y Q﹣y P＝﹣3t﹣（12t2﹣4t）＝﹣12t2+t∴S△ODP＝S△OPQ+S△DPQ＝12PQ•x P+12PQ•（x D﹣x P）＝12PQ（x P+x D﹣x P）＝12PQ•x D＝PQ＝﹣12t2+t∵△ODP中OD边上的高h，∴S△ODP＝12 OD•h∴﹣12t2+t＝125方程无解②如图3，当2＜t ＜8时，点P 在点D 右侧∴PQ ＝y P ﹣y Q ＝12t 2﹣4t ﹣（﹣3t ）＝12t 2﹣t ∴S △ODP ＝S △OPQ ﹣S △DPQ ＝12PQ •x P ﹣12PQ •（x P ﹣x D ）＝12PQ （x P ﹣x P +x D ）＝12PQ •x D ＝PQ ＝12t 2﹣t∴12t 2﹣t ＝12 解得：t 1＝﹣4（舍去），t 2＝6∴P （6，﹣6）综上所述，点P 坐标为（6，﹣6）满足使△ODP 中OD . （4）设抛物线向右平移m 个单位长度后与矩形ABCD 有交点K 、L∵KL 平分矩形ABCD 的面积∴K 在线段AB 上，L 在线段CD 上，如图4∴K （m ，0），L （2+m ，-6）连接AC ，交KL 于点H∵S△ACD＝S四边形ADLK＝12S矩形ABCD∴S△AHK＝S△CHL ∵AK∥LC∴△AHK∽△CHL∴2ΔAHKΔCHLS AHS CH⎛⎫= ⎪⎝⎭=2()KHHL=1，∴AH＝CH，KH=HL，即点H为AC中点，也是KL中点∴H（4，﹣3）∴m2m42++=∴m＝3∴抛物线平移的距离为3个单位长度.【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式.易错的地方有第（1）题对点D、C、B坐标位置的准确说明，第（3）题在点D左侧不存在满足的P在点D左侧的讨论，第（4）题对KL必过矩形中心的证明.6．如图，在直角坐标系中，直线132y x=-+与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为1x=的抛物线过,B C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与ABC∆相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）211384y x x =-++；（2）点21(3,)8P ；（3）点Q 的坐标为：(2,3)或(12,12)-或(10,12)--． 【分析】（1）y =12-x +3，令x =0，则y =3，令y =0，则x =6，故点B 、C 的坐标分别为：（6，0）、（0，3），即可求解；（2）PH =PGcos α=2111x x 3x 35842⎫-+++-⎪⎝⎭,即可求解； （3）分点Q 在x 轴上方、点Q 在x 轴下方两种情况，分别求解． 【详解】（1）132y x =-+，令0x =，则3y =，令0y =，则6x =， 故点,B C 的坐标分别为(6,0)、(0,3)，抛物线的对称轴为1x =，则点(4,0)A -，则抛物线的表达式为：2(6)(4)(224)y a x x a x x =-+=--，即243a -=，解得：18a =-， 故抛物线的表达式为：211 y x x 384=-++ （2）过点P 作y 轴的平行线交BC 于点G ，作PH BC ⊥于点H ，将点,B C 坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC 的表达式为：132y x =-+， 则HPG CBA α∠=∠=，1tan tan2OC CBA OB α∠===，则cos α=， 设点211(,3)84P x x x -++，则点1(,3)2G x x -+，则22111cos 33)842PH PG x x x α==-+++-=+∵0<，故PH 有最小值，此时3x =， 则点21(3,)8P ； （3）①当点Q 在x 轴上方时，则点,,Q A B 为顶点的三角形与ABC ∆全等，此时点Q 与点C 关于函数对称轴对称，则点(2,3)Q ；②当点Q 在x 轴下方时，,,Q A B 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则'ACB Q AB ∠=∠，当'ABC ABQ ∠=∠时，直线BC 表达式的k 值为12-，则直线'BQ 表达式的k 值为12， 设直线'BQ 表达式为：12y x b =+，将点B 的坐标代入上式并解得： 直线'BQ 的表达式为：132y x =-②， 联立①②并解得：6x =或﹣8（舍去6），故点'()Q Q 坐标为(8,7)--（舍去）；当'ABC ABQ ∠=∠时，同理可得：直线'BQ 的表达式为：3942y x =-③， 联立①③并解得：6x =或﹣10（舍去6），故点'()Q Q 坐标为(10,12)--，由点的对称性，另外一个点Q 的坐标为(12,12)-；综上，点Q 的坐标为：(2,3)或 (12,12)-或(10,12)--．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．7．如图，在平面在角坐标系中，抛物线y =x 2-2x -3与x 轴交与点A ，B （点A 在点B 的左侧）交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．（1）连结BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN ⊥BD 交抛物线于点N （点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH ⊥x 轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MN 取得最大值时，求HF +FP +13PC 的最小值；（2）在（1）中，当MN 取得最大值HF +FP +1/3PC 取得小值时，把点P Q ，连结AQ ，把△AOQ 绕点O 瓶时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到△AOQ ，其中边AQ 交坐标轴于点C 在旋转过程中，是否存在一点G 使得''Q Q OG ∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）133+；（2）存在，Q 的坐标，﹣5），（5），，5），（5，） 【分析】（1）先确定点F 的位置，可设点N （m ，m 2-2m -3），则点F （m ，2m -6），可得|NF |=（2m -6）-（m 2-2m -3）=-m 2+4m -3，根据二次函数的性质得m =b 2a- 时，NF 取到最大值，此时HF =2， F （2，-2），在x 轴上找一点K （，0），连接CK ，过点F 作CK 的垂线交CK 于点J ，交y 轴于点P ，1sin 3OCK ∠=，直线KC 的解析式为：3y =-- ，从而得到直线FJ 的解析式为：442y x +=-联立解出点J（29-, 199--）得FP +13PC 的最小值即为FJ 的长，且1||3FJ =+, 最后得出1|3min HF FP P C ++= ;（2）由题意可得出点Q （0，-2），A “直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半”取AQ 的中点G ，连接OG ，则OG =GQ =12AQ ，此时，∠AQ 0=∠GOQ ，把△AOQ 绕点O 顺时针旋转一定的角度α （0°<α<360°），得到△A 'OQ '，其中边A ’Q ’交坐标轴于点G ，则用0G =GQ ’，分四种情况求解即可.【详解】解：（1）如图1∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C∴令y ＝0解得：x 1＝﹣1，x 2＝3，令x ＝0，解得：y ＝﹣3，∴A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）∵点D 为抛物线的顶点，且22441(3)41,22441b ac b a a --⨯⨯---=-==⨯﹣4 ∴点D 的坐标为D （1，﹣4）∴直线BD 的解析式为：y ＝2x ﹣6，由题意，可设点N （m ，m 2﹣2m ﹣3），则点F （m ，2m ﹣6）∴|NF |＝（2m ﹣6）﹣（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣m 2+4m ﹣3∴当m ＝2b a-＝2时，NF 取到最大值，此时MN 取到最大值，此时HF ＝2， 此时，N （2，﹣3），F （2，﹣2），H （2，0）在x 轴上找一点K （4-，0），连接CK ，过点F 作CK 的垂线交CK 于点J 点，交y 轴于点P ，∴sin ∠OCK ＝13，直线KC 的解析式为：3y =--，且点F （2，﹣2），∴PJ ＝13PC ，直线FJ 的解析式为：y x =-∴点J , ）∴FP +13PC 的最小值即为FJ 的长，且1||33FJ =+∴17|33min HF FP P C +++=；（2）由（1）知，点P （0， 42+-），∵把点P 向上平移2个单位得到点Q ∴点Q （0，﹣2）∴在Rt △AOQ 中，∠AOG ＝90°，AQ 取AQ 的中点G ，连接OG ，则OG ＝GQ ＝12AQ ，此时，∠AQO ＝∠GOQ把△AOQ 绕点O 顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A ′OQ ′，其中边A ′Q ′交坐标轴于点G ①如图2G 点落在y 轴的负半轴，则G （0），过点Q '作Q 'I ⊥x 轴交x 轴于点I ，且∠GOQ '＝∠Q ' 则∠IOQ '＝∠OA 'Q '＝∠OAQ ，∵sin ∠OAQ ＝OQAQ∴sin 25IQ IQ IOQ OQ '''∠===，解得：|IO |＝5∴在Rt △OIQ '中根据勾股定理可得|OI |＝∴点Q'的坐标为Q'；②如图3，）当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（5③如图4当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'）④如图5当G 点落在x 轴的负半轴上时，同理可得Q '（﹣5）综上所述，所有满足条件的点Q ′的坐标为：，﹣5），（5），，5），（5，） 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点求法和与几何图形结合的综合能力的培养及直角三角形的中线性质．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用通过求点的坐标来表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8．已知抛物线2y x bx c =-++的对称轴为直线1x =，其图像与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,3)C（1）求b ，c 的值； （2）直线l 与x 轴交于点P ．①如图1，若l ∥y 轴，且与线段AC 及抛物线分别相交于点E 、F ，点C 关于直线1x =的对称点为D ，求四边形CEDF 面积的最大值；②如图2，若直线l 与线段BC 相交于点Q ，当PCQ ∆∽CAP ∆时，求直线l 的表达式．【答案】（1）23b c =⎧⎨=⎩；（2）①四边形CEDF 的面积最大值为94；②32y x =-+【分析】（1）根据抛物线的对称轴及抛物线与y 轴的交点坐标可求出b 、c 的值；（2）由题意先求出D 点坐标为（2，3），求出直线AC 的解析式，设2(,23)F e e e -++，(,3)E e e -+，则23EF e e =-+，四边形CEDF 的面积可表示为12CD EF g ，利用二次函数的性质可求出面积的最大值；（3）当△PCQ ∽△CAP 时，可得45QCP OAC ∠=∠=︒，ACP BCO ∠=∠，作PH AC ⊥于H 点，设(,0)P m ，可求出PH 、CH 的长，得到P 点坐标，即可得出函数解析式．【详解】解：（1）由题意可得： 123bc ⎧-=⎪-⎨⎪=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩；（2）①由题可知(2,3)D ，CD EF ⊥ ∴2CD =，令2230y x x =-++=，解得：121,3x x =-=,∴(3,0)A ，(1,0)B - ∴AC l ：3y x =-+设2(,23)F e e e -++，则(,3)E e e -+ ∴23EF e e =-+ ∴221393()224CEDF S CD EF e e e ==-+=--+g 四边形， ∴当32e =时，四边形CEDF 的面积最大，最大值为94. ②由（1）可知45OAC OCA ∠=∠=︒由PCQ ∆∽CAP ∆可得45QCP OAC ∠=∠=︒ ∴QCP OCA ∠=∠， ∴ACP BCO ∠=∠，由(1,0)B -，(0,3)C 可得1tan 3BCO ∠= ∴1tan 3ACP ∠=， 作PH AC ⊥于H 点，设(,0)P m ，则3AP m =-，∴)2PH AH m ==-，(3)2CH m =+，)1tan 32m PH ACP CH -==∠=，即3133m m -=+ 解得32m =， ∴3(,0)2P ∴l ：32y x =-+.【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题，会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．9．如图，已知抛物线(2)(6)y a x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且tan 32CAB ∠=.设抛物线的顶点为M ，对称轴交x 轴于点N . （1）求抛物线的解析式；（2）P 为抛物线的对称轴上一点，(,0)Q n 为x 轴上一点，且PQ PC ⊥. ①当点P 在线段MN (含端点)上运动时，求n 的变化范围； ②当n 取最大值时，求点P 到线段CQ 的距离；③当n 取最大值时，将线段．．CQ 向上平移t 个单位长度，使得线段．．CQ 与抛物线有两个交点，求t 的取值范围.【答案】（1）1(2)(6)4y x x =-+-；（2）①748n ≤≤②2③49316t ≤< 【分析】（1）由解析式可知点A （-2，0），点B （6,0）根据∠=CAB 3tan 2CO CAO AO ∠==，可得OC =3，即点C （0,3），代入解析式即可求a .（2）①由解析式求得顶点M (2,4)，设P 点坐标为（2，m ）（其中0≤m ≤4），利用勾股定理将PC 、PQ 、CQ 用含m ，n 的式子表示，再利用△PCQ 为直角三角形，可利用勾股定理得PC 2+PQ 2=CQ 2，将含m ，n 的式子代入整理可得一个关于m ，n 的二次函数，且0≤m ≤4，通过二次函数增减性可求得n 取值范围.②当n 取最大值4时，m =4，可得点P （2,4），Q （4,0），故可求得PC PQ CQ =5，利用直角三角形等面积法可求得点P 到线段CQ 距离③由题意求得线段CQ 的解析式为：334y x =-+，故可设线段CQ 向上平移t 个单位长度后的解析式为：334y x t =-++，当线段CQ 向上平移，使点Q 恰好在抛物线上时，线段CQ 与抛物线有两个交点，此时可求对应的点'Q 的纵坐标为，进而求得此时t 值，当线段CQ 继续向上平移，线段CQ 与抛物线只有一个交点时，联解抛物线与CQ ’的解析式并化简得一元二次方程，有一个交点可知由0∆=，得此时t 值，即可解题.【详解】解：（1）根据题意得：(2,0)A -,(6,0)B ， 在Rt AOC ∆中Q 3tan 2CO CAO AO ∠==，且2OA =, ∴3CO =，(0,3)C ∴,将C 点坐标代入(2)(6)y a x x =+-得：14a =-，故抛物线解析式为：()()1264=-+-y x x ； （2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：x =2，顶点M (2,4)，设P 点坐标为（2，m ）（其中0≤m ≤4）， 则PC 2=22+(m -3)2，PQ 2=m 2+(n -2)2，CQ 2=32+n 2， ∵PQ ⊥PC ，∴在Rt △PCQ 中中，由勾股定理得：PC 2+PQ 2=CQ 2, 即22+(m -3)2+ m 2+(n -2)2=32+n 2，整理得：n =()21342-+m m =2137228⎛⎫-+ ⎪⎝⎭m （0≤m ≤4）， ∴当32m =时，n 取得最小值为78；当4m =时，n 取得最大值为4， ∴78≤n ≤4； ②由①知：当n 取最大值4时，m =4，∴P （2,4），Q （4,0）则PC PQ CQ =5， 设点P 到线段CQ 距离为h ， 由1122PCQ S CQ h PC PQ ∆=⋅=⋅， 得：2PC PQh CQ⋅== 故点P 到线段CQ 距离为2；③由②可知：当n 取最大值4时，(4,0)Q ，∴线段CQ 的解析式为：334y x =-+，设线段CQ 向上平移t 个单位长度后的解析式为：334y x t =-++， 当线段CQ 向上平移，使点Q 恰好在抛物线上时，线段CQ 与抛物线有两个交点 此时对应的点'Q 的纵坐标为：1(42)(46)34-+-=， 将'(4,3)Q 代入334y x t =-++得：3t =， 当线段CQ 继续向上平移，线段CQ 与抛物线只有一个交点时，联解1(2)(6)4334y x x y x t ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得：13(2)(6)344x x x t -+-=-++，化简得： 2740x x t -+=，由49160t ∆=-=，得4916t =， ∴当线段CQ 与抛物线有两个交点时，49316t ≤<. 【点睛】本题考查了二次函数求解析式，锐角三角函数，勾股定理，一次函数的平移，与二次函数的交点情况，解本题的关键是通过建立新的二次函数模型和一元二次方程模型来解题. 10．如图1，已知抛物线2y x bx c ++＝﹣过点1030A B （，），（﹣，）．（1）求抛物线的解析式及其顶点C 的坐标；（2）设点D 是x 轴上一点，当()4tan CAO CDO ∠+∠＝时，求点D 的坐标；（3）如图2．抛物线与y 轴交于点E ，点P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段P A 交BE 于点M ，交y轴于点N ，BMP ∆和EMN ∆的面积分别为mn 、，求m n ﹣的最大值． 【答案】（1）223y x x =+﹣﹣，顶点C 的坐标为-（-1,4）；（2）(19,0)D -；（3）m n -的最大值为8132. 【分析】（1）利用待定系数法，将A ，B 的坐标代入2y x bx c ++＝﹣即可求得二次函数的解析式； （2）设抛物线对称轴与x 轴交于点H ，在Rt CHO ∆中，可求得4tan COH ∠＝，推出ACO CDO ∠∠＝，可证AOC ACD ∆∆∽，利用相似三角形的性质可求出AD 的长度，进一步可求出点D 的坐标，由对称性可直接求出另一种情况；（3）设22232310P a a a P a a a A ++（，--），（，--），（，）代入y kx b +＝，求出直线P A 的解析式，求出点N 的坐标，由BPM BPAAON EMN EBO BMNO BMNO S S S S S S S ∆∆∆∆∆四边形四边形＝﹣﹣，＝﹣，可推出BPM EMN BPA EBO AON S S S S S ∆∆∆∆∆﹣＝﹣﹣，再用含a 的代数式表示出来，最终可用函数的思想来求出其最大值．【详解】解：（1）由题意把点(1,0),(3,0)-代入2y x bx c ++＝﹣， 得，10930b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得23b c ＝-，＝，223y x x ∴+＝﹣﹣214x ++＝-（），∴此抛物线解析式为：223y x x +＝﹣﹣，顶点C 的坐标为14（﹣，） （2）∵抛物线顶点14C （﹣，）， ∴抛物线对称轴为直线1x ＝﹣， 设抛物线对称轴与x 轴交于点H ， 则10H （﹣，）， 在Rt CHO ∆中，41CH OH ＝，＝，CH4OHtan COH ∴∠＝＝， COH CAO ACO ∠∠+∠Q ＝， ∴当ACO CDO ∠∠＝时，4tan CAO CDO tan COH ∠+∠∠（）＝＝， 如图1，当点D 在对称轴左侧时， ACO CDO CAO CAO ∠∠∠∠Q ＝，＝，AOC ACD ∴∆∆∽，AC AOAD AC∴=1AC AO ===Q ，=20AD ∴=， 19OD ∴=，(19,0);D ∴-当点D 在对称轴右侧时，点D 关于直线1x ＝的对称点D '的坐标为170（，）， ∴点D 的坐标为190（﹣，）或170（，）； （3）设223P a a a +（，-﹣）， 将22310P a a a A +（，-﹣），（，）代入y kx b +＝， 得，2230ak b a a k b ⎧+=--+⎨+=⎩，解得，33k a b a +＝-﹣，＝，33PA y a x a ∴++＝（﹣﹣）当0x ＝时，3y a +＝， 03N a ∴+（，）， 如图2，BPM BPA AON EMN EBO BMNO BMNO S S S S S S S ∆∆∆∆∆Q 四边形四边形＝﹣﹣，＝﹣，BPM EMN S S ∆∆∴﹣ BPA EBO AON S S S ∆∆∆＝﹣﹣()2111423331(3)222a a a =⨯⨯--+-⨯⨯-⨯⨯+ 2922a a =--29812832a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质知，当98a =-时，BPMEMN S S ∆∆﹣有最大值8132， BMP ∆Q 和EMN ∆的面积分别为m 、n ，m n ∴-的最大值为8132．【点睛】考查了用待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，用函数思想求极值等，解题关键是能够设出点P 坐标，求出含参数的直线P A 的解析式，进一步表示出点N 坐标． 11．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-． （1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10（3）故点P 坐标为：315(,)24或33()24+--或33(24--+． 【分析】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解；（2）矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解；（3）2711sin45822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯94PH HG ==，即可求解． 【详解】（1）二次函数表达式为：()214y a x =-+，将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-，故函数表达式为：223y x x =-++…①；（2）设点M 的坐标为()2,23x x x -++，则点()22,23N x x x --++，则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，矩形MNHG 的周长()()2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++， ∵20-<，故当22b x a=-=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合；（3）PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916， 则99272316168PNC S MN GM ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ，过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =，过点P 作PK CD ⊥于点K ，将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD 的表达式为：3y x =-+，OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=︒=∠，CD =设点()2,23P x x x -++，则点(),3H x x -+， 2711sin45822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯ 解得：94PH HG ==， 则292334PH x x x =-+++-=， 解得：32x =，故点315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线n 的表达式为：93344y x x =-+-=-+…②，联立①②并解得：x =即点'P 、''P 的坐标分别为3324⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭、3324⎛--+ ⎝⎭；故点P 坐标为：315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或33,24⎛+-- ⎝⎭或33,24⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x =与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点.点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，CAD ∆绕点C 顺时针旋转得到CFE ∆，点A 恰好旋转到点F ，连接BE .（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（3）如图2，过顶点D 作1DD x ⊥轴于点1D ，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM x ⊥轴，点M 为垂足，使得PAM ∆与1DD A ∆相似（不含全等）.①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标；②直接回答．．．．这样的点P 共有几个？【答案】（1）()1,0A ，()7,0B -，(3,D --；（2）证明见解析；（3）①点P 的横坐标为53-，11-，373-，②点P 共有3个. 【分析】(1)令y =0，可得关于x 的方程，解方程求得x 的值即可求得A 、B 两点的坐标，对解析式配方可得顶点D 的坐标；(2)由CF CA =，CO ⊥AF ，可得OF =OA =1，如图2，易得1DD F COF ∆~∆，由此可得OC =证明ACF ∆为等边三角形，推导可得//EC BF ，再由6EC DC ==，6BF =，可得//EC BF ，问题得证；(3)①设点P的坐标为2x x ⎛ ⎝⎭，分三种情况：点P 在B 点左侧，点P 在A 点右侧，点P 在AB 之间，分别讨论即可得；②由①的结果即可得.【详解】(1)20x x =， 解得1x =或7-，故()1,0A ，()7,0B -，配方得)23y x =+-(3,D --； (2)∵CF CA =，CO ⊥AF ，∴OF =OA =1，如图，DD 1⊥轴，∴DD 1//CO ，∴1DD F COF ∆~∆， ∴11D D CO FD OF=，即CO =21，∴OC =∴CF，∴2CA CF FA ===，即ACF ∆为等边三角形，∴∠AFC =∠ACF =60°，∵∠ECF =∠ACF ，∴AFC ECF ∠=∠，∴//EC BF ，∵CF ：DF =OF ：FD 1=1：2，∴DF =4，∴CD =6，又∵6EC DC ==，6BF =， ∴//EC BF ，∴四边形BFCE 是平行四边形；(3)①设点P的坐标为2x x ⎛ ⎝⎭，(ⅰ)当点P 在B 点左侧时，因为PAM ∆与1DD A ∆相似，则1)11PM MA DD D A=，即214x x x -，∴11x =(舍)，x 2=-11； 2)11PM MA AD DD =，即28484x x ，。
中考数学每日一练：一元二次方程的应用练习题及答案_2020年压轴题版
中考数学每日一练：一元二次方程的应用练习题及答案_2020年压轴题版答案答案2020年中考数学：方程与不等式_一元二次方程_一元二次方程的应用练习题~~第1题~~(2017蜀山.中考模拟) 如图，△AEF 中，∠EAF=45°，AG ⊥EF 于点G ，现将△AEG 沿AE 折叠得到△AEB ，将△AFG 沿AF折叠得到△AFD ，延长BE 和DF 相交于点C ．（1） 求证：四边形ABCD 是正方形；（2） 连接BD 分别交AE 、AF 于点M 、N ，将△ABM 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADH ，试判断线段M N 、ND 、DH 之间的数量关系，并说明理由．（3） 若EG=4，GF=6，BM=3 ，求AG 、MN 的长．考点： 一元二次方程的应用;勾股定理;正方形的判定;翻折变换（折叠问题）;~~第2题~~(2017南宁.中考模拟) 如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ．（1） 求抛物线的函数解析式．（2） 设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，若四边形AODE 是平行四边形，求点D 的坐标．（3） 联接BC 交x 轴于点F ．y 轴上是否存在点P ，使得△POC 与△BOF 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．考点： 一元二次方程的应用;~~第3题~~(2016舟山.中考真卷) 小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度v （m/s ）与时间t （s ）的关系如图1中的实线所示，行驶路程s （m ）与时间t （s ）的关系如图2所示，在加速过程中，s 与t 满足表达式s=at （1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a 的值；2答案答案（2）求图2中A 点的纵坐标h ，并说明它的实际意义；（3）爸爸在乙处等代理7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v （m/s ）与时间t （s ）的关系如图1中的折线O ﹣B ﹣C 所示，行驶路程s （m ）与时间t （s ）的关系也满足s=at ，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．考点： 一元二次方程的应用;一次函数的实际应用;~~第4题~~(2016深圳.中考模拟) 如图，已知抛物线经过原点o 和x 轴上一点A （4，0），抛物线顶点为E ，它的对称轴与x 轴交于点D ．直线y=﹣2x ﹣1经过抛物线上一点B （﹣2，m ）且与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点F．（1）求m 的值及该抛物线对应的解析式；（2）P （x ，y ）是抛物线上的一点，若S =S ，求出所有符合条件的点P 的坐标；（3）点Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q 、A 、E 、M 四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点M 的运动时间t 的值；若不能，请说明理由．考点： 一元二次方程的应用;待定系数法求二次函数解析式;~~第5题~~(2016宝安.中考模拟) 如图1，抛物线l ；y=ax +bx+c （a ＜0）经过原点，与x 轴的另一个交点为B （4，0），点A 为顶点，且直线OA 的解析式为y=x．（1）如图1，求抛物线l 的解析式；（2）如图2，将抛物线l 绕原点O 旋转180°，得到抛物线l ，l 与x 轴交于点B′，顶点为A′，点P 为抛物线l 上一动点，连接PO 交l 于点Q ，连接PA 、PA′、QA′、QA ．2△A DP △A DC 12112212答案请求：平行四边形PAQA′的面积S 与P 点横坐标x （2＜x≤4）之间的关系式；（3）在（2）的条件下，如图11﹣3，连接BA′，抛物线l 或l 上是否存在一点H ，使得HB=HA′？若存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．考点： 一元二次方程的根;一元二次方程的应用;2020年中考数学：方程与不等式_一元二次方程_一元二次方程的应用练习题答案1.答案：122.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。
综合题：一次函数二次函数反比例函数中考综合题复习
第一部分：一次函数考点归纳：一次函数：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。
☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0)直线位置与k ，b 的关系：（1）k ＞0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为锐角； （2）k ＜0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为钝角； （3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方； （4）b ＝0直线过原点；（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方；平移1，直线x y 31=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。
2， 直线143+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________方法：直线y=kx+b ，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。
直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。
练习：直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；函数图形的性质例题：1．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）A．y=2x-1 B．y=3xC．y=2x2 D．y=-2x+12，一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．二、三、四C．一、二、四 D．一、三、四3，若函数y=（2m+1）x2+（1-2m）x（m为常数）是正比例函数，则m的值为（）A．m>12B．m=12C．m<12D．m=-124、直线y kx b=+经过一、二、四象限，则直线y bx k=-的图象只能是图4中的（）5，若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）A．k>3 B．0<k≤3 C．0≤k<3 D．0<k<36，已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-17，已知关于x的一次函数27y mx m=+-在15x-≤≤上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A．7m>B．1m>C．17m≤≤D．都不对8、如图，两直线1y kx b=+和2y bx k=+在同一坐标系内图象的位置可能是（）9，一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的图象可能是（）xyo xyoxyoxyoA B C D10，,已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？函数解析式的求法：正比例函数设解析式为： ,一个点的坐标带入求k. 一次函数设解析式为： ；两点带入求k,b1，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB（1） 求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；第二部分：二次函数（待讲）课前小测：1，抛物线3)2x (y 2-+=的对称轴是（ ）。
中考数学每日一练：二次函数的实际应用-几何问题练习题及答案_2020年填空题版
考点： 二次函数的实际应用-几20广西壮族自治区.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中两条直线为l1：y＝－3x＋3，l2：y＝－3x＋9，直线l1交x 轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A，E关于y轴对称，抛物线y＝ax2＋bx＋c 过E，B，C三点．下列判断中：①a－b＋c＝0；②2a＋b＋c＝5；③抛物线关于直线x＝1对称；④抛物线过点（b，c）； ⑤S四边形ABCD＝5.
答案
2020年 中 考 数 学 ： 函 数 _二 次 函 数 _二 次 函 数 的 实 际 应 用 -几 何 问 题 练 习 题 答 案
1.答案：
2.答案：
3.答案：
4.答案：
5.答案：
6.答案：
7.答案：
8.答案：
9.答案：
10.答案：
轴，与抛物线交于点B和点C.若AB=AC，∠BAC=90°，则m=________.
考点： 二次函数y=ax^2+bx+c的性质;二次函数的实际应用-几何问题;
答案
~~第2题~~
(2020温州.中考模拟) 已知正方形ABCD是边长为4，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B 重合），连接PA、PB、PC、PD。把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S 1、S 2、S 3 ， 则2S1S 3-S22的最大值是 ________。
中考数学每日一练：二次函数的实际应用-几何问题练习题及答案_2020年填空
题版
2020年 中 考 数 学 ： 函 数 _二 次 函 数 _二 次 函 数 的 实 际 应 用 -几 何 问 题 练 习 题
~~第1题~~ (2020长春.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中考数学每日一练：二次函数与一次函数的综合应用练习题及答案_2020年综合题版
答案答案2020年中考数学：函数_二次函数_二次函数与一次函数的综合应用练习题
~~第1
题~~
(2020宁波.中考模拟) 已知抛物线
与两坐标轴分别交于A(-1,0),C(0,-3),一次函数的图象与抛物线交于B,C
两点（1） 求二次函数的解析式
（2） 请求出一次函数的解析式并结合图象，直接写出当一次函数值小于二次函数时自变量x 的取值范围
考点： 二次函数与一次函数的综合应用;~~第2题~~
(2020武汉.中考模拟) 已知抛物线y ＝x +（2m ﹣1）x ﹣2m （m ＞0.5）的最低点的纵坐标为﹣4.
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 如图1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，D 为抛物线上的一点，BD 平分四边形ABCD 的面积，求点D 的坐标；
（3） 如图2，平移抛物线y ＝x +（2m ﹣1）x ﹣2m ，使其顶点为坐标原点，直线y ＝﹣2上有一动点P ，过点P 作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E 、F （直线PE 、PF 不与y 轴平行），求证：直线EF 恒过某一定点.
考点：
二次函数图象的几何变换;待定系数法求二次函数解析式;二次函数与一次函数的综合应用;~~第3题~~
(2017玉林.中考模拟) 已知抛物线y= x +1（如图所示）．
（1）
填空：抛物线的顶点坐标是（，），对称轴是；
222
答案答案
答案（2）
已知y 轴上一点A （0，2），点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标；（3）
在（2）的条件下，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数的实际应用-几何问题;~~第4题~~
(2020湖州.中考模拟) 如图，
已知抛物线
的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右
侧）与y 轴交于C 点 ．（1） 求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；
（2） 若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由；
（3） 若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN=3时，求M 点的坐标．
考点： 待定系数法求一次函数解析式;二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数的实际应用-动态几何问题;~~第5题~~
(2020长宁.中考模拟)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ x +mx +n 经过点B （6，1），C （5，
0），且与y 轴交于点A ．
（1） 求抛物线的表达式及点A 的坐标；
（2） 点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ ⊥OA ，交线段OA 的延长线于点Q ，如果∠PAB ＝45°．求证：△P QA ∽△ACB ；
（3） 若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F ′恰好在上述抛物线上，求FF ′的长．
考点： 待定系数法求二次函数解析式;二次函数与一次函数的综合应用;相似三角形的判定与性质;2020年中考数学：函数_二次函数_二次函数与一次函数的综合应用练习题答案
1.答案：
2
2.答案：
3.答案：
4.答案：
5.答案：。