北京市海淀区知春里中学2017-2018学年高二下学期3月月考数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF
【解答】解： （1﹣i） （1+i）=1+1=2， ﹣i（1+i）=1﹣i， i（1+i）=﹣1+i， （1+i） （1+i）=2i， 故与 z=1+i 的乘积为实数的是（1﹣i） ， 故选：A． 2． （4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx ）
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16． （10 分）在各项均为正数的数列{an}中，a1=a 且 （Ⅰ）当 a3=2 时，求 a1 的值； （Ⅱ）求证：当 n≥2 时，an+1≤an． 解： （Ⅰ）
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．
（Ⅱ） 某同学用分析法证明此问， 证明过程如下， 请你在横线上填上合适的内容． 证明：要证 n≥2 时，an+1≤an 只需证 只需证 只需证 只需证 只需证 an≥ 根据均值定理， 所以原命题成立． 17． （10 分）已知曲线 f（x）=x3 在点（1，f（1） ）处的切线为 l，其中 x0≠0． （Ⅰ）求直线 l 的方程； （Ⅱ）求证：直线 l 和曲线 f（x）一定有两个不同的公共点． 18． （12 分）已知函数 f（x）=x2﹣alnx﹣x，其中常数 a≠0． （Ⅰ）若函数 f（x）为单调函数，求实数 a 的最大值；
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1． （4 分）下列复数中，与 z=1+i 的乘积为实数的是（ A．1﹣i B．﹣i C．i ） D．1+i ）
2． （4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx
2017-2018年内蒙古包头市北重三中高二(下)3月月考数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年内蒙古包头市北重三中高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）已知变量x，y之间的一组数据如表：则y与x的线性回归直线必过点（）A．（，4）B．（，2）C．（1，4）D．（2，2）2．（5分）P为椭圆上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线P A1与P A2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（）A．直线P A1与P A2的斜率之和为定值B．直线P A1与P A2的斜率之和为定值2C．直线P A1与P A2的斜率之积为定值D．直线P A1与P A2的斜率之积为定值23．（5分）若复数＝2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）椭圆（θ为参数）的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）极坐标系中，圆心在，半径为1的圆的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知点M的极坐标是，它关于直线的对称点坐标是（）A．B．C．D．7．（5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10B．i＜10C．i＜20D．i＞208．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx在x＝1处有极值10，则f（2）等于（）A．1B．2C．﹣2D．﹣19．（5分）用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角10．（5分）函数，则（）A．x＝e为函数f（x）的极大值点B．x＝e为函数f（x）的极小值点C．为函数f（x）的极大值点D．为函数f（x）的极小值点11．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）98与63的最大公约数为a，二进制数110011（2）化为十进制数为b，则a+b＝（）A．53B．54C．58D．60二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（5分）设一组数据51，54，m，57，53的平均数是54，则这组数据的标准差等于．14．（5分）某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样方法抽取10%的工人进行调查，首先在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为000，001，002，…，619），若样本中的最小编号是007，则样本中的最大编号是．15．（5分）观察数组：（1，1，1），（3，2，6），（5，4，20），（7，8，56），（a，b，c），…，则a+b+c＝．16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17．（12分）节能减排以来，兰州市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）估计用电量落在[220，300）中的概率是多少？18．（12分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：（1）请在图中画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x+；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．相关公式：＝，＝﹣．19．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x＝1处有极值﹣4．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．21．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ＝6sinθ．（I）求直角坐标下圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P（l，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|P A|+|PB|的值．22．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝±1处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．2017-2018学年内蒙古包头市北重三中高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）已知变量x，y之间的一组数据如表：则y与x的线性回归直线必过点（）A．（，4）B．（，2）C．（1，4）D．（2，2）【解答】解：由题意知，y与x的线性回归方程必过样本中心点，∵＝＝1.5，＝＝4，∴线性回归方程必过（1.5，4）．故选：A．2．（5分）P为椭圆上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线P A1与P A2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（）A．直线P A1与P A2的斜率之和为定值B．直线P A1与P A2的斜率之和为定值2C．直线P A1与P A2的斜率之积为定值D．直线P A1与P A2的斜率之积为定值2【解答】解：设P（x0，y0），则，即，∵、，∴，为定值．故选：C．3．（5分）若复数＝2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数＝2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i＝（2﹣i）（b﹣i）＝2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b＝﹣3，a＝﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．4．（5分）椭圆（θ为参数）的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（θ为参数），∴（）2+（）2＝cos2θ+sin2θ＝1，即+＝1，其中a2＝16，b2＝9，故c2＝a2﹣b2＝16﹣9＝7（a＞0，b＞0，c＞0），∴其离心率e＝＝．故选：A．5．（5分）极坐标系中，圆心在，半径为1的圆的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，圆心在的直角坐标为（），半径为1．得其直角坐标方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝1，即x2+y2＝x+y所以所求圆的极坐标方程是：ρ2＝cos sinθ＝2ρcos（）．故选：B．6．（5分）已知点M的极坐标是，它关于直线的对称点坐标是（）A．B．C．D．【解答】解：∵点M的极坐标是，∴M点的直角坐标为（，﹣1），直线的直角坐标方程为x＝0，M（，﹣1）关于x＝0的对称点为（﹣，﹣1），（﹣，﹣1）转化为极坐标是（2，），∴M关于直线的对称点坐标是（2，）．故选：B．7．（5分）如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10B．i＜10C．i＜20D．i＞20【解答】解：第一次，n＝2，i＝1满足条件．，S＝，n＝4，i＝2，第二次，n＝4，i＝2满足条件．，S＝+，n＝6，i＝3，…第10次，n＝20，i＝10，满足条件，S＝，n＝22，i＝11，此时i＝11不满足条件．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx在x＝1处有极值10，则f（2）等于（）A．1B．2C．﹣2D．﹣1【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+bx，∴f′（x）＝3x2+2ax+b，∵函数f（x）＝x3+ax2+bx在x＝1处有极值为10，∴，解得a＝﹣12，b＝21，∴f（x）＝x3﹣12x2+21x，∴f（2）＝23﹣12×22+21×2＝2．故选：B．9．（5分）用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角【解答】解：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角”故选：C．10．（5分）函数，则（）A．x＝e为函数f（x）的极大值点B．x＝e为函数f（x）的极小值点C．为函数f（x）的极大值点D．为函数f（x）的极小值点【解答】解：的定义域（0，+∞），求导f′（x）＝，令f′（x）＝＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＝＜0，解得：x＞e，∴函数在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，∴当x＝e时，函数有极大值，故选：A．11．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝的定义域为：x≠0，x∈R，当x＞0时，函数f′（x）＝，可得函数的极值点为：x＝1，当x∈（0，1）时，函数是减函数，x＞1时，函数是增函数，并且f（x）＞0，选项B、D满足题意．当x＜0时，函数f（x）＝＜0，选项D不正确，选项B正确．故选：B．12．（5分）98与63的最大公约数为a，二进制数110011（2）化为十进制数为b，则a+b＝（）A．53B．54C．58D．60【解答】解：∵由题意，98÷63＝1 (35)63÷35＝1…28，35÷28＝1 (7)28÷7＝4，∴98与63的最大公约数为7，可得：a＝7，又∵110011（2）＝1+1×2+0×22+0×23+1×24+1×25＝51，可得：b＝51，∴a+b＝51+7＝58．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（5分）设一组数据51，54，m，57，53的平均数是54，则这组数据的标准差等于2．【解答】解：数据51，54，m，57，53的平均数是54，即×（51+54+m+57+53）＝54，解得m＝55，所以这组数据的方差为s2＝×[（51﹣54）2+（54﹣54）2+（55﹣54）2+（57﹣54）2+（53﹣54）2]＝4，标准差为s＝2．故答案为：2．14．（5分）某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样方法抽取10%的工人进行调查，首先在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为000，001，002，…，619），若样本中的最小编号是007，则样本中的最大编号是617．【解答】解：第一步：将624名职工用随机方式进行编号，第二步：从总体中剔除4人（剔除方法可用随机数法），将剩下的620名职工重新编号，分别为000，001，002，…，619，并分成62段，第三步：在第一段000，001，002，…，009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码007，第四步：将编号为7，7+10，7+20，i 0+20，…，7+610＝617的个体抽出，组成样本．故样本中的最大编号是617，故答案为：617．15．（5分）观察数组：（1，1，1），（3，2，6），（5，4，20），（7，8，56），（a，b，c），…，则a+b+c＝169．【解答】解：易知数组的第1个数依次成等差数列，第2个数依次成等比数列，且这两个数列的通项公式分别为a n＝2n﹣1，，第3个数为该数组前2个数的积．∴a＝a5＝9，∴b＝b5＝16，∴c＝ab＝144，∴a+b+c＝169．故答案为169．16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是y＝2x．【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，＝e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）＝f（﹣x）＝e x﹣1+x，则f′（x）＝e x﹣1+1，f′（1）＝e0+1＝2．∴曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2＝2（x﹣1）．即y＝2x．故答案为：y＝2x．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17．（12分）节能减排以来，兰州市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）估计用电量落在[220，300）中的概率是多少？【解答】解：（1）依题意，20×（0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5）＝1，解得x＝0.007 5．（2）由图可知，最高矩形的数据组为[220，240），∴众数为＝230．∵[160，220）的频率之和为（0.002+0.009 5+0.011）×20＝0.45，∴依题意，设中位数为y，∴0.45+（y﹣220）×0.012 5＝0.5．解得y＝224，∴中位数为224．（3）月平均用电量在[220，330）中的概率是p＝1﹣（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.55．18．（12分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：（1）请在图中画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x+；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．相关公式：＝，＝﹣．【解答】解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．如图所示：（2）x i y i＝6×2+8×3+10×5+12×6＝158，＝＝9，＝＝4，＝62+82+102+122＝344，＝＝＝0.7，＝﹣＝4﹣0.7×9＝﹣2.3，故线性回归方程为＝0.7x﹣2.3．（3）由回归直线方程，当x＝9时，＝0.7×9﹣2.3＝6.3﹣2.3＝4，所以预测记忆力为9的同学的判断力约为4．19．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x＝1处有极值﹣4．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值．【解答】（1）f′（x）＝3x2+2ax+b，依题意有f′（1）＝0，f（1）＝﹣4，即得．（4分）所以f′（x）＝3x2+4x﹣7＝（3x+7）（x﹣1），由f′（x）＜0，得﹣＜x＜1，所以函数f（x）的单调递减区间（﹣，1）．（7分）（2）由（1）知f（x）＝x3+2x2﹣7x，f′（x）＝3x2+4x+7＝（3x+7）（x﹣1），令f′（x）＝0，解得x1＝﹣，x2＝1．f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：由上表知，函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．故可得f（x）min＝f（1）＝﹣4，f（x）max＝f（﹣1）＝8．（13分）20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，∴x2+y2＝2y．同理由C3：ρ＝2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y＝x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α＝时，为x＝0（y≠0）．其极坐标方程为：θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|＝＝4，当时，|AB|取得最大值4．21．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ＝6sinθ．（I）求直角坐标下圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P（l，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|P A|+|PB|的值．【解答】解：（I）圆C的方程为ρ＝6sinθ，即ρ2＝6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程：x2+y2＝6y，配方为x2+（y﹣3）2＝9．（II）直线l的参数方程为（t为参数），代入圆的方程可得：t2﹣7＝0，解得t1＝，t2＝﹣．∴|P A|+|PB|＝|t1﹣t2|＝2．22．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝±1处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数f′（x）＝3ax2+2bx﹣3，依题意，f′（1）＝f′（﹣1）＝0，即，解得a＝1，b＝0．∴f（x）＝x3﹣3x．（4分）（2）f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），∵曲线方程为y＝x3﹣3x，∴点A（1，m）不在曲线上．设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足．∵f′（x0）＝3x02﹣3，∴切线的斜率为，整理得分）∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，∴关于x0方程有三个实根．设，则g′（x0）＝6x02﹣6x0，由g′（x0）＝0，得x0＝0或x0＝1．（12分）∴函数的极值点为x0＝0，x0＝1．∴关于x0方程有三个实根的充要条件是g（1）g（0）＜0，即（m+3）（m+2）＜0，解得﹣3＜m＜﹣2．故所求的实数a的取值范围是﹣3＜m＜﹣2．（14分）。
2017-2018学年北京市中国人民大学附属中学高二下学期第一次月考数学(文)试题(解析版)
1人大附中2017-2018学年下学期高二年级第一次月考卷文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·辽宁期末]已知复数z 满足()i 1i z =-，（i 为虚数单位）） ABC ．2D ．32．[2018·大庆十中]已知x ，y 的取值如下表所示：若y 与x 线性相关，且095y x a =+．，则a =（ ）A ．2.2B ．2.9C ．2.8D ．2.63．[2018·南昌二中]在复平面内，复数20181i 2iz =++对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．[2018·石嘴山三中]下列命题中：①线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过点(),x y ； ②在回归方程ˆ35yx =-中，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③在回归分析中，相关指数2R 为0.80的模型比相关指数2R 为0.98的模型拟合的效果要好；④在回归直线0.58ˆyx =-中，变量2x =时，变量y 的值一定是7-． 其中假命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．[2018·长郡中学]某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动得到如下的列联表：由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++并参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”C ．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”D ．有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”6．[2018·钦州期末]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为105S =，则判断框中应填入（ ）A ．6?i <B ．7?i <C ．9?i <D ．10?i <7．[2018·赣州外国语]甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则以此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号2下选项不正确的是（ ） A ．乙可以知道两人的成绩 B ．丁可以知道两人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8．[2018·山东师范附中]b =c =a ，b ，c 间的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>9．[2018·寻乌中学]对于两个复数12α=-，12β=-，有下列四个结论：①1αβ=；②1αβ=；③1αβ=；④332αβ+=，其中正确的结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．[2018·淮北二中]将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 ……………则在表中数字2017出现在（ ） A ．第44行第80列 B ．第45行第80列 C ．第44行第81列D ．第45行第81列11．[2018·宝安中学]设a ，b ，c 大于0，则3b c ，ca的值（ ） A ．至多有一个不大于1 B ．都大于1 C ．至少有一个不大于1D ．都小于112．[2018·中山一中]ABC △的三边长分别为a ，b ，c ，ABC △的面积为S ，内切圆半径为r ，则:四面体P ABC -的四个面的面积分别为1234S S S S 、、、，内切球的半径为R ，四面体P ABC -的体积为V ，R =（ ）ABCD第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·南昌二中]已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若2i 1i a b +=-，则复数i z a b =+的模z =__________；14．[2018·遂宁期末]执行如图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为____．15．[2018·凌源期末]观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．16．[2018·太原五中]已知表中的对数值有且只有两个是错误的：请你指出这两个错误______________．（答案写成如lg 20a b c ≠+-的形式） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2018·东莞期末]已知复数12i z a =+，234i z =-（a ∈R ，i 为虚数单位） （1）若12•z z 是纯虚数，求实数a 的值；（2）若复数12•z z a 的取值范围．318．[2018·天水一中]如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（x 吨）与相应的生产能耗y （吨）标准煤的几组对照数据：（1）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？（参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆni i i ni i x y nxyb x nx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-）19．[2018·孝感期末]某工厂有工人1000名，为了提高工人的生产技能，特组织工人参加培训．其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人）．现从该工厂的工人中共抽查了100名工人作为样本，调查他们的生产能力（生产能力是指工人一天加工的零件数），得到A 类工人生产能力的茎叶图（图1），B 类工人生产能力的频率分布直方图（图2）．（1）在样本中求A 类工人生产能力的中位数，并估计B 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若规定生产能力在[]130,150内为能力优秀，现以样本中频率作为概率，从1000名工人中按分层抽样共抽取n 名工人进行调查，请估计这n 名工人中的各类人数，完成下面的22⨯列联表．若研究得到在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关，则n 的最小值为多少？ 参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．420．[2018·屯溪一中]某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1），（2），（3），（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形．（1）求出()5f ；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式21．[2018·孝感八校]证明下列不等式：（1）当2a >时，求证：0>； （2）设0a >，0b >，若0a b ab +-=，求证：4a b +≥．22．[2018·射阳调研]对任意函数()f x ，x ∈D ，可按如图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列{x n }．开始i =0输入x i结束i=i+1是否()1i i x f x +=1i x D+∈（1）若定义函数()421x f x x -=+，且输入04965x =，请写出数列{x n }的所有项； （2）若定义函数sin 02f x x x x =π（）（≤≤），且要产生一个无穷的常数列{x n }，试求输入的初始数据x 0的值及相应数列{x n }的通项公式x n ；（3）若定义函数()23f x x =+，且输入x 0=－1，求数列{x n }的通项公式x n ．文科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】()i 1i 1i z =-=+，故z =，故选A ． 2．【答案】D【解析】由表格得()1013424x =+++=，()122434867454y =+++=．．．．．，线性回归直线过样本中点()245，．，450952a ∴=⨯+．．，26a ∴=．，故答案选D ． 3．【答案】C 【解析】()()22i 2i 31i 1i 2i 2i 555--+=-=--+-应的点的坐标为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．4．【答案】C【解析】对于①，线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过点)x y （，，满足回归直线的性质，所以①正确；对于②，在回归方程ˆ35yx =-中，当变量x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，不是增加5个单位；所以②不正确；对于③，在回归分析中，相关指数2R 为0.80的模型比相关指数2R 为0.98的模型拟合的效果要好，该判断恰好相反；所以③不正确；对于④，在回归直线0.58ˆy x =-中，变量2x =时，变量y 的值一定是7-．不是一定为7-，而是可能是7-，也可能在7-附近，所以④不正确；故选C ． 5．【答案】A【解析】()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()211012004007.82 6.63560506050-=≈>⨯⨯⨯．所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”，选A ． 6．【答案】C【解析】执行完第一次循环后1S =，3i =；执行完第二次循环后3S =，5i =；执行完第三次循环后15S =，7i =；执行完第四次循环后105S =，9i =；再返回，由于此时105S =，循环应该结束，故9i =不满足判断条件，判断框中应填入9?i <，故选C ． 7．【答案】C【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知道自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若为两良，甲也会知道自己的成绩）；乙看到了丙的成绩，也就知道自己的成绩，所以乙知道了自己和丙的成绩，所以A 正确；丁看到甲的成绩，甲、丁也为一优一良，所以丁知道自己的成绩，所以丁知道自己和甲的成绩，故B 、D 正确，故选C ． 8．【答案】D【解析】∵a ===b===，c ===<， ∴a cb >>，故选D ． 9．【答案】C【解析】11131222244αβ⎛⎫⎛⎫=-+--=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1αβ≠，111αβ==，33αβ+3，选C ．10．【答案】D【解析】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n 行的最后一个数为n 2．因为442=1936，452=2025，所以2017出现在第45行上．又由2017－1936=81，故2017出现在第81列，故选：D ． 11．【答案】C【解析】由题意，若3b c ，ca的值均大于1，则a b >，b c >，c a >，显然矛盾，若3，b c ，c a 的值均小于1，则a b <，b c <，c a >，显然矛盾，∴3b c ，ca的值至少有一个不大于1，故选C ． 12．【答案】C【解析】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的四个三棱锥体积的和，则四面体的体C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【解析】因为2i1ia b+=-，所以1a=且2b-=，2b=-，所以复数i12iz a b=+=-，z==14．【答案】15【解析】输入3x=，可得7y=7x=，15y=，则71587x y-=-=>，结束循环，输出15y=，故答案为15．15．【答案】1522【解析】由题意得，每一行数字个数分别为11a=，23a=，35a=，，21na n=-，它们成等差数列，则前39行总共有40行最左的数字为1522．16．【答案】lg1.53a b c≠-+，lg1212a b≠-+【解析】因为()lg51lg2lg83lg231a c a c=-=+⇒==--，()lg32lg92lg322a b a b=-⇒==-，则lg21a c=--，lg32lg61a b a b c=-⇒=+--，所以lg1.5lg3lg22131a b a c a c b=-=--++=++-，lg12lg32lg2222222a b a c c b=+=-+--=--，故lg1.53a b c≠-+，lg1212a b≠-+，应填答案lg1.53a b c≠-+，lg1212a b≠-+．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）8=3a-；（2【解析】（1）依据()()()()12=2i34i3846iz z a a a⋅+⋅-=++-+········2分根据题意12z z⋅是纯虚数，故3+8=0a，且()460a-+≠···········5分（2······7分根据题意12z z⋅在复平面上对应的点在第二象限，可得综上，实数a···········10分18．【答案】（1）0.70.35y x=+（2）预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨．【解析】（1）4166.5i iiX Y==∑，4222221345686iiX==+++=∑， 3.5Y=，····2分()2ˆ66.54 4.5 3.566.5630.78681864 4.5b-⨯⨯-===--⨯；···········5分3.5ˆˆ0.7 4.50.35a Y bX=-=-⨯=，···········7分∴所求的回归方程为0.70.35y x=+．···········9分（2）100x=时，70.35y=（吨），预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=（吨）．···········12分19．【答案】（1）123 132.6；（2）360【解析】（1）由茎叶图知A类工人生产能力的中位数为123，···········3分由频率分布直方图，估计B类工人生产能力的平均数为1150.041250.36Dx=⨯+⨯1350.41450.2+⨯+⨯=4.6455429132.6+++=；···········6分（2）由（1）及所给数据得能力与培训的22⨯列联表如下：···········8分由上表得22424339151010202040010.8283119311933442020442020n n n n n n n n k n n n n n ⎛⎫⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，···········10分 解得357.324n >，又人数必须取整， ∴n 的最小值为360． ···········12分 20．【答案】（1）41 （2）f (n )=2n 2－2n +1． 【解析】（1）∵f (1)=1，f (2)=5，f (3)=13，f (4)=25，∴f (2)－f (1)=4=4×1．f (3)－f (2)=8=4×2，f (4)－f (3)=12=4×3，f (5)－f (4)=16=4×4 ∴f (5)=25+4×4=41．···········3分（2）由上式规律得出f (n +1)－f (n )=4n ．···········6分 ∴f (2)－f (1)=4×1， f (3)－f (2)=4×2， f (4)－f (3)=4×3， …f (n －1)－f (n －2)=4•(n －2)， f (n )－f (n －1)=4•(n －1)∴f (n )－f (1)=4[1+2+…+(n －2)+(n －1)]=2(n －1)•n ， ∴f (n )=2n 2－2n +1．···········12分 21．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）要证0><只要证(22<，只要证24a a +，a <，由于2a >，只要证224a a -<，<··········6分 （2）因为0a b ab +-=，0a >，0b >，所以111a b+=， ()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11ba =+++当且仅当ba ab=，即a b =时，等号成立，所以4a b +≥···········12分 22．【答案】（1）11119x =，215x =，31x =-；（2）故当00x =，0n x =；2n x π=；（3）123n n x +=-．【解析】（1）函数()421x f x x -=+的定义域()()11D =∞+∞－，－－，， 把04965x =代入可得11119x =，把11119x =代入可得215x =，把215x =代入可得31x =-．所以数列{x n }只有三项：11119x =，215x =，31x =-．···········3分（2）若要产生一个无穷的常数列，则()sin f x x x x ==在[0，2π]上有解， 即()sin 10x x =－在[0，2π]上有解，则x =0或sin x =1，所以x =0即当00x =或02x π=，1sin n n n n x x x x +==， 故当00x =，0n x =2n x π=．···········7分（3）()23f x x =+的定义域为R ，若01x =-，则11x =， 则()123n n n x f x x +==+，所以()1323n n x x ++=+， 所以数列{x n +3}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以113422n n n x -++=⋅=，123n n x +∴=-， 即数列{x n }的通项公式123n n x +=-．···········12分。
附属中学17—18学年下学期高二第一次月考数学(文)试题(答案不完整)
云南民族大学附属中学高二年级2018年春季学期3月月考（文科试卷）（考试时间 120 分钟 ， 满分 150 分）命题人： 审题人： 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试卷上作答无效。
第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
等于错误！未找到引用源。
A. 错误！未找到引用源。
B. RC. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
2. 若复数z 满足错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
3. 若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的值为错误！未找到引用源。
A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
4.已知错误！未找到引用源。
为单位向量，且错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
上的投影为错误！未找到引用源。
A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
5.已知两个正数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的最小值是错误！未找到引用源。
A. 23B. 24C. 25D. 266.己知等差数列错误！未找到引用源。
和等比数列错误！未找到引用源。
满足：错误！未找到引用源。
，且错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
A. 9B. 12C. l6D. 367.如图所给的程序运行结果为S=41，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）8.A. k≥6B. k≥5C. k＞6D. k＞59.函数错误！未找到引用源。
北京市首师大附中2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=（a2﹣1）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．±1 D．﹣12．已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+y2=1 D．x2+y2=23．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．4x±9y=0 B．9x±4y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=04．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A．B．C．8cm2 D．4cm26．（sinx+acosx）dx=2，则实数a等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．7．如果存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）=cos2（ωx+φ）（ω，φ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1，0）），那么ω的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．③D．③④二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．复数=______．10．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为______，S4的值为______．11．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为______．12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数）和直线l：3x+4y﹣10=0，则直线l与圆C相交所得的弦长等于______．13．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），=______．14．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有a n=，+1为奇数的正整数，当a1=11时，a2016=______；若存在m∈N*，当n＞m且a n 其中k为使a n+1为奇数时，a n恒为常数p，则p的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos=．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求c的值．16．等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，{b n}的公比．（1）求a n与b n．（2）证明：小于．17．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．18．已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．19．已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；（3）若关于x的方程=f（x）+在区间（0，e）上有两个不相等的实根，求实数b的取值范围．20．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0，为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T=a0+a1+…+a5，x n=，y n=（a0+a1+…+a n），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P n（x n，y n）（n=0，1，2，…，5）的折线．（I）求f（0）和f（1）的值；P n的斜率为k n（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（II）设P n﹣1（III）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=（a2﹣1）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（）A．2 B．1 C．±1 D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】由纯虚数的概念知实部为零，虚数不为零求解．【解答】解：∵z=（a2﹣1）+（a+1）i，又∵z是纯虚数∴得a=1故选B2．已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+y2=1 D．x2+y2=2【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】利用x=ρcosθ，ρ2=x2+y2，将曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，两边同乘ρ，化成直角坐标方程．【解答】解：曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，所以ρ2=2ρcosθ，它的直角坐标方程是：x2+y2=2x，即：（x﹣1）2+y2=1．故选A．3．双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．4x±9y=0 B．9x±4y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：∵双曲线﹣=1，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，即3x±2y=0．故选：C．4．已知sin（）=，那么sin2x的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【分析】利用诱导公式把要求的式子化为cos（2x﹣），再利用二倍角公式求得它的值．【解答】解：∵已知sin（）=，∴sin2x=cos（2x﹣）=1﹣2 =1﹣2×=，故选B．5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A．B．C．8cm2 D．4cm2【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知可求出正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，故左视图是长方形，长为，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：设正六棱柱的底面边长和侧棱长均为a，则体积V=Sh=6×=，解得a=2，故左视图是长方形，长为，宽为2，面积为×2=故选A6．（sinx+acosx）dx=2，则实数a等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．【考点】定积分．【分析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数进行代入计算，根据等式=2，列出关于a的方程，从而求解．【解答】解：∵=2，∴==（﹣cosx）+（asinx）=0﹣（﹣1）+a=2，∴a=1，故选B．7．如果存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）=cos2（ωx+φ）（ω，φ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1，0）），那么ω的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】化简函数的表达式为一个角的三角函数的形式，通过周期的范围，确定ω的范围，利用图象经过点（1，0），以及，缩小ω的范围，根据ω为整数，求出ω的值．【解答】解：由f（x）=cos2（ωx+φ）=及图象知：函数的半周期在（，1）之间，即得，正整数ω=2或3；由图象经过点（1，0），所以知2ω+2ϕ=（2k+1）π（k∈Z），2ω=﹣2ϕ+（2k+1）π由图象知，即，得cos2ω＜0，又ω为正整数，所以ω=2，故选B8．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥③存在点D，使CD与AB垂直并且相等④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．③D．③④【考点】棱锥的结构特征．【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假．【解答】解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，∴AC=BC=，AB=当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确故选D二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．复数=﹣1+i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】结合=i，i2=﹣1，结合复数代数形式的混合运算的运算法则，易化简复数式，得到管好．【解答】解：==i•（1+i）=﹣1+i故答案为：﹣1+i10．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a1和q的值，则S4的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a3=2，则S4=4a3=4×2=8，5S2=5×2S3=5×2×2=20，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a3=2，S4=5S2，得：，整理得，解得，q=±2．因为数列{a n}的各项均为正数，所以q=2．则．故答案为；．11．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】由已知中圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2，由半径长、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出BC的长，进而求出AC长，由切割线定理，得到切线AD的长．【解答】解：∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2∴BC=2=2又∵AB=3，∴AC=5又∵AD为圆O的切线ABC为圆O的割线由切割线定理得：AD2=AB•AC=3×5=15∴AD=12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数）和直线l：3x+4y﹣10=0，则直线l与圆C相交所得的弦长等于4．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由题意将圆C化为一般方程坐标，然后再计算直线l与圆C相交所得的弦长．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），∴（x+1）2+（y﹣2）2=25，∴圆心为（﹣1，2），半径为5，∵直线l的方程为：3x+4y﹣10=0，∴圆心到直线l的距离d==1，∴直线l与圆C相交所得的弦长L=2×=4．故答案为：4．13．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），=3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质，求出A、B的坐标，然后求比值即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，又，可得，则，故答案为：3．=，14．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有a n+1其中k为使a n为奇数的正整数，当a1=11时，a2016=98；若存在m∈N*，当n＞m且a n +1为奇数时，a n恒为常数p，则p的值为1或5．【考点】数列的应用．【分析】由题设分别求出a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，仔细观察能够发现{a n }从第3项开始是周期为6的周期数列，故a 2016=a 6=98，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ，知a n =p ，a n +1=3p +5，a n +2=，再由数列{a n }的各项均为正整数，能求出p ．【解答】解：由题设知，a 1=11， a 2=3×11+5=38， a 3==19，a 4=3×19+5=62， a 5==31，a 6=3×31+5=98， a 7=49，a 8=3×49+5=152， a 9==19，∴{a n }从第3项开始是周期为6的周期数列， a 2016=a 6=98，若存在m ∈N *，当n ＞m 且a n 为奇数时，a n 恒为常数p ， 则a n =p ，a n +1=3p +5，a n +2=，∴（3﹣2k ）p=﹣5，∵数列{a n }的各项均为正整数， ∴当k=2时，p=5， 当k=3时，p=1．故答案为：98，1或5．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos =．（Ⅰ）求cosB 的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求c 的值． 【考点】余弦定理；二倍角的余弦． 【分析】（I ）根据，结合cosB=1﹣2sin 2，可求cosB 的值；（II 由余弦定理可得c 的值． 【解答】解：（I ）∵，∴，∴sin =∴cosB=1﹣2sin 2=； （II ）∵a=3，b=2，cosB=∴由余弦定理可得8=9+c 2﹣2c∴c2﹣2c+1=0∴c=1．16．等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，{b n}的公比．（1）求a n与b n．（2）证明：小于．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解答时：（1）利用b2+S2=12和数列{b n}的公比．即可列出方程组求的q、a2的值，进而获得问题的解答；（2）首先利用等差数列的前n项和公式计算出数列的前n项和，然后利用放缩法即可获得问题的解答．【解答】解：（I）由已知可得．解得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6∴a n=3+（n﹣1）3=3n∴b n=3n﹣1（2）证明：∵∴∴==∵n≥1∴0＜∴故．17．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）先证明四边形ADGB是平行四边形，可得AB∥DG，从而证明AB∥平面DEG．（Ⅱ）过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再证BH⊥EG，从而可证EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．（Ⅲ）分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．求出平面DCF的法向量为n=（x，y，z），则由求得二面角C﹣DF﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴，∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．∵AB⊄平面DEG，DG⊂平面DEG，∴AB∥平面DEG．（Ⅱ）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG．又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．（Ⅲ）分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，由已知得是平面EFDA的法向量．设平面DCF的法向量为n=（x，y，z），∵，∴，即，令z=1，得n=（﹣1，2，1）．设二面角C﹣DF﹣E的大小为θ，则，∴二面角C﹣DF﹣E的余弦值为．18．已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，结合垂心的定义和向量垂直的条件，化简整理计算即可得到所求直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，故椭圆方程为．（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为M（0，1），F（1，0），故k PQ=1．于是设直线l的方程为y=x+m，由得3x2+4mx+2m2﹣2=0．由△＞0，得m2＜3，且，．由题意应有，又，故x1（x2﹣1）+y2（y1﹣1）=0，得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0．即．整理得．解得或m=1．经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去m=1．当时，所求直线l存在，且直线l的方程为．19．已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；（3）若关于x的方程=f（x）+在区间（0，e）上有两个不相等的实根，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的定义域，求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数的符号得原函数的单调区间；（2）把原函数求导后直接得到斜率的表达式，代入k≤后把参数a分离出来，然后利用二次函数求最值得到实数a的最小值；（3）把f（x）=lnx+代入方程=f（x）+，整理后得b=lnx﹣x2+，讨论原方程的根的情况，引入辅助函数h（x）=lnx﹣x2﹣b+，求导得到函数在（0，+∞）上的最大值，由最大值大于0，等于0，小于0分析b的取值情况．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx+（a＞0）的定义域为（0，+∞），则f′（x）=﹣=，因为a＞0，由f′（x）＞0得x∈（a，+∞），由f′（x）＜0得x∈（0，a），所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．（2）由题意，以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k满足k=f′（x0）=≤（x0＞0），所以a≥﹣x02+x0对x0＞0恒成立．又当x0＞0时，﹣x02+x0=﹣（x0﹣1）2+≤，所以a的最小值为．（3）由=f（x）+，化简得b=lnx﹣x2+，（x∈（0，+∞））．令h（x）=lnx﹣x2+，则h′（x）=﹣x=，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．所以h（x）在x=1处取得极大值即最大值，最大值为h（1）=ln1﹣×12﹣b+=﹣b．故当﹣b＞0，即b＜0时，y=h（x）的图象与x轴恰有两个交点，方程=f（x）+有两个实根，当b=0时，y=h（x）的图象与x轴恰有一个交点，方程=f（x）+有一个实根，当b＞0时，y=h（x）的图象与x轴无交点，方程=f（x）+无实根．20．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0，为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T=a0+a1+…+a5，x n=，y n=（a0+a1+…+a n），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P n（x n，y n）（n=0，1，2，…，5）的折线．（I）求f（0）和f（1）的值；P n的斜率为k n（n=1，2，3，4，5），判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（II）设P n﹣1（III）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．【考点】数列与解析几何的综合．【分析】（I）直接根据定义即可得到f（0）和f（1）的值；（II）先根据两点式写出直线的斜率，再根据a0，a1，a2，a3，a4，a5，是按从小到大的顺序排列即可得到结论；（III）由于f（x）的图象是连接各点P n（x n，y n）（n=0，1，…，5）的折线，把问题转化为证明f（x n）＜x n（n=1，2，3，4）；再对f（x）的表达式进行放缩即可得到结论．【解答】解：（I）解：f（0）==0，f（1）==1．（II）解：k n=，n=1，2， (5)因为a1＜a2＜a3＜a4＜a5，所以k1＜k2＜k3＜k4＜k5．（III）证明：由于f（x）的图象是连接各点P n（x n，y n）（n=0，1，…，5）的折线，要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（x n）＜x n（n=1，2，3，4）．事实上，当x∈（x n﹣1，x n）时，f（x）=（x﹣x n﹣1）+f（x n﹣1）=f（x n﹣1）+f（x n）＜+=x．下面证明f（x n）＜x n．对任何n（n=1，2，3，4），5（a1+…+a n）=[n+（5﹣n）]（a1+…+a n）=n（a1+…+a n）+（5﹣n）（a1+…+a n）≤n（a1+…+a n）+（5﹣n）na n=n[a1+…+a n+（5﹣n）a n]＜n（a1+…+a n+a n+1+…+a5）=nT．所以f（x n）=＜=x n．2016年9月29日。
北京市海淀区2017-2018学年第二学期期中高二数学(理)试题图片版含答案
海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一. 选择题.二.填空题.9.四，210. 211.333222，，12. (1,0)- 13. (1,+)∞14.2说明：9题，每个空2分，11题，第一个，第二空各1分，第三个空2分三.解答题.15.解: ( I )令242x x -+=，解得11x =-21x =-（舍）…………………2分因为点2(2), (4)A x,x B x,x -+所以2()(42)f x x x x =-+-3224x x x =--+，…………………4分其定义域为(0,1x ∈-…………………5分（II ）因为2'()344f x x x =--+…………………7分令0'()0f x =，得123x =，22x =-（舍） …………………8分 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表…………………10分因为23x =是函数()f x 在(0,1-+上的唯一的一个极大值，所以在23x =时，函数()f x 取得最大值4027.…………………12分 16.证明：（Ⅰ）因为32a =， 所以232222a a a =+=， 所以22244a a +=，解得22a =，…………………2分同理解得12a =.…………………4分（Ⅱ）证明：要证 2n ≥时，1n n a a +≤，只需证 1n na a + 1 ≤，…………………6分 只需证 22 n n n na a a a +1≤，…………………7分 只需证 21212na +≤. 只需证2n a ≥ 4 ，…………………9分只需证n a ≥ 2，…………………10分根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥= 所以原命题成立.说明：上面的空，答案不唯一，请老师具体情况具体分析17.解：（I ）因为2'()3f x x =…………………1分所以直线l 的斜率200'()3k f x x ==…………………2分所以直线l 的方程为320003()y x x x x -=-…………………3分化简得到230032y x x x =-…………………4分(Ⅱ)法一：把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分所以220'()33g x x x =-，令'()0g x =，得到得10x x =，20x x =-…………………7分当00x >时，,'(),()x g x g x 的变化情况如下表…………………8分因为0x x =-时，300()40g x x -=>，而300(3)160g x x -=-<（或者说：x →-∞时，()g x →-∞），所以()g x 在0(,)x -∞-上有一个零点而0x x =时，0()0g x =，所以()g x 在0[,)x +∞上只有一个零点又()g x 在00(,)x x -上没有零点…………………9分所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. 当00x <时,同理可证()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. …………………10分法二： 把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分因为3223200000()22()(2)g x x x x x x x x x x x =--+=-+…………………8分令()0g x =，得到10x x =，202x x =-…………………9分又00x ≠，所以002x x ≠-所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.…………………10分18.解：（Ⅰ）法一：…………………2分 因为22'()x x a f x x--=，其中0x > 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立当'()0f x ≥对0x >成立时，220x x a x--≥，…………………3分 即220x x a --≥对0x >成立所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a -≥ …………………4分 当'()0f x ≤对0x >成立时，220x x a x--≤，…………………5分 即220x x a --≤对0x >成立所以22x x a -≤，根据二次函数的性质这种情形不成立…………………6分 综上，18a ≤-，所以实数a 的最大值为18-.法二： 因为22'()x x a f x x--=，其中0x >…………………2分 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立根据二次函数的性质知道当+x →∞时，22+x x a --→∞所以只能是'()0f x ≥对0x >成立 …………………4分即22'()0x x af x x--=≥对0x >成立所以220x x a --≥对0x >成立…………………5分所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a ≤-，…………………6分 所以实数a 的最大值为18-. （Ⅱ）法一：由（Ⅰ），当18a ≤-时，函数()f x 是单调递增函数， 而(1)0f =，（或者说：当0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞） 所以函数()f x 只有一个零点…………………8分 当18a >-时，令22'()0x x af x x--==，得12x x ==， 当108a -<<时，120x x << 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表因为21111()ln f x x a x x =-- 而21120x x a --=，所以22111111()ln (1ln )f x x a x x a x x =--=-- 注意到121x x <<所以2111ln 0,0,0x a x -><-<， 所以2111()(1ln )0f x a x x =--< 所以在2(0,)x x ∈时，1()()0f x f x ≤<，(或者说：注意到121x x <<，因为(0,1)x ∈时，20,ln 0x x a x -<-<，所以()0f x <）所以函数()f x 在区间2(0,)x 上没有零点， 而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上有一个零点…………………10分 当0a >，其中10x =<（舍） 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表当2114x ==时，即1a =时，2()0f x = 函数()f x 的唯一的一个极小值，即最小值为(1)0f =，符合题意，当21x =>时，即1a >时， 则2()(1)0f x f <=，而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上还有一个零点，矛盾当201x <=<，即1a <时 则2()(1)0f x f <=，而此时0x →时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(0,)x 上还有一个零点，矛盾…………………12分 综上，实数a 的取值范围是{|0a a <或1}a =说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
2017-2018年北京市清华附中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
，命题 q：∀ x∈R，x2＞0，则下
B． （￢p）∨q
C． （￢p）∧（￢q） D ． p ∧（￢ q ） ）
5． （5 分）已知 a，b 为非零实数，z=a+bi，“z2 为纯虚数”是“a=b”的（ A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6． （5 分）已知 A，B 为圆 x2+（y﹣1）2=4 上关于点 P（1，2）对称的两点，则 直线 AB 的方程为（ A．x+y﹣3=0 ） C．x+3y﹣7=0 D．3x﹣y﹣1=0
2． （5 分）下列函数既是奇函数又存在零点的是（ A．y=sinx B．y= C．y=cosx
3． （5 分）若 A（1，0） ，B（﹣3，m） ，若直线 AB 的斜率为﹣ ，则 m=（ A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
4． （5 分）已知命题 p：∃ x0∈R+，x+ =2 列命题为真命题的是（ A．p∧q ）
D．{﹣2，0，1}
【解答】解：∵集合 A={﹣2，0，1}，B={x|x＜﹣1 或 x＞0}， ∴A∩B={﹣2，1}． 故选：C． 2． （5 分）下列函数既是奇函数又存在零点的是（ A．y=sinx B．y= C．y=cosx ） D．y=lnx
【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，y=sinx，是奇函数，当 sinx=0 时，解可得 x=kπ+ 意； 对于 B，y= ，是奇函数，但不存在零点，不符合题意； 对于 C，y=cosx，不是奇函数，不符合题意； 对于 D，y=lnx，为对数函数，不是奇函数，不符合题意； 故选：A． 3． （5 分）若 A（1，0） ，B（﹣3，m） ，若直线 AB 的斜率为﹣ ，则 m=（ A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8 ） ，存在零点，符合题
北京海淀八一学校2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)(word版含答案)
北京海淀八一学校2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题）一、单选题1．以下两点确定的直线的斜率不存在的是（ ）．A. (4,2)与(−4,1)B. (0,3)与(3,0)C. (3,−1)与(2,−1)D. (−2,2)与(−2,5)2．直线 3x −y +1=0的倾斜角的大小为（ ）． A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°3．3．若经过直线外的任意一点，作该直线的垂直平面，可作出平面的个数为（ ）．A. 1B. 2C. 3D. 无数4．以点(− 2,−2)为圆心， 3为半径长的圆的标准方程是（ ）． A. (x − 2+(y −2)2=3 B. (x + 2)2+(y +2)2=3C. (x − 2)2+(y −2)2= 3D. (x + 2)2+(y +2)2= 35．直线l 上有相异三点A 、B 、C 到平面α的距离相等（距离可为零），直线l 与平面α的位置关系是（ ）．A. l ∥αB. l ⊥αC. l 与α相交但不垂直D. l ∥α或l ⊂α6．一个棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球的体积为（ ）． A. 12π B. 8 3π C. 4 3π D. 12 3π7．经过圆x 2+2x +y 2=0的圆心C ，且与直线x +y =0垂直的直线方程是（ ）． A. x −y +1=0 B. x −y −1=0 C. x +y −1=0 D. (x −2)2+(y −1)2=1 8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（ ）．A. 80B.403C. 803D. 409．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若1EF =，1A E x =，DQ y =，DP z =（x ，y ，z 大于零），则四面体PEFQ 的体积（）．A. 与x ，y ，z 都有关B. 与x 有关，与y ，z 无关C. 与y 有关，与x ，z 无关D. 与z 有关，与x ，y 无关第II 卷（非选择题）二、填空题10．已知直线ax +y −2a =0(a ≠0)在x 轴上的截距等于它在y 轴上截距，则a =__________． 11．平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，与异面直线AB 和CC 1都可以共面的棱的条数为__________．12．设圆C :x 2+y 2=m 2与直线x −y +2=0相切，则m 的值为__________．13．过半径为2的球半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，那么这个截面的面积和球的表面积的比值是__________．14．如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及内部运动，则M 满足__________时，有MN ∥平面BB 1D 1D ．此卷只装订不密封班级姓名准考证号 考场号 座位号15．如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是__________．三、解答题16．三棱锥P−ABC的三视图如图所示．求：三棱锥的各个面的面积（用字母表示每个侧面的底面）．17．已知圆C的圆心在直线y=2x上，且与直线l:x+y+1=0相切于点P(−1,0)．求：圆C的方程．18．在△ABC中，已知点A(5,−2)、B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．求：（1）点C的坐标．（2）直线MN的方程和过点C与边AB平行的直线m的方程．（3）以原点为圆心的圆O被直线AB截得的弦长为2，试求圆O的方程．19．在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又∠CAD=30°，PA=AB=4，点N在线段PB上，且PNNB =13．（1）求证：BD⊥PC．（2）求证：MN∥平面PDC．（3）设平面PAB∩平面PCD=l，试问：直线l是否与直线CD平行，请说明理由北京海淀八一学校2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文）答案1．D【解析】两点(−2,2)，(−2,5)的横坐标相同，因此过此两点的直线斜率不存在，故选D．2．B【解析】由直线方程3x−y+1=0可知直线的斜率k=3，设直线的倾斜角为α，则tanα=3，又α∈[0°,180°)，所以α=60°，故选B．3．A【解析】过直线外一点与直线垂直的平面有且仅有1个，故选A．4．B【解析】以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2，所以以点(−−2)为圆心，以(x+2+(y+2)2=3，故选B．5．D【解析】当l∥α时，直线l任意点到平面α的距离都相等；当l⊂α时，直线上所有点到平面α的距离都是0；当l与平面α相交时，直线l上只能有两点到平面α的距离相等，所以直线l上有相异三点，A，B，C 到平面α的距离相等时，直线l与平面α的位置关系是l∥α或l⊂α．故选D．6．C【解析】∵棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，∴球的直径为23，半径为3，∴球的体积V=43πr3=43π×(3)3=43π．故选C．点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.7．A【解析】圆x2+2x+y2=0的圆心为(−1,0)，又直线x+y=0的斜率为−1，所以所求直线斜率为l，且过(−1,0)，故所求直线方程为y=x+1，即x−y+1=0，故选A．8．B【解析】根据三视图作出该几何体的直观图，如图所示，其中：PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4，从图中可知，三棱锥的底是两直角边分别是4和5的直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积V=13×12×4×(2+3)×4=403．故选B．点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．9．D【解析】如图：EF在棱11A B上，Q在棱CD上，11A B CD，所以QEF的高为定值，又EF为定值1，所以QEF的面积为定值，四面体PEFQ的体积与点P到平面EFQ的距离有关，即与DP的大小有关，故选D．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．10．1【解析】令x=0，得y=2a，令y=0，得x=2．由于直线ax+y−2a=0(a≠0)在x轴上的截距等于它在y轴上的截距，故2a=2，解得a=1．11．5【解析】如图，与异面直线AB和CC1都共面的棱共有BC，DC，BB1，AA1，D1C1，共5条．12．±2【解析】圆心(0,0)到直线x−y+2=0的距离d=2=2，由于直线和圆相切，所以|m|=2，故m=±点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．13．3:16【解析】过半径为2的球半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则球心和截面圆的圆心的距离为1，截面圆的半径为22−1=3，所以截面圆的面积为3π，球的表面积为16π，故截面的面积和球的表面积的比是3:16．14．M∈FH【解析】∵NH∥DB，FH∥DD1,∴面FHN∥平面B1BDD1．∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，要使MN∥平面BB1D1D，则M∈FH，故答案为M∈FH．15．12,1【解析】当F位于DC的中点，点D与AB中点重合，t=1．随F点到C点，由CB⊥AB，CB⊥DK，得CB⊥平面ADB，则CB⊥BD．又CD=2，BC=1，则BD=3．因为AD=1，AB=2，所以AD⊥BD，故t=12．综上，t的取值范围为12,1．点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.16．见解析.【解析】试题分析：由三视图可知该三棱锥的各个面都是直角三角形，再根据直角三角形面积公式求面积.试题解析：由三视图可知该三棱锥的各个面都是直角三角形，且PA=1，AB=2，BC=2，AC=2，PC=5，PB=3．故S△PAB=12×PA×AB=12×1×2=22，S△PAC=12×PA×AC=12×1×2=1，S△PBC=12×PB×BC=12×3×2=62，S△ABC=12×AB×BC=12×2×2=1．17．圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=8.【解析】试题分析：根据圆心与切点连线垂直切线，以及圆心在直线y=2x上建立方程组解得圆心坐标，再根据圆心到切点距离等于半径求半径，最后写圆的标准方程.试题解析：设圆心C(a,b)，半径为r，则有b=2a，又∵圆C为直线l:x+y+1=0相切于点P(−1,0)，∴圆心C落在过点P(−1,0)，且与直线l垂直的直线y=x+1上，∴b=a+1，解得a=1，b=2，从而r=(−1−1)2+(0−2)2=22，故圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=8．18．（1）点C的坐标为(−5,−3)；（2）5x−2y+19=0；（3）圆O的方程为x2+y2=30.【解析】试题分析：（1）根据中点坐标公式列C的坐标的方程组，解得C的坐标．（2）根据中点坐标公式得M,N坐标，根据两点式得直线MN的方程，根据斜率公式得直线m斜率，再根据点斜式得直线m的方程．（3）先根据点到直线距离公式得圆心到直线距离，再根据垂直定理得半径，最后根据标准式写圆的方程.试题解析：（1）设点C的坐标为(x,y)，则M x+52,y−22，N x+72,y+32，∵M在y轴上，N在x轴上，∴x+52=0y+32=0，解得x=−5y=−3．故点C的坐标为(−5,−3)．（2）由（1）可得M0,−52，N(1,0)，所以直线MN的方程为x1+y−5=1，即5x−2y−5=0，∵A(5,−2)，B(7,3)，∴k AB=52，所以过点C且与AB平行的直线m的方程为y+3=52(x+5)，即5x−2y+19=0．（3）设圆O的方程为x2+y2=r2，AB的方程为5x−2y−29=0，圆心(0,0)到直线5x−2y−29=0的距离d=29=29．又圆O被直线AB截得的弦长是2，所以d2+222=r2，故r2=30．故圆O的方程为x2+y2=30．19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）根据正三角形性质得MB⊥AC，再根据线面垂直性质得PA⊥BD，由线面垂直判定定理得BD⊥平面PAC，即得BD⊥PC．（2）根据计算得BM:MD=3:1，根据比例关系得MN∥PD，再根据线面平行判定定理得结论，（3）先假设直线l∥CD，根据线面平行判定定理得CD∥平面PAB，再根据线面平行性质定理得CD∥AB，与题意矛盾，否定假设.试题解析：（1）证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴MB⊥AC，即BD⊥AC，又∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC．（2）在正三角形△ABC中，MB=23，在△ACD中，M为AC中点，DM⊥AC，所以AD=CD，∠CAD=30°，所以DM=233，所以BM:MD=3:1．在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=4，PB=4∴MN∥PD，又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，∴MN∥平面PDC．（3）假设直线l∥CD，∵l⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，∴CD∥平面PAB，又CD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAB=AB，∴CD∥AB，这与CD与AB不平行相矛盾，假设不成立．∴直线l与直线AB不平行．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直。
2017-2018年北京市首师大附中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（4分）在△ABC中，已知A=60°，a=，b=，则B等于（）A．45°或135°B．60°C．45°D．135°2．（4分）复数（1﹣2i）（m﹣2i）（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（4分）已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥，则实数k=（）A．B．﹣2C．﹣7D．34．（4分）在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④5．（4分）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cos∠ABC=（）A．B．C．D．6．（4分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a=2bcosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形7．（4分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/小时B．20（﹣）海里/小时C．20（+）海里/小时D．20（﹣）海里/小时8．（4分）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t4二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）复数z=的共轭复数为．10．（4分）已知向量=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上正射影的数量是．11．（4分）已知向量与的夹角为，则|5|=．12．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＞B，给出下列四个结论：①a＞b；②sinA＞sinB；③cosA＜cosB；④tanA＞tanB．其中所有正确结论的序号是．13．（4分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x在区间（0，1）上为减函数，在区间（2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是．14．（4分）定义在R上的函数f（x）满足；f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（9分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）判断f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值，并说明理由；（2）求函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程．16．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知b=5，，△ABC的面积S△ABC=（I）求边c的值；（II）求sinC的值．17．（13分）已知函数（a≠0，a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的值域；（2）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣a）e x，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．2017-2018学年北京市首师大附中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（4分）在△ABC中，已知A=60°，a=，b=，则B等于（）A．45°或135°B．60°C．45°D．135°【解答】解：由正弦定理知：sinB===．∵0＜B＜π∴B=45°或135°又∵a=＞b=，∴B＜A，∴B∴B=45°故选：C．2．（4分）复数（1﹣2i）（m﹣2i）（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵（1﹣2i）（m﹣2i）=（m﹣4）﹣（2m+2）i，∴复数（1﹣2i）（m﹣2i）在复平面上对应的点的坐标为（m﹣4，﹣2m﹣2）．当m＞4时，m﹣4＞0，此时﹣2m﹣2＜0，∴复数（1﹣2i）（m﹣2i）在复平面上对应的点不可能是第一象限．故选：A．3．（4分）已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥，则实数k=（）A．B．﹣2C．﹣7D．3【解答】解：∵=（2，1），+=（1，k），∴=（﹣1，k﹣1），又⊥，∴2×（﹣1）+（k﹣1）=0∴k=3故选：D．4．（4分）在△ABC中，有命题①；②；③若，则△ABC为等腰三角形；④若，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④【解答】解：由向量的运算法则知；故①错②对又∵∴即AB=AC∴△ABC为等腰三角形故③对∵∴∠A为锐角但三角形不是锐角三角形故选：C．5．（4分）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cos∠ABC=（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知AB=，BC==2，AC==，由余弦定理得cos∠ABC==．6．（4分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a=2bcosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形【解答】解：在△ABC中，∵a=2bcosC，由余弦定理可得a=2b•，化简可得b2=c2，b=c，故三角形为等腰三角形，故选：A．7．（4分）如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/小时B．20（﹣）海里/小时C．20（+）海里/小时D．20（﹣）海里/小时【解答】解：由题意知SM=20，∠NMS=45°，∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为60°∴∠SNM=105°∴∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得，．MN=∴货轮航行的速度v=海里/小时8．（4分）某堆雪在融化过程中，其体积V（单位：m3）与融化时间t（单位：h）近似满足函数关系：（H为常数），其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为．那么瞬时融化速度等于的时刻是图中的（）A．t1B．t2C．t3D．t4【解答】解：平均融化速度为=，反映的是V（t）图象与坐标轴交点连线的斜率，观察可知t3处瞬时速度（即切线的斜率）为平均速速一致，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）复数z=的共轭复数为．【解答】解：∵z==，∴．故答案为：．10．（4分）已知向量=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上正射影的数量是．【解答】解：设向量与的夹角为θ，则在方向上正射影为：cosθ=•====故答案为：11．（4分）已知向量与的夹角为，则|5|=7．【解答】解：由题意可得=1×3cos120°=﹣，∴|5|=====7．故答案为：7．12．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＞B，给出下列四个结论：①a＞b；②sinA＞sinB；③cosA＜cosB；④tanA＞tanB．其中所有正确结论的序号是①②③．【解答】解：①利用三角形中大角对大边，可得A＞B 等价于a＞b，故正确；②利用正弦定理，a＞b等价于sinA＞sinB，故正确；③由cosA＜cosB，利用余弦函数的单调性可得A＞B，sinA＞sinB，故正确；④取A=120°，B=30°，可验证A＞B，不能得到tanA＞tanB，故不正确．∴正确结论的序号是①②③．故答案为：①②③．13．（4分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a2x在区间（0，1）上为减函数，在区间（2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]∪[3，6] ．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2﹣a2x的导数为f′（x）=3x2+2ax﹣a2，在区间（0，1）上为减函数，可得f′（x）≤0在（0，1）恒成立，即有﹣a2≤0，3+2a﹣a2≤0，解得a≥3或a≤﹣1；在区间（2，+∞）上为增函数，即f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，可得3x2+2ax﹣a2≥0，即（3x﹣a）（x+a）≥0在（2，+∞）上恒成立，若a≤﹣1，可得2≥﹣a，即有﹣2≤a≤﹣1；若a≥3，可得2≥a，解得3≤a≤6，综上可得a的范围是[﹣2，﹣1]∪[3，6]，故答案为：[﹣2，﹣1]∪[3，6]．14．（4分）定义在R上的函数f（x）满足；f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故答案为：（0，+∞）．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（9分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）判断f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值，并说明理由；（2）求函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程．【解答】解：（1）由f（x）=ax3+bx2﹣3x，得f′（x）=3ax2+2bx﹣3，∴，解得．∴f（x）=x3﹣3x．则f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．∴当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；单调减区间为（﹣1，1）．∴f（﹣1）为函数的极大值，f（1）为函数的极小值；（2）由（1）得，f′（x）=3x2﹣3，则f′（﹣2）=9，∴函数y=f（x）在点A（﹣2，﹣2）处的切线方程为y﹣（﹣2）=9（x+2），即9x﹣y+16=0．16．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知b=5，，△ABC的面积S△ABC=（I）求边c的值；（II）求sinC的值．【解答】解：（I）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知b=5，，由，解得，c=6．（II）由锐角△ABC中，可得，由余弦定理可得：，解得：a=4．由正弦定理：，即．17．（13分）已知函数（a≠0，a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的值域；（2）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣+=，当a=1，f′（x）=（x＞0），当x∈[1，e]时，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]上为增函数，∴x=1时，f（x）有最小值为1，当x=e时，f（x）有最大值为．∴函数f（x）在[1，e]上的值域为[1，]；（2）∵f′（x）=﹣+=，且a≠0，令f'（x）=0，得到x=，若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，∴f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=+alne=+a，由+a＜0，得a＜﹣，即a∈（﹣∞，﹣）；当a＞0时，①若e≤，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，∴f（x）在区间[1，e]上单调递减，∴f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（e）=+alne=+a＞0，显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立；②若1＜＜e，即1＞a＞时，则有），∴f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（）=a+aln，由f（）=a+aln=a（1﹣lna）＜0，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．18．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣a）e x，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x2e x，f′（x）=e x（x2+2x），由e x（2x2+2x）=0，解得：x=0，x=﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；（Ⅱ）依题意即求使函数f（x）=e x（x2﹣a）在（1，2）上不为单调函数的a的取值范围，而f′（x）=e x（x2+2x﹣a），设g（x）=x2+2x﹣a，则g（1）=3﹣a，g（2）=8﹣a，因为g（x）在（1，2）上为增函数．当，即当3＜a＜8时，函数g（x）在（1，2）上有且只有一个零点，设为x0，当x∈（1，x0）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（x0，2）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）为增函数，满足在（1，2）上不为单调函数．当a≤3时，g（1）≥0，g（2）≥0，所以在（1，2）上g（x）＞0成立（因g （x）在（1，2）上为增函数），所以在（1，2）上f′（x）＞0成立，即f（x）在（1，2）上为增函数，不合题意．同理a≥8时，可判断f（x）在（1，2）为减函数，不合题意．综上：3＜a＜8．（Ⅲ）f′（x）=e x（x2+2x﹣a）．因为函数f（x）有两个不同的零点，即f′（x）有两个不同的零点，即方程x2+2x﹣a=0的判别式△=4+4a＞0，解得：a＞﹣1，由x2+2x﹣a=0，解得x1=﹣1﹣，x2=﹣1+．此时x1+x2=﹣2，x1•x2=﹣a，随着x变化，f（x）和f′（x）的变化情况如下：所以x1是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，所以f（x1）是极大值，f （x2）是极小值，∴f（x1）f（x2）=（﹣a）•（﹣a）==e﹣2[a2﹣a（4+2a）+a2]=﹣4ae﹣2，因为a＞﹣1，所以﹣4ae﹣2＜4e﹣2，所以f（x1）f（x2）＜4e﹣2．。
北京市2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷(一)
北京市2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷（一）（文科）（考试时间100分钟满分120分）一、单项选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4}B．{3，4}C．{3}D．{4}2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数4．“a＞2”是“对数函数f（x）=log a x为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．函数f（x）=的值域为（）A．（e，+∞）B．（﹣∞，e）C．（﹣∞，﹣e）D．（﹣e，+∞）6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．78．函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…x n，使得==…=，则n的取值范围为（）A．{2，3}B．{2，3，4}C．{3，4}D．{3，4，5}9．已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，，则函数y=f（x）在[2，4]上的大致图象是（）A．B．C．D．10．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟二.填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.11．=______．12．已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=______．13．观察下列不等式：=1，=，=，=3，=，…，依此规律，第n个等式为______．14．若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是______．15．已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么当x＜0时，f （x）=______，不等式f（x+2）＜5的解集是______．16．在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是______；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=______（用数值作答）．三、解答题：本大题共4个小题，共50分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=lg的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B．（1）求集合A，B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=x2﹣bx+c，f（x）的对称轴为x=1且f（0）=﹣1．（1）求b，c的值；（2）当x∈[0，3]时，求f（x）的取值范围．（3）若不等式f（log2k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=x2﹣a2x+a（a≥0）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值；（2）若对任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=x++lnx，a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（1，4）内单调递增，求a的取值范围；（3）讨论函数g（x）=f′（x）﹣x的零点个数．参考答案一、单项选择题1．D 2．C．3．B．4．A．5．B．6．B．7．B．8．B．9．A 10．B．二.填空题11．解：=．故答案为：﹣1+．12．解：∵x＞0，a＞0，∴f（x）=4x+≥2=4，当且仅当4x=即x=时取得等号．∴，解得a=36．故答案为：36．13．解：观察下列不等式：=1=，=，=，=3=，=，…，依此规律，可得第n个等式为=，故答案为：=．14．解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（2，2），此时z的最大值为z=2+2×2=6，故答案为：6．15．解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=x2+4x，∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴f（﹣x）=x2+4x=f（x），即当x＜0时，f（x）=x2+4x，当x≥0时，由f（x）=x2﹣4x=5，解得x=5或x=﹣1（舍去），则根据对称性可得，当x＜0时，f（﹣5）=5，作出函数f（x）的图象如图：则不等式f（x+2）＜5等价为﹣5＜x+2＜5，即﹣7＜x＜3，则不等式的解集为（﹣7，3），故答案为：x2+4x，（﹣7，3），16．解：（Ⅰ）观察图形，可得S=3，N=1，L=6；（Ⅱ）不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时，S=2，N=0，L=6 ∵格点多边形的面积S=aN+bL+c，∴结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得∴，∴S=N+﹣1将N=71，L=18代入可得S=79．故答案为：（Ⅰ）3，1，6；（Ⅱ）79．三、解答题17．解：（1）由＞0，可得1＜x＜2，∴A={x|1＜x＜2}；由2x﹣a≥0，可得x≥，∴B={x|x≥}；（2）∵A⊆B，∴≤1，∴a≤2．18．解：（1）∵f（x）的对称轴为x=1且f（0）=﹣1，∴=1，f（0）=c=﹣1，∴b=2，c=﹣1；（2）由（1）得：f（x）=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，∴x∈[0，3]时，最小值为﹣2，最大值为f（3）=2，∴f（x）的取值范围为[﹣2，2]；（3）f（log2k）＞f（2）=﹣1，∴log2k＞2或log2k＜0，∴k＞4或0＜k＜1．19．解：（1）a=1，∴f（x）=x2﹣x+=（x﹣）2﹣，∴函数f（x）在[0，2]上的最大值为f（0）=；（2）f（x）=x2﹣a2x+ a=（x﹣）2﹣，若对任意x∈[0，+∞），有f（x）＞0恒成立，∴﹣＞0，∴0≤a＜．20．解：（1）a=1时，f（x）=x++lnx，（x＞0），f′（x）=1﹣+，f′（1）=1，f（1）=2，故切线方程是：y﹣2=x﹣1，整理得：x﹣y+1=0；（2）f′（x）=1﹣+=，若f（x）在区间（1，4）内单调递增，则x2+x﹣a≥0在（1，4）恒成立，即a≤x2+x在（1，4）恒成立，而y=x2+x的最小值是2，故a≤2；（3）g（x）=f′（x）﹣x=1﹣+﹣x=，（x＞0），令h（x）=﹣x3+x2+x﹣a，（x＞0），讨论函数g（x）=f′（x）﹣x的零点个数，即讨论h（x）=﹣x3+x2+x﹣a，（x＞0）的零点个数，即讨论a=﹣x3+x2+x的交点个数，令m（x）=﹣x3+x2+x，（x＞0），m′（x）=﹣3x2+2x+1=﹣（3x+1）（x﹣1），令m′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令m′（x）＜0，解得：x＞1，∴m（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴m（x）max=m（1）=1，x→0时，m（x）→0，x→+∞时，m（x）→﹣∞，如图示：，结合图象：a＞1时，g（x）无零点，a=1或a≤0时，g（x）1个零点，0＜a＜1时，g（x）2个零点．。
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2017-2018学年北京市海淀区知春里中学高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中，其导数值在其定义域上恒小于零的是（）A．y=e x B．y=﹣x2C．y= D．y=log2x2．曲线f（x）=x3+x﹣2在M处的切线垂直于直线y=﹣x﹣1，则M点的坐标为（）A．（1，0）B．（2，8）C．（1，0）和（﹣1，﹣4）D．（2，8）和（﹣1，﹣4）3．函数函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）4．函数f（x）在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能为（）A．B． C． D．5．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．若水以恒速（即单位时间内注入的体积相同）注入图的容器，则容器中水的高度h与时间t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=x3﹣px2﹣qx的图象与x轴相切于（1，0）点，则f（x）（）A．极大值是，极小值是0 B．极大值为0，极小值为C．极大值为0，极小值为﹣D．极大值为，极小值为﹣8．已知函数f（x）=x3+ax在[1，+∞）上是增函数，则a的最小值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上．. 9．曲线y=在点P（﹣1，﹣1）的切线方程是．10．已知x，y∈R，且（x+y）+i=3x+（x﹣y）i，则x=，y=．11．已知复数z=（m2+3m+2）+（m2﹣m﹣6）i，则当实数m=时，复数z是纯虚数．12．函数y=在点x=e处的瞬时变化率为．13．若方程x3﹣3x﹣a=0恰有两个实数根，则实数a的值为．14．曲线f（x）=x3﹣x2过点（1，0）的切线有条．三、解答题：本大题共2小题，满分30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．设函数f（x）=x3﹣x2+6x﹣3．（1）求f（x）的单调区间和极值点；（2）求f（x）在[0，3]的最大值与最小值；（3）画y=f（x）的草图．16．已知函数f（x）=+lnx﹣1（其中a＞0且a为常数）（1）若曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线与在点（，f（））的切线平行，求实数a的值；（2）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．2017-2018学年北京市海淀区知春里中学高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列函数中，其导数值在其定义域上恒小于零的是（）A．y=e x B．y=﹣x2C．y= D．y=log2x【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】分别计算函数的导数，然后判断导函数是否满足条件即可．【解答】解：A．函数的导数为f'（x）=e x＞0，不满足条件．B．函数的导数为y'=﹣2x，则不满足条件．C．函数的导数为，满足条件．D．函数的导数为，不满足条件．故选C．2．曲线f（x）=x3+x﹣2在M处的切线垂直于直线y=﹣x﹣1，则M点的坐标为（）A．（1，0）B．（2，8）C．（1，0）和（﹣1，﹣4）D．（2，8）和（﹣1，﹣4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，由曲线f（x）=x3+x﹣2在M处的切线垂直于直线y=﹣x﹣1，可知曲线在M处的切线的斜率等于4，由此列式求得M的坐标．【解答】解：设M（x0，y0），由f（x）=x3+x﹣2，得f′（x）=3x2+1，∴，∵曲线f（x）=x3+x﹣2在M处的切线垂直于直线y=﹣x﹣1，∴，解得：x0=±1．当x0=﹣1时，；当x0=1时，．∴M点的坐标为（1，0）和（﹣1，﹣4）．故选：C．3．函数函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f（x）=（x﹣3）e x求导，可得f′（x）=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得x＞2．故选：D．4．函数f（x）在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能为（）A．B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的单调性确定f'（x）的符号即可．【解答】解：由函数f（x）的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当x＞0时，函数单调递增，所以导数f'（x）的符号是正，负，正，正．对应的图象为C．故选C．5．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选：A．6．若水以恒速（即单位时间内注入的体积相同）注入图的容器，则容器中水的高度h与时间t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【考点】进行简单的合情推理．【分析】考查容器的形状来确定其高度的变化规律，选择图形即可．【解答】解：此容器从下往上口径先由小、变大，再由大变小，故等速注入液体其高度增加先是越来越慢，再变快，只有C满足条件，故选C．7．已知函数f（x）=x3﹣px2﹣qx的图象与x轴相切于（1，0）点，则f（x）（）A．极大值是，极小值是0 B．极大值为0，极小值为C．极大值为0，极小值为﹣D．极大值为，极小值为﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】对函数求导可得，f′（x）=3x2﹣2px﹣q，由f′（1）=0，f（1）=0可求p，q，进而可求函数的导数，然后由导数判断函数的单调性，进而可求函数的极值【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2﹣2px﹣q，由f′（1）=0，f（1）=0可得，解得，∴f（x）=x3﹣2x2+x．由f′（x）=3x2﹣4x+1=0，得x=或x=1，当x≥1或x≤时，函数单调递增；当时，函数单调递减∴当x=时，f（x）取极大值，当x=1时，f（x）取极小值0，故选A．8．已知函数f（x）=x3+ax在[1，+∞）上是增函数，则a的最小值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先求函数的导函数f′（x），由函数f（x）=x3+ax在[1，+∞）上是增函数，知f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，从而转化为求函数f′（x）在[1，+∞）上的最小值即可【解答】解：f′（x）=3x2+a∵函数f（x）=x3+ax在[1，+∞）上是增函数∴f′（x）=3x2+a≥0在[1，+∞）上恒成立∵f′（x）=3x2+a在[1，+∞）上增函数∴3x2+a≥3×12+a=3+a∴3+a≥0∴a≥﹣3故选A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上．. 9．曲线y=在点P（﹣1，﹣1）的切线方程是x+y﹣2=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出函数的导函数，然后求出在x=﹣1处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．【解答】解：∵y′=﹣x﹣2，∴x=﹣1时，k=﹣1，∴曲线y=在点P（﹣1，﹣1）切线方程为y+1=﹣（x+1），即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．10．已知x，y∈R，且（x+y）+i=3x+（x﹣y）i，则x=﹣1，y=﹣2．【考点】复数相等的充要条件．【分析】由两个复数相等的条件得x+y=3x，x﹣y=1，解方程组求得x，y的值．【解答】解：∵（x+y）+i=3x+（x﹣y）i，∴，解得：故答案为：﹣1，﹣2．11．已知复数z=（m2+3m+2）+（m2﹣m﹣6）i，则当实数m=﹣1时，复数z是纯虚数．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的有关概念可得：当复数是一个纯虚数时，需要实部等于0而虚部不等于0．【解答】解：因为复数z=（m2+3m+2）+（m2﹣m﹣6）i是纯虚数，所以，解得：m=﹣1，故答案为：﹣1．12．函数y=在点x=e处的瞬时变化率为0．【考点】变化的快慢与变化率；导数的运算．【分析】先求出函数f（x）的导数，再利用导数的意义即瞬时变化率即可求出答案．【解答】解：函数f（x）的图象上各点的瞬时变化率即为f′（x），而f′（x）=．∴函数y=在点x=e处的瞬时变化率为f′（e）=0．故答案为：0．13．若方程x3﹣3x﹣a=0恰有两个实数根，则实数a的值为±2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】把判断方程x3﹣3x﹣a=0何时恰有两个实数根的问题，转化为，判断两个函数何时有两个不同交点的问题，数形结合，问题得解．【解答】解：方程x3﹣3x﹣a=0有两个不同的实数根，也即方程x3﹣3x=a有两个不同的实数根，令f（x）=x3﹣3x，g（x）=a，则f（x）与g（x）有2个不同交点，对f（x）求导，得，f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，得，x=1或﹣1．f（﹣1）=2，f（1）=﹣2∴f（x）的最小值为﹣2，最大值为2，其大致图象如上图∴由图得：当实数a的值为：±2时，方程x3﹣3x﹣a=0恰有两个实数根．故答案为：±2．14．曲线f（x）=x3﹣x2过点（1，0）的切线有2条．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出焦点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求切线斜率，根据切点个数确定切线条件．【解答】解：因为f（x）=x3﹣x2，所以f'（x）=3x2﹣2x．设切点坐标为（x0，y0），则切点处的斜率为k=，又，则切线方程为．因为切线过点（1，0），所以，即，解得，所以切点有两个，即过点（1，0）的切线有2条．故答案为：2．三、解答题：本大题共2小题，满分30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．设函数f（x）=x3﹣x2+6x﹣3．（1）求f（x）的单调区间和极值点；（2）求f（x）在[0，3]的最大值与最小值；（3）画y=f（x）的草图．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和极值的定义即可求f（x）的单调区间和极值点；（2）求出端点值f（0）和f（3），结合函数的极值进行比较即可求f（x）在[0，3]的最大值与最小值；（3）根据函数单调性，和极值即可画y=f（x）的草图．【解答】解：（1）函数导数f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x2﹣3x+2），由f′（x）＞0得x＞2或x＜1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0，得1＜x＜2，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调递减区间为（1，2），当x=1时，函数取得极大值，此时f（1）=，当x=2时，函数取得极小值，此时f（2）=﹣1．（2）∵f（0）=﹣3，f（3）=，f（1）=，f（2）=﹣1∴f（x）在[0，3]的最大值是f（3）=，最小值是f（0）=﹣3；（3）根据函数的单调性和极值，则作出对应的函数y=f（x）的草图如图．16．已知函数f（x）=+lnx﹣1（其中a＞0且a为常数）（1）若曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线与在点（，f（））的切线平行，求实数a的值；（2）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导数，利用曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线与在点（，f（））的切线平行，建立方程，即可求实数a的值；（2）若函数f（x）有零点，利用其最小值小于等于0，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=+lnx﹣1，∴f′（x）=，∵曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线与在点（，f（））的切线平行，∴，∴a=3.5；（2）f′（x）=＞0，∴x＞a，函数单调递增，0＜x＜a，函数单调递减，∴f（x）min=f（a）=lna，∵函数f（x）有零点，∴lna≤0，∴0＜a≤1．2018年10月24日。