2023高中数学选修三 线性代数基础 课件
线性代数_同济版 课件
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
a1 al a b1 bmb c1 cn a1 al b b1 bma c1 cn
备注 1. 相邻对换是对换的特殊情形.
2. 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.
3. 如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
解：
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0 a11a22a33a44
0 0 0 a44
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0 (1)t(4321) a14a23a33a41 a14a23a33a41
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
由消元法，得
(a a a a )x b a a b
11 22
12 21 1
1 22
12 2
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
D2 D
例1
求解二元线性方程组
3 x1 2 2 x1
x2 x2
12 1
3 2
解 因为 D
3 (4) 7 0
21
12 2
D1 1
12 (2) 14 1
线性代数课件(高教版)1-5
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型
相同．
ri k
逆变换
ri
(1) k
或
ri
k;
krj ri 逆变换 (k )rj ri .
ri rj 逆变换 ri rj;
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B，
就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．或A B.
等价关系的性质： （1） 反身性 A A； （2）对称性 若 A B ,则 B A;
01
03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 9243
23360rr11rr34 B2
r2 2 1 1 2 1 4
5r2 r3 0
3r2 r4
0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 1
0 6
B3
3
1 rB323r3 r4000r4
11 10 00 00
12 11 00 00
第五节 矩阵的初等变换
引例 矩阵的初等变换 初等矩阵
一、消元法解线性方程组
分析：用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
3 2
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标 准形．
1 0 1 0 4
例如，B 5
0 0
1 0
（3）传递性 若 A B,B C,则 A C. 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
线性代数课件(高教版)1-3
将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵 每一个 小矩阵称为A的子块 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块 矩阵。将矩阵分割成分块矩阵的方法称为矩阵的分块法。
1 0 0 3
例如
A 000
1 0 0
0 1 0
011
E3 O
A1 A2
1 0 0 3
其中
E3
0 0
2 1 1 1
0 1 2 1
0 1
3 0
4 1 2 1
0 1
2 1
4 , 1
A1
B22
1 1
2 4 1 2
1 3 0 3
3 , 1
于是
AB B11
E
A1B11 B21 A1 B22
1 0 1 0
1 2
4 4
0 3
13 .
1 1 3 1
EA1
O E
,
1 0 1 0
B
1 1
1
2 0 1
0 4 2
1 1 0
B11 E B21B22
则 AB E O B11 E A1 E B21 B22
B11
E .
A1B11 B21 A1 B22
AB B11
E .
A1B11 B21 A1 B22
又
A1B11 B21 1 1
1 0
10
A1
01
O(0
0
0)
A2(1)
注：分块方法有很多，最常用的是按行分块或按列分块。
矩阵的分块运算
1 设矩阵A与B的行数相同,列数相同,采用
相同的分块法,有
A
A11
A1r
线性代数总结精华ppt课件
d数量矩阵：有数量的对角矩阵 记作 E .
第二章 矩阵
e.三角矩阵：分为上三角和下三角 f.负矩阵：原矩阵乘上负一 g.行最简型，行阶梯型，标准型 4.多元线性方程组与矩阵 a.系数矩阵与增广矩阵 5.矩阵的运算，加法，减法，数乘，乘法，转置，对称阵与反对称阵、 6.方阵行列式（这里要注意方阵行列式的运算规则) 7.伴随矩阵（注意运算规律） 8.共轭矩阵（不太重要）
第三章 向量 用向量的知识解构与重构矩阵
1.向量的定义，向量、向量组和矩阵的关系
2.向量组的线性相关1 a 12 a 2 m a m
3.向量的线性表示：
a.一个向量被向量组线性表示b 1 a 1 2 a 2 m a m
b.一个向量组被另一个向量组线性表示 B=§A 定理 1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充要条件是 R(A) = 联系上一章节学习的线性方程 R(B) , 其中矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ), B = ( a1 , a2 ,……, am ,b ) . 组的是知识
b.线性方程组解的空间指的是由线性方程组的解的向量满足空间线性运算 及元素线性无关所组成的空间，其次线性方程组的解向量就是一个解空间
定理 6 n 元齐次线性方程组
Ax = 0
⑴
的解空间的维数为 n - r ，即 ⑴ 的基础解系含 n - r 个解，其中
R(A) = r.
第三章 向量
1向量的线性表示（主要是线性表示的概念，单个向量、向量组与向量组的 线性表示）
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线性代数复习指导
The Review Lesson To Linear Algebra
线性代数课件第一章
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆 序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序 就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则 一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)． 带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)． 故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数， 表示对1，2，3 三个 数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标， 表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2
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2023高中数学选修三线性代数基础课件
一、引言
线性代数是数学中的一个重要分支，它研究了向量空间及其上的线
性变换和线性方程组等内容。
本课程旨在介绍线性代数的基础知识，
帮助学生建立起对向量、矩阵和线性变换等概念的深刻理解。
二、向量的概念及运算
1. 向量的定义
在数学中，向量是有方向和大小的量，可以用来表示空间中的位移、速度、力等。
向量可以表示为有序的数对或者是列向量形式。
2. 向量的运算
向量的加法和减法是按照对应分量逐一进行的。
向量的数乘是将向
量的每个分量与一个实数相乘。
三、矩阵及其运算
1. 矩阵的定义
矩阵是一个按照行和列排列的数表，可以用于表示线性方程组或者
线性变换。
2. 矩阵的运算
矩阵的加法和减法是将对应的元素逐一相加或相减的，矩阵的数乘
是将矩阵的每个元素与一个实数相乘的。
四、线性变换
1. 线性变换的定义
线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的
变换，它保持向量空间的线性结构。
2. 线性变换的性质
线性变换具有保持加法和数乘运算的性质，即对于任意的向量和标量，线性变换都满足加法和数乘的性质。
五、线性方程组
1. 线性方程组的定义
线性方程组是含有线性方程的方程组，其中未知数的最高次数是1。
2. 线性方程组的解
线性方程组的解可以通过高斯消元法或者矩阵的行变换来求解，从
而得到方程组的通解或者特解。
六、特征值与特征向量
1. 特征值与特征向量的定义
对于一个线性变换，如果存在一个非零向量使得它与该线性变换下
的向量的乘积等于该向量与一个标量的乘积，那么该非零向量称为该
线性变换的特征向量，而对应的标量称为特征向量的特征值。
2. 特征值与特征向量的应用
特征值与特征向量在矩阵的对角化和求解微分方程等问题中有着广
泛的应用。
七、课程总结
本课程介绍了线性代数的基础知识，包括向量的概念及运算、矩阵
及其运算、线性变换、线性方程组以及特征值与特征向量等内容。
通
过学习本课程，相信同学们已经对线性代数有了更深入的理解，并能
够熟练应用相关知识解决实际问题。
八、参考资料
1. Gilbert Strang, "Introduction to Linear Algebra", Wellesley-Cambridge Press, 2003.
2. James Stewart, "Calculus: Early Transcendentals", Cengage Learning, 2015.
（以上内容仅为示例，实际课件内容请根据具体教学需求进行设计）。