高等数学中的微分方程求解方法
高等数学上7.4一阶线性微分方程
令 y u( x )e
;
令 y 1 n z;
作业:P282:1-(3) (7)(9), 2-(2)(4), 6, 7-(3)
18
例2 如图所示，平行于 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
2
13
dy 1 u, 则 1, dx dx du 1 1 , 代入原式 dx u 分离变量法得 u ln( u 1) x C ,
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C , 或 x C1e y 1 dx 另解 方程变形为 x y. dy
2
12
例4
用适当的变量代换解微分方程:
2 x2
1. 2 yy 2 xy xe
;
1 x 2 1 y xy xe y , 解 2 dz dy 1( 1) 2 令z y y , 则 2y , dx dx
2 xdx dz x 2 2 xdx x2 [ xe e dx C ] 2 xz xe , z e dx x2 所求通解为 y 2 e x ( C ). 2
y
14
注意:
y=y( x ) x=x( y ) , F( y’ , y , x )=0 G ( x’ , x , y ) =0,
cos y 例 求微分方程 y 的通解. cos y sin 2 y x sin y dx cos y sin 2 y x sin y 解 sin 2 y x tan y, dy cos y
• 一、线性微分方程 • 二、伯努利方程 • 三、小结
高阶常微分方程的解法
高阶常微分方程的解法在高等数学中，我们学习了微积分的基本概念和一阶常微分方程的解法。
而对于高阶常微分方程，我们需要运用一些特殊的方法来求解。
本文将介绍高阶常微分方程的解法，帮助读者更好地理解这一概念。
一、高阶常微分方程的定义高阶常微分方程是指未知函数的导数存在至少二阶及以上的微分方程。
一般写作：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，\(y\) 是未知函数，\(y'\) 表示一阶导数，\(y''\) 表示二阶导数，\(y'''\) 表示三阶导数，以此类推。
\(F\) 是已知的方程。
二、1. 常数变易法常数变易法是高阶常微分方程解法中的一种常见方法。
首先，我们假设某种形式的特解。
常见的形式包括多项式函数、三角函数等。
然后，将特解代入原方程，并解出未知参数。
最后，将特解与通解相加，得到方程的最终解。
举个例子，考虑二阶常微分方程 \(y'' + 2y' + y = e^x\)。
首先，我们猜测特解为 \(y_p = Ae^x\)，其中 \(A\) 是待定常数。
将特解代入方程，得到 \(2Ae^x + 2Ae^x + Ae^x = e^x\)。
通过整理方程，我们可以求得\(A = \frac{1}{4}\)。
因此，特解为 \(y_p = \frac{1}{4}e^x\)。
通解为特解与齐次方程 \(y'' + 2y' + y = 0\) 的通解之和。
2. 变量替换法变量替换法也是一种常见的高阶常微分方程解法。
通过引入新的变量，可以将高阶常微分方程转化为一阶常微分方程。
这样，我们就可以利用一阶常微分方程的求解方法来求解原方程。
例如，考虑二阶常微分方程 \(y'' - 4y = 0\)。
我们引入新的变量 \(u =y'\)，得到一阶方程组：\[\begin{cases} y' = u \\ u' - 4y = 0 \end{cases}\]解这个方程组，可以得到 \(u = 2ce^{2x}\) 和 \(y = c_1e^{2x} +c_2e^{-2x}\)。
高等数学第十二章微分方程
dy 1 dy y 2 y 2 。这是贝努利方程， 解出 ? ，得 dx x dx
对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如
果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这 时常用的方法和技巧如下： A.熟悉常用的微分公式； B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程； C．变换自变量和因变量（即有时把 y看成自变量，而 考虑
dx 的方程类型）。 dy
一阶微分方程的解题方法流程图如下。
解题方法流程图
求Pdx Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 No Yes
P Q y x
dy 解出 dx = f ( x, y )
No
可分离变 量方程
全微分 方程
齐次方程
dy y ( ) dx x
dy P ( x ) y Q( x ) dx
一阶线性方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
dy y （2）齐次方程： dx x
dy P ( x ) y Q( x ) （3）一阶线性微分方程： dx
dy n （4）伯努利方程： P ( x ) y Q( x ) y ( n 0,1) dx
（5）全微分方程：P ( x , y )dx Q( x , y )dy 满足 ,0
y dy du u x 解：令 u ,于是 y ux , ,上式可化为 x dx dx
du 1 u cos u u x sec u u dx cos u
du sec u , 为可分离变量的方程 即x dx
分离变量 积分得 所以 故原方程的通解为
dx cos udu x sin u ln x ln C
高等数学：微分方程
两边积分,得
用lnC 表示任意常数,考虑到R >0,得积分结果
即
微分方程
微分方程
二、 一阶线性微分方程
我们把形如
的方程称为一阶线性微分方程.当q(x)≡0时,方程
称为一阶线性齐次微分方程;当q(x)≠0时,方程(6-15)称为一阶
线性非齐次微分方程.
微分方程
一阶线性齐次微分方程(6-16)是可分离变量的微分方程,
当p2-4q=0时,特征方程r2+pr+q=0有两个相等的实根,即
r1=r2=- ,此时
2
可得到方程(6-30)的一个特解y=er1x .容易验证
y=xer1x 也是方程(6-30)的一个特解, 且y1 =er1x 与y2 =xer1x 是线
性无关的.由定理6-1可知,齐次方程(6-30)的通解为
微分方程
1.f(x)=Pm (x)eλx 型
f(x)=Pm (x)eλx 型时,Pm (x)为m 次多项式,λ 为常数.此时,可
以证明方程(6-29)具有形如y* =xkQm (x)eλx 的特解,其中Qm (x)
静止状态下沉,所受阻力与下 沉速度成正比(比例系数为k 的
常数).试求潜水艇下沉深度s与时间t的函数关系式.
微分方程
解 潜水艇下沉过程中所受的力有重力、水对潜艇的浮
力及下沉时遇到的阻力.前两个 力都是常量,其合力称为下沉
力,即下沉力F= 重力-浮力;下沉时遇到的阻力大小为
由牛顿第二定律,有
即
微分方程
假设 y=erx是方程(6-30)的特解,其中r为待定常数.将y=erx 、
y'=rerx 、y″=r2erx代入 方程(6-30),得
全微分方程
4 2 2 2 0 x y
1 3 3 2 2 3 x x y xy y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x x y xy y C 2 3
5
高等数学（ZYH）
① 为全微分方程 求解步ห้องสมุดไป่ตู้: 1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法;
方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
高等数学（ZYH）
例1. 求解
(5 x 4 3x y 2 y 3 ) d x (3x 2 y 3x y 2 y 2 ) d y 0 P 2 Q 6x y 3y , 故这是全微分方程. 解: 因为 y x 取 x0 0, y0 0, 则有
y
( x, y )
o ( x,0) x
例2. 求解
P 1 Q 解: 2 , ∴ 这是一个全微分方程 . y x x 用凑微分法求通解. 将方程改写为
x d y y dx x dx 0 2 x 1 2 y 1 2 y 即 d x d 0, 或 d x 0 2 x 2 x 1 2 y 故原方程的通解为 x C 2 x
高等数学（ZYH）
1 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成例2 的方程 .
思考: 如何解方程
二、积分因子法
若存在连续可微函数 ( x, y) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
高等数学第七章4节一阶微分线性方程
一阶齐次线性微分方程 一阶非齐次线性微分方程
2
设
dy P x y Qx dx
（1）
dy 为一阶非齐次线性微分方程， 则方程 Px y 0 dx
称为对应于（1）的齐次线性微分方程.
2. 一阶齐次线
dy P x y 0, dx dy 得 P x dx , y dy P x dx , y
u x Q x e P x dx dx C .
求得() 的通解为：
y [ Q x e P x dx dx C ]e P x dx .
7
或
y Ce P x dx e P x dx Q x e P x dx dx
第四节
一阶线性微分方程
dy P x y Qx dx
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
dy P x y Q x y n dx
n 0 ,1
1
一、一阶线性微分方程
1.定义 形如
dy 称为一阶线性微分 P x y Q x 的方程， dx
将 y u x e
P x dx
代入() ， 得
u x e
即 积分得
P x dx
u x e
P x dx
P x
P x u x e
P x dx
Q x
P x dx u x Q x e
齐次线性微分方程的通解
非齐次线性微分方程的特解
即 非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解 与非齐次线性方程的一个特解之和.
8
5 dy 2y x 1 2 的通解 . 例1 求方程 dx x 1
高等数学第五章5
α ± iβ不是特征根
k =0
α ± iβ是单根
k =1
第5节 微分方程在医学医学问题
药物动力学模型
c(t ) = c0 e
− kt
k0 − kt x = (1 − e ) k
一、药物动力学模型
药物进入机体后，在随血液到达各个器官和 药物进入机体后， 组织的过程中，广泛采用房室模型 房室模型来研究药 组织的过程中，广泛采用房室模型来研究药 物在体内的吸收、分布、 物在体内的吸收、分布、代谢和排泄的时间 过程。 过程。 血药浓度：药物在血液中的浓度。 血药浓度：药物在血液中的浓度。血药浓度 的变化能够定量地反映出其他体液、 的变化能够定量地反映出其他体液、组织及 器官内药物水平的变化。 器官内药物水平的变化。 房室：就是机体的某一个部分。 房室：就是机体的某一个部分。假定血药浓 度在一个房室内是常数， 度在一个房室内是常数，在不同房室之间按 照一定规律转移。 照一定规律转移。
二、肿瘤生长模型
决定。 肿瘤的生长速率由当前 肿瘤的体积 V决定。
dV b = kV dt
表征肿瘤生长速 率的参数， 率的参数，也称 为形状参数
dV kt b = kV 当b = 1时， V = Ce dt 1− b 当b ≠ 1时， V = (1 − b)(kt + C )
肿瘤在 ∆t = t 2 − t1的增长情况
其特解为： 其特解为： ~ = x k eαx [Q ( x) cos βx + R ( x) sin βx] y
l l
其中 l = max{m, n}
l次多项式 次多项式
k由特征根的情况决定
~ = x k eαx [Q ( x) cos βx + R ( x) sin β x] y l l
高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程
通过适当的变量代换，一阶线性微 分方程可化为标准形式 $y' + p(x)y = q(x)$，其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是 已知函数。
一阶线性方程全微分方程的解的存在性与唯一性定理
1 2
解的存在性
如果一阶线性微分方程中的 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 在某区间上连续，那么在该区间内必定存在原方 程的解。
解的唯一性
如果一阶线性微分方程满足初始条件 $y(x_0) = y_0$，那么在给定区间内，原方程的解是唯一的。
3
解的连续性与可微性
一阶线性微分方程的解在其定义域内是连续且可 微的。
一阶线性方程全微分方程的通解与特解
通解
一阶线性微分方程的通解是包含 任意常数的解，它表示了原方程
所有可能的解。
特解
满足特定初始条件 $y(x_0) = y_0$ 的解称为特解，它是通解
次方程 $y' + P(x)y = 0$ 的通解，然后将通解中的常数变为函数，通过
求导和代入原方程求解。
02
常数变易法的步骤
设齐次方程的通解为 $y = Ce^{-int P(x)dx}$，其中 $C$ 为常数。将
$C$ 变为 $x$ 的函数 $u(x)$，得到 $y = u(x)e^{-int P(x)dx}$，求导
高阶线性微分方程的解法
高阶线性微分方程的解法包括降阶法、特征根法、常数变易法等，其中降阶法是通过变量 代换将高阶方程化为低阶方程来求解。
高阶线性微分方程的性质
高阶线性微分方程具有线性性、叠加性、齐次性等性质，这些性质在求解过程中起着重要 作用。
非线性微分方程简介
非线性微分方程的定义
非线性微分方程是指微分方程中未知函数或其导数出现高次幂、 乘积、分式等非线性形式的方程。
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微分方程是数学中重要的一门课程，它是研究函数的变化规律的一种工具。
微
分方程的求解方法在数学和应用领域有着广泛的应用。
在高等数学中，我们研
究的微分方程主要分为常微分方程和偏微分方程两类。
本文将主要介绍常微分
方程的求解方法。
常微分方程是关于未知函数及其导数的方程。
它的一般形式为：
$$F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0$$. 其中，y是未知函数，x是自变量，y'表示y对x的导数，y'' 表示二阶导数，以此类推，$y^{(n)}$表示n阶导数。
对于常微分方程的求解，通常有几种常用的方法：
1.分离变量法
分离变量法是常微分方程求解中最常用的方法之一。
这个方法的关键是将微分
方程化简为两个变量的方程，然后再对两边同时积分。
例如，对于一阶可分离
变量的微分方程 $$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$，可以将其化简为
$$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$$，接下来对两边同时积分即可得到解。
分离变
量法适用于一大类的常微分方程，但需要注意要对所得到的解进行验证，以确
保解真实可行。
2.齐次方程法
对于一阶线性微分方程 $$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$，齐次方程法是一种很有效的求解方法。
首先，我们先考虑方程 $$\frac{dy}{dx} + P(x)y =
0$$，这个方程称为齐次方程。
然后，我们再求出齐次方程的通解，即
$y_h(x)$。
接下来，我们将方程 $$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$ 分为两
个部分，即 $$\frac{dy}{dx} + P(x)y_h(x) = 0$$ 和 $$\frac{dy}{dx} +
P(x)(y - y_h(x)) = 0$$。
其中，$y_h(x)$是齐次方程的通解，$y -
y_h(x)$是方程 $$\frac{dy}{dx} + P(x)(y - y_h(x)) = 0$$ 的解。
3.变量替换法
变量替换法是常微分方程求解的另一种重要方法。
通过合适的变量替换，可以
将微分方程转化为更简单的形式。
例如，对于二阶常系数线性微分方程 $$y'' + py' + qy = 0$$，我们可以通过变量替换 $z=y'$ 把它转化为一阶线性微分
方程 $$z' +pz + qy = 0$$。
然后，我们再通过求解这个一阶线性微分方程，
得到z的表达式，再通过反向的代入过程得到y的表达式。
除了以上介绍的几种方法外，求解常微分方程还有其他一些常用的方法，如常
数变易法、幂级数法、拉普拉斯变换法等。
这些方法各有特点，适用于不同类
型的微分方程。
在实际应用中，我们需要根据实际问题的特点和求解难度选择
合适的方法。
总结起来，高等数学中常微分方程的求解方法包括分离变量法、齐次方程法、
变量替换法等。
这些方法在解决实际问题和理论研究中发挥了重要的作用。
通
过不断学习和应用这些方法，我们可以更好地理解和掌握微分方程的求解技巧，提高自己的数学能力。