定义域 R 定义域 R 值域y >0 值域y >0
在R 上单调递增 在R 上单调递减 非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1)
a x n
=x a n n N 00=n
n a a n
n =n ⎩⎨⎧<≥-==)0()
0(||a a a a a a n
n
)1,,,0(*
>∈>=n N n m a a a
n
m
n
m )
1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m r a s
r r a
a +=),,0(R s r a ∈>rs s r a a =)(),,0(R s r a ∈>s r r a a a
b =)(),,0(R s r a ∈>)1,0(≠>=a a a y x
且0
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a ,b]上,
值域是或; (2)若,则;取遍所有正数当且仅当;
(3)对于指数函数
,总有;
二、对数函数 (一)对数
1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,
记作:
(— 底数,— 真数,— 对数式)
说明:○1 注意底数的限制,且; ○2
;
○3 注意对数的书写格式.
两个重要对数:
○1 常用对数:以10为底的对数;
○2 自然对数:以无理数为底的对数的对数.
指数式与对数式的互化
)1a 0a (a )x (f x
≠>=且)]b (f ),a (f [)]a (f ),b (f [0x ≠1)x (f ≠)x (f R x ∈)1a 0a (a )x (f x ≠>=且a )1(f =N a x
=)1,0(≠>a a x a N N
x a log =a N N
a log 0>a 1≠a x
N N a a x =⇔=log N lg 71828.2=e N
ln
(二)对数的运算性质
如果,且,,,那么: ○1
·+;
○2
-;
○3 .
注意:换底公式
(,且;,且;).
利用换底公式推导下面的结论
(1);(2).
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数
,且叫做对数函数,其中是自变量,
函数的定义域是(0,+∞).
注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:,
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
○2 对数函数对底数的限制:,且.
0>a 1≠a 0>M 0>N M
a (log =)N M a log N
a log =N M
a
log M a log N
a log n a M log n =M a log )
(R n ∈a
b
b c c a log log log =
0>a 1≠a 0>c 1≠c 0>b b m n b a n
a m log log =a
b b a log 1log =0
(log >=a x y a )1≠a x x y 2log 2=5log 5
x
y =0(>a )1≠a
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如
的函数称为幂函数,其中为常数. 2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
α
x y =)(R a ∈α0>α),0[+∞1>α10<<α0<α),0(+∞x y y x ∞+x x