高一数学(必修1)专题复习三 指数函数和对数函数

高一数学（必修1）专题复习三
指数函数和对数函数
一．基础知识复习
（一）指数的运算： 1．实数指数幂的定义：
（1）正整数指数幂：
a
n n
a a a a 个⋅⋅⋅=（R a ∈）（2）零指数幂：10=a （0≠a ） （3）负整数指数幂：n n
a
a 1
=
-（0≠a ） （4）正分数指数幂：n m n m a a =（1,,,0≠∈≠+n N n m a ）
（5）负分数指数幂：n
m
n
m a
a 1
=
-（（1,,,0≠∈≠+n N n m a ．
2．指数的运算性质： ① y
x y
x
a
a a +=⋅ ② y
x y x a a
a -= ③ xy y x a a =)( ④ x x x
b a ab =)(
1b 就叫做以a 为底N 的对数，记作b a log =．即：b N N a a b =⇔=log ． （10 （2）当（3）1的对数是零，01log =a （4）底数的对数等于1，1log =a
2．对数恒等式：（1 （2）b a b a =log （3）m n a a n m log log =
3．对数的运算法则：
① ()N M MN a a a log log log += ② N M N
M
a a a
log log log -= ③ ()
N n N a n
a log log = ④ N n
N a n a log 1log =
4．对数换底公式：b
N
N a b log log log =．由换底公式推出一些常用的结论：
（1 （2）c c b a b a log log log =⋅
（3 （4 （5
（一）指数函数的图象和性质
1．x y a =(0a >且1a ≠)的定义域为R ，值域为()0,+∞． 2．x y a =(0a >且1a ≠) 的单调性： 当1>a 时，x y a =在R 上为增函数； 当01a <<时，x y a =在R 上是减函数． 3．x y a =(0a >且1a ≠)的图像特征： 当1>a 时，图象像一撇，过点()0,1， 且在y 轴左侧a 越大，图象越靠近y 轴；
当01a <<时，图象像一捺，过点()0,1，且在y 轴左侧a 越小，图象越靠近y 轴． 4．x y a =与x a y -=的图象关于y 轴对称． （二）对数函数的图象和性质
1．)10(log ≠>=a a x y a 且 的定义域为+
R ，值域为R ． 2．)10(log ≠>=a a x y a 且的单调性： 当1>a 时，在()+∞,0单增， 当01a <<时，在()+∞,0单减． 3．)10(log ≠>=a a x y a 且的图象特征：
当1>a 时，图象像一撇，过()1,0点，在x 轴上方a 越大越靠近x 轴； 当01a <<时，图象像一捺，过()1,0点，在x 轴上方a 越小越靠近x 轴． 4．b a log 的符号规律（同正异负法则）：
给定两个区间()0,1和()1,+∞，若a 与b 的范围处于同一个区间，则对数值大于零；否则若a 与b 的范围分处两个区间，则对数值小于零． 5．log a y x =与x y a
1log =的图像关于x 轴对称．
6．指数函数x
y a =与对数函数log a y x =互为反函数．
（1）互为反函数的图像关于直线x y =对称 （2）互为反函数的定义域和值域相反
（3）一般地，函数)(x f y =的反函数用)(1
x f
y -=表示，若点),(b a 在)
(x f y =的图像上，则点),(a b 在)(1x f y -=的图像上，即若b a f =)(，则a b f =-)(1
． （4）求反函数的步骤：①反解，用y 表示x ； ②求原函数的值域； ③x 与y 互换，
并标明定义域．
二．训练题目
（一）选择题
1．设0a >（ ）
A ．
B ．
C
D 2．已知log 2a x =，log 1b x =，log 4c x =，则log abc x =（ ）
A ．
47 B ．27 C ．72 D ．74
3．若)3
log 4log 4log 3log ()3log 4(log 3log log 43342
4349+-+=⋅x ，则=x （ ）
A ．4
B ．16
C ．256
D ．81
4．如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，
则d c b a ,,,与1的大小关系为（ ） A ．d c b a <<<<1 B ．c d a b <<<<1 C ．d c b a <<<<1 D ．c d b a <<<<1 5．已知01a <<，log log 0a a m n <<，则（ ）
A ．1n m <<
B ．1m n <<
C ．1m n <<
D ．1n m <<
6．设c b a ,,均为正数，且a a
2
1log 2=，b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c
2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛.则（ ）
A ．c b a <<
B ． a b c <<
C ． b a c <<
D ． c a b << 7．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a b +等于（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．已知函数x
y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则（ ）
A ．()22()x
f x e x R =∈ B ．)0(ln 2ln )2(>⋅=x x x f
C ．()22()x
f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>
9．已知函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+
R ，），则
11()()f m f n --+ 的值为（ ）
A ．2-
B ．1
C ．4
D ．10
10．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ）
A ．21x e -
B ．2x e
C ．21x e +
D ．22
x e +
（二）填空题 1．函数32)(1
2-=-x a
x f （1,0≠>a a ）的图象恒过定点 ．
2．函数)232(log 2)(2
+--=x x x f a （1,0≠>a a ）的图象恒过定点 ．
3．设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1
(())2g g = ____．
4．已知n y m x a a ==log ,log
，则log a ⎝= ．
5．已知a =10log 3，b =25log 6，则用a 、b 表示=45log 4 ．
（三）解答题
1．比较下列各组数的大小
（1）31)32(，32)3
1( （2）3.0log 2，3.02，2
3.0 （4）212，313，61
6
2．计算：（1） 5lg 2lg 35lg 2lg 33++ （2）8lg 3
136.0lg 2113
lg 2lg 2+++ 、
3．化简： （1）
3
4
323343
2x x
x x x
x x ⋅
⋅⋅⋅⋅ （2）
1
1
11
13
13
13
13
13
2---
+++
++-x x
x x x x x x
4．求下列函数的值域 （1）x
x y --=1123
（2）)32(log 2
2
1++-=x x y （3）x
x x
x e e e e y --+-=
5．判断下列函数的奇偶性 （1）1
313)
2
1()(++-=x x x f （2
）())f x x = （3）11
()212
x
f x =
+-
6．对于函数)32(log )(2
2
1+-=ax x x f ，解答下述问题：
（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；
（3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值．
7．（1）已知093109≤+⋅-x
x ，求函数2)2
1
(4)
41(1+-=-x x y 的最大值和最小值． （2）设不等式09)(log 9)(log 25.025.0≤++x x 的解集为M ，求当M x ∈时函数
)8
)(log 2(log 22x
x y =的最大和最小值．
8．已知)1(log )(-=x a a x f （1,0≠>a a ）
（1）求)(x f 的定义域； （2）讨论)(x f 的单调性； （3）解方程)()2(1
x f x f -=．。