吴百诗《大学物理基础》电子教案ch3

(2) 质点在球内任一点C，与 球心距离为x，质点受到 的万有引力为
M
R O
m x
4 f G mx 3 R 4 Mm E p G mxdx G 2 dx x R 3 x 2 Mm 2 2 G m( R x ) G 3 R 3R 2 x 2 GMm( ) 3 2R
O
y
b0 g 0 (l b0 ) g 0
0 b0 l 1 0
当 y >b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。
(2) 以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部分之间 相互作用的内力的功之和为零，
重力的功
1 A ygdy g (l 2 b 2 ) b 2
aL aL aL
A1 A2 An
(3) 一般来说，功的值与质点运动的路径有关
三. 功率
力在单位时间内所作的功，称为功率。 平均功率
A P t A dA P lim t 0 t dt
当t 0时的瞬时功率
F dr P F v Fv cosθ dt
dA dEP
2. 由势能曲线求保守力 势能曲线上某点斜率的负值，就是该点对应的位置处质点 所受的保守力。
EP EP EP F ( i j k) x y z
A
EP C
E
Ek F
EP x1
F F
x2
B
F
x3
x4
x
质点运动范围： Ek E E p 0
Ep
1. 重力势能
M0
M
F dr
z
M ( x, y , z )
E p ( mg )dz mgz
z
0
O x
G
F
y
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
2. 弹性势能
1 2 E p (kx ) dx kx x 2
0
O
x
3. 万有引力势能
等势面
M m
A
A1 f 1L
A2 f 2 S
A f 1( L S )
L
(2) 内力的功也能改变系统的动能 例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转 化为弹片的动能。
例 一轻弹簧的劲度系数为k =100N/m，用手推一质量 m =0.1 kg 的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处, 如图所 示。放手后，物体沿水平面移动到x2=0.1m而停止。 求 物体与水平面间的滑动摩擦系数。
( x1 )
B点：
( x2 x3 )
( x4 )
质点在（x2 x3）内释放： 做往复振动
A、C点：
F 0 F 0
稳定平衡位置 非稳定平衡位置
2 2 2 2 例 F x y i x y j 是不是保守力?
解 如果是保守力，则
2 Ep Fx y xy
A F S
求质点M 在变力作用下，沿曲线
轨迹由a 运动到b，变力作的功
x 一段上的功： dA F dr 在 cos F dr
dr F θ r O dr b
r
y
dA F dr
F 在ab一段上的功
在直角坐标系中 在自然坐标系中
三.万有引力的功 F 在位移元 dr 上的元功为 mM F G 2 dA F cos dr r dr dr cos( ) dr cos
b
r2
M
mM dA G 2 dr r
万有引力F在全部路程中的功为
r2
F
r1
dr m
dr
解 放手后，物体运动到 x 1 处和弹簧分离。在整个过程中，
1 2 kx1 弹簧弹性力作功 2 摩擦力作功 mgx2
根据动能定理有
x1 x2
1 2 kx1 mgx2 0 0 2 kx12 100 0.022 0.20 2mgx2 2 0.1 9.8 0.1
2 1
dx 4t 2dt y 16t y 16时 t 1 y 32时 t 2
dv y Fy m 0 dt
A Fx dx Fy dy 320t 3dt 1200 J
例 已知用力 F 缓慢拉质量为m 的小球，F 保持方向不变 求 = 0 时，F 作的功。
例 长为l 的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂 , 已知链条与水平面间静摩擦系数为0 , 滑动摩擦系数为
求 (1) 满足什么条件时，链条将开始滑动 (2) 若下垂部分长度为b 时，链条自静 止开始滑动，当链条末端刚刚滑离 桌面时，其速度等于多少？
解 (1) 以链条的水平部分为研究对象，设 链条每单位长度的质量为，沿铅 垂向下取Oy 轴。 设链条下落长度 y =b0 时，处于临界状态
F dv 6t 解 m dt
dx v 3t dt
2
dx 3t 2dt
A Fdx
0
x
t
0
3 36 t dt 144J F 3t dt
2
2
0
2 P F v 12t 3t 288W
3.2 几种常见力的功
一.重力的功
重力mg 在曲线路径 M1M2 上的功为
第3章 功和能
图为秦山核电站全景
本章内容
3. 1 功 3. 2 几种常见力的功 3. 3 动能定理 3. 4 势能 机械能守恒定律
3. 5 能量守恒定律
3.1
F
空间积累：功
时间积累：冲量
功
F
θ
M
M
研究力在空间的积累效应 功、 动能、势能、动能定理、机械能 守恒定律。
a z
a
s
M
b
一.恒力的功 A Fs cosθ 二.变力的功
z
M1
②
m ①
G O
M2
A
M2
M 1 1
Fz dz （ mg）dz
Z1 1
Z2
mg（z1 z2）
位置的高度差。
结论
y
x
重力所作的功等于重力的大小乘以质点起始位置与末了
(1)重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路 径无关。 (2)质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。
二.弹性力的功
弹簧弹性力
F
O
F kxi
x2
x1
x2
x
由x1 到x2 路程上弹性力的功为
A
x1
1 2 1 2 kxdx kx1 kx2 2 2
弹性力的功等于弹簧劲度系数乘以质点始末位置弹簧形变 量平方之差的一半。 结论 (1) 弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径 无关。 (2) 弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时， 弹性力作负功。
mM E p (G 2 )dr r r mM G r

r
F
例如 在质量为M、半径为R、密度为 的球体的万有引力场中 (1) 质点在球外任一点C ，与球心距离为x，
质点受到的万有引力为:
M Mm f G 2 x Mm Mm E p G 2 dx G x x x R O m x
质点的势能与位置坐标的关系可以用图线表示出来。
EP
O
重力势能
E
EP
EP
O
r
Ek
z
EP
O 弹性势能
x 万有引力势能
1. 由势能函数求保守力
E P E P ( x, y , z )
EP EP EP dEP dx dy dz x y z
dA F dr Fx dx Fy dy Fz dz
1 1 2 2 Ai miv i 2 miv i1 i i 2 i 2
m1
Ai Ai外 Ai内 i i i
讨论 (1) 内力和为零,内力功的和
v2 m2 v4 m3 v3
f1
B
v1 m4
f1f 2
是否为零？ 不一定为零
f2
f 0
B A S
Fy Ep x yx
2
Fx Fy y x
Fx 2x2 y y
不是保守力
Fy 2 xy 2 x
四. 机械能守恒定律 对质点系: A外 A内 Ek A外 A保内 A非内 Ek
A外 E p A非内 Ek A外 A非内 Ek E p E
在保守力场中，质点从起始位置 1 到末了位置2，保守力的
功 A 等于质点在始末两位置势能增量的负值
A ( E p 2 E p1 ) E p
说明 (1) 由于势能零点可以任意选取，所以某一点的势能值是相
对的。
(2) 保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关。
三. 势能曲线
3.4
一.保守力
势能
机械能守恒定律
如果力所做的功与路径无关，而只决定于物体的始末 相对位置，这样的力称为保守力。 保守力沿闭合路径一周所做的功为零。 即
L
f dr 0
例如重力、万有引力、弹性力都是保守力。
作功与路径有关的力称为非保守力。
例如: 摩擦力
二. 势能
质点在保守力场中某点的势能，在量值上等于质点从M点移 动至零势能点M0 的过程中保守力F 所作的功。
当 机械能增量
A外 A非内 0
例 质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质 2 点的速度为 v 4t i 16 j ,开始时质点位于坐标原点。 求 在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。