2020年人教A版高中数学必修第一册4.2指数函数解析版
新人教版高中数学必修一4.2.2指数函数的图象与性质
0.99-1
(2) 0.68-0.1,
1.78-0.1
解：(1)由指数函数的性质知，1.2-2<1.20=1,0.99-1>0.990=1, 所以1.2 -2<0.99-1.
(2)由指数函数的性质知，0.68-0.1>0.680=1,1.78-1<1.780=1, 所以0.68-0.1>1.78-1.
指数函数的图像与性质
a>1
0<a<1
图 像
定义域 值域
过定点 单调性
R (0, +∞)
过定点（0，1），即x=0时，y=1
增函数
减函数
例题1 比较下列各题中两个数的大小： (1) 1.72.5与1.73; (2) 0.8 2 和0.8 3; (3) 1.70.3与0.93.1
解： （1）考查函数,由1.7 >1得函数在实数集上是增函数
列表、描点、连线
x -3 -2 -1 0 1 2
y=2x
1 8
1 4
1 124
2
y y=2x
8
4
2 1
1
-3 -2 -1 02 1 2 3 x
同理画出
y
1 2
x
的图像
x -3 -2 -1
y
1 2
x
8
42
012 1 1/2 1/4
y
y （1）x 2
8
4
2 1
1
∵2.5 < 3 ∴ 1.72.5与1.73 (2) 考查函数,由0<0.8<1得函数在实数集上是减函数
∵ 2 3 ∴ 0.8 2 <0.8 3
4.2 指数函数(精练)(解析版) -人教版高中数学精讲精练(必修一)
x
2
1 ，故值域为 y
|
0
y
1
.
8．（2021·黑龙江·绥化市第一中学高一期中）已知函数 f x 4x a 2x 3 ， a R ．
(1)当 a 4 ，且 x 0, 2 时，求函数 f x 的值域；
(2)若函数 f x 在0, 2 的最小值为1，求实数 a 的值；
【答案】(1)1,3 (2) a 2 2
③
y
2
x
是指数函数；
④ y xx 的底数是 x 不是常数，不是指数函数；
⑤
y
3
1 x
的指数不是自变量
x
，不是指数函数；
1
⑥ y x3 是幂函数．
故答案为：③
9．（2021·全国·高一专题练习）函数 y a2 5a 5 ax 是指数函数，则 a 的值为________．
【答案】 4
f
x
ax2 2x ,
a
1 x
x 1
3a,
x
1 的最小值为
2，则实数
a 的取值范围是______.
【答案】1,
【解析】由题意，函数
f
x
ax2 2x ,
a 1 x
x 1
3a, x
1 的最小值为
2
，
因为函数 f x 在[1, ) 上为增函数，可得 x 1时，函数 f x 有最小值为 2 ，
则当 x (,1) 时，函数 f x 2 ， min
）
A． c a b
B． c b a
【答案】A
1
2
【解析】
b
1 4
3
1 2
3
，
C． b c a
2020学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数4.1.1n次方根与分数指数幂课件新人教A版必修第一册
解析
答案
金版点睛 1.判断关于 n 次方根的结论应关注的两点 (1)n 的奇偶性决定了 n 次方根的个数；
(2)n 为奇数时，a 的正负决定着 n 次方根的符号． 2.根式化简求值解题思路 解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后 运用根式的性质进行解答.
[跟踪训练1] (1)下列说法正确的个数是( )
答案
解析
3.若 6 4a2－4a＋1＝3 1－2a，则实数 a 的取值范围是( )
A.(－∞，2) C.12，＋∞
B.12，＋∞ D.－∞，12
答案 D
解析 ∵6 4a2－4a＋1＝ 6 2a－12＝ 6 1－2a2＝3 1－2a，∴1－ 2a≥0，即 a≤12.
答案 (1)①5 a ②4 a3 ③ 1 ④ 1
5 a3
3 a2
7
3
1
(2)①(a－b) 5 ②(a2－b2) 4 ③(a2b－ab2) 4
2
④(a2－b2) 4
(3)x≥1
答案
核心素养形成
题型一 根式的概念 利用根式的性质化简 例 1 (1)①16 的平方根为________，－27 的 5 次方根为________； ②已知 x7＝6，则 x＝________；
D．±10 2
(3)化简下列各式： ①3 －27；②(3 －9)3；③ a－b2.
答案 (1)B (2)D (3)见解析 解析 (1)①16 的 4 次方根应是±2；②4 16＝2，③④正确． (2)∵m10＝2，∴m 是 2 的 10 次方根．又∵10 是偶数，∴2 的 10 次方根 有两个，且互为相反数，
解析
当 n 为奇数时， n x－πn＝x－π. 综上， n x－πn＝πx－－πx， ，nn为 为偶 奇数 数， ，nn∈ ∈NN**， . ②∵a≤12，∴1－2a≥0， ∴ 4a2－4a＋1＝ 2a－12＝|2a－1|＝1－2a.
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数指数函数的概念讲义
最新课程标准：（１）通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．（２）能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知识点一指数函数的定义函数y＝a x（a>0且a≠１）叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R.错误!指数函数解析式的３个特征（１）底数a为大于0且不等于１的常数．（２）自变量x的位置在指数上，且x的系数是１．（３）a x的系数是１．知识点二指数函数的图象与性质a>１0<a<１图象定义域R值域（0，＋∞）性质过定点过点（0,１），即x＝0时，y＝１函数值的变化当x>0时，y>１；当x<0时，0<y<１当x>0时，0<y<１；当x<0时，y>１单调性是R上的增函数是R上的减函数错误!底数a与１的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>１时，指数函数的图象是“上升”的；当0<a<１时，指数函数的图象是“下降”的．[教材解难]规定底数a>0且a≠１的理由（１）如果a＝0，则错误!（２）如果a<0，比如y＝（—２）x，这时对于x＝错误!，错误!，错误!，错误!，…在实数范围内函数值不存在．（３）如果a＝１，那么y＝１x＝１是常量，对此就没有研究的必要．[基础自测]１．下列各函数中，是指数函数的是（）Ａ．y＝（—３）xＢ．y＝—３xＣ．y＝３x—１Ｄ．y＝错误!x解析：根据指数函数的定义y＝a x（a>0且a≠１）可知只有D项正确．答案：D２．函数f（x）＝错误!的定义域为（）Ａ．RＢ．（0，＋∞）Ｃ．[0，＋∞）Ｄ．（—∞，0）解析：要使函数有意义，则２x—１>0，∴２x>１，∴x>0．答案：B３．在同一坐标系中，函数y＝２x与y＝错误!x的图象之间的关系是（）Ａ．关于y轴对称Ｂ．关于x轴对称Ｃ．关于原点对称Ｄ．关于直线y＝x对称解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选Ａ．答案：A４．函数f（x）＝错误!的值域为________．解析：由１—e x≥0得e x≤１，故函数f（x）的定义域为{x|x≤0}，所以0<e x≤１，—１≤—e x<0,0≤１—e x<１，函数f（x）的值域为[0,１）．答案：[0,１）题型一指数函数概念的应用[经典例题]例１（１）若函数f（x）＝（２a—１）x是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．错误!Ｄ．（—∞，１）（２）指数函数y＝f（x）的图象经过点错误!，那么f（４）·f（２）等于________．【解析】（１）由已知，得0<２a—１<１，则错误!<a<１，所以实数a的取值范围是错误!.（２）设y＝f（x）＝a x（a>0，a≠１），所以a—２＝错误!，所以a＝２，所以f（４）·f（２）＝２４×２２＝6４．【答案】（１）C （２）6４（１）根据指数函数的定义可知，底数a>0且a≠１，a x的系数是１．（２）先设指数函数为f（x）＝a x，借助条件图象过点（—２，错误!）求a，最后求值．方法归纳（１）判断一个函数是指数函数的方法１看形式：只需判定其解析式是否符合y＝a x（a>0，且a≠１）这一结构特征．２明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．（２）已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤跟踪训练１（１）若函数y＝（３—２a）x为指数函数，则实数a的取值范围是________；（２）下列函数中是指数函数的是________．（填序号）１y＝２·（错误!）x２y＝２x—１３y＝错误!x４y＝x x５y＝３1x⑥y＝x13.解析：（１）若函数y＝（３—２a）x为指数函数，则错误!解得a<错误!且a≠１．（２）１中指数式（错误!）x的系数不为１，故不是指数函数；２中y＝２x—１＝错误!·２x，指数式２x的系数不为１，故不是指数函数；４中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；５中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填３．答案：（１）（—∞，１）∪错误!（２）３１．指数函数系数为１．２．底数>0且≠１．题型二指数函数[教材P１１４例１]例２已知指数函数f（x）＝a x（a>0，且a≠１），且f（３）＝π，求f（0），f（１），f（—３）的值．【解析】因为f（x）＝a x，且f（３）＝π，则a３＝π，解得a＝π13，于是f（x）＝π3x.所以，f（0）＝π0＝１，f（１）＝π13＝错误!，f（—３）＝π—１＝错误!.错误!要求f（0），f（１），f（—３）的值，应先求出f（x）＝a x的解析式，即先求a的值．教材反思求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于１的实数，所以a＝—３应舍去．跟踪训练２若指数函数f（x）的图象经过点（２,9），求f（x）的解析式及f（—１）的值．解析：设f（x）＝a x（a>0，且a≠１），将点（２,9）代入，得a２＝9，解得a＝３或a＝—３（舍去）．所以f（x）＝３x.所以f（—１）＝３—１＝错误!.设f（x）＝a x，代入（２,9）求出Ａ．一、选择题１．下列函数中，指数函数的个数为（）１y＝错误!x—１；２y＝a x（a>0，且a≠１）；３y＝１x；４y＝错误!２x—１．Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．３Ｄ．４解析：由指数函数的定义可判定，只有２正确．答案：B２．已知f（x）＝３x—b（b为常数）的图象经过点（２,１），则f（４）的值为（）Ａ．３Ｂ．6Ｃ．9 Ｄ．8１解析：由f（x）过定点（２,１）可知b＝２，所以f（x）＝３x—２，f（４）＝9．可知C正确．答案：C３．当x∈[—１,１]时，函数f（x）＝３x—２的值域是（）Ａ．错误!Ｂ．[—１,１]Ｃ．错误!Ｄ．[0,１]解析：因为指数函数y＝３x在区间[—１,１]上是增函数，所以３—１≤３x≤３１，于是３—１—２≤３x—２≤３１—２，即—错误!≤f（x）≤１．故选Ｃ．答案：C４．在同一平面直角坐标系中，函数f（x）＝ax与g（x）＝a x的图象可能是（）解析：需要对a讨论：１当a>１时，f（x）＝ax过原点且斜率大于１，g（x）＝a x是递增的；２当0<a<１时，f（x）＝ax过原点且斜率小于１，g（x）＝a x是减函数，显然B正确．答案：B二、填空题５．下列函数中：１y＝２·（错误!）x；２y＝２x—１；３y＝错误!x；４y＝３1x-；５y＝x13.是指数函数的是________（填序号）．解析：１中指数式的系数不为１；２中y＝２x—１＝错误!·２x的系数亦不为１；４中自变量不为x；５中的指数为常数且底数不是唯一确定的值．答案：３6．若指数函数y＝f（x）的图象经过点错误!，则f错误!＝________.解析：设f（x）＝a x（a>0且a≠１）．因为f（x）过点错误!，所以错误!＝a—２，所以a＝４．所以f（x）＝４x，所以f错误!＝４32-＝错误!.答案：错误!7．若关于x的方程２x—a＋１＝0有负根，则a的取值范围是________．解析：因为２x＝a—１有负根，所以x<0，所以0<２x<１．所以0<a—１<１．所以１<a<２．答案：（１,２）三、解答题8．若函数y＝（a２—３a＋３）·a x是指数函数，求a的值．解析：由指数函数的定义知错误!由１得a＝１或２，结合２得a＝２．9．求下列函数的定义域和值域：（１）y＝２1x—１；（２）y＝错误!222x－.解析：（１）要使y＝２1x—１有意义，需x≠0，则２1x≠１；故２1x—１>—１且２1x—１≠0，故函数y＝２1x—１的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为（—１,0）∪（0，＋∞）．（２）函数y＝错误!222x－的定义域为实数集R，由于２x２≥0，则２x２—２≥—２．故0<错误!222x－≤9，所以函数y＝错误!222x－的值域为（0,9]．[尖子生题库]１0．设f（x）＝３x，g（x）＝错误!x.（１）在同一坐标系中作出f（x），g（x）的图象；（２）计算f（１）与g（—１），f（π）与g（—π），f（m）与g（—m）的值，从中你能得到什么结论？解析：（１）函数f（x）与g（x）的图象如图所示：（２）f（１）＝３１＝３，g（—１）＝错误!—１＝３；f（π）＝３π，g（—π）＝错误!—π＝３π；f（m）＝３m，g（—m）＝错误!—m＝３m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．。
人教A版高中同步学案数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 函数的应用(二)函数的零点与方程的解
所示.由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数()只有一
个零点.
1
（3）() = 2 + lg( + 1) − 2.
解（方法1）∵ (0) = 1 + 0 − 2 = −1 < 0,(2) = 4 + lg 3 − 2 = 2 + lg 3 > 0,
∴ () = 0在(0,2)内必定存在实根.
C.(−1,1)和(1,2)D.(−∞, −3)和(4, +∞)
[解析]易知() = + + ( ≠ )的图象是一条连续不断的曲线,又
(−)(−) = × (−) = − < ,所以()在(−, −)内有零点,即方程
+ + = ( ≠ )在(−, −)内有根,同理,方程 + + = ( ≠ )在
( )
( )
∵
= + = − < ,( ) = + = − < ,
= + = − + = − ,() =
> ,∴ > ,即 − > ,∴ ( ) > ,
() = − − 有2个不同的实根,即函数()的图象与直线
= − − 的图象有2个交点.作出直线 = − − 与函数
1 = ()和2 = ℎ()的图象,则两个图象公共点的个数就是函数 = ()零点的个数.
人教A版高中数学教材目录(全)
必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题二元一次不等式（组）与平面区域简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数word格式-可编辑-感谢下载支持 2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
人教版高中数学必修第一册4.2指数函数 课时5 指数函数的图象和性质(2)【课件】
【活动4】探究指数型复合函数的基本性质 【问题7】我们一般研究指数型复合函数的哪些性质?如何研究? 【问题8】 【问题9】你能总结出指数型复合函数的单调性的一般结论吗?
典例精析
【例1】（教材改编题）．比较下列各题中两个值的大小： (1) 1.7－2.5，1.7－3； (2) 1.70.3， 1.50.3； (3) 1.70.3， 0.83.1.
【问题2】指数函数的图象具有怎样的特征?根据指数函 数的图象能得出指数函数的哪些基本性质?
【活动2】借助函数的性质比较大小 【问题3】若x1<x2,则与(a>0,且a≠1)的大小关系如何? 【问题4】比较幂值大小的方法有哪些?
【活动3】学会求解指数不等式
【问题5】不等式 4x < 42-3x 的解集是什么?
学习目标
课程目标
学科核心素养
能够借助指数函数的性质比较大 在借助指数函数性质比较大小(或
小、求解相关指数不等式
求解不等式)的过程中，培养数学
抽象、数学运算素养
能综合运用指数函数的图象和性 在运用指数函数的图象和性质求
质求解与指数函数有关的综合问 解综合问题的过程中,培养逻辑推
题
理、数学运算素养
情境导学
【方法规律】求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复合函数的构成,涉
及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,在 这个过程中,要注意关注函数的定义域,防止因忽略函数定义域而导致的解题错误.
课堂反思
1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 2.你认为本节课的重点和难点是什么？
D x>1
同学们再见！
Goodbye Students！
2020-2021高中数学人教版第一册学案：4.2.1指数函数的概念含解析
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：4.2.1指数函数的概念含解析4.2指数函数4．2.1指数函数的概念[目标] 1。
能说出指数函数的定义；2。
记住指数函数的图象与性质；3.会用指数函数的图象与性质解答有关问题．[重点] 指数函数的概念、图象、性质．[难点] 指数函数性质的概括总结．知识点一指数函数的概念[填一填］一般地，函数y＝a x(a〉0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.［答一答]1．下列函数是指数函数吗？①y＝3x＋1;②y＝3x＋1；③y＝3×2x；④y＝5x＋2－2.提示：它们都不满足指数函数的定义，所以都不是指数函数．2．指数函数定义中为什么规定a〉0且a≠1？提示:①如果a＝0，当x>0时,a x恒等于0;当x≤0时，a x无意义．②如果a〈0，例如y＝(－4)x,这时对于x＝错误!，错误!，…，在实数范围内的函数值不存在．③如果a＝1,则y＝1x是一个常量,无研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定a〉0且a≠1.知识点二指数函数的图象和性质[填一填]［答一答]3．观察同一直角坐标系中函数y＝2x，y＝3x，y＝4x，y＝(错误!）x，y＝(错误!）x，y＝(错误!）x的图象如图所示，能得到什么规律？提示：（1)当a>1时,a的值越大，图象越靠近y轴,递增速度越快．（2）当0<a〈1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．(3)底数互为倒数时，图象关于y轴对称，即y＝a x与y＝错误!x 图象关于y轴对称．4．怎样快速画出指数函数y＝a x（a〉0，且a≠1）的图象？提示:由指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝a x(a〉0，且a≠1）的图象恒过点(0，1）,(1，a),(－1，错误!），只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝a x(a〉0，且a≠1)的图象．类型一指数函数的概念[例1］（1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（）A．y＝(－4）x B．y＝πxC．y＝－4x D．y＝a x＋2(a>0,a≠1)（2)若y＝（a2－3a＋3）a x是指数函数，则(）A ．a ＝1或2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠1(3)已知函数f (x )为指数函数，且f 错误!＝错误!，则f (－2)＝________。
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思维导图解析式的3个特征4.2指数函数函麹=於（心0且厂1）叫做指数函数，其中乂是白变最齐为大于0且不等于攵.留霧希缓蠶在槪比且册系数杲.指数函数尸h a>L0<zKlr r图象..曲必…心\ (OJ)r=1JTLX1 勺O 1 X定义域R值域（a 十8）过定点（0,1）当Q0时.y>h当xX)时.0<Xl：性质当K0 时.(KX1 当K0时，y>l在（一E, 4 G上鳧增函花（一E, 4-E）上是减ft 曲数奇偶性1F奇『偶函数非奇苗偶函数指数函数的判断指数函数的性质运用同底找单调性图像法：扌皺函数底大图高杵差作商法特殊值二找-2等运用一指数函数判断【例1］（1）函数/•（刃=（九2一九一1）分是指数函数，则实数祝=（）A・2 B・1 C・3 D・2或一1（2）函数尸（3^53+5）沪是指数函数，则有（）A・a=l或a=4 B・a=l C・a=4 D・a>0,且呼1【答案】（1） D （2） C【解析】（l）由指数函数的定义，得m2-m-l=l,解得m = 2或一1,故选D./ — 5a + 5 = 1(2) •••函数尸(a2-5a+5) 是指数函数，二«>0 ，解得a=4・故选C・a 1【触类旁通】L下列函数是指数函数的是（）A. y = n xB. y = x2C. y = —2XD. y = 2x【答案】A【解析】根据指数函数的泄义：形如y = k（a> 1且aHl）的函数叫做指数函数，A中歹=十符合指数函数的怎义，是指数函数：B中，y = %2符合指数函数的左义，不是指数函数：C中，y = —2"不符合指数函数的圮义，系数为-1，不是指数函数：D中，y = 2^不符合指数函数的定义，不是指数函数.故选A.2.若函数f（x） = （a? _ 2a — 2）• a”是指数函数，贝％的值是（）A. —1B. 3C. 3或—1D. 2【答案】B【解析】根据指数函数的立义：形如y = a”（a> 1且a工1）的函数叫做指数函数，根据这一沱义得到函数(a2— 2a — 2 = 1f (%) = (a? - 2a —2)・a*是指数函数> Aj a > 0 >解得a=3・故选B・( a工1运用二定义域值域【例2】(1)函数的泄义域是(一oo, 0],则a的取值范围为()A. a>0B. a<lC. 0<aVlD.辱1(2)若2「+】 < (扌)”7,则函数y = 2”的值域是()A.右,2) B 扌厨C(一8,弓 D.[2, +oo)(3)设a>0,且府1,函数y=^4-2^-1在[一1, 1]上的最大值是14,则实数a的值为_______________ .【答案】(1) C (2) B (3)丄或33【解析】(1)要使函数，=后=T(a> 0且a = l)有意义，则a" — 1 > 0，即a x> 1 = a0,当a > 1时，x > 0：当0 V a V 1时，x <0.因为y =后=1的泄义域为(-co, 0]所以可得0 V a V 1符合题意，•••a的取值范用为0 VaVl,故选C.(2)将2录+1 < (扌)"7化为F + 1 < -2(%-2),即X2 + 2%-3 < 0,解得x G [-3,1]»所以2一3 < 2X< 21, 所以函数y = 2乂的值域是[i,2].故选C.(3 )令r=a\a>0,且辱1),则原函数化为y =代)=(r +1严一2(r>0).①当gvi, h 1]时，t=d K^[a.丄].a此时代)在["丄1上为增函数.a所以代加xj丄=丄+ 1] 2 = 14.3丿U/(1 \2 1 1所以一 + 1 =16,解得a=-(舍去)或a=F・\a y 5 3②当a>l 时，xG[ 1, 1], r=a v G[丄，a].此时代）在[丄，a}m伽数.所以/（『）沖=皿=3+1）2—2=14，解得a=3或幺=一5（金公）.综上得a a=丄或3.3【触类旁通】1.（2019浙江期中）已知函数y = 二方定义域为R ,则实数d的取值范囤是 ____________ .【答案】</<0【解析】丁函数的定义域为R，则2r-«>Ofe成立，即a<2x恒成立，•.•2v>0, :.a<0,故答案为：“SO2.（2018浙江学军中学高一期中）已知f（x） = 73?+2ax-a-l的泄义域为R，则实数a的取值范用是_____ . 【答案】[-1, 0]【解析】T/CO =丁3*心~_1的定义域为R, 3?+2—*_1> 0对任惫WR恒成立，即3宀2心虫> 1 = 3。
恒成立，即x2+2ax -处0对任意xwR恒成立，•••△=4°2+仕0,则-l<a<0.故答案为:[・1, 0].3.（2019•贵州高一期末）若函数y = y]6 + x-x2的左义域为A，则函数y = 4v-2v+，UeA）的值域为【答案】[-1,48]【解析】由6+ X-X2^0,得尤一6冬0，(x —3)(x + 2)W0,4令2“=八则y = r-2r = (r-l)2-l,•••当/ = 1 时，J min=-1：当7=8时,y max = 48 .故答案为:[-1,48]4.39•石嘴山市第三中学月考)函数T勺的值域为—【答案】(0, 2]【解析】由题意，设r = x2-2x = (x-l)2-l>-l,乂山描数F林y = (*)'为单调递减函数，it>-l时，0vy<2, 即函数y = (-)'2-2v的值域为(0,2].2运用三单调性判断及运用【例3】(1)若f (x) = (2a-l) *是增函数，那么a的取值范弗|为A・a<| B・ |<a<l C. a>l D. a>l(2)已知d=0.77® i=1.20-77, c=7u°,则 e b, c 的大小关系是( )A・a<b<c B・c<b<a C・a<c<b D・c<a<b⑶不等式® -2+-<(|) 2十-2恒成立，则a的取值范围是________【答案】(1) C (2) C (3) (-2,2)【解析】(1)由题意2a«l>l=>a>l,应选答案C o(2) <7=0.77120<a<h Z>=1.2O77>1, c=7T°=b 则a<c<b.(3)由指数函数的性质知v=(0T是减函数，因为®x3+ax<(0 2x+a_2恒成立，所以x2-\-ax>2x-\-a—2恒成立，所以x?+(a —2)x—a+2>0 恒成立.所以△=«—2尸一4(一a+2)<0,即(a-2)(a—2+4)<0,即(。
一2)@+2)<0,故有一2<a<2.即a的取值范围是(-2,2).【思路总结】1 •指数函数性质记忆口诀指数增减要看淸，抓住底数不放松：反正底数大于0,不等于1已表明：底数若是大于1,图象从下往上增：底数0到1之间，图象从上往下减：无论函数增和减，图象都过(0,1)点.2.比较幫值大小的三种类型及处理方法【触类旁通】2■一％r < n1 •设函数门刃二'一，则满足+ (加)的x的取值范围是( )1, x>0A.(-CO r - 1]B.(O r +s) c.(-l , 0) D.(-» , 0)【答案】D【解析】作岀函= /(%)的图象如下图所示：由图象可知，函数y = 在区间(—go)上单调递减，在[0,+8)为常值函数,由/(x + l)</(2%), W{X2x<O X * 解得XV °，因此，实数兀的取值范用是(一8,0),故选：D.2.比较下列各题中两个值的大小:(1)0) 18与G)F： (2)(1) 05与£) 05：(3)0.2。
3 与03°2.【答案】见解析【解析】(1)因为0今VI,所以函数y=(|>在苴左义域R上单调递减，又一1.8>—2.5,所以(号)"<0)"(2)在冋一平而直角坐标系中画出指数函数y=(|｝与，=(扌)丫的图象，如图所示.当，=一0.5时，由图象观⑶因为0<0.2<0.3<1,所以指数函数y=Q.2x与_｝，=0.3乂在左义域R上均是减函数，且在区间(0, +s)上函数y=0.2x的图象在函数y=0.3x的图象的下方，所以0.202<0302.又根据指数函数y=Q.2x的性质可得0.2°3<0.2°2,所以0.2°3<0.3°2.3.(1)解不等式(|)?_2<3：⑵已知(H+2a+3户>&+2幺+ 3)宀，求x的取值范用.【答案】见解析【解析】(1)(寻'up I)宀2=32",...原不等式等价于32~?<3\'：v=3x是R 上的增函数,.•.2-x2<l..\x2>l,即也或A<-1.・••原不等式的解集是｛X|X N1或疋一1｝.⑵Ta2+2a+3=(a+l)2+2>l,・"=3+24+3『在R 上是增函数.»QX, 解得站・・」的取值范用是寸諾 .运用四定点【例4] (1) (2018-疏勒县八一中学高二期末)已知函数= 的图象恒过立点A,则A的坐标为—•(2) (2019河北永淸县一中高二月考)对不同的(/>0且dHl,函数/(A)=6/4-2V+3必过一个泄点A,则点A的坐标是_____ .【答案】(1)(2,3) (2) (2,4)【解析】(1)令於2=0,所以x=2,把x=2代入函数的解析式得/(2) = n2-2+2 = 3. 所以函数的图像过左点A (2,3)-故答案为：(2,3)(2)根拯指数函数的图象恒过宦点(0, 1),令4-2x=0・ x=2, /.f(2) =。
°+3=4,••・点A的坐标是(2, 4).故答案为：(2, 4).【触类旁通】1.函数f (x) = aLi 一2(a > 0,a工1)的图象恒过定点A,若点A在直线— ny - 1 = 0.上，其中皿〉。