2020年人教A版高中数学必修第一册4.2指数函数解析版

思维导图

解析式的3个特征

4.2指数函数

函麹=於（心0且厂1）叫做指数函数，其中乂是白变最

齐为大于0且不等于攵.

留霧希缓蠶在槪比且册系数杲.

指

数

函

数

尸h a>L0

r r

图象

..曲必…心\ (OJ)

r=1

JTLX

1 勺O 1 X

定义域R

值域（a 十8）

过定点（0,1）

当Q0时.y>h当xX)时.0

性质当K0 时.(KX1 当K0时，y>l

在（一E, 4 G上鳧增函花（一E, 4-E）上是减

ft 曲数

奇偶性1F奇『偶函数非奇苗偶函数

指数函数的判断指数

函数的性质运用

同底找单调性

图像法：扌皺函数底大图高

杵差作商法

特殊值二找-2等

运用一指数函数判断

【例1］（1）函数/•（刃=（九2一九一1）分是指数函数，则实数祝=（）

A・2 B・1 C・3 D・2或一1

（2）函数尸（3^53+5）沪是指数函数，则有（）

A・a=l或a=4 B・a=l C・a=4 D・a>0,且呼1

【答案】（1） D （2） C

【解析】（l）由指数函数的定义，得m2-m-l=l,解得m = 2或一1,故选D.

/ — 5a + 5 = 1

(2) •••函数尸(a2-5a+5) 是指数函数，二«>0 ，解得a=4・故选C・

a 1

【触类旁通】

L下列函数是指数函数的是（）

A. y = n x

B. y = x2

C. y = —2X

D. y = 2x

【答案】A

【解析】根据指数函数的泄义：形如y = k（a> 1且aHl）的函数叫做指数函数，A中歹=十符合指数函数的怎义，是指数函数：B中，y = %2符合指数函数的左义，不是指数函数：C中，y = —2"不符合指数函数的圮义，系数为-1，不是指数函数：D中，y = 2^不符合指数函数的定义，不是指数函数.故选A.

2.若函数f（x） = （a? _ 2a — 2）• a”是指数函数，贝％的值是（）

A. —1

B. 3

C. 3或—1

D. 2

【答案】B

【解析】根据指数函数的立义：形如y = a”（a> 1且a工1）的函数叫做指数函数，根据这一沱义得到函数

(a2— 2a — 2 = 1

f (%) = (a? - 2a —2)・a*是指数函数> Aj a > 0 >解得a=3・故选B・

( a工1

运用二定义域值域

【例2】(1)函数的泄义域是(一oo, 0],则a的取值范围为()

A. a>0

B. a

C. 0

D.辱1

(2)若2「+】 < (扌)”7,则函数y = 2”的值域是()

A.右,2) B 扌厨C(一8,弓 D.[2, +oo)

(3)设a>0,且府1,函数y=^4-2^-1在[一1, 1]上的最大值是14,则实数a的值为_______________ .

【答案】(1) C (2) B (3)丄或3

3

【解析】(1)要使函数，=后=T(a> 0且a = l)有意义，

则a" — 1 > 0，即a x> 1 = a0,

当a > 1时，x > 0：

当0 V a V 1时，x <0.

因为y =后=1的泄义域为(-co, 0]所以可得0 V a V 1符合题意，

•••a的取值范用为0 VaVl,故选C.

(2)将2录+1 < (扌)"7化为F + 1 < -2(%-2),即X2 + 2%-3 < 0,解得x G [-3,1]»所以2一3 < 2X< 21, 所以函数y = 2乂的值域是[i,2].故选C.

(3 )令r=a\a>0,且辱1),

则原函数化为y =代)=(r +1严一2(r>0).

①当gvi, h 1]时，t=d K^[a.丄].

a

此时代)在["丄1上为增函数.

a

所以代加xj丄=丄+ 1] 2 = 14.

3丿U/

(1 \2 1 1

所以一 + 1 =16,解得a=-(舍去)或a=F・

\a y 5 3

②当a>l 时，xG[ 1, 1], r=a v G[丄，a].

此时代）在[丄，a}m伽数.所以/（『）沖=皿=3+1）2—2=14，解得a=3或幺=一5（金公）.综上得a a

=丄或3.

3

【触类旁通】

1.（2019浙江期中）已知函数y = 二方定义域为R ,则实数d的取值范囤是 ____________ .

【答案】

【解析】丁函数的定义域为R，则2r-«>Ofe成立，即a<2x恒成立，

•.•2v>0, :.a<0,故答案为：“SO

2.（2018浙江学军中学高一期中）已知f（x） = 73?+2ax-a-l的泄义域为R，则实数a的取值范用是_____ . 【答案】[-1, 0]

【解析】T/CO =丁3*心~_1的定义域为R, 3?+2—*_1> 0对任惫WR恒成立，

即3宀2心虫> 1 = 3。恒成立，即x2+2ax -处0对任意xwR恒成立，

•••△=4°2+仕0,则-l

3.（2019•贵州高一期末）若函数y = y]6 + x-x2的左义域为A，则函数y = 4v-2v+，UeA）的值域为

【答案】[-1,48]

【解析】由6+ X-X2^0,得尤一6冬0，(x —3)(x + 2)W0,

4

令2“=八则y = r-2r = (r-l)2-l,

•••当/ = 1 时，J min=-1：当7=8时,y max = 48 .故答案为:[-1,48]

4.39•石嘴山市第三中学月考)函数T勺的值域为—

【答案】(0, 2]

【解析】由题意，设r = x2-2x = (x-l)2-l>-l,

乂山描数F林y = (*)'为单调递减函数，it>-l时，0vy<2, 即函数y = (-)'2-2v的值域为(0,2].

2

运用三单调性判断及运用

【例3】(1)若f (x) = (2a-l) *是增函数，那么a的取值范弗|为

A・a<| B・ |l D. a>l

(2)已知d=0.77® i=1.20-77, c=7u°,则 e b, c 的大小关系是( )

A・a

⑶不等式® -2+-<(|) 2十-2恒成立，则a的取值范围是________

【答案】(1) C (2) C (3) (-2,2)

【解析】(1)由题意2a«l>l=>a>l,应选答案C o

(2) <7=0.77120=1.2O77>1, c=7T°=b 则a

(3)由指数函数的性质知v=(0T是减函数，

因为®x3+ax<(0 2x+a_2恒成立，

所以x2-\-ax>2x-\-a—2恒成立，

所以x?+(a —2)x—a+2>0 恒成立.

所以△=«—2尸一4(一a+2)<0,

即(a-2)(a—2+4)<0,

即(。一2)@+2)<0,故有一2

【思路总结】

1 •指数函数性质记忆口诀

指数增减要看淸，抓住底数不放松：反正底数大于0,不等于1已表明：底数若是大于1,图象从下往上增：底数0到1之间，图象从上往下减：无论函数增和减，图象都过(0,1)点.

2.比较幫值大小的三种类型及处理方法

【触类旁通】

2■一％r < n

1 •设函数门刃二'一，则满足+ (加)的x的取值范围是( )

1, x>0

A.(-CO r - 1]

B.(O r +s) c.(-l , 0) D.(-» , 0)

【答案】D

【解析】作岀函= /(%)的图象如下图所示：

由图象可知，函数y = 在区间(—go)上单调递减，在[0,+8)为常值函数,

由/(x + l)

因此，实数兀的取值范用是(一8,0),故选：D.

2.比较下列各题中两个值的大小:

(1)0) 18与G)F： (2)(1) 05与£) 05：(3)0.2。3 与03°2.

【答案】见解析

【解析】(1)因为0今VI,所以函数y=(|>在苴左义域R上单调递减，又一1.8>—2.5,所以(号)"<0)"

(2)在冋一平而直角坐标系中画出指数函数y=(|｝与，=(扌)丫的图象，如图所示.当，=一0.5时，由图象观

⑶因为0<0.2<0.3<1,所以指数函数y=Q.2x与_｝，=0.3乂在左义域R上均是减函数，且在区间(0, +s)上函数y=0.2x的图象在函数y=0.3x的图象的下方，所以0.202<0302.

又根据指数函数y=Q.2x的性质可得0.2°3<0.2°2,所以0.2°3<0.3°2.

3.(1)解不等式(|)?_2<3：

⑵已知(H+2a+3户>&+2幺+ 3)宀，求x的取值范用.

【答案】见解析

【解析】(1)(寻'up I)宀2=32",...原不等式等价于32~?<3\

'：v=3x是R 上的增函数,.•.2-x2l,即也或A<-1.

・••原不等式的解集是｛X|X N1或疋一1｝.

⑵Ta2+2a+3=(a+l)2+2>l,・"=3+24+3『在R 上是增函数.

»Q

X, 解得站・・」的取值范用是寸諾 .

运用四定点

【例4] (1) (2018-疏勒县八一中学高二期末)已知函数= 的图象恒过立点A,则A的坐标为—•

(2) (2019河北永淸县一中高二月考)对不同的(/>0且dHl,函数/(A)=6/4-2V+3必过一个泄点A,则点

A的坐标是_____ .

【答案】(1)(2,3) (2) (2,4)

【解析】(1)令於2=0,所以x=2,把x=2代入函数的解析式得/(2) = n2-2+2 = 3. 所以函数的图像过左点A (2,3)-故答案为：(2,3)

(2)根拯指数函数的图象恒过宦点(0, 1),令4-2x=0・ x=2, /.f(2) =。°+3=4,

••・点A的坐标是(2, 4).故答案为：(2, 4).

【触类旁通】

1.函数f (x) = aLi 一2(a > 0,a工1)的图象恒过定点A,若点A在直线— ny - 1 = 0.上，其中皿〉。，

n > 0,则-+ -的最小值为( )

m n

A.4

B.5

C.6

D.3 + 2近

【答案】D

【解析】令尤一1 = 0,得尤=1,则/(l) = a°-2 = -l,函数y = f(x)的图象恒过点XI，-1)，点4在直线mx —ny — 1 =0上，可得m + n = 1,

由基本不等式得土 + - = (― + -) (m + n) = —+ —+ 3>2 (―•—+ 3 = 3 + 2\/2>

m n \m nJ y m n \l m n

当且仅% =伽时，等号成立，因此，士 +补的最小值为3+ 2返，故选：D.

2.(2019黑龙江鹤岗一中髙二月考(文))当。>0且dHl时，函数f(x)=a x~x-3的图象必经过泄点( )

A. (1,-2)

B. (0,1)

C. (-1,2)

D. (0,0)

【答案】A

【解析】由函数解析式的特征结合指数函数的性质，令X-1 = 0可得x = l，

此时/(1) = «(>-3 = -2,故函数恒过定点(1,-2).故选：4

运用五图像

【例5】(1)如图所示是下列指数函数的图象：

则a, b, c、d与1的大小关系是()

A. a

B. b

C. l

D. a

⑵当a>0且QI时，函数金)=”丫3_2必过立点 __________

【答案】(1)B (2)(3, -1)

【解析】（1）可先分为两类，③④的底数一泄大于1，@®的底数一上小于1，然后再由③④比较G 〃的大小，由①②比较G b的大小.当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近p轴：当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B

⑵当d>0且時1时，总有夬3）=/ 3—2= —1,所以函数几r）=" 3—2必过定点（3, —1）・

【触类旁通】

1•已知1 >心加>0,则指数函数® = 〃几②的图彖为（）

【答案】C

【解析】由于（X加V/7V1,所以"产与都是减函数，故排除A、B，作直线X= 1与两个曲线相交，交点在下而的是函数y=n/的图彖，故选C.

2.若a>l, —lvXO,则函数y=a x+b的图象一泄在（）

A・第一.二、三彖限B.第一.三、四象限

C.第二.三、四象限

D.第一.二.四象限

【答案】A

故其图彖如右图所示.

运用六指数函数性质的综合应用

【例6】已知函数y（x）=a-#7（xWR）.

（1）用立义证明：不论a为何实数，久力在（-co, +8）上为增函数：

（2）若夬x）为奇函数，求金）在区间［1,习上的最小值.

【答案】见解析

【解析】（1）证明：因为XX）的定义域为R,任取XIVX2,

则血)-您)，一2厂+厂"'_ 2®+ 1 = ( 1+25( 1+25'.

因为X1

又(1+2珂)(1+ 2乜)>0•所以金J一金2)<0,即金1)勺山).

所以不论a为何实数，金)在(一00, +8)上为增函数.

⑵因为心)在炸1<上为奇函数，所以A0)=0,即a—若=0,解得a=l 所以金尸扌一吉，由⑴知，夬x)为增函数，所以金)在区间［1,习上的最小值为只1). 因为所以夬x)在区间［1,5］上的最小值为£

【触类旁通】

1.(2019辽宁期末)设函数/(x) = 2* + (fc - 1) • 2~*(x G R)是偶函数.

(1)求不等式张)冷的解集：

(2)若不等式/'(2x) + 4 > 对任意实数x成立，求实数m的取值范国：

【答案】(1) V —1.竣 > 1}; (2) (—8,3)

【解析】(1)因为/Xx)是偶函数，所以/(-%) = /(%)恒成立，

即2一” + (fc - 1) • 2* = 2* + (fc - 1) • 2一“恒成立,也即(k - 2)(22* - 1) = 0恒成立, 所以k=2.

由2" + 2~x >；得2 • 2" - 5 • 2* + 2 > 0,

解得2" <扌或2” > 2,即X < 一1或x > 1,

所以不等式f(x) > |的解集为{%|x <-l^c> 1}.

(2)不等it/(2x) + 4 > mf(x)即为2旅 + 2~2x + 4 > m(2x + 2一^),即/2(x) + 2 > m/(x),

因7j/(x) = 2" + 2^>2.当且仅当兀=0时，取等号•所以m

由函数y = %+-在［2,+8)上是增函数知几幻+汝的最小值为3,

x J\X)

所以mV 3.故实数m的取值范用是(一8,3).

1.函数/(x) = (2°-3)，是指数函数，则/(I)=( )

A・8 B. 3 C・4 D・2

2

【答案】D

【解析】函数f (x) = (2a-3)亡是指数函数,.\2a-3=h解得a=2：

・・.f (x) =2\ ・・.f (1) =2.故选:D.

2.(全国高考模拟(理))若函数/(人)=丁2宀2心_1的泄义域为R,则a的取值范用是()

A. [-L0

B. [0,1]

C. [-Llj

D. (-2,1)

【答案】A

【解析】•・•函数fix)二姑皿7 的立义域为R.

O V.-Y E R..A-2 -r>0 <=> A = 46,2

3.(2019•河北)已知函数/(X)=-8X2+36X-40在[1,2)上的值域为A ,函数g(x) = 2+ 在[1,2)上的值

域为B.若xeA是xeB的必要不充分条件，则“的取值范用是( )

A. [-4,乜)

B. (T4T]

C. [-14.-4]

D. (-14,-wo)

【答案】B

【解析】因为f (町在[1,2)上单调递增，所以A = [-12,0),又函数g(x) = 2x+a在[1,2)上单调递增，于

r、2+G n —12

是2 + “,4 + “).因为xwA是xeB的必要不充分条件，所以B足A的克子集.故仃仁门(筲

4 + «<0

号不同时取),得*[-14,Y],故选B

4.(2019陕西髙考模拟(理))已知函数〉的值域为集合A,集合B={A I-2

C. {xlx>-2}

D. {xlx>0)

【答案】C

【解析】由题得A=(0+»),所以AuB = {x|x) — 2}.故选：C

5.(2019-河北高一期末)如图，在四个图形中，二次函数y = ax2+bx与指数函数y = (-)x的图像只可能

a

【答案】C

【解析】根据描数函数y= (-) x 可知e b 同号IL 不相等.则一•次函数y=a^+bx 的对称轴一 2<0可 a 2a 排除B »j D ・又二次^y = c t x 2

+bx. '"|x=0时，y=0,而A4 x=0时，严0,故A 不匸确.故选C. 6. (2019-江苏髙二期末(文))若指数函数y = fW 的图象过点(-2,4),则/(3) = ________________ -

【答案】-

8

【解析】设指数函数为y = /, (。>0且。工1)

.听以 4=(")U = f (A)= (―)X

-所以 / (3)=—.故答案为：— 2 2 8 8

7. (2019-江苏马坝奇中高二期中(文))已知函数f(x) = a x ~2

+ \ (。>0且dHl)的图象过定点P,则点 P 的坐标为 ______ -

【答案】(2,2).

【解析】由题意，令兀=2,可得f(x) = a 2~2

+ \ = 2,

所以函数/(2) = «r -2+l (a> 0且dHl)的图象过圧点P(2,2). 8. (2019四川高一期末)已知函数f(x) = a x

(Jt 中a>0且aHl)的图象过泄点(m,n),则m + n 的值为 【答案】1

【解P iJ 函数f(x) = a x

(其中a>0且a^l)的图象过定点(m,n),

A. B.

・・.m = 0・ n = l，則m + n = l，故答案为：1・

9.(2018-吉林东北师大附中髙一期中)函数/3 = 4' -23 xe[-l,2]的值域为_

【答案】[-4,0]

【解析】令t = 2x -

\ L /

切=4时，儿和=0；

当z=2 时，y min = -4 ；

故函数/(x) = 4x-2t+2, XG[-1,2]的值域为[7,0].

故答案为：[4, 0].

10.(2018湖南髙一期末)函数y = 3yi+l(">0且。工1)的图象必经过点____________

【答案】(2,4)

【解析】对于函数y = 3-a x-2+\(a> 0且"工1),令x-2 = 0,求得x = 2, >' = 4, 町得它的图象经过立点(2,4),

故答案为：(2,4).

11.(2019-贵州高一期末)函数f(x) = 2’一冷是奇函数.

(1)求/'(x)的解析式：

⑵当讥(0,+8)时，/(%) >m-2~x + 4恒成立，求加的取值范围.

【答案】(1) /(x) = 2*-^：(2) m<-5.

【解析】⑴•••函数f(E=2乂一醫是奇函数，

皿-x)= 2-'-^= 一a2 乂 + ^=-2* + ^= -/«,

故a = It

g) = 2” _ 点：

(2)当％6 (0,+8)时，/(x) > ni ・ 2弋+ 4恒成立，

即m + 1 < (2*尸一4・2”在兀G (0,+8)恒成立，

令h(x) = (2*)2-4-2*, (x>0),

显然h(x)在(0, +00)的最小值是h(2) = -4,

故m + lV-4,解得：m < -5.

12.(2018四川石室中学髙一期中)设函= a x - a~x (a > 0且a^l) •

(1)^/(1)>0,求不等J V(-X2 + 7) + f(x - 5) < 0的解集：(其中单调性只需判断)

(2)若/'(1)=专，且g(x} = a2x + a~^- 4/(x) - m > 0在[l,+8)上恒成立，求m的最大值. 【答案】(1) (-oo,-l) u (2,4-00)； (2) -2

【解析】(1)•••/■(：!) = a- - = ^—>0’ 又a > 0 jga 工1，所以a > 1

a a

所以y = a*单调递增，y=a-“单调递减，故f(x)在R上单调递增，

又V/(-x) = a~x- a x=-/(x)Kx G R A/(x)是R 上的奇函数，

l+l/(-x2 + 7) + f(x-5) < 0 得f (7 + 7)< f(5 -x)

—+ 7v5 —x * »x€ (—8, —1) u (2, +8).

(2) f(l) = a-右=专，解得a = -1 (舍)或a = 2,则f(x) = 2X - 2~x

=22X+2~2X-4(2X- 2~x) - m = (2X- 2~x)2_ 4(2X_ 2~x)-m + 2

令t = 2X~2-Xt：x G [l,+oo), /.t>7 $(x) > 0在[1, +oo)恒成立，即严-4t-m + 2 > 0在t G岸,+8)上恒成立，

即m

而t2- 4t + 2 = (t - 2)2 - 2 > -2 :.m < -2的最大值为一2.

13.已知函数f(x) = 0(刃=气二.

(1)试判断函^f(x)与g (x)的奇偶性；

(2)若M(x) = [/(x)]2 + [g(x)]2,求函数M(x)的最小值.

【答案】(1)见解析：(2) 1

【解析】⑴由题意，函数f(x)=于，g(x)=豊二

可得泄义域为R，f(~X)= & XF= 一f(x), g(~X)= = g(x),

所以函数f(X)为奇函数，g(X)为偶函数：

⑵M(x) = [f(x)]2 + [g(X)]2=(于)2 + (宁)2 = > 1，当x = 0时上式取得等号，

则函数M(x)的最小值为1.