苏教版数学高一必修1素材 3.1指数函数
高中数学苏教版必修一《3.1.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质》课件
判断一个函数是否为指数函数，只需判定其解析式是否 符合 y＝ax(a>0，a≠1)这一结构形式，其具备的特点为：
函数 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，求 a 的值．
【解】 ∵函数 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，
a2－3a＋3＝1， ∴a>0， a≠1，
解得 aa＝ >01，或a＝2， a≠1，
∵－1.8>－2.6，
∴(23)－1.8<(23)－2.6.
(2)考察函数 y＝(56)x，它在 R 上是单调减函数．
2
5
∵－3<0，∴
>(6)0＝1，∴
>1.
(3)由指数函数性质知 1.80.4>1.80＝1,0.75.1<0.70＝1，故 1.80.4>0.75.1.
【思路探究】 本题主要考查指数型函数的定义域与值 域，求值域时，关键由定义域、单调性和指数函数的值域求 解．
一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域 A，再由函数的定义域 A 求内函数的值域 B，然后以内函数的 值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如第(4)小题是 由函数 y＝t2＋2t－1 和函数 t＝3x 复合而成，先求得原函数的 定义域为 R，再由 x∈R，得 t>0(即得到内函数的值域 B)，然 后由 t>0，得到原函数的值域为{y|y>－1}．
3．解型如 af(x)>ag(x)(a>0 且 a≠1)的不等式，主要依据 指数函数的单调性，当 a>1 时，可转化为 f(x)>g(x)，当 0<a<1 时，可转化为 f(x)<g(x).
1．下列函数中是指数函数的序号是________． (1)y＝x4；(2)y＝2－x；(3)y＝－2x； (4)y＝(－2)x；(5)y＝πx. 【解析】 (1)(3)不满足指数函数的基本形式，即 y＝ax， 故不是指数函数； (4)中 a＝－2<0，不是指数函数；
高中数学苏教版必修一《3.1.2指数函数》课件
• 三级
• 四级
• 五级
y 3x y 2x
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1 01
x
11yຫໍສະໝຸດ yy单击此处编辑母版标题样式
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单击此处编辑母y版 文y12本xa x样y式
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x
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(a 1)
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y 3x y 2x
y ax
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(4) 1.70.3 , 0.93.1
(5) 1.50.3, 0.81.2;
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• 单击此处• 变编式辑练母习版：文本已样知式下列不等式，比较m，n的大小.
• 二级 • （1）2m 2n • 三••级（四级2）0.2m 0.2n
• （• 3五）级a m a n (a 0且a 1)
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• 二级 第一小组：作
• 三级
• 四级第二小组：作
• 五级
第三小组：作
y=2x 的图象
y= (1)X的图象 2
y=3x 的图象
第四小组：作
y=（
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）X
的图象
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y
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0x
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• 二级
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五级
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.1.2 指数函数》87
指数函数教案一、课题：本节课是苏教版高中数学必修一第三章第二节“指数函数”的第一课时的内容。
二、教学目标：知识与技能目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用过程与方法目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方法 ，增强识图用图的能力。
情感态度与价值观目标:通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质三、教学重点与难点：教学重点：指数函数的图象、性质及其简单运用教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底的关系四、教学方法与手段：教学方法：探究式教学法教学手段：采用多媒体辅助教学五、教学过程：1、创设情景，引出课题前面我们学习过函数的概念、函数的有关性质及指数的运算，今天我们将在此基础上学习一类新的基本函数问题1：我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中一种。
我们来看一种球菌的分裂过程：动画演示：某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------一个这样的球菌分裂x 次后,得到的球菌的个数y 与x 的关系式是：x y 2=问题2：某种机器设备每年按%6的折旧率折旧，设机器的原来价值为1，经过x 年后，机器的价值为原来的y 倍，则y 与x 的关系为x y 94.0=思考：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？共同点：变量x 与y 构成函数关系式，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；不同点：底数的取值不同大家能给这样的函数起个名字吗？（想让学生对数学的形式化有一认识）这就是我们今天所要研究的一个新的基本函数——指数函数（引出课题）2、探索研究1指数函数的概念：函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数其中x 是自变量函数的定义域为R思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？若0=a ，当0>x 时，x a 恒等于0，没有研究价值；当0≤x 时，x a 无意义；若0<a ,例如当21,2=-=x a 时，2-无意义，没有研究价值； 若1=a ，则11=x ,x a 是一个常量，也没有研究的必要很好，所以有规定10≠>a a 且（对指数函数有一初步的认识）（2）指数函数的图象与性质：学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要对函数作一研究，研究函数的图象及性质，然后利用其图象和性质去解决数学问题和实际问题思考1：你能类比前面讨论函数性质的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、图象、单调性、奇偶性思考2：如何来画指数函数的图象呢画函数图象通常采用：列表、描点、连线．有时，也可以利用函数的有关性质画图思考3：画出指数函数x y 2=？思考4：函数12()2x x y y ==与的图象有什么关系?能否由2x y =的图象得到x y )21(=的图象？ 关于y 轴对称所以可以先画其中一个函数的图象，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有用思考5：选取底数a 的若干个不同的值，在同一平面坐标系内作出相应的指数函数的图象．观察图象，你能发现他们有哪些共同特征？教师演示课件，以不同的底，作出函数的图象，描绘出其几何特征，将函数的图象和性质对应起来．利用几何画板，通过改变a 的值，让学生观察图象的变化规律．思考6：通过你们画的图象以及老师的演示，你们能发现怎样的规律呢？底数分1>a 和10<<a 两种情况．思考7：从特殊到一般，指数函数)1(>=a a y x 有哪些性质？并类比得出)10(<<=a a y x 的性质． 师生共同归纳：指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象与性质：1a > 01a <<图 象性 （1）定义域：(,)-∞+∞ （2）值域： (0,)+∞强调：利用函数图象研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图象，记住性质的关键在于要脑中有图．3、应用举例：这节课我们先来了解一下它的简单应用．利用单调性比较大小．例1 比较下列各组数中各个值的大小：（1）5.27.1 ，37.1 ； （2） 1.08.0-，2.08.0-；（3）)1,0(,2131≠>a a a a 且 ； （4） 3.07.1，1.39.0，1．分析：对于这样两个数比大小，学生可能会觉得困难，提示学生观察两个数的形式特征（底数相同，指数不同），联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数值，利用函数的单调性比较大小． 说明：1 当底数相同且明确底数a 与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解．2．当底数相同但不明确底数a 与1的大小关系时： 要分情况讨论．3．当底数不同不能直接比较时：可借助中间数，间接比较上述两个数的大小．4、反馈练习：比较下列各组数中两个值的大小：五、归纳小结，强化思想: 本小节的目的要求是掌握指数函数的概念、图象和性质．在理解指数函数的定义的基础上，掌握指数函数的图象和性质是本小节的重点．1．数学知识点：指数函数的概念、图象和性质．2．研究函数的一般步骤：定义→图象→性质→应用3．数学思想方法：数形结合，分类讨论的数学思想六、布置作业：作业：教材67P ,练习1、2、3、4思考：1．函数)1,0(12≠>+=-a a a y x 且的图象必经过点___________．2．解不等式：1)21(1>-x ．；，）（3.25.01.31.31；）（）（）（24.03.032,322--.2.03.231.05.0--，）（。
苏教版高中数学必修一课件第3章-指数函数、对数函数和幂函数3.1.1+56张
【答案】 (1)－8 (2)10 (3)π－3 (4)m－n
根式与分数指数幂的互化
【思路探究】 各小题中均含有根式，可将根式化为分 数指数幂形式，根据分数指数幂的运算性质求解．
【自主解答】
1．此类问题应熟练应用 ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)求解．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数， 由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
2．一般来说，应化根式为分数指数幂，利用幂的运算性 质运算．
用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0 ，b>0)：
3 (1)
8－4；(2)4
－260；(3)a33
a2；(4)
a
a；(5)
ab3 ab5.
【解】
利用分数指数幂的运算性质化简求值
【思路探究】 先化简各个分数指数幂，然后再进行四 则运算，注意一般先将小数化为分数．
3．已知 a>0 且 a＋a－1＝2，则 a2＋a－2＝________. 【解析】 a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝4－2＝2. 【答案】 2
【解】
课时作业（十一）
【思路探究】 令 pa3＝qb3＝rc3＝k，用等量代换分别表 示出所证等式左、右两边的量，最后化简判断．
【自主解答】
对于“恒等式”，如本例，我们往往令它等于一个常数 k，然后以 k 为“媒介”化简，这样可以使问题很容易解决．
计算下列各式的值
3 (1)
－83＝________；(2)
－102＝________；
4 (3)
3－π4＝________；(4)
m－n2(m>n)＝________.
【解析】 3 －83＝－8； －102＝ 102＝10；
苏教版数学必修一新素养同步讲义：3.1 3.1.2 第1课时 指数函数的概念、图象及性质
3．1.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象及性质1.了解指数函数的实际背景．2.理解指数函数的概念、意义、图象和性质．3．掌握与指数函数有关的函数定义域、值域、单调性问题．[学生用书P41]1．指数函数的定义一般地，形如y＝a x(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x 为自变量，定义域为R．2．指数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点(0，1)单调性增函数减函数性质相应的y值x>0时，y>1；x＝0时，y＝1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x＝0时，y＝1；x<0时，y>11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数y＝a x中，a可以为负数．()(2)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(3)函数y＝2－x的定义域为{x|x≠0}．()★★答案★★：(1)×(2)√(3)×2．下列函数：①y＝(－2)x；②y＝2x；③y＝2－x；④y＝3×2x.其中指数函数的个数为() A．0B．1C．2 D．4★★答案★★：C3．若f (x )＝(a 2－3)a x 是指数函数，则a ＝________． ★★答案★★：24．函数f (x )＝2x ，x ∈[0，2]的值域是________． ★★答案★★：[1，4]指数函数的概念[学生用书P41]下列函数中，哪些是指数函数． ①y ＝(－8)x ；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ； ④y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a >12且a ≠1；⑤y ＝2×3x . 【解】 ①中底数－8<0，所以不是指数函数． ②中指数不是自变量x ，所以不是指数函数．③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数． ④因为a ＞12且a ≠1，所以2a －1＞0且2a －1≠1，所以y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12且a ≠1为指数函数． ⑤中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故只有④是指数函数．只需判定其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构形式，其具备的特点为：1.指出下列函数中，哪些是指数函数．(1)y ＝πx ；(2)y ＝－4x ； (3)y ＝(1－3a )x ⎝⎛⎭⎫a <13且a ≠0； (4)y ＝(a 2＋2)－x ；(5)y ＝2×3x ＋a (a ≠0)．解：根据指数函数的定义，指数函数满足：①前面系数为1；②底数a ＞0且a ≠1；③指数是自变量．(1)y ＝πx ，底数为π，满足π＞0且π≠1，前面系数为1，且指数为自变量x ，故它是指数函数．(2)y ＝－4x ，前面系数为－1，故它不是指数函数．(3)y ＝(1－3a )x ，因为a <13且a ≠0，所以1－3a >0且1－3a ≠1，前面系数为1，且指数为自变量x ，故它是指数函数．(4)y ＝(a 2＋2)－x＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋2x，底数1a 2＋2∈⎝⎛⎦⎤0，12，前面系数为1，指数为自变量x ，故它是指数函数．(5)y ＝2×3x ＋a (a ≠0)，3x 前面系数为2≠1，故它不是指数函数． 故(1)(3)(4)为指数函数．指数式的比较大小问题[学生用书P42]比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3；(3)0.80.6，0.60.8.【解】 (1)构造函数f (x )＝1.8x .因为a ＝1.8＞1，所以f (x )＝1.8x 在R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以1.8－π＜1.8－3. (2)因为y ＝⎝⎛⎭⎫1.71.9x在R 上是减函数， 所以1.7－0.31.9－0.3＝⎝⎛⎭⎫1.71.9－0.3＞⎝⎛⎭⎫1.71.90＝1.又因为1.7－0.3与1.9－0.3都大于0，所以1.7－0.3＞1.9－0.3.(3)取中间值0.80.8.因为y ＝0.8x 在R 上单调递减，而0.6＜0.8， 所以0.80.6＞0.80.8.又因为0.80.80.60.8＝⎝⎛⎭⎫0.80.60.8＞⎝⎛⎭⎫0.80.60＝1，且0.60.8＞0，0．80.8>0，所以0.80.8＞0.60.8.所以0.80.6＞0.60.8.对于同底数幂，应利用指数函数的单调性求解；对于同指数的两个函数值，应根据“在y 轴的右侧，图象由上到下，底数越来越小”来判断数值的大小；对于不同底数，不同指数的两个函数值，可找一中间函数值，通过“搭桥”来达到比较两个数的大小的目的．2.比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7； (2)(2)－1.2和(2)－1.4；(3)⎝⎛⎭⎫3213和⎝⎛⎭⎫3223； (4)π－2和⎝⎛⎭⎫13－1.3.解：(1)考察函数y ＝0.6x ，因为0<0.6<1，所以函数y ＝0.6x 在实数集R 上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.(2)考察函数y ＝(2)x .因为2>1，所以函数y ＝(2)x 在实数集R 上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以(2)－1.2>(2)－1.4.(3)考察函数y ＝⎝⎛⎭⎫32x.因为32>1，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫32x在实数集R 上是单调增函数．又因为13<23，所以⎝⎛⎭⎫3213<⎝⎛⎭⎫3223.(4)因为π－2＝⎝⎛⎭⎫1π2<1，⎝⎛⎭⎫13－1.3＝31.3>1，所以π－2<⎝⎛⎭⎫13－1.3.与指数函数有关的函数定义域与值域问题[学生用书P42]求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x －4；(2)y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x.【解】 (1)x 应满足x －4≠0，所以x ≠4， 故函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为x ≠4，所以1x －4≠0，所以21x －4≠1.所以y ＝21x －4的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)因为x 应满足1－⎝⎛⎭⎫12x≥0， 所以⎝⎛⎭⎫12x≤1＝⎝⎛⎭⎫120，所以x ≥0. 所以函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为{x |x ≥0}．因为⎝⎛⎭⎫12x ≤1，且⎝⎛⎭⎫12x>0，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤1. 所以0≤1－⎝⎛⎭⎫12x<1，即0≤y <1. 所以函数y 的值域为{y |0≤y <1}．函数y ＝a f (x )的定义域的求解方法使f (x )有意义列不等式(组)求出x 的取值范围；值域的求解方法：(1)根据定义域求出μ＝f (x )的值域；(2)根据指数函数的性质求出y ＝a μ的值域，即为所求．3.求下列函数的定义域与值域：(1)y ＝4x ＋2x ＋1＋1； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫13－x 2＋2x .解：(1)定义域为R .令2x ＝t (t ＞0)， 则y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1. 所以值域为{y |y ＞1}． (2)定义域为R .令u ＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1， 则u ≤1，因为y ＝⎝⎛⎭⎫13u 为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13u ≥⎝⎛⎭⎫131， 即函数的值域为⎣⎡⎭⎫13，＋∞.透析指数函数的图象与性质(1)当底数a 大小不确定时，必须分a ＞1或0＜a ＜1两种情况讨论函数的图象和性质． (2)当a ＞1时，x 的值越小，函数的图象越接近x 轴；当0＜a ＜1时，x 的值越大，函数的图象越接近x 轴．(3)指数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都经过第一、二象限．如果函数y ＝a 2x ＋2a x ＋1(a >0，a ≠1)在[－1，1]上的最大值为9，求a 的值． [解] 设a x ＝t (t >0)，则y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2. 若0<a <1，则t ＝a x ∈[a ，a －1]， 所以当t ＝a －1，即x ＝－1时， y max ＝a －2＋2a －1＋1. 于是由a －2＋2a －1＋1＝9， 解得a ＝12(a >0，a ≠1)．若a >1，则t ＝a x ∈[a －1，a ]，所以当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a ＋1. 于是由a 2＋2a ＋1＝9，解得a ＝2(a >0，a ≠1)． 综上所述，a ＝12或a ＝2.(1)本题换元(设a x ＝t )后易出现两个错误：①已知区间[－1，1]是x 的取值范围，误认为是t 的取值范围；②a 的取值将影响指数函数t ＝a x 的单调性，从而影响t ＝a x 的取值范围，故应该分a >1与0<a <1讨论．(2)指数函数的单调性，由底数的取值范围确定，故当指数函数的底数含有字母时，要对字母的取值情况分类讨论．1．若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12a －3·a x 是指数函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 ( ) A ．2 B ．－2 C ．－2 2D ．2 2解析：选D.因为函数f (x )是指数函数，所以12a －3＝1，所以a ＝8，所以f (x )＝8x ，f ⎝⎛⎭⎫12＝812＝2 2.2．已知函数f (x )＝a x (a >0)的图象经过点(－1，2)，则f (2)＝________． 解析：因为2＝a －1，即a ＝12，所以f (2)＝⎝⎛⎭⎫122＝14.★★答案★★：143．已知函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围是________． 解析：由a x －1≥0，得a x ≥1＝a 0，因为x ∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a <1. ★★答案★★：(0，1)4．不等式⎝⎛⎭⎫12x<4的解集是________． 解析：⎝⎛⎭⎫12x<4即⎝⎛⎭⎫12x<⎝⎛⎭⎫12－2. 又y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，＋∞)上为减函数．所以x >－2. ★★答案★★：(－2，＋∞)[学生用书P106(单独成册)])[A 基础达标]1．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )解析：选C.由于0＜m ＜n ＜1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.2．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D ．⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：选B.由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0.3．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )解析：选A.因为g (x )＝－x ＋a 是R 上的减函数，所以排除选项C ，D.由选项A ，B 的图象知，a >1.因为g (0)＝a >1，故选A.4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9，81] B ．[3，9] C ．[1，9]D ．[1，＋∞)解析：选C.因为函数f (x )＝3x－b的图象经过点(2，1)，所以32－b ＝1，所以2－b ＝0，b ＝2， 所以f (x )＝3x －2.由2≤x ≤4得0≤x －2≤2， 所以30≤3x －2≤32，即1≤3x －2≤9，所以函数f (x )的值域是[1，9]． 5.已知a ＝20.4，b ＝80.1，c ＝⎝⎛⎭⎫12－0.5，则a ，b ，c 的大小顺序为________．解析：a ＝20.4，b ＝20.3，c ＝20.5. 又y ＝2x 在R 上为增函数． 所以b <a <c .★★答案★★：b <a <c6.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫131x 的定义域，值域依次是____________________________．解析：由函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫131x 的表达式得x ≠0为其有意义的取值范围，1x≠0.所以⎝⎛⎭⎫131x ≠1且⎝⎛⎭⎫131x＞0.于是函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }， 值域为{y |y ＞0且y ≠1}．★★答案★★：{x |x ≠0，x ∈R }，{y |y ＞0且y ≠1} 7. y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为________． 解析：因为x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， 所以⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又因为⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3＞0，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0，16]． ★★答案★★： (0，16]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：由题意知f (1)＝21＝2. 因为f (a )＋f (1)＝0，所以f (a )＋2＝0.若a >0，则f (a )＝2a ，2a ＋2＝0无解；若a ≤0，则f (a )＝a ＋1. 所以a ＋1＋2＝0，a ＝－3. ★★答案★★：－39．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x－1；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2.解：(1)要使y ＝21x －1有意义，需x ≠0，则21x ＞0且21x ≠1，故21x －1＞－1且21x－1≠0，故函数y ＝21x－1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0＜⎝⎛⎭⎫132x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的值域为(0，9]．10．已知指数函数f (x )＝a x 在x ∈[－2，2]上恒有f (x )<2，求实数a 的取值范围． 解：当a >1时，f (x )＝a x 在[－2，2]上为增函数， 所以f (x )max ＝f (2)，又因为x ∈[－2，2]时，f (x )<2恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，f （2）<2，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a 2<2，解得1<a < 2. 同理，当0<a <1时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f （x ）max ＝f （－2）<2， 解得22<a <1. 综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)．[B 能力提升]1．图中所给的曲线C 1，C 2，C 3，C 4是指数函数y ＝a x 的图象，而a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，13，5，π，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的函数的底数依次是________，________，________，________．解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，知C 2的底数<C 1的底数<1<C 4的底数<C 3的底数，而13<23<5<π，故C 1，C 2，C 3，C 4对应函数的底数依次是23，13，π， 5.★★答案★★：23 13π 52．若方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．解析：作出y ＝|2x －1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，所以a ≥1或a ＝0.★★答案★★：{a |a ≥1，或a ＝0}3．将⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412用“<”号连接起来． 解：先将这4个数分成三类： (1)负数：⎝⎛⎭⎫－233；(2)大于1的数：⎝⎛⎭⎫4313，223； (3)大于0小于1的数：⎝⎛⎭⎫3412. 又因为⎝⎛⎭⎫4313<413＝223， 故⎝⎛⎭⎫－233<⎝⎛⎭⎫3412<⎝⎛⎭⎫4313<223. 4．(选做题)设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，求a 的值．解：令t ＝a x (a >0且a ≠1)， 则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2(t >0)．令y ＝f (t )，则函数f (t )＝(t ＋1)2－2的图象的对称轴为直线t ＝－1，开口向上． ①当0<a <1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时，f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数， 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14. 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16， 所以a ＝－15或a ＝13.又因为a >0，所以a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数， 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14. 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．所以a ＝13或a ＝3.。
苏教版高中数学必修一第3章 指数函数、对数函数和幂函数.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第3章 指数函数、对数函数和幂函数§3.1 指数函数 3.1.1 分数指数幂课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．1．如果一个实数x 满足________________，那么称x 为a 的n 次实数方根． 2．式子na 叫做______，这里n 叫做________，a 叫做__________． 3．(1)n ∈N *时，(na )n ＝____.(2)n 为正奇数时，n a n ＝____；n 为正偶数时，na n ＝______.4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m na ＝__________(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na -＝____________(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)； (3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________． 5．有理数指数幂的运算性质： (1)a r a s ＝______(a >0，r 、s ∈Q )； (2)(a r )s ＝______(a >0，r 、s ∈Q )； (3)(ab )r ＝______(a >0，b >0，r ∈Q )．一、填空题1．下列说法中：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中正确的是________(填序号)．2．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是________．3．在(－12)－1、122-、1212-⎛⎫⎪⎝⎭、2－1中，最大的是______________________________． 4．化简3a a 的结果是________．5．下列各式成立的是________．(填序号)①3m 2＋n 2＝()23m n +；②(b a)2＝12a 12b ；③6(－3)2＝()133-；④34＝132.6．下列结论中，正确的个数为________．①当a <0时，()322a＝a 3；②na n ＝|a |(n >0)；③函数y ＝()122x -－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)； ④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝1. 7.614－3338＋30.125的值为________． 8．若a >0，且a x＝3，a y＝5，则22y x a+＝________.9．若x >0，则(214x ＋323)(214x －323)－412x -·(x －12x )＝________.二、解答题10．(1)化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0)； (2)计算：122-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·238.11．设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．能力提升12．化简：41 3322333842a a bb ab a-++÷(1－23ba)×3a.13．若x>0，y>0，且x－xy－2y＝0，求2x－xyy＋2xy的值．1.na n与(na)n的区别(1)na n是实数a n的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性限制，a∈R，但这个式子的值受n的奇偶性限制：当n为大于1的奇数时，na n＝a；当n为大于1的偶数时，na n＝|a|.(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定：当n为大于1的奇数时，(na)n＝a，a∈R；当n为大于1的偶数时，(na)n＝a，a≥0，由此看只要(na)n有意义，其值恒等于a，即(na)n＝a.2．有理指数幂运算的一般思路化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质．同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运算过程．3．有关指数幂的几个结论(1)a>0时，a b>0；(2)a≠0时，a0＝1；(3)若a r＝a s，则r＝s；(4)a±212a12b＋b＝(12a±12b)2(a>0，b>0)；(5)(12a＋12b)(12a－12b)＝a－b(a>0，b>0)．§2.2指数函数2．2.1分数指数幂知识梳理1．x n＝a(n>1，n∈N*) 2.根式根指数被开方数 3.(1)a(2)a|a| 4.(1)na m(2)1m na(3)0 没有意义 5.(1)a r ＋s (2)a rs (3)a r b r作业设计 1．③④解析 ①错，∵(±2)4＝16， ∴16的4次方根是±2； ②错，416＝2，而±416＝±2. 2．1解析 原式＝|2－a |＋|3－a |，∵2<a <3，∴原式＝a －2＋3－a ＝1. 3．1212-⎛⎫⎪⎝⎭解析 ∵(－12)－1＝－2, 122-＝22，1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2，2－1＝12，且2>22>12>－2， ∴1212-⎛⎫ ⎪⎝⎭>122->2－1>(－12)－1.4．12a解析 原式＝132aa ＝332a ＝12a .5．④解析 ①被开方数是和的形式，运算错误；(b a )2＝b 2a2，②错；6(－3)2>0，()133-<0，③错． 6．1解析 ①中，当a <0时，()322a ＝[()122a ]3＝(－a )3＝－a 3，∴①不正确；②中，若a ＝－2，n ＝3，则3(－2)3＝－2≠|－2|，∴②不正确；③中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，即x ≥2且x ≠73，故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)，∴③不正确；④中，∵100a ＝5,10b ＝2，∴102a ＝5,10b ＝2,102a ×10b ＝10，即102a ＋b ＝10. ∴2a ＋b ＝1，④正确． 7.32解析 原式＝(52)2－3(32)3＋3(12)3＝52－32＋12＝32. 8．9 5 解析 22y x a +＝(a x )2·()12y a＝32·125＝9 5.9．－23解析 原式＝412x －33－412x ＋4＝－23.10．解 (1)原式＝()113212xy xy-⎡⎤⎢⎥⎣⎦·()12xy ·(xy )－1 ＝13x ·23y16x16y-·12x-·12y-＝13x ·13x-＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >0－1， x <0. (2)原式＝12＋12＋2＋1－22 ＝22－3.11．解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2 ＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2 (－3<x <1)－4 (1≤x <3).12．解 原式＝()1321123333842aa b b a b a-++÷1133132a b a-×13a＝()1321123333842aa b b a b a -++·1311332aa b-·13a ＝()33113382a a b a b -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝a (a －8b )a －8b＝a .13．解 ∵x －xy －2y ＝0，x >0，y >0， ∴(x )2－xy －2(y )2＝0， ∴(x ＋y )(x －2y )＝0， 由x >0，y >0得x ＋y >0， ∴x －2y ＝0，∴x ＝4y ， ∴2x －xy y ＋2xy ＝8y －2y y ＋4y ＝65.。
苏教版高中数学高一必修1课件 第3章 第1课时 指数函数及其图象
2a2－3a＋2＝1， 解 由题意得a>0，
a≠1，
∴a 的值为12.
解得 a＝12.
解析答案
题型二 指数函数的图象 例2 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx 的图象，则a， b，c，d与1的大小关系是 .
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图，若0<a<1，则函数y＝ax与y＝(a－1)x2的图象可能是 ④ .
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 (1)函数y＝|2x－2|的图象是 .
解析答案
(2)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的 取值范围是 .
解析答案
题型四 指数型函数的定义域、值域
例 4 求下列函数的定义域和值域：
1
(1) y＝ 2 x4 ；
解 由x－4≠0，得x≠4，
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.
⑤中，底数－2＜0，不是指数函数.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 函数y＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数，求a的值.
解析 0<a<1时，a－1<0，因此y＝(a－1)x2图象开口向下.
解析答案
题型三 指数函数的图象变换 例3 已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通 过怎样的变化得到： (1)y＝2x＋1； 解 y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移一个单位得到. (2)y＝2x－1； 解 y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到. (3)y＝2x＋1； 解 y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到.
苏教版数学高一苏教版必修1学案3.1指数函数(一)
课堂导学三点剖析一、指数函数的图象和性质【例1】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y=2x ；②y=5x ；③y=(51)x ；④y=(21)x . (1)观察四个函数的图象,看它们有何特点?你能从中总结出一般性结论吗?(2)由y=5x 的图象，怎样画出y=5x+3的图象？怎样画出y=5x +3的图象？解析:指数函数y=a x (a ＞0且a ≠1)恒过两个点(0,1)和(1,a).这四个函数都经过(0,1),又分别经过(1,2)(1,5)(1,51)(1,21).再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如右图).(1)根据图象可知函数①与④，②与③分别关于y 轴对称. 规律：①一般地，指数函数y=a x (a>0且a ≠1)与y=a -x (a>0且a ≠1)的图象关于y 轴对称.②y=a x (a>0且a ≠1)中，当底a>1时，在y 轴右侧，底越大图象越靠近于y 轴；在y 轴左侧，底越大图象越靠近于x 轴.当底0<a<1时，在y 轴左侧，底越小图象越靠近于y 轴；在y 轴右侧，底越小图象越靠近于x 轴.(2)把y=5x 的图象向左平移3个单位可得y=5x+3的图象，把y=5x 的图象向上平移3个单位可得y=5x +3的图象.温馨提示(1)记住例1中(1)的结论，在同一坐标系中画指数函数的简图或比较幂的大小时，可直接应用.(2)函数图象的平移规律：y=f(x)y=f(x+a); y=f(x)y=f(x)+h.二、底数a>1和0<a<1的不同性质及应用【例2】 比较下列各题中两个数的大小.（1）1.72.5，1.73；（2）0.8-0.1，0.8-0.2；（3）1.70.3，0.93.1.解析:（1）考查指数函数y=1.7x ，由于底数1.7>1，所以指数函数y=1.7x 在（-∞，+∞）上是增函数.∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.(2)考查函数y=0.8x ,由于0<0.8<1,所以指数函数y=0.8x 在(-∞,+∞)上为减函数.∵-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2.(3)由指数函数的性质得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1.∴1.70.3>0.93.1.温馨提示比较两个同底的指数的大小，若底数为字母，应分类讨论(底数大于1，大于0小于1两种).底数不同的两个指数比较大小，常借助于中间量（如0、1）.三、幂函数与指数函数的区别【例3】请判断下列哪些函数是指数函数.y=(31)x,y=-3x,y=π-x,y=x3,y=2×3x,y=4x+1,y=22x,y=(a-2)x(a>3),y=x x(x>0,x≠1),y=(1-2)x,y=22x.解析:∵y=π-x=(π1)x,y=22x=(22)x=4x,∴指数函数有y=(31)x,y=π-x,y=22x,y=(a-2)x(a>3).不是指数函数的有y=-3x,y=x3,y=2×3x,y=4x+1,y=x x(x>0,x≠1),y=(1-2)x,y=22x.温馨提示认为y=(1-2)x为指数函数，是没注意底数1-2<0.认为y=π-x、y=22x不是指数函数，则是没把解析式变成y=a x的形式.这都是易犯的错误.各个击破类题演练1函数y=a|x|（a>1）的图象是（）解析：y=a|x|（a>1），当x≥0时，y=a x在第一象限为增函数，当x<0时，因y=a|x|是偶函数，所以图象关于y轴对称，画出另一半，选B.答案：B变式提升1画出函数y=2|x+1|的图象，并根据图象指出它的单调区间.解析:由函数解析式可得：y=2|x+1|=⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<++).1(,2),1()21(11xxxx其图象分成两部分,一部分是y1=(21)(x+1)(x<-1)的图象,而它的图象是将y=（21）x的图象沿x轴的负方向平移一个单位而得到.另一部分是y2=2x+1(x≥-1)的图象,而它的图象可以看作将y=2x的图象沿x轴的负方向平移一个单位而得到,（如右图）由图知,单调递减区间是(-∞,-1),单调递增区间是［-1,+∞］.类题演练 2比较下列各组数的大小.(1)522,533;(2)a 1.5,a 1.8(a>0且a≠1);(3)0.8-3,21)34(-. 解析:(1)由y=5x 在R 上为增函数可知522<533.(2)当a>1时，a 1.5<a 1.8;当0<a<1时，a 1.5>a 1.8.(3)∵0.8-3>1,0<21)34(-<1, ∴0.8-0.3>21)34(-. 变式提升 2求满足2m m >(m m )2的正数m 的取值范围.解析:原不等式变形为: 2m m >m 2m ,(1)m>1时,m 2>2m ⇒m>2,或m<0.∴m>2.(2)0<m<1时,m 2<2m ⇒0<m<2.∴0<m<1.综上所述,所求m 的值的范围为m>2,或0<m<1.类题演练 3指出下列函数哪些是指数函数:①y=4x ;②y=x 4;③y=-4x ;④y=(-4)x ;⑤y=πx ;⑥y=24x ;⑦y=x x ;⑧y=(2a-1)x (a>21,且a ≠1). 解析:①⑤⑧为指数函数;②是幂函数;③是-1与指数函数4x 的乘积;④中底数-4<0,不是指数函数;⑥中指数不是自变量x,而是x 的函数;⑦中底数x 不是常数,它们都不符合指数函数的定义.变式提升 3下列函数中的指数函数为________________.①y=x 2，②y=8x ，③y=（2a+1）x （a>-21,a ≠0), ④y=2)4(x -,⑤y=2.749x ,⑥y=1225-+x x ,⑦y=(x 2)x ,⑧y=-10x .解析:①为幂函数,④中底数小于0,⑥⑦⑧均为复合函数,故答案为②③⑤. 答案：②③⑤。